一元二次方程换元法解一类试题

【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知方程x^2 5x + 6 = 0，下列哪个选项是它的一个解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 52. 方程2x^2 4x + 1 = 0的解为：A. x = 1B. x = 1/2C. x = 1/2D. x = 13. 下列哪个方程是一元二次方程？A. x^2 + 3x 2 = 0B. 2x + 5 = 0C. 3x^3 2x^2 + x 1 = 0D. x^2 + y^2 = 14. 一元二次方程x^2 3x + 1 = 0的解为：A. x = 1，x = 2B. x = 1，x = 1C. x = 2，x = 2D. x = 3，x = 35. 方程x^2 4x + 4 = 0的解是：A. x = 2B. x = 2C. x = 0D. x = 2（重根）6. 已知方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0，若a为正数，则方程的解为：A. x = a，x = 1B. x = a，x = aC. x = a+1，x = a1D. x = 2a，x = 2a7. 方程x^2 5x + 6 = 0的解中，较大的是：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若方程x^2 (2k+1)x + k^2 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是：A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k = 09. 方程x^2 2x 3 = 0的解为：A. x = 3，x = 1B. x = 3，x = 1C. x = 3，x = 1D. x = 3，x = 110. 方程x^2 6x + 9 = 0的解是：A. x = 3B. x = 3C. x = 0D. x = 3（重根）二、判断题：1. 一元二次方程的解一定是两个实数根。

2. 方程x^2 2x + 1 = 0的解为x = 1。

换元法解一元二次方程专项练习35题（有答案）(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。

一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法（含解析）一元二次方程强化习题—因式分解法和换元法一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x -=的两个根是( ) A ．0和3-B ．0和3C ．1和3D ．1和3-2．下列实数中，方程20x x -=的根是( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．方程(3)x x x +=的解是( ) A ．123x x ==-B ．11x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．10x =．22x =-4．一个三角形的三边长都是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长不可能是( )A ．6B ．9C ．12D ．155．方程250x x +=的解为( ) A ．5x =B ．5x =-C ．10x =，25x =D ．10x =，25x =-6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为( ) A ．7B ．3或7C ．15D ．11或157．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0B ．2C ．0或1D ．0或28．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x =B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =11．一元二次方程2520x x -=的解是( )A ．10x =，225x =B ．10x =，225x =-C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3B ．3-或1C ．3D ．113．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( )A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．314．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或215．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．916．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331ab +-的值是( ) A ．72B ．52 C ．72-D ．52-18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．219．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += ．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为． 22．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += ．23．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += ． 24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x-=的两个根是()A．0和3-B．0和3C．1和3D．1和3-解：230x x-=，(3)0x x∴-=，则0x=或30x-=，解得0x=或3x=，故选：B．2．下列实数中，方程20x x-=的根是()A．2-B．1-C．1D．2解：20-=，(1)0x x∴-=，则0x=或10x-=，解得10x=，21x=，故选：C．3．方程(3) x x x+=的解是() A．123x x==-B．11x=，23x=C．10x=，23x=-D．1022x=-解：方程变形得：(3)0x x x+-=，分解因式得：(31)0x x+-=，可得0x=或20x+=，解得：10x=，22x=-．故选：D．4．一个三角形的三边长都是方程27100 x x-+=的根，则这个三角形的周长不可能是( ) A．6B．9C．12D．15解：(2)(5)0x x--=，20x-=或50x-=，所以12x=，25x=，当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．故选：B．5．方程250x x+=的解为()A．5x=B．5x=-C．10x=，25x=D．10x=，25x=-解：250x x+=，(5)0x x∴+=，x∴=或5x=-，故选：D．6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x-+=的一个根，则这个三角形的周长为()A．7B．3或7C．15D．11或15解：210210x x-+=，(3)(7)0x x∴--=，3x∴=或7x=，当3x=时，236+<，2∴、3、6不能组成三角形，当7x=时，267+>，2∴、6、7能够组成三角形，∴这个三角形的周长为26715++=，故选：C．7．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0 B ．2 C ．0或1 D ．0或2解：220x x -=，(2)0x x ∴-=，则0x =或20x -=，解得0x =或2x =，故选：D ．8．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对解：解方程2241400x x -+=得：110x =，214x =，当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为681024++=，当三边为6、8、14时，6814+=，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，即三角形的周长是24，故选：A ．9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x = B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =解：(5)(5)0x x x ---=，(5)(1)0x x ∴--=，则50x -=或10x -=，解得5x =或1x =，故选：D ．10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =解：2(21)(21)(1)x x x +=+-，2(21)(21)(1)0x x x ∴+-+-=，(21)(211)0x x x ∴++-+=，12x ∴=-或2x =-，故选：C ．11．一元二次方程2520x x -=的解是( ) A ．10x =，225x = B ．10x =，225x =- C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-解：(52)0x x -=， 0x =或520x -=，所以10x =或225x =．故选：A ．12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3 B ．3-或1C ．3D ．1解：设221x x a -+=，222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，2230a a ∴+-=，解得：3a =-或1，当3a =-时，2213x x -+=-，即2(1)3x -=-，此方程无解；当1a =时，2211x x -+=，此时方程有解，故选：D ．13．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( ) A ．1-或3 B ．1或3- C ．1- D ．3解：令22x a b =+，则原方程可变形为2230x x --=， (3)(1)0x x -+=，30x ∴-=或10x +=，解得13x =，21x =-，又220x a b =+，223a b ∴+=，故选：D ．14．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或2解：设22x m n =-，则原方程可化为：(2)80x x --=即2280x x --= 解得：4x =或2-．故选：C ．15．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．9解：设22(0)t a b t =+．由原方程得到290t -=．所以29t =．所以3t =或3t =-（舍去）即22a b +的值为3．故选：B ．16．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-解：2222()(1)2x y x y +++=，设22x y a +=，则原方程化为：(1)2a a +=，即220a a +-=，解得：2a =-或1，不论xy 为何值，22x y +不能为负数，所以22x y +只能等于1，故选：A ．17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331a b +-的值是( )A ．72B ．52 C ．72-D ．52-解：令22a b t +=，0t (21)3t t ∴-=，1t ∴=-（舍去）或32t =，原式97122=-=；故选：A ．18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．2解：由23y x x =+，则222(3)2(3)30x x x x +++-=，可化为：2230y y +-=，分解因式，得，(3)(1)0y y +-=，解得，13y =-，21y =，当233x x +=-时，经△233430=-?=-<检验，可知x 不是实数当231x x +=时，经检验，符合题意．2310x x ∴+-=故选：C ．19．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3解：222()4()120x x x x ----=，22(2)(6)0x x x x ∴-+--=，220x x ∴-+=或260x x --=，22x x ∴-=-或26x x -=．当22x x -=-时，220x x -+=， 24141270b ac -=-??=-<，∴此方程无实数解．当26x x -=时，217x x -+=故选：A ．二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += 5 ．解：设22(0)t x y t =+，则(1)20t t -=．整理，得(5)(4)0t t -+=．解得5t =或4t =-（舍去）．所以225x y +=．故答案是：5．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为 3 ．解：设223x t +=，且3t ，∴原方程化为：22150t t +-=，3t ∴=或5t =-（舍去），2233x ∴+=，故答案为：322．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += 2 ．解：设a b t +=，原方程化为：(4)4t t -=-，解得：2t =，即2a b +=，故答案为：223．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += 1 ．解：设23x x y +=，方程变形得：2230y y +-=，即(1)(3)0y y -+=，解得：1y =或3y =-，即231x x +=或233x x +=-（无解），故答案为：1．24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为 3 ．解：22a x y =+，则原方程变为2230a a --=，解得：11a =-，23a =，220x y +，223x y ∴+=．故答案为： 3 ．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．解：（1）设23x x y -=，原式(2)(5)8y y =+--2318y y =--(6)(3)y y =-+22(36)(33)x x x x =---+；（2）设22t x x =-．则(1)(3)0t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即2(1)0x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即(3)(1)0x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-．。

