6第六练(可自主编辑word)
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第六练
一、选择题
1.(2019天津改编)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy
的最小值为( )
A.3√3
B.4√3
C.6
D.7 答案 B ∵x+2y=5,x>0,y>0, ∴
xy
=
xy
=
xy
=2√xy +
xy
≥2√2√xy ·
xy
=4√3,当且仅当{
x +2y =5,2√xy =
√
xy
即
{x =3,
y =1或{
x =2,y =
32
时,原式取得最小值4√3. 2.(2018陕西宝鸡中学校级期中,9)已知等比数列{a n }的公比为q,其前n 项和为S n ,若S 3、S 9、S 6成等差数列,则q 3等于( ) A.-1
2 B .1 C.-1
2或1 D .-1或1
2
答案 A 若S 3、S 9、S 6成等差数列,则S 3+S 6=2S 9,易知q ≠1,则
a 1(1-q 3)1-q +
a 1(1-q 6)1-q
=
2a 1(1-q 9)1-q
,即
1-q 3+1-q 6=2-2q 9,即q 3+q 6=2q 9,即1+q 3=2q 6,即2(q 3)2-q 3-1=0,解得q 3=-1
2,故选A. 3.已知函数f(x)={e -x ,x ≤0,-x 2-2x +1,x >0,若f(a-1)≥f(-a 2+1),则实数a 的取值范围是( )
A.[-2,1]
B.[-1,2]
C.(-∞,-2]∪[1,+∞) D .(-∞,-1]∪[2,+∞)
答案 A 因为f(x)={e -x ,x ≤0,-x 2-2x +1,x >0在区间(-∞,+∞)上单调递减,所以不等式f(a-1)≥f(-a 2+1)
同解于不等式a-1≤-a 2+1,即a 2+a-2≤0,解得-2≤a ≤1,故选A.
4.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,点A(1,a)(a>0)在C 上,|AF|=3.若直线AF 与C 交于另一点B,则|AB|的值是( ) A.12
B.10
C.9
D.4.5
答案 C 解法一:因为A(1,a)(a>0)在抛物线C 上,所以a 2=8,解得a=2√2或a=-2√2(舍去),故直线AF 的方程为y=-2√2(x-2),与抛物线的方程联立,消去y,可得x 2-5x+4=0,解得x 1=1,x 2=4,由抛物线的定义,得|BF|=4+2=6,又|AF|=3,所以|AB|=|AF|+|BF|=9,故选C.
解法二:因为直线AB 过焦点F,所以x A x B =1
4p 2=4,又x A =1,所以x B =4,所以|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +4=9,故选C.
二、填空题
5.已知e 1,e 2为单位向量且夹角为2π
3,设a=3e 1+2e 2,b=3e 2,则a 在b 方向上的投影为 . 答案 1
2
解析 因为a=3e 1+2e 2,b=3e 2,所以a ·b=(3e 1+2e 2)·3e 2=9e 1·e 2+6e 22
=9×1×1×cos 2π
3+6=3
2,易知|b|=3,
所以a 在b
方向上的投影为a ·b |b|=3
23=1
2
.
6.正四面体ABCD 中,E 是AD 的中点,P 是棱AC 上一动点,BP+PE 的最小值为√14,则该四面体的体积为 . 答案 8
3
解析 由题意,将侧面△ABC 和△ACD 沿AC 边展开成平面图形,如图所示.设正四面体的棱长为a,则BP+PE 的最小值为
BE=√a 2+
a 24
-2·a ·a 2·cos120°=√7
2a=√14,解得a=2 √2,所以正四面
体的高为√8-(2√63)2
=43 √3,所以正四面体的体积为13×√34×8×43 √3=8
3
. 三、解答题
7.如图,在平面四边形ABCD 中,∠ABC=3π
4,AB ⊥AD,AB=1. (1)若AC=√求△ABC 的面积; (2)若∠ADC=π
6,CD=4,求sin ∠CAD.
