2、数论初步(整除的概念)

数论初步―――――基础篇－――――<整除>整除的概念很简单，比如3整除6，则表示法为3|6。

而整除的含义，比如a，c为整数，那么a|c的含义，意味着存在一个整数k，使得c＝a×k。

此时a是c的约数。

a|c和a是c 的约数是一样的，等价的。

由上面的含义，可得到很基本的认识是如果a|b，则a|b×k。

可以进而有这样的两条规律：如果有a|b，b|c，则a|c。

―――[规律1]如果有a|c同时a|d，则c±d可以被a整除。

―――[规律2]<幂次式和分解质因数>质数，即只含有1和自身两个约数的数。

那么我们可以写出开始的几个质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41…质因数：如果一个质数a是b的约数，则a是b的质因数。

幂次式：一个带幂次的式子22×33×52，我们称为幂次式。

它的值为2700。

性质：（1）如果底项不同，那么两个幂次式不会相等。

比如23和32不相等。

（2）22 | 23，34| 35。

这条性质的含义是相同的底项，幂次小的肯定可以整除幂次大的。

进一步也有：23×34×5|24×36×52。

分解质因数：任何整数总可以分解成质因数的幂次式。

比如180＝22×32×5。

不同的整数分解的结果都不会一样。

练习：把这几个数写成幂次式： 18，28，60，72。

<再理解整除>我们在上一部分幂次式和分解质因数的基础上，重新去体会整除的含义。

如果a是b的约数或说a|b，那么把a，b都作质因数分解。

那么a的质因数必然都在b的质因数中。

比如18|72。

则18＝2×32，72＝23×32。

<公约数与互质>对于两个整数b,c，如果同时有a|b，a|c，则a是b，c的公约数。

比如3是6和9的公约数。

如果两个数除了1外没有别的公约数，则我们称他们两个互质。

数论初步例题和知识点总结数论是数学的一个重要分支，主要研究整数的性质和它们之间的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些例题来讲解数论中的常见知识点。

一、整除整除是数论中最基本的概念之一。

如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。

例如：24÷6 ＝ 4，没有余数，所以 6 ｜ 24。

例题：证明若 a ｜ b 且 a ｜ c，则对于任意整数 m，n，有 a ｜（mb ＋ nc)。

证明：因为 a ｜ b ，所以存在整数 k1 使得 b ＝ k1a；同理，因为a ｜ c ，所以存在整数 k2 使得 c ＝ k2a 。

那么 mb ＋ nc ＝ m(k1a) ＋ n(k2a) ＝（mk1 ＋ nk2)a 。

因为 mk1 ＋ nk2 是整数，所以 a ｜（mb ＋ nc) 。

二、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数公有的因数称为公因数，其中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b) 。

两个或多个整数公有的倍数称为公倍数，其中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b 。

求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法。

例题：求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数。

36 ＝ 2×2×3×3，48 ＝ 2×2×2×2×3 。

它们公有的质因数是 2×2×3 ＝ 12，所以（36, 48) ＝ 12 。

最小公倍数为 2×2×2×2×3×3 ＝ 144 ，即 36, 48 ＝ 144 。

三、同余如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m) 。

同余具有很多性质，例如：1、反身性：a ≡ a （mod m) 。

2、对称性：若a ≡ b （mod m) ，则b ≡ a （mod m) 。

数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。

Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。

我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。

由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。

定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。

若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。

否则，| 。

任何的非的约数，叫做的真约数。

0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。

任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。

由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。

（4）若。

因此，若。

（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。

特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。

（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。

（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。

（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。

理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。

一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除属于除尽的一种特殊情况。

二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。

（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。

①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。

【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。

任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。

又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。

数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。

整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。

同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。

这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。

首先，我们来讨论整除的概念。

设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。

即b能够被 a 整除而没有余数。

整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。

例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。

这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。

那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。

正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。

整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。

质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。

这个思想就是质数检验的基础。

接下来，我们来深入讨论同余的概念。

给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。

2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。

3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。

同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。

例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。

那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。

第二讲 整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。

如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。

数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。

在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。

整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。

1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。

即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。

此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。

另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。

1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。

在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。

具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。

1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。

在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。

1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。

首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。

以上就是整除的基本概念及其相关内容。

从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。

下面我们就来具体讨论一下整除的性质。

二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。

下面我们将介绍一下整除的性质。

2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

奥数整除知识点总结整除是关于数学中的一种基本概念，是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常重要的知识点，对于学生来说，掌握整除的相关知识是非常重要的。

