两类换元法的区别

第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。

2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。

对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。

3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。

二、本章教学内容的重点和难点1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。

三、本章内容的深化和拓广1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。

四、本章教学方式及教学过程中应注意的问题1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。

§4.1不定积分的概念与性质一、内容要点1、原函数与不定积分的概念2、不定积分的性质二、教学要求和注意点教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。

注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；解释不定积分的几何意义；强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；由基本积分表说明基本积分方法；2、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；一、 原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。

第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 〔了解〕设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 的变化而变化。

当变量x 在一个非空实数集合D 上取某一个数值时，变量y 依照某一对应规则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为D)(x )(∈=x f y ，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量或函数。

数集D 称为这个函数的定义域，记为D 或)(f D 。

当x 取定值x 0时所对应的y 的数值)(00x yf =或|0x x y =，称为当x x =0时，函数)(x f y =的函数值。

全体函数值的集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数)(x f y =的值域，记为Z 或)(f Z 。

2.分段函数 〔了解〕函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。

形如：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=D D x x g x x f y 21 )( )(例如：⎩⎨⎧>≤+=1, 1, 1x 32x x x y 就是定义在()∞+∞- , 内的分段函数。

3.隐函数 〔了解〕函数y 与自变量x 的对应规则用一个方程0),(=y x F 表示的函数，称为隐函数。

例如0422=-+y x 就是一个隐函数。

4.反函数 〔了解〕二、函数的简单性质1.函数的单调性 〔了解〕设函数)(x f y =在区间()b , a 内有定义，如果对于()b , a 内的任意两点21x x <，假设恒有)()(21x f x f ≤,则称)(x f 在区间()b , a 内单调增加； 假设恒有)()(21x f x f ≥,则称)(x f 在区间()b , a 内单调减少；假设恒有)()(21x f x f <,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调增加；假设恒有)()(21x f x f >,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调减少。

