小学数学思维-整除问题初步与进阶

五年级高思知识点、测试题内容:第一讲第二讲整除问题一末位判别法1、能否被2、5整除看个位2、能否被4、25整除看末二位3、能否被8、125整除看末三位4、能否被16、625整除看末四位二、数字和系列1.被3整除的数的特征:各位数字之和能被3整除2、被9整除的数的特征:各位数字之和能被9整除3、弃九法和乱切法把和为“9”的数字丢掉把一个数随意的切成几段，再求和，然后看和能否被3或9整除判断能都被3或9整除数字求和法求数字和数字较少时使用弃九法和为9 就划掉数字较多时使用乱切法随意切再求和有省略号时使用4.99和999的断开求和法9---------一位断开再求和99-------两位断开再求和999-----三位断开再求和三、奇偶位差法------11四、分解判别法五.断开----求和-----做差六.重码数问题1、aaaaaa除以（7、11、13）2.abcabc----7、11、133.ababab----7、134. abcdabcdabcd--7、13练习1.多位数5265914056囗能被9整除，则"囗"中可以填几？2.多位数7A13能被11整除，则A为多少？3.多位数190AB能被11整除.则多位数有几个？4.四位数3 □3□能被36整除，那么这个四位数可能是多少？5.七位数22 □333 □能被44整除，那么这个七位数是多少？6.要使六位数15ABC6能被36整除，而所得的商最小，那么A、B、C 各等于多少？7.多位数6AB7能被99整除，则A、B乘积为多少8.已知八位数123 □□678能被99整除，这个八位数是多少？9.多位数1036A能被7整除，则A为多少？10.11.。

小学数学整除知识点总结整除是小学数学中非常重要的一个概念，它是学习数学的基础，对于理解数学概念和解决数学问题都有很大的帮助。

在小学阶段，学生需要掌握整除的概念和相关知识，以便能够进行数学运算和解决实际问题。

1. 整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即这个数能够被另一个数整除而没有余数。

例如，6能够被3整除，因为6÷3=2，没有余数。

而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。

因此，能够整除的数叫做倍数，被整除的数叫做约数。

2. 整数的奇偶性在整除的概念中，奇数和偶数是一个重要的概念。

奇数是指除以2有余数的整数，而偶数是指能够被2整除的整数。

奇数的特点是个位数字为1、3、5、7、9，而偶数的特点是个位数字为0、2、4、6、8。

例如，3是奇数，因为3÷2=1余1；而4是偶数，因为4÷2=2没有余数。

3. 分解质因数分解质因数是指将一个数分解为几个质数的乘积。

质数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等。

分解质因数的方法是先找到能够整除这个数的最小质数，然后继续分解，直到无法分解为止。

例如，24=2×2×2×3。

4. 最大公约数最大公约数是指两个或多个数最大的共同约数。

求最大公约数的方法有两种，一种是列出这些数的所有约数，然后找出其中的最大数；另一种是利用质因数分解的方法求最大公约数。

例如，求12和18的最大公约数，可以先分解质因数，得到12=2×2×3，18=2×3×3，然后找出它们的公共质因数，即3，所以最大公约数是3。

5. 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数最小的公倍数。

和最大公约数类似，求最小公倍数的方法也有两种，一种是列出这些数的所有倍数，然后找出其中的最小数；另一种是利用质因数分解的方法求最小公倍数。

例如，求12和18的最小公倍数，可以先分解质因数，得到12=2×2×3，18=2×3×3，然后找出它们的公共质因数和非公共质因数，即2、3和2，所以最小公倍数是2×2×3×3=36。

图4分解质因数
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．

2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1 2011个3
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例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234
789，能被99整除，这个九位数是多少？
分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99
的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123
678，能被99整除，这个八位数是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。