本文将对奥数整除知识点进行详细的总结，希望能帮助学生更好地掌握整除的相关知识。

一、整数的概念在奥数学习中，整数是一个非常基本的概念。

整数包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。

在奥数整除的相关题目中，通常涉及到正整数的整除，因此在奥数学习中，学生需要了解和掌握正整数的相关概念。

二、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常基础的概念，掌握整除的相关知识对学生来说是非常重要的。

当一个数a能够被另一个数b整除时，我们通常用"a能被b整除"表示，也可以用数学符号"a|b"表示。

对于两个整数a和b，如果存在另一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能被b整除。

三、整数的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整数的一些基本性质，学生需要了解和掌握整数的一些基本性质。

下面我们将介绍整数的一些基本性质：1. 整数的加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。

2. 整数的减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。

3. 整数的乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。

4. 整数的除法性质：对于任意两个整数a和b，当a能够被b整除时，它们的商a/b也是一个整数。

四、整除的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整除的一些基本性质，学生需要了解和掌握整除的一些基本性质。

下面我们将介绍整除的一些基本性质：1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

2. 整除的继承性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

数的整除认识整除概念整数是我们日常生活中经常接触到的一种数，而整除也是我们在学习数学时常常遇到的一个概念。

整除是指一个数能够整除另一个数，也就是说被除数除以除数得到的商是整数，没有余数。

在本文中，我们将详细介绍整除的概念和相关性质。

一、整除的定义在数学中，如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们称a是b的倍数，b是a的约数，同时也可以说b整除a，记作b|a。

如果一个整数a不是b的倍数，那么我们称a不能被b整除，记作b∤a。

二、整除的基本性质1. 任何整数a都可以整除自身，即a|a。

2. 对于任何整数a，0都可以整除它，即0|a。

3. 任何整数a都可以整除0，即a|0，但除数不能为0。

4. 如果a|b，且b|c，那么a|c。

即如果a能整除b，b能整除c，那么a一定能整除c。

5. 如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

即如果a能整除b和c，那么a一定能整除它们的线性组合。

三、整除的性质证明对于整除的性质，我们可以通过数学推理和举例来进行证明。

以下是两个具体的例子。

例1：证明：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；a|c表示存在整数m，使得c=am。

那么bx+cy=(ak)x+(am)y=a(kx+my)，其中kx+my也是一个整数。

因此a能整除bx+cy，即a|(bx+cy)。

例2：证明：如果a|b，且b|c，那么a|c。

解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；b|c表示存在整数m，使得c=bm。

将b代入第二个等式中，得到c=(ak)m=a(km)，其中km也是一个整数。

因此a能整除c，即a|c。

由例子的证明可以看出，整除的相关性质是可以通过严格的数学推理进行证明的，这些性质在解决数学问题和数学推理中起着重要的作用。

四、整除的应用整除的概念在数学中是非常重要的，它在整数的因子和倍数、整数的性质分析以及数的约简等方面都有广泛的应用。

概念1、（a÷b=c a、b、c都是整数没有余数）如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

2、整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. （一般在非零的自然数考虑）。

3、因为任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

4、一个数最小的因数是（1）,最大的因数是它（本身）,一个数的因数的个数是（无限）的。

5、一个数最小的倍数是它（本身），没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是（无限）的。

6、个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做偶数，如2，4，6，8，10，12…..不能被2整除的数叫做奇数，例1，3，5，7，9，11，13….7、个位上是0或者5的数，都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、如果一个数的各位上的数的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。

10、如果一个数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除；11、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做质数（也叫做素数）。

12、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。

13、、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等14、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成（转化成）一个长方形。

长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

长方形的面积和拼成的平行四边形的面积相等（等积变形），因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。

15、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而又充满魅力的分支，它主要研究整数的性质和关系。

在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论的重要知识点。

一、整除的概念整除是数论中最基本的概念之一。

如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b|a。

例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3|15。

例题 1：判断 28 是否能被 4 整除。

解：28÷4 ＝ 7，商是整数且没有余数，所以 4|28。

二、因数与倍数如果 a 能被 b 整除，那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。

例如，6 的因数有 1、2、3、6，6 是 1、2、3 的倍数。

例题 2：找出 36 的所有因数。

解：36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。

三、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。

例如，2、3、5、7 是质数，4、6、8、9 是合数。

例题 3：判断 19 是质数还是合数。

解：因为 19 只能被 1 和 19 整除，所以 19 是质数。

四、最大公因数与最小公倍数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数；几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。