第四章不定积分典型例题解析例1 求下列不定积分．（1）2dxx x ⎰． （2）3(1)(1)x x dx +-⎰．分析利用幂函数的积分公式111n n x dx x C n +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式．解（1）5322512252121()3dx x dx x C x C x x--+-==+=-++-⎰⎰． （2）35312222323122(1)(1)(1)353x x dx x x x dx x x x x C +-=+--=+--+⎰⎰．例2求21()x dx x+⎰． 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解 122211()(2)x dx x x dx x x+=++⎰⎰12212x dx x dx dx x =++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C =+++． 例3求下列不定积分．（1）2523x xxe dx ⋅-⋅⎰．（2）4223311x x dx x +++⎰．分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解（1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x xxxx x x e e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰． （2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰． 例4求下列不定积分．（1）24221(1)x x dx x x +++⎰． （2）421x dx x+⎰． （3）221(1)dx x x +⎰． 分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解 （1）242222111(1)(1)1x x dx dx x x x x ++=+-++⎰⎰ 22111dx dx dx x x =+-+⎰⎰⎰1arctan x x C x=--+． （2）4422(1)111x x dx dx x x-+=++⎰⎰ 222(1)(1)11x x dx x -++=+⎰221(1)1x dx dx x =-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313． （3）22222211(1)(1)x x dx dx x x x x +-=++⎰⎰22111dx dx x x =-+⎰⎰1arctan x C x=--+．例5 求下列不定积分． （1）11cos2dx x +⎰． （2）cos2cos sin xdx x x-⎰．（3）2cot xdx ⎰． （4）22cos2sin cos xdx x x⎰．分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解 （1）2111tan 1cos22cos 2dx dx x C x x ==++⎰⎰．（2）22cos2cos sin cos sin cos sin x x xdx dx x x x x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰． （4）222222cos2cos sin sin cos sin cos x x xdx dx x x x x-=⎰⎰ 2211sin cos dx dx x x=-⎰⎰ 22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C =--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰． （2）12()nx ax b dx +⎰．（0a ≠） （3）232(cos )x dx x ⎰． （4）(1)x x +．（5）1sin(ln )x dx x ⎰． （6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdx x x -+⎰． （8）．（9）． （10）2． （11）322(arctan )1x x dx x ++⎰．分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C -=--=-+⎰⎰． （2）112221()()()2n nx ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n n n ax b C a n +=+++． （3）232(cos )x dx x ⎰333211tan 3(cos )3dx x C x ==+⎰．（4）2C ==．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cos dx x x ⎰111cos ()sin d C x x x=-=-+⎰． （7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x C x -==+-+⎰． （8）(tan )arcsin(tan )x x C ==+．（9）12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰ 322cot (cot )3x x C =--+．（10）2231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C ==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰3222(arctan )11x x dx dx x x =+++⎰⎰ 32221(1)(arctan )(arctan )21d x x d x x +=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C =+++．注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰； （2）1()()ln x x x xf a a dx f a daa =⎰⎰； （3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）．（4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）．（5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰； 适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x=⎰⎰；（8）21(arcsin )(arcsin )(arcsin )1f x dx f x d x x =-⎰⎰；（9）21(arccos )(arccos )(arccos )1f x dx f x d x x =--⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x =+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰； （12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰； 例７ 求下列函数的不定积分： （1）3cos xdx ⎰．（2）4sin xdx ⎰． （3）sin7cos(3)4x x dx π-⎰．（4）6csc xdx ⎰． （5）34sin cos x xdx ⎰．（6）35sec tan x xdx ⎰．分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解（1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与dx 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322coscos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos2sin ()2x xdx dx -=⎰⎰311(cos2cos4)828x x dx =-+⎰311sin 2sin 48432x x x C =-++． （3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dx πππ-=++-⎰⎰ 11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰ 11cos(4)cos(10)84204x x C ππ=-+--+． （4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc (csc )csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C =---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C =-++． （6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C =-++．注利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos3cos2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８求下列不定积分：（1）x xdx e e -+⎰．（2）x x dx e e --⎰．（3）11x dx e +⎰． 分析 可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解（1）x x dx e e-+⎰221arctan ()1()1x x x x x e dx de e C e e ===+++⎰⎰． （2）解法1 x x dx e e--⎰221()1()1x x x x e dx de e e ==--⎰⎰, 然后用公式2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰，则x x dx e e --⎰11ln 21x x e C e -=++．解法2x x dx e e --⎰21111()()1211x xx x x de de e e e ==---+⎰⎰ 1(1)(1)()211x x x x d e d e e e -+=--+⎰⎰ 11ln 21x x e C e -=++． （3）解法1 11x dx e+⎰1(1)11x x xx xe e e dx dx e e +-==-++⎰⎰ 1(1)1xxdx d e e =-++⎰⎰ln(1)x x e C =-++．解法211xdx e+⎰(1)ln(1)11x x x x x e d e dx e C e e -----+==-=-++++⎰⎰． 解法３ 令x u e =，x du e dx =，则有11x dx e +⎰1111()ln()111udu du C u u u u u=⋅=-=++++⎰⎰ ln()ln(1)1xx xe C e C e-=+=-+++． 注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9求下列不定积分：（1）ln tan sin cos xdx x x⎰．（2）arctan (1)x x x +．分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分． 