第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 13 81 81 76。

小学数学基础知识点除法的初步认识与整除在小学数学中，除法是一个非常重要的基础知识点。

学好除法对于学生的数学学习和日常生活都有着重要的影响。

本文将介绍除法的基本概念、符号表示、操作步骤以及与之相关的整除概念。

一、除法的基本概念除法是数学中的一种运算，用来求解一个数被另一个数等分的次数。

在除法运算中，一个数被除数，另一个数为除数，运算结果为商。

例如，10÷2=5，其中10为被除数，2为除数，5为商。

二、除法的符号表示除法运算有多种符号表示方式。

最常见的是用斜线表示除法，如10/2=5。

除号也可以用冒号“:”表示，例如10:2=5。

此外，还可以使用分数线表示除法，如10/2可以写作10/2。

三、除法的操作步骤进行除法运算时，按照以下步骤进行操作：1. 确定被除数和除数，将它们写在一条横线上，除数写在上方，被除数写在下方。

2. 从左到右逐位进行运算，将除数除以当前位的数字，得到商。

3. 将商写在横线上，下一步的被除数是上一步计算出的余数。

4. 如果还有下一位数字，则将余数与下一位数字合并，作为新的被除数；否则，运算结束。

5. 检查最后的运算结果是否正确，可以将商与除数相乘，得到被除数。

四、整除的概念在除法运算中，如果除法的结果是一个整数，则称为整除。

例如，10÷2=5，结果为整数5，这是一次整除。

而10÷3=3.33333...，结果为小数，不是整除。

在进行除法运算时，常常会遇到能否整除的问题。

判断一个数能否被另一个数整除，只需要检查它们之间是否存在整数倍的关系。

例如，15能否被3整除？我们可以发现15=3×5，即存在整数倍的关系，所以15能被3整除。

整除还有一个重要的概念是余数。

当一个数不能被另一个数整除时，剩下的部分就是余数。

例如，10除以3得到的商为3，余数为1，即10÷3=3余1。

五、小学数学中的除法应用除法在小学数学中有广泛的应用。

在解决实际问题时，我们经常会用到除法运算。

五年级数学思维训练因数和倍数（数的整除）姓名知识要点1、整除的概念如果自然数a除以非零自然数b，商是自然数c且余数为0，则称a能被b整除，或b能整除a，其中a和c叫做b的倍数，b叫做a和c的因数。

2、数的整除的特征（1）一个数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除。

（2）一个整数各位数上数字的和能被3或9整除，那么这个整数就能被3或9整除。

（3）一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。

（4）一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除。

（5）一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（6）一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7（11或13）整除，那么这个数能被7（11或13）整除。

例题精选例1、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2、如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？例3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。

例4、已知四位数 abcd是11的倍数，且有b+c=a。

bc 为完全平方数，求此四位数。

例5、三个连续的自然数介于100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。

试写出所有这样的三个自然数。

强化训练 A组1、从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少？2、一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数字看不清了，但知这个数是75的倍数，问这种五位数有哪几个？3、六位数□1993□能被33整除，这样的六位数是多少？4、在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得三位数比原数大8倍。

求这个两位数。

5、三个自然数，每一个数都不能被另两个数整除，而其中任意两个数的积都能被第三个数整除，那么，这三个数的和的最小值是几？6、一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换所成的两位数与原数的乘积是3154，求原数。

第一讲 整除第一部分：趣味数学这天，聪聪和笨笨写完作业后，贾伯伯又开始给他们讲数学的故事。

“今天我们讲的是‘完全数’……”“完全数？数还有不完全的？那不完全的数是不是就是一半的呢？”笨笨问。

“哼，当然不是啦，哪有这么简单的！”不等贾伯伯开口，聪聪就抢先说。

“哦，那你说呢，什么是完全数呢？”贾伯伯问聪聪。

“嗯…就是…就是…就是整个的数吧？”聪聪试探着说。

“当然也不是啦！”贾伯伯说。

聪聪不好意思地低下了头。

贾伯伯继续向他们讲着“完全数”的概念。

“什么是‘完全数’呢？就是说，如果一个自然数正好等于除去它本身以外所有的因数之和，这个自然数就叫‘完全数’。

那，你们说，什么数符合这样的要求呢？” 聪聪和笨笨想了想，笨笨先迟疑地说：“6……是吧！”贾伯伯笑着说：“你怎么知道是6呢？”笨笨大着胆子说：“因为6除了它自己，还有1、2、3三个因数，而1+2+3，正好就是6，就像您刚才说的，三个因数的和正好等于它自己。