求最大公因数和最小公倍数的方法有很多，比如分解质因数法、短除法等。

例题 4：求 12 和 18 的最大公因数和最小公倍数。

解：（1）分解质因数：12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。

公因数有 2 和 3，所以最大公因数是 2×3 ＝ 6。

（2）最小公倍数：2×2×3×3 ＝ 36。

五、同余的概念若两个整数 a、b 除以同一个整数 m，所得的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。

数的整除知识点总结
整除是指一个数能够完全被另一个数整除，即没有余数。

下面是整除的一些基本知识
点总结：
1. 除数和被除数：在进行整除运算时，将一个数称为被除数，另一个数称为除数。

被
除数除以除数得到的商是整数，即能够整除。

2. 余数：如果除数不能够整除被除数，就会有余数产生。

余数是指除法运算中，被除
数去除除数后剩下的数。

3. 除法符号：在整除运算中，使用除号（÷）来表示除法运算。

例如，12 ÷ 3 = 4，
表示12能够被3整除，结果是4。

4. 整除的判断：通过余数是否为零来判断一个数能否整除。

如果余数为零，则能整除；如果余数不为零，则不能整除。

5. 奇偶性判断：一个偶数可以被2整除，没有余数；而一个奇数不能被2整除，会有
余数。

6. 最大公约数：最大公约数是指两个或多个数中能够整除所有数的最大正整数。

可以
使用欧几里得算法来求解最大公约数。

7. 最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的正整数。

可以通过
最大公约数来求解最小公倍数。

8. 整除性质：整除具有传递性、结合性和分配性。

具体来说，如果a能整除b，b能整除c，那么a就能整除c；a能整除b，b能整除a，那么a和b互为倍数关系；如果a 能整除b，那么a也能整除b的倍数。

此外，整除运算还满足交换律和消去律。

这些是关于整除的基本知识点总结，希望对你有帮助。

除法的整除与余数整除和余数的概念除法是数学中的一种基本运算方式，它包括整除和余数两个概念。

在进行除法运算时，我们将一个数称为被除数，另一个数称为除数。

整除是指当被除数能够被除数整除时，所得的商是一个整数，没有余数；而余数是指当被除数无法被除数整除时，所得的商不是一个整数，而是一个小于被除数、大于等于0的数。

除法的整除是我们在日常生活中经常用到的概念之一。

当我们需要将一件物品平均分给若干人时，就需要用到整除。

比如，将12个苹果平均分给3个小朋友，每个小朋友能够得到的苹果数量应该是相同的，即每人分3个苹果。

因为12除以3等于4，也即12÷3=4，这里的商4就是整除的结果。

在这个例子中，每个小朋友都获得了整数个苹果，没有剩余。

除法的余数也是一种常见的概念。

当被除数无法被除数整除时，就会产生余数。

余数代表了除法中剩余的部分。

比如，将13个苹果平均分给4个小朋友，由于13除以4等于3余1，也即13÷4=3余1，这里的余数1代表了无法平均分给每个小朋友的1个苹果。

在这个例子中，每个小朋友能够得到的苹果数量是3个，剩下的1个苹果无法平分，所以产生了一个余数。

除法的整除和余数在日常生活中有着广泛的应用和意义。

我们可以通过整除判断一个数是否是另一个数的倍数。

如果一个数能够被另一个数整除，那么它就是另一个数的倍数。

例如，我们可以通过判断一个数能否被2整除来确定它是否为偶数，因为偶数都是2的倍数。

而通过余数可以进行进一步的判断和计算。

比如，在进行商业交易中，我们需要计算商品的总价和每件商品的平均价格，这时候就需要使用整除和余数的概念。

除法的整除和余数还有一些特殊的性质和应用。

例如，除数是10的整数次幂时，可以通过查看被除数的末尾几位来判断整除和余数。

以整除10为例，只需查看被除数的个位数是否为0即可。

而以整除100为例，只需查看被除数的末两位数是否为00即可。

这种方法在实际计算中非常实用，可以节省时间和精力。

数论初步：整除、质数与同余数论的全名是“整数的理论”，顾名思义，它所探讨的问题主要是关于整数的（实际上是正整数）. 当然，有时谈论的范围也会扩展到有理数.一、质数1、基本概念和重要命题质数：只能被1和自身整除的正整数；质数不包括1.筛法：批量获取质数的方法；例如，将2~100排成一列，依次从左到右“筛除”最左边数字的倍数，第一次筛除所有2的倍数，第二次筛除所有3的倍数，第三次筛除所有5的倍数……100 的最大质数7为止，剩下的数就是100以内的全体质数.一直到不超过10一个特殊的质数：2，它是最小的质数，也是质数中唯一的偶数.2、典型例题例1、一个两位数的个位数字与十位数字交换位置后，所得的数比原来大9. 在这样的两位数中，质数有多少个要点：①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；②快速判定100以内质数的能力.结论：共有3个，分别是23、67和89.例2、若p为质数，且p6＋3也是质数，则p11－52的值是多少要点：根据已知条件能够确定p的奇偶性.结论：p11－52＝1996.3、专题练习习题1若a、b、c、d为整数，且(a2＋b2)(c2＋d2)＝2001，则a2＋b2＋c2＋d2＝ .