解 （1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dx x x x x=⎰⎰ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan x d x xd x x ==⎰⎰21ln (tan )2x C =+． （2）2arctan arctan 2(1)1()x x dx d x x x x =++⎰⎰22arctan (arctan )(arctan )xd x x C ==+⎰． 例10 求21arctan1x dx x +⎰．分析 若将积分变形为1arctan (arctan )d x x ⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan 111()x x x⋅+，再将21x 与dx 结合凑成1()d x -，则问题即可解决． 解2222111arctanarctan arctan11()1111()1()x x x dx dx d x x x x x=⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan (arctan )d x x =-⎰211(arctan )2C x=-+．例11求21ln (ln )xdx x x +⎰． 分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x C x x x x x x+==-+⎰⎰． 例12（04研） 已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =． 分析 先求()f x '，再求()f x ． 解令x e t =，即ln x t =，从而ln ()tf t t'=．故 2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰， 由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x =．例13求sin 22sin dxx x+⎰．分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换．解法１sin 22sin dx x x +⎰3122sin (cos 1)4sin cos 22x d dx x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰22tan 1tan 1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tan ln tan 8242x xC =++． 解法2令cos t x =，则 sin 22sin dxx x +⎰2sin 2sin (cos 1)2sin (1cos )dx xdx x x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt t t =--+⎰21112811(1)dt t t t ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰12(ln |1|ln |1|)81t t C t =--++++ 111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x C x =--++++． 解法３令tan 2x t =，则22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t =+，则 sin 22sin dx x x +⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰ 211tan ln |tan |8242x xC =++．例14 求11dx x ++⎰．分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一． 解 设1x t +=，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)1111t dt dt t t x ==-++++⎰⎰⎰22ln 1t t C =-++212ln(11)x x C =+-+++例15 求455x x-+-⎰．分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数．解45x t -=，34dx t dt =-，则24414(1)1155dxt dt t dt t t x x-==--+++-+-⎰⎰⎰ 214(ln 1)2t t t C =--+++4414[55ln(15)]2x x x C =----++-+． 例16 243(1)(1)dxx x +-⎰解 令311x t x -=+，即3211x t =--，2326(1)t dx dt t =-，则 243(1)(1)dxx x +-⎰23322332164(1)1(1)(1)1dx t dt t t x tx t x ==⋅--⋅--+⎰⎰132313131()2221x dt C C t t x +==-⋅+=-+-⎰． 例17求224x x dx -⎰．分析被积函数中含有根式24x -，可用三角代换2sin x t =消去根式． 解 设242cos (0)2x t t π-=<<，2cos dx tdt =，则222244sin 2cos 2cos 4sin 2x x dx t t tdt t dt -=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin 42t dt t t C =-=-+⎰222sin cos (12sin )t t t t C =--+2212arcsin 4(1)222x x x x C =---+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18 求221(1)dx x +⎰． 分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解 设tan x t =，2sec dx tdt =，()2241sec x t +=，则222241sec cos (1)sec t dx dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos2)sin 2224t dt t t C =+=++⎰ 21arctan 22(1)xx C x =+++． 例19求22x a dx x-⎰． 分析 被积函数中含有二次根式22x a -，但不能用凑微分法， 故作代换sec x a t =， 将被积函数化成三角有理式．解 令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则22x a dx x -⎰22tan sec tan tan (sec 1)sec a t a t tdt a tdt a t dt a t=⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+22(arccos )x a aa C a x-=-+．例20求248x dx x x ++⎰．解 由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，22(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec 48xt t dx dt t tdt tdt t x x -⋅==-++⎰⎰⎰⎰12sec 2ln sec tan t t t C =-++22482ln(248)x x x x x C =+++++++．()12ln 2C C =+注 2ax bx c ++ 由 22222224()0244()024b ac b a x a a a ax bx c b b ac a x a a a ⎧-++>⎪⎪++⎨-⎪--++<⎪⎩可作适当的三角代换， 使其有理化．例21 求23(24)x x -+．解23(24)x x -+322[3(1)]dx x =+-⎰，令13x t -=，则322321sec 11cos sin 3sec 33[3(1)]dxt dt tdt t C t x ===++-⎰⎰⎰21324x C x x -=+-+． 故 23(24)dx x x -+⎰21324x C x x -=+-+．例22求421(1)dx x x +⎰．分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解 令1x t=，21dx dt t =-，于是421(1)dx x x +⎰44221111t t dt dt t t --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dt t =---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+3111arctan 3C x x x=--+． 注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例． 例23 求22a x dx -． 解 设1x t=，2dtdx t =-，则2222241()dt a a xt t t -⋅--=1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，1222222221(1)(1)2a x dx a t d a t a-=---⎰ 32222(1)3a t C a -=-+322223()3a x C a x -=-+．当0x <时，有相同的结果．故22a xdx-322223()3a x C a x -=-+．注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： （1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零． （2）换元后的被积函数的原函数存在． （3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型： （1）(,),n n f x ax b dx t ax b +=+⎰令． （2）(,),nnax b ax bf x dx t cx d cx d++=++⎰令． （3）222(,)f x a b x dx -⎰，可令sin a x t b =或cos ax t b =． （4）222(,)f x a b x dx +⎰，可令tan a x t b =或ax sht b =．（5）222(,)f x b x a dx -⎰，可令sec a x t b =或ax cht b=．（6）当被积函数含有22(40)px qx r q pr ++-<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰．（2）2sin 4x xdx ⎰．（3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰． （5）arctan x xdx ⎰．（6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠．分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解（1）3x xe dx -⎰33333111()33339xx x x x x x xd e e e dx e e C -----=-=-+=--+⎰⎰． （2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos4)cos4cos4442x x d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos4(sin 4)cos4sin 4sin 448488x x x xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos4sin 4cos44832x x x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339x x x xd x x x dx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰22arcsin arcsin 11x x dx x x x C x =-=+-+-⎰．