2014-2015高二备考(13)
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2014-2015高二备考（13）：求递推数列通项公式的常见类型类型一：)(1n f a a n n =-+型（叠加法）方法：（1）若)(n f 为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若)(n f 为n 的函数时，用叠加法.例 1. （2003天津文改编） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,求数列｛a n ｝的通项公式。
∴ 213-=n n a . 类型二：)(1n f a a nn =+型（叠乘法） 方法：（1）当)(n f 为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比数列且n a =11-⋅n q a . （2）当)(n f 为n 的函数时,用叠乘法.例2．在数列}{n a 中n n a n n a a 12,111++==+，求数列的通项公式。
21+=n a n 类型三：前n 项和法（知n S 求n a ）型方法：⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例3．（1）已知数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列的通项公式。
42,n a n =-（2）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(22+∈-=N n n a S n n 求证：数列}2{+n a 为等比数列；（3）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n n n S a a 1143)14(,34-⋅=-=求数列{}n S 的通项公式；)14(94943141-=⇒==-∴n n n n S S S 练习：1．若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n 2.设数列{}n a 满足12323...2(*).n n a a a na n N ++++=∈（1）求数列{}n a 的通项；（2）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-na n n 122)2()1(≥=n n （2）)(22)1(N n n S n n ∈+-=类型四： sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）或),0,0(1qb pc pq a c qa b pa a n n n n ≠≠≠++=+ 方法：递推式为商的形式：),0,0(1qb pc pq a c qa b pa a n n n n ≠≠≠++=+，若0=b ，得c qa pa a n n n +=+1，因为0≠n a ，所以两边取倒数得n n pa c p a a +=+11，令nn a b 1=，则p a b p c b n n +=+1；若0≠b ，设c qa x a y x a n n n ++=++)(1，与已知递推式比较求得x ，y ，令x a b n n +=，得cqa yb b n n n +=+1，转化为0=b 的情况 例4. （1）已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a 342-=n a n （2）在数列}{n a 中，已知21=a ，3131++=+n n n a a a ，求通项n a 。
（1）解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a .2322)1(111-=⋅-+=∴n n a a n ∴342-=n a n （2）解：设3)(1++=++n n n a x a y x a ，则3)3()(1+-+-=+n n n a x y a x y a ，结合已知递推式得⎩⎨⎧=-=-133y x y ，所以⎩⎨⎧==41y x 则有3)1(411++=++n n n a a a ，令1+=n n a b ，则241+=+n n n b b b ， 求倒数得4112111+⋅=+n n b b ，即)211(212111-=-+n n b b 所以数列}211{-n b 是首项为61211121111-=-+=-a b ，公比为21的等比数列。
故1)21)(61(211--=-n n b ，从而可求得n a 。
类型五：)(1n f pa a n n +=+型（待定系数法）方法：（1）若为常数)(,1n f p =时，数列{n a }为等差数列;（2）若不是常数)(,1n f p =时，可用类型一求通项（3）若0)(1=≠n 且f p 时，数列{n a }为等比数列;（4）若 不是常数时，)(,1n f p ≠数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.特别提示：（1）、（2）、（3）在这不作解析，下面重点介绍（4）类型的解法。
① 若是常数时，)(,1n f p ≠ 可用待定系数法求通项。
方法如下：设)(1A a c A a n n +=++ 例5．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a .1)21(1+=-n n a . 方法：待定系数法构造)(1A a c A a n n +=++构造新的等比数列。
例6．已知数列｛a n ｝满足,11=a ,1231++=+n a a n n 求通项n a 。
13--=n a n n 例7. 已知数列｛a n ｝满足,11=a 2123n a a n n +=+，求通项n a 。
n n n a 3.= 解：设),(3)1()1(221c bn kn a c n b n k a n n +++=++++++展开和原式对比系数得： ④若时，)0()(,1≠=≠pqk kq n f p n 可用待定系数法求通项。
方法如下： 若,q p =原式则转化为,11k qa q a n n n n +=++构造一个新的等差数列。
若,q p ≠原式则转化为)(11n n n n tq a tq a +=+++λ构造一个新的等比数列。
例8. 已知数列｛a n ｝满足,31=a 1133+++=n n n a a ，求通项n a 。
例9. 已知数列｛a n ｝满足,11=a n n n a a 231+=+，求通项n a 。
解：设),2(3211n n n n t a t a +=+++展开和原式对比系数得∴n n n a 23-=练习： 1.若数列}{n a 中，11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。
答案：1)32(23-⨯-=n n a 2.已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a 答案：n a n n 2351-⨯=-3.已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a 。
答案：121++=n n n a 4.已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。
答案：n n n a 23371⋅-⋅=-类型六：)0,10,0(11>≠≠>=+a k k q qa a k n n 且型（两边取常用对数法）方法：递推式为)0,10,0(11>≠≠>=+a k k q qa a k n n 且，两边取常用对数，得q a k a n n lg lg lg 1+=+，令n n b a =lg ，则有q kb b n n lg 1+=+转换成为类型五求通项。
例10.已知数列}{n a 中，211,2n n a a a ==+，求n a解：由021>=+n n a a ，两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，令n n a b lg =，则n n b b 21=+，因此数列}{n b 是首项为2lg lg 11==a b ，公比为2的等比数列，故1212lg 2lg 2-==-n n n b ，即122-=n n a 。
类型七：11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型方法：（1）当p+q=1时 用转化法把原式转化为等差数列或等比数列。
例11.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a . 解：把03412=+-++n n n a a a 变形为)(3112n n n n a a a a -=-+++. 则数列{}n n a a -+1是以612-=-a a 为首项，3为公比的等比数列，则 1136-+⋅-=-n n n a a 利用类型1的方法可得 n n a 311-=.（2）当042≥+q p 时 用待定系数法把原式转化为以上类型. 例12. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a . 解：令)(112n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a ,与已知06512=+-++n n n a a a 比较，则有⎩⎨⎧==+65xy y x ,故⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x 由⎩⎨⎧==32y x 来运算，即有)2(32112n n n n a a a a -=-+++, 则数列{}n n a a 21-+是以3212=-a a 为首项，3为公比的等比数列，故 n n n n a a 333211=⋅=--+,即n n n a a 321=-+ ①由⎩⎨⎧==23y x 来运算，即有)3(23112n n n n a a a a -=-+++, 则数列{}n n a a 31-+是以2312=-a a 为首项，2为公比的等比数列，故 n n n n a a 222311=⋅=--+,即n n n a a 231=-+ ②由①②可得n n n a 23-=.。