习题2在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)＝ .习题3在下列关于质数与合数的说法中，正确的是 .①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和不可能是合数.习题4若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少习题5一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和.习题6已知3个质数m 、n 、p 的乘积等于这3个数之和的5倍，求m 2＋n 2＋p 2的值.二、整除1、基本概念和重要命题整除关系：对于整数a 和不为0的整数b ，若存在整数m 使得bm ＝a ，则称a 能被b 整除（或b 整除a ），b 是a 的因数（或a 是b 的倍数），记为b |a .整除的重要基本性质：① 若b 和c 都能被a 整除，则b 与c 的和或差也能被整除. ()c b a c a b a ±⇒||,| ② 若b 能被a 整除，c 能被b 整除，则c 能被a 整除. c a c b b a ||,|⇒③ 若bc 能被a 整除，且c 与a 互质，则b 能被a 整除. ()b a c a bc a |1,,|⇒=④ 若a 同时能被b 和c 整除，且b ,c 互质，则a 能被bc 整除. ()a bc c b a c a b |1,,|,|⇒=2、典型例题例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其原理. 要点分析：任一自然数可以写成10a ＋b 的形式，其中b 表示它的个位数；而10a ＝5×2a 能被5整除，于是将“10a ＋b 能否被5整除”的问题转化为“个位数b 能否被5整除”的问题.类似地，请你解释“判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.1287xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数.例2、已知7位数6要点分析：①由于72＝8×9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能被8整除，又能被9整除”；②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的判据是各位数字之和能被9整除；③别忘记，x、y只能在0~9这十个数字中选取；④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为奇数.结论：共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.例3、将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：N一定是合数. 要点分析：①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条件，可知a|N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺序的影响. ②由于“各位数字之和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2010累加起来即可.结论：因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么），所以N一定能被3整除，是合数. *证明的书写：只要将每一步推导的理由说明即可. 所谓的“理由”，就是前面提到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的判据.证明：若数N由1,2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3|N.设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋ (2010)∵根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整除性质一致∴ x 被3整除性质与y 被3整除性质一致而 ()2201012010+⨯=y 能被3整除 ∴ x 能被3整除.∴ N 能被3整除. ∴ N 是合数.例4、证明：（1）形如abcabc 的六位数一定能被7、11、13整除；（2）若4b ＋2c ＋d ＝32，则8|bcd .证：（1）∵ 10011000⨯=+⨯=abc abc abc abcabc ，而1001＝7×11×13，∴ 7|abcabc ，11|abcabc ，13|abcabc .（2）∵ ()()c b d c b d c b bcd 8962410100++++=++=而 ()c b c b +=+128896 能被8整除，∴ 8|bcd （参见前面的整除性质①）说明：在学习初期，尽可能在每次论证时把具体理由（不是条目）给自己叙述一遍，确保对于这些性质依赖于熟悉.3、专题练习习题1 若945k k 是能被3整除的五位数，则的可能取值有 ，这样的五位数中能被9整除的是 .