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C ==-=++⎰⎰⎰2arcsin 1x x x C =+-+（5）解法1 arctan x xdx ⎰222211arctan arctan 2221x x xdx x dx x ==-+⎰⎰2211arctan (1)221x x dx x =--+⎰ 21arctan arctan 222x x x x C =-++． 解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰ 22111arctan arctan 2222x x xx dx x C ++=-=-+⎰．（6）解法1sin axe bxdx ⎰11sin ()sin cos axax ax b bxd e e bx e bxdx a a a ==-⎰⎰ 21sin cos ()ax ax be bx bxd e a a=-⎰2221sin cos sin ax ax axb b e bx e xbx e bxdx a a a=--⎰ 从而21221(1)sin sin cos ax ax ax b be bxdx e bx e bx C a a a+=-+⎰，则221sin (sin cos )ax axe bxdx e a bx b bx C a b =-++⎰．解法21sin cos axaxe bxdx e d bx b =-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成． 注在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和dv 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出． 例25求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析 被积函数为三角函数与对数函数的乘积， 可采用分部积分法． 解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dx x=⋅-⋅⋅-⎰ sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰ sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26求2ln(1)x x dx ++⎰．分析 被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解 2222112ln(1)ln(1)(1)211xx x dx x x x x dx x x x++=++-⋅⋅+⋅+++⎰⎰22ln(1)1x x x x dx x=++-+⎰122221ln(1)(1)(1)2x x x x d x -=++-++⎰22ln(1)1x x x x C =++-++．例27求1x xxe dx e -⎰．分析 可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法11x x dx e -⎰2(1)1x x x xd e e ==--⎰⎰211x x x e e dx ⎡⎤=---⎣⎦⎰， 令1x t e =-，则2ln(1)x t =+，221tdtdx t=+，则 212122(arctan )1xt dte dx t t C t -==-++⎰⎰，故1x x dx e -⎰()21212arctan 1x x x x e e e Cz =---+-+21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．解法21x e tz -=，则1xx xe dx e -⎰22222ln(1)2ln(1)41t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰ 22ln(1)44arctan t t t t C =+-++21414arctan 1x x x x e e e C =---+-+．注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果． 例28（01研） 求2arctan xxe dx e⎰． 分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法． 解法12arctan x xe dx e ⎰222211arctan ()arctan 22(1)x x x x xx x de e d e e e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ 21arctan arctan 2x x x xe e e e C --⎡⎤=-+++⎣⎦． 解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰ 3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰ 3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc (csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C =---+⎰． 注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果． 例30求下列不定积分：（1）22221(1)x x x e dx x ---⎰． （2）2ln 1(ln )x dx x -⎰． 解（1）2222222112(1)1(1)xx xx x xdx e dx e dx e x x x --=----⎰⎰⎰ 221()11x x e dx e d x x =+--⎰⎰ 22221111x x x x e e e e dx dx C x x x x =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dx x x x -=-⎰⎰⎰ 221ln (ln )(ln )x x dx dx x x x x =+-⎰⎰ ln xC x=+． 注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )x x x dx =-⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C =-+⎰． 解法２ 令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin t t t t t te tdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C =-+=-+⎰． 例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型． 解11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln n n n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环；（3）建立递推公式．例33求积分24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰．分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分．解 用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x A B Cx x x x x x +-=++-+--+-， 用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+，两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩， 这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是 24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰ 113ln 21ln 23ln 25488x x x C =--++-+ 231(21)(25)ln 823x x C x --=++． 例34 求321452dx x x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式 32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++设221(1)(2)21(1)A B Cx x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx x x x x x x -=++++++++⎰⎰ 211121(1)dx dx dx x x x =-++++⎰⎰⎰ 1ln 2ln 11x x C x =+-+-++． 例35求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dx x x dx x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰ 2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰ 2211321ln arctan 2133x x C x x ++=-++++．例36求2425454x x dx x x ++++⎰．解设24222545414x x Ax B Cx D x x x x ++++=+++++，则有 23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而 24222541535543134x x x xdx dx dx x x x x +++=-++++⎰⎰⎰2222255151ln arctan 3134164x x x dx dx dx x C x x x x +=-+=++++++⎰⎰⎰． 例37 求322456x x dx x x +++⎰．分析 322456x x x x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解 由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498(1)5632x x dx x dx x x x x +=--+++++⎰⎰219ln 38ln 22x x x x C =--++++． 例38 求5632x dxx x --⎰．解 令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dx x d x udux x x x u u ==------⎰⎰⎰ 1112()3(1)(2)912u du du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C =++-+=+-+． 例39 求2100(1)x dx x -⎰． 分析 被积函数2100(1)x x -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解．