解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理得,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC,代入∠ABC=3π
4,
得5=1+BC 2+√2BC,解得BC=√2,
所以S △ABC =12AB ·BC ·sin ∠ABC=12×1×√2×√22=1
2.
(2)设∠CAD=θ,在△ACD 中,由正弦定理得,AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD ,将∠ADC=π
6,CD=4代入,得AC
sin
π
6
=4
sinθ,
①
在△ABC 中,∠BAC=π2-θ,∠BCA=π-3π4-(π2-θ)=θ-π
4, 由正弦定理得AC sin ∠ABC =AB
sin ∠BCA , 即
AC sin
3π4
=1
sin(θ-π4
)
,②
①②两式相除,得sin
3π4sin
π6
=
4sinθ1sin(θ-π
4)
,
即4(√2
2sinθ-√2
2
cosθ)=√2sin θ,整理得sin θ=2cos θ.
又sin 2θ+cos 2θ=1,故sin θ=
2√5
5
,即sin ∠CAD=
2√5
5
. 8.某学校高三年级共有4个班,其中实验班和普通班各2个,且各班学生人数大致相当.在高三第一次数学统一测试(满分100分)的成绩揭晓后,教师对这4个班的数学成绩进行了统计分析,其中涉及试题“难度”和“区分度”等指标.根据该校的实际情况,规定其具体含义如下: 难度=
4个班的平均分
100
,
区分度=
实验班的平均分-普通班的平均分
100
.
(1)现从这4个班中各随机选取5名学生,根据这20名学生的数学成绩,绘制茎叶图如下:
实验班
普通班
6 1 2 2
6 7 0 1
2
3
4
4
7
4
2
3 2 8 8 1
5
3
9
请根据以上样本数据,估计该次考试试题的难度和区分度;
(2)为了研究试题的区分度与难度的关系,调取了该校上一届高三6次考试的成绩分析数据,得到下表:
考试序号 1 2 3 4 5 6 难度x 0.65 0.71 0.73 0.76 0.77 0.82 区分度y
0.12
0.16
0.16
0.19
0.20
0.13
①用公式r=
∑i=1n
(x i -x)(y i -y)
√∑i=1
(x i -x)2∑i=1
(y i -y)2
计算区分度y 与难度x 之间的相关系数r(精确到0.001);
②判断y 与x 之间相关关系的强与弱,并说明是否适宜用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系.
参考数据:∑i=1
6
x i y i =0.713 4,
√∑i=1
6
(x i
-x)2
∑i=1
6
(y i
-y)2
≈0.009 2.
解析 (1)由茎叶图知,实验班这10人的数学总成绩为860分,普通班这10人的数学总成绩为700分,
故这20人的数学平均成绩为860+700
20
=78(分),由此估计这4个班的平均分为78分,
所以难度=78
100=0.78.
由860
10=86估计实验班的平均分为86分,由700
10=70估计普通班的平均分为70分, 所以区分度=
86-70100
=0.16.
(1)①由于∑
i=1
n
(x i-x)(y i-y)=∑
i=1
n
(x i y i-yx i-xy i+x y)
=∑
i=1
n
x i y i-y∑
i=1
n
x i-x∑
i=1
n
y i+nx y
=∑
i=1
n
x i y i-nx y-nx y+nx y=∑
i=1
n
x i y i-nx y,
且∑
i=1
6
x i y i=0.713 4,√∑
i=1
6
(x i-x)2∑
i=1
6
(y i-y)2
≈0.009 2,
所以r=
∑
i=1
6
(x i-x)(y i-y)
√∑
i=1
(x i-x)2∑
i=1
(y i-y)2
=∑i=1
6
x i y i-6x y
√∑
i=1
(x i-x)2∑
i=1
(y i-y)2
=0.713 4-0.710 4
0.009 2
≈0.326.
②由于r≈0.326∈[0.30,0.75),故两者之间的相关性非常一般,不适宜用线性回归模型拟合y与x 之间的关系,即使用线性回归模型来拟合,效果不理想.。