习题2用分别写有数字2、3、4、5的四张卡片可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有多少个习题3假设a,b,c,d是四个整数，证明：差b－a, c－a, d－a, d－c, d－b, c－b的乘积能被12整除.习题4判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（即这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍之和能否被7整除. 如果这个和能被7整除，则原数能被7整除. 例如126，去掉6后得到12，而12＋5×6＝42，42能被7整除，所以126能被7整除.（1）与此方法类似地，也可看去掉一节尾后与该结尾的n倍之差来判断，则n＝ .（n是整数，且1≤n＜7）（2）这种检验方法也可以转化成这样一条命题：依题意所构造出来的这个和数与原整数在被7整除的性质上是一致的；或者说，二者除以7的余数相同. 请你证明这个命题.三、同余1、基本概念和重要命题同余：从字面上讲，“整数a ,b 对m 同余”是指“a 和b 除以m 的余数相同”；常用定义则是“a －b 能被m 整除”，显然两种说法含义是一样的；整除与同余的关系：“a 和b 都能被m 整除”实际上就是“a 和b 除以m 的余数都是0”； 同余的符号表示与过程书写：例如，将“a 除以5的余数是3”表示为“a ＝5k ＋3，k 为整数”；利用这种表示，我们就将同余分析转化为多项式的运算；2、典型例题例1、若记a 1除以m 的余数为r 1，a 2除以m 的余数为r 2，则a 1＋a 2与r 1＋r 2同余，a 1a 2与r 1r 2同余.要点分析：根据同余定义，“两个量对m 同余”相当于“二者之差能被m 整除”. 证明：设a 1＝mk 1＋r 1，a 2＝mk 2＋r 2，k 1和k 2为整数；则a 1＋a 2＝mk 1＋r 1＋mk 2＋r 2＝m (k 1＋k 2)＋(r 1＋r 2)，(a 1＋a 2)－(r 1＋r 2)＝m (k 1＋k 2)能被m 整除； a 1a 2＝(mk 1＋r 1)(mk 2＋r 2)＝m 2k 1k 2＋mk 1r 2＋mk 2r 1＋r 1r 2，a 1a 2－r 1r 2＝m (mk 1k 2＋k 1r 2＋k 2r 1)能被m 整除.这是同余的重要性质：要研究两数运算结果的余数，只要将它们各自的余数进行运算即可. 例如，要得到多个数相乘的个位数，只需将它们的个位数相乘即可. 利用这个性质，我们可以理解“能被9整除”的判定方法.例2、有一种判断“一个位数很多的数能否被7整除”的方法，以1289376为例，将最后三位数字和前若干位数字分别视为两个整数，它们的差与原数对7的整除性质是相同的，即1289－376＝913＝7×130＋3不能被7整除，所以1289376不能7整除. 请你解释其中道理. 要点分析：“一个位数很多的数”可以写作a ＝1000p ＋xyz ，接着将上述方法过程用多项式运算表示出来.证明：设a ＝1000p ＋xyz ，则a －xyzxyz ＝1000(p －xyz )，该方法所得到的数是p －xyz ； ∵ xyz xyzxyz 1001 能被7整除（记得1001＝7×11×13）∴ a 与1000(p －xyz )对7同余，则二者对于7的整除性质相同；而1000与7互质∴ a 与p －xyz 对于7的整除性质相同.类似地，我们可以理解“能被11整除”的判定方法.例3、已知正整数n 除以3、5、7的余数分别是2、3、4，求满足条件的最小n 值.解：设n ＝3k ＋2＝5l ＋3＝7m ＋4，k ,l ,m 为整数，则2n ＝6k ＋4＝10l ＋6＝14m ＋8，不难看出2n 除以3、5、7的余数都是1，于是2n －1能够同时被3、5、7整除. 由于3、5、7互质，所以2n －1最小是3×5×7＝105，此时n ＝53.例4、证明：由2012个1和任意多个0组成的数不可能是完全平方数.要点分析：乍看起来这个问题似乎无从下手，因为0的个数不限，不同数字符号的顺序不限，那么可以写出无数个数，怎么可能确定它们都不是完全平方数呢实际上，我们只需确定“任意完全平方数必须具有某种同余性质而题中之数并不具有这种性质”，就成功了.证明：任一自然数除以3的余数只有0、1、2三种可能，分别设它们为3k 、3k ＋1和3k ＋1并计算其平分，可知任一平方数或者自身是3的倍数，或者除以3余2. 而由2012个1与任意多个0组成的数字除以3余2，所以不可能是完全平方数.3、专题练习习题1、的个位数是多少最后两位数是多少习题2、14＋24＋34＋…＋20104＋20114的个位数字是多少习题3、已知a ＝ 20122012201220122012个，则a 除以13的余数是多少习题4任给一个正整数，例如248，我们总可以用1984的四个数码经过适当交换得到一个四位数，如8194，恰使得7|(248＋8194). 请你证明：对于任给的一个自然数N ，总存在一个适当交换1984的数码所得到的四位数0123a a a a ，使得7|(N ＋0123a a a a ).习题5、证明：若正整数a ,b ,c 满足a 2＋b 2＝c 2，且它们的最大公约数是1，则c 一定是奇数，而a 和b 中一个是奇数另一个是偶数.习题6、证明：当指数n 不能被4整除时，1n ＋2n ＋3n ＋4n 能被5整除，其中n 为正整数.习题7、1与0交替，组成下面形式的一串数：101,10101,1010101,1,…请你回答，在这串数中有多少个是质数并请证明你的论断.。