解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)x t t t dx dt dt x t t --+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰9798991112979899t t t C ---=-⋅++ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法222100100(1)1(1)(1)x x dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dx x x +=-+--⎰⎰ 99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰ 98991001112(1)(1)(1)dx dx dx x x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99x dx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)x x dx x x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998x xd x x -=---⎰ 299989821[]99(1)9998(1)98(1)x x dx x x x =-----⎰ 299989712199(1)9949(1)999897(1)x x C x x x =-⋅-⋅+--⋅-． 注 形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40 求13221dx x x ++-⎰． 分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一．解132213221(3221)(3221)x x dx dx x x x x x x +--=++-++-+--⎰⎰112211(32)(21)44x dx x dx =+--⎰⎰ 332211(32)(21)1212x x C =+--+． 例41 求a xdx a x+-⎰． 解法12222221a x a x xdx dx a dx dx a x a x a x a x++==+----⎰⎰⎰⎰ 1222222211()()2a dx a x d a x a x -=----⎰⎰ 22arcsin xa a x C a=--+．解法2 令 a xt a x+=-，余下的请读者自行完成． 例42求154sin 2dx x+⎰．分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解令tan t x =，211dx dt t=+，则 21154sin 2585dx dt x t t =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++． 注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43求1sin cos dxx x++⎰．解法1令tan 2xu =，则2222211211sin cos 1111dx u du du u u x x u u u +==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan 2x C =++．解法21sin cos dxx x ++⎰22122sin cos 2cos cos (1tan )22222dx dx x x x x x ==++⎰⎰ 2()(tan )22cos (1tan )1tan222x x d d x x x==++⎰⎰ ln 1tan2xC =++． 注 可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类： 第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan2xu =将其化为u 的有理函数的积分． 第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法．例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析 被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解 由于221,()max{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩，设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩，其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133max{,1},112,133x C x x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰． 注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理． 例45 求x e dx -⎰． 解 当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰． 当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim()lim()x xx x e C e C +--→→-+=+， 即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x e dx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰． 错误解答 当0x ≥时，1xx x edx e dx e C ---==-+⎰⎰．当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．故12,0,0xxxe C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰． 错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使x e -的不定积分中只含有一个任意常数．注 分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系．例46 求下列不定积分：（1）sin 1cos x x dx x ++⎰．（2）3sin 2cos sin cos xx x xe dx x-⎰．（3）cot 1sin xdx x+⎰．（4）3sin cos dxx x⎰． 解（1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan )1cos 2cos 2xxdx dx d x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x =-++⎰⎰tan tan ln(1cos )22x xx dx x =--+⎰1tan 2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++21tan2ln cos ln(2cos )222x x xx C =+-+ 1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xx x x x xedx e x xdx e x xdx x-=-⎰⎰⎰ sin sin ()(sec )x x xd e e d x =-⎰⎰sin sin sin sin sec x x x x xe e dx e x e dx =--+⎰⎰ sin (sec )x e x x C =-+．（3）cot cos 1(sin )1sin sin (1sin )sin (1sin )x x dx dx d x x x x x x ==+++⎰⎰⎰11(sin )(sin )sin 1sin d x d x x x =-+⎰⎰ sin ln 1sin x C x=++．（4）当分母是sin cos m n x x 的形式时，常将分子的1改写成22sin cos x x +，然后拆项，使分母中sin x 和cos x 的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．33cos sin cos sin cos sin dx dx xdx x x x x x =+⎰⎰⎰3sin 2csc2sin d xxdx x =+⎰⎰21ln csc2cot 22sin x x C x=--+．注将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．例47 求223(1)x dx x -⎰．解 考虑第二类换元积分法与分部积分法，令sin x t =，则222353235sin tan sec (sec sec )(1)cos x t dx dt t tdt t t dt x t ===--⎰⎰⎰⎰， 而53323secsec (tan )sec tan 3tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 353sec tan 3(sec sec )t t t t dt =--⎰．故53313sec sec tan sec 44tdt t t tdt =+⎰⎰． 又32secsec (tan )sec tan tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 3sec tan (sec sec )t t t t dt =--⎰，从而3111sec sec tan ln sec tan 22tdt t t t t C =+++⎰， 所以223(1)x dx x -⎰3311sec tan sec 44t t tdt =-⎰3111sec tan sec tan ln sec tan 488t t t t t t C =--++ 32211ln 8(1)161x x xC x x++=-+--．例48 求7cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x-+⎰．解因为(5cos 2sin )2cos 5sin x x x x '+=-，所以可设7cos 3sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )x x A x x B x x '-=+++，即7cos 3sin (5cos 2sin )(2cos 5sin )x x A x x B x x -=++-，比较系数得527253A B A B +=⎧⎨-=-⎩， 解之得1A =，1B =，故7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰(5cos 2sin )(5cos 2sin )5cos 2sin x x x x dx x x'+++=+⎰ (5cos 2sin )5cos 2sin d x x dx x x+=++⎰⎰ln 5cos 2sin x x x C =+++．例49 设()F x 是()f x 的原函数，且当0x ≥时有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．分析 利用原函数的定义，结合已知条件先求出()F x ，然后求其导数即为所求．解 因为()()F x f x '=，所以2()()sin 2F x F x x '=，两边积分得2()()sin2F x F x dx xdx '=⎰⎰，即211()sin 4228x F x x C =-+， 由(0)1F =得12C =，所以 1()sin 414F x x x =-+从而()()12sin 414f x F x x x '==-+21sin 414x x =-+．。