”贾伯伯赞许地说：“笨笨答对了！6就是最小的完全数。

除了6以外，28也是完全数，你们看，28除了自己之外，还有1、2、4、7、14五个因数，1+2+4+7+14，不也是28了吗？”笨笨和聪聪互相看看，都觉得这个“完全数”挺有意思。

聪聪问：“那还有多少这样的‘完全数’呢？”贾伯伯说：“两千多年前，人们就发现了6和28这两个完全数；后来，又发现了496和8128这两个数，也是完全数。

可是又过了一千多年，才又发现了第五个完全数，这个数就是33550326。

”笨笨说：“真不容易呀！”贾伯伯说：“后来的三百多年，人们又找出了4个完全数，第九个完全数已经有37位了。

后来有了电子计算机，人们在找完全数，就方便多了，到完 全现在，总共找到了33个完全数，有的完全数已经有五百多位了呢！”“那，还有更大的完全数吗？”聪聪问。

贾伯伯笑了：“完全数到底是有限的还是无限的，这个问题嘛，现在还没有解决，连数学家也不知道，再比如，已经发现的33个完全数都是偶数，有没有奇数的完全数？这个也还没有答案呢！”完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。

轻松学习整除小学数学整除计算方法整除是小学数学中的重要概念之一，它与数的整除性质密切相关。

学好整除计算方法对于小学生来说是至关重要的。

本文将以轻松易懂的方式介绍小学数学整除计算方法，帮助学生掌握这一基础概念。

一、什么是整除在介绍整除的计算方法之前，我们首先要明确什么是整除。

在数学中，如果一个数能够不剩余地被另一个数整除，那么我们就说这个数能被另一个数整除。

其中，被除数是被除数除以除数所得的商的倍数。

例如，当我们说12能被3整除时，就是因为12 ÷ 3 = 4，而4正是12的整数倍。

这就是整除的基本概念。

二、整除的计算方法1. 分析被除数和除数的关系要学习整除的计算方法，我们首先要分析被除数和除数的关系。

当两个数的关系符合以下条件时，我们就可以认定被除数能够被除数整除。

（1）两个数是倍数关系：被除数是除数的整数倍。

（2）被除数减去除数的差，仍然能够整除除数。

即“被除数 - 除数= 新被除数”也能被除数整除。

（3）当数较大时，我们可以尝试用多次减法运算，来验证被除数能否整除除数。

2. 整除的判定基于上述分析，我们可以给出一个整除的计算方法。

具体步骤如下：（1）确定被除数和除数的大小关系。

（2）根据关系，用多次减法运算来验证能否整除。

（3）如果能整除，计算出商，如果不能整除，说明被除数不能被除数整除。

例如，想要验证24能否被6整除，我们可以进行如下计算：24 - 6 = 18 （能整除）18 - 6 = 12 （能整除）12 - 6 = 6 （能整除）6 - 6 = 0 （能整除）通过上述计算，我们可以看到24能够被6整除，因为每次相减的结果都是被除数的整数倍。

最终，我们得到商为4。

这就是24除以6的结果。

三、整除的应用整除在小学数学中有着广泛的应用。

在解决实际问题中，经常需要用到整除的概念。

以下是一些整除的应用示例：1. 判断能够均分当我们在计算物品能否被平均分给一组人时，就可以用到整除。

第二讲：整除问题进阶上讲我们学习了一些常用的整除判断方法，本讲我们再学习一些新的判断方法。

一、截断作和。

能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数，在前面加个0相当于是两位数）之和能被99整除。

举个例子：9912875643是不是99的倍数？方法1：99 12 87 56 43-------99 + 12 + 87 + 56 + 43=99×3=297，和是99的倍数，所以这个数就是99的倍数。

还可以怎么做？方法2：99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。

是9的倍数，数字和是9的倍数。

9+9+1+2+8+7+5+6+4+3=54，54÷9=6，所以这个数是9的倍数；是11的倍数，奇偶位和差分析法。

奇数位的和：3+6+7+2+9=27偶数位的和：4+5+8+1+9=27差是：27-27=0 0÷11=0，所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。