(下转第49页)摘要不定积分是高等数学中的教学重点与难点，不定积分计算方法一般被分为换元积分法、直接积分法与分部积分法几种方式，其中，换元积分法又可以分为第一类换元法与第二类换元法两种，帮助学生掌握好第一类积分法与第二类积分法在归类上的联系与区别，能够有效提高学生应用积分法求解积分问题的能力，第一类积分法与第二类积分法最大的区别就是，第一类积分法不需要设置变量，可以通过凑微法和转化法进行计算，而在使用第二类积分法时，就必须要选择好变量进行替换。

关键词两类“换元积分法”联系区别On the Relationship and Distinction between Two Types of "Integration by Substitution"//Yang YanhuaAbstract Indefinite integral is a key and difficult point of higher mathematics,and the computing methods of indefinite integral are generally classified into integration by substitution,immediate integration and integration by parts,among which integration by substitution can be classified into the first type of substitution and the second type of substitution.To help students master the rela-tionship and distinction between the two types of substitution caneffectively improve students'ability of using integration methodsto solve integration problems.The biggest distinction between the two types of substitution is that variables are not needed in the former but improvising differentiation and conversion method can be used in the computing,while a certain variable must be se-lected to be substituted in the latter.Key words two types of "integration by substitution";relation-ship;distinction不定积分是高等数学中的教学重点与难点，此类知识也是学生学习重积分、定积分与微分方程等知识的学习技术。

不定积分第一类换元法和第二类换元法区别不定积分的世界就像一块神秘的蛋糕，每一层都有不同的口味。

我们今天聊聊两种换元法，就像在品尝蛋糕的不同风味，保证让你嘴角上扬，心里乐开花。

换元法的第一类和第二类，就像是两个好兄弟，各自有各自的性格和风格，但都是为了让我们在积分的旅程中更顺畅。

咱们说说第一类换元法。

这家伙呢，就像是个轻松幽默的朋友，喜欢用简单明了的方式解决问题。

你知道的，生活中有时候事情很复杂，但只要换个角度想想，就豁然开朗了。

这种换元法的核心在于替换变量，让原本复杂的积分变得简单。

比如说，面对一个看起来复杂的函数，我们可以引入一个新的变量，这个变量通常是原来函数中的某一部分。

就像是把大大的包包换成一个小巧的手包，瞬间就轻便多了。

这时候，积分的形式可能就会变得耳熟能详，原本让人头疼的计算变得简单明了，心情瞬间好了许多。

然后，咱们再看看第二类换元法。

这位兄弟呢，风格就有些不同。

它更注重整体，关注函数的整体结构。

想象一下，你在看一幅画，第一类换元法只是在改变局部，而第二类换元法则是从整体出发，可能会把整个画面都重新构造一遍。

它通常用来处理那些涉及复合函数的情况，或者说需要我们对原函数的形状进行重新审视的积分。

这种方法要求我们多一点耐心，仔细观察函数的变化，像是在解谜一样，慢慢找到线索。

换元之后的积分就像是揭开了一层神秘的面纱，真相就在眼前了。

再说说这两种方法的区别，简直就像两种不同风格的咖啡。

第一类换元法就像是浓缩咖啡，直接简单，能迅速提神；而第二类换元法呢，就像是拿铁，有层次，有丰富的口感，喝起来细腻香浓。

这两者并不是互相排斥的，反而是可以互补。

比如，在处理一些复杂的积分问题时，可能先用第一类换元法简化一下，再用第二类换元法深入挖掘，这样的组合拳效果杠杠的，简直是事半功倍。

再加上，很多同学在学习的时候，容易搞混这两种方法，搞得脑袋都是浆糊。

其实没必要太过焦虑，换元法的核心都是帮助我们更好地理解和处理积分，像是在大海中航行，偶尔转个方向，才能找到最顺畅的航线。

衢州三中微专题设计之《换元法之局部换元法》 李娜知识要点换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现或者某个式子形式复杂不便于运算而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

一般在解决超越方程、超越不等式、超越函数（高中阶段的指数对数高次函数或根式等）问题中常用。

也是最常见的换元方法之一。

典例分析例1 求函数x x y -+=1的值域。

解析：令()01≥-=t x t ，则21t x -=原函数化为454521122≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=t t t y函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈45,y例2已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ． 【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设==a bx y c c，，则题目转化为： 已知x y ，满足35400x x y x y y ex >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥，则00000==y ex m me x x x ++，要使它最小，须=0m 。

∴yx的最小值在()00P x y ，处，为e 。