1、六位数（）2008（）能同时被9和11整除。

这个六位数是多少？分析：是9的倍数也是11的倍数即是：9×11=99的倍数。

设六位数是BA2008。

两位一截。

共3个两位数。

+=+≤A+BA+B2=891818922008和应该是99的倍数，所以只能是99×1=99成立，99×2=198不成立。

=99，所以A=1,B=7，所以这个六位数是：120087。

答：120087。

2、已知九位数1234（）（）789能被99整除。

这个九位数是多少？分析：设1234（A ）（B）789，从个位开始，两位一截，得到：1、23、4（A ）、（B）7 、89，和是：01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×10+7=160+A+10×B=99的倍数。

160+A+10×B的最小值：160+0+10×0=160（A和B在中间可以最小是0 。

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路四年级整除特征进阶主要内容及解题思路一、判断（三个家族）1、尾系（2，4，8，5，25，125）⏹能被2，5整数，看末1位⏹能被4，25整数，看末2位⏹能被8，125整除，看末3位2、和系（3，9，99）⏹各个位数之和可以被3,9整除⏹个位开始两位两位分，把新得到的数相加，若它们的和能被99整除，这个数就可以被99整除3、差系（7，11，13）⏹一个数从末位开始，每三位一段断开，若奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11、13 的倍数，则这个数能被7、11、13 整除；如果差不是7、11、13 的倍数，那么这个差被7、11、13 除余几，这个数除以7、11、13 就余几。

如：1121876能否被7、11、13 整除？每三位一段进行分段：1-121-876，奇数段之和为：876+1=877；偶数段之和为：121；奇数段之和与偶数段之和的差为：877-121=756用这个差除以7、11、13：756÷7=108，756÷11=68....8，756÷13=58 (2)故1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。

二、组合数（先尾系，再和系）15=3×56=2×3三、试除法（末几位）1、添9试除，最后减余数2、添0试除，最后加补数===================================例题：1、判断下列书哪些能被7整除？被8整除？被9整除？被11整除？被13整除？这些数除以9的余数分别是多少？除以11的余数分别是多少？6741 5232 5868 585 7579 2992 2009解：以6741为例说明6741可以分割为6 741，则741-6=735；被7：差系判断735÷7=105 ok被8：尾系判断741÷8=92...5 no被9：和系判断6+7+4+1=18 ok被11：差系判断735÷11=66...9 no被13：差系判断735÷13=56...79 no这道题的解算最终结果：被7：6741 2009被8：5232 2992被9：6741 5868 585被11：7579 2992被13：585 7579除以9的余数：0 3 0 0 1 4 2除以11的余数：9 7 7 2 0 0 72、943口口14能被99整除，空格里的数字分别是多少？解题思路：99属于和系，因此应该从个位开始，每两位为一组，各组相加的和为99的倍数。

整除问题进阶知识精讲一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除。

二、截断作差能被7 、11 、13整除的数的特征：从各位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7 、11 、13整除。

例题1 六位数2008 能被9和11整除。

这个六位数是多少？练习1 四位数23 能被9和11整除，这个四位数是多少？例题2 已知1234789 能被99整除，这个九位数是多少？练习2 已知八位数 123678 能被99整除，这个八位数是多少？例题3 阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写了一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989 ，使得这个五位数能被7整除。

请问：小高写的数是多少？练习3 四位数572 能被7整除，那么这个四位数可能是多少？例题4 已知51位数255259555999⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个能被13整除，中间方框内的数字是多少？练习4 已知多位数2010120103111333⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个能被13整除，那么中间方框内的数字是多少？例题5 用数字6 、7 、8 各两个，要组成能同时被6 、7 、8整除的六位数。

请写出一个满足要求的六位数。

练习5 一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？课后练习1、在7315 、58674 、325702 、96723 、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2、四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3、四位数278 能被7整除，那么这个四位数是多少？4、已知多位数201225881258258258⋅⋅⋅ 个能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5、已知多位数 2011120113111333⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。

整除问题知识导航1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b = c，即整数 a除以整数 b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a）。

记作 b︱a。

否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。

如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a的约数（或因数）。

2．数的整除性质性质 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c整除。

性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a。

性质 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。

性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。

3．数的整除特征①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。

②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。

③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。

④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。

⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。

⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。

⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。

精典例题例1：已知 45︱ x1993 y ，求所有满足条件的六位数 x1993 y 。

思路点拨先根据数的整除性质2可知：因为45︱ x1993 y ，所以 5︱ x1993 y ，9︱ x1993 y 。

再根据能被5整除，被9整除的数的特征就可以求出所有满足条件的六位数了。

小学数学思维方法数的整除小学数学中，整除是一个非常基础的概念，它是数的除法中的一种特殊情况。

在理解整除的概念后，学生可以通过一些思维方法来解决与整除相关的问题。

下面将介绍一些常用的小学数学思维方法来解决整除的问题。

1.因数分解法：因数分解是将一个数分解成几个素数的乘积的过程。

对于一个数n，如果它有一个因数d，那么我们可以将n分解成n=d*（n/d）。

利用这个思维方法，我们可以通过试除法来判断一个数是否能整除另一个数，以及找到一个数的所有因数。

以判断124是否能被整除为例，我们可以从2开始依次试除，124÷2=62，不能整除；124÷3=41.333，不能整除；124÷4=31，不能整除；124÷5=24.8，不能整除；124÷6=20.667，不能整除；124÷7=17.714，不能整除；124÷8=15.5，不能整除；124÷9=13.778，不能整除；124÷10=12.4，不能整除；124÷11=11.273，不能整除；124÷12=10.333，不能整除。

可以发现，124只能被整除于1和124本身，因此124的因数为1和1242.分解质因数法：分解质因数是将一个合数分解成几个质数的乘积的过程。

质因数是指在大于1的整数中，除1和本身外，在整数范围内没有其他因数的数。

通过分解质因数，我们可以找到一个数的所有质因数。

以分解质因数为例，假设要分解的数为60，我们可以通过试除法来进行分解。

60÷2=30，30÷2=15，15÷3=5、可以看到，60的质因数为2、2、3、53.公因数和最大公因数：公因数是指两个或多个数的因数中相同的数。

最大公因数是指两个或多个数的公因数中最大的那个数。

利用这个思维方法，我们可以求解两个数的公因数和最大公因数。

以求解20和30的最大公因数为例，我们可以列举出它们的所有因数：20的因数为1、2、4、5、10、20；30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30。

小学五年级逻辑思维学习—数的整除知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。

对于11的单独判定特性需要重点讲解。

2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【题目】173□是个四位数字。

第三讲 整除进阶问题
上一讲我们学习了很多特殊数的整除特性，今天我们来利用这些特性解决一些较复杂的问题 例题1：已知51位数 5 5 5□9 9
9 能被 13 整除，中间方格中的数字是多少？ 解
析
在本题中， 5 5□9 9 能被 13 整除．这个数的位数太多，我 25个5 25个9 们可以想办法使它变得简短一些． 利用
13
的整除特征，末三位 999
与前面的 5
5□9
9 之差必须 25个5 22个9 9 25个5 22个9 能被
13 整除，于是 5 5□9 9 25个5 22个9 应该能被 13 整除． 观察上述过程，我们实际上是从原数中去掉了末尾的 999999．为什么可以这样做呢？这与“差的整除性”有什么关系吗？这个去 9 的过程要继续进行到什么时候为止呢？除了方框后面的 9 之外，方框前面的 5 又该怎么考虑呢？ 随堂练习1：. 已知多位数1 1□3 3 3 能被 13 整除，那么中间方格内的数字是多少？ 2010个1 2010个3 小结：通过上题，可以知道对于每三位重复的多位数，在考虑 7、11、13 的整除性时， 可根据三位截断法和差的整除性去掉其中形如abcabc 的部分，新数对于 7、11、13 的整除性不变． 例题2：已知多位数 81□2 5 8 25 8 2 58 能同时被 7 和 13 整除，方格内的数字是多少？ 2010个258
分
析：在本
题
中
8
1
□2010个258 变短，考虑到7、11和13的整除特性一样的，那能不能用和例题 1类似的方法去解决呢？。