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。

第21章一元二次方程测试卷（1）一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．32．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=44．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=96．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=07．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．128．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定9．（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．210．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生．A．12 B．12或66 C．15 D．33二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：．12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b= ，另一个根是．13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是．14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2= ．15．（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是．三、按要求解一元二次方程：（20分）16．（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．四、细心做一做：17．（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．参考答案与试题解析一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．3【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．2．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．【专题】因式分解．【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．【解答】解：x2﹣2x=0x（x﹣2）=0∴x1=0，x2=2．故选C．【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根．3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】先移项，然后利用数的开方解答．【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2，∴x1=2，x2=﹣2．故选C．【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，要方程无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k．【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解得k＞，则满足条件的最小整数k为2．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．【解答】解：移项得：x2﹣4x=5，配方得：x2﹣4x+22=5+22，（x﹣2）2=9，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，即4000+260x+4x2=5400，化简为：4x2+260x﹣1400=0，即x2+65x﹣350=0．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．7．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】勾股定理．【分析】设三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3，∴x+1=4，x+2=5，则三边长是3，4，5，∴三角形的面积=××4=6；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．8．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．9．（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0，解得k=﹣1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生．A．12 B．12或66 C．15 D．33【考点】一元二次方程的应用．【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可．【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得x（x﹣1）=132解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12，答：全组共有12名学生．故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：﹣3x2+2x ﹣3=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】开放型．【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可．【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0，故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4 ，另一个根是 5 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根，∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，解得b=﹣4，即方程为x2﹣4x﹣5=0，（x+1）（x﹣5）=0，解得：x1=﹣1，x2=5，即b的值是﹣4，另一个实数根式5．故答案为：﹣4，5；【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是y1=﹣，y2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，∴2y+1=0或2y﹣3=0，解得y1=，y2=．【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则．14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2= 3 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．15．（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是y2﹣3y﹣1=0 ．【考点】换元法解分式方程．【专题】换元法．【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看作一个整体．【解答】解：原方程可化为：﹣（x2﹣2x）+3=0设y=x2﹣2x﹣y+3=0∴1﹣y2+3y=0∴y2﹣3y﹣1=0．【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体．三、按要求解一元二次方程：（20分）16．（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解．（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）移项得，x2﹣2x=﹣，配方得，x2﹣2x+1=﹣+1，（x﹣1）2=，∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，（5x+2）（7x﹣6）=0，∴5x+2=0，7x﹣6=0，∴x1=﹣，x2=；（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）整理得，3x2+10x+5=0∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40，∴x===，∴x1=，x2=；（4）x2﹣2x﹣8=0．（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0，x﹣2=0，∴x1=﹣4，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．四、细心做一做：17．（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解．【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m．答：鸡场的长与宽各为15m，10m．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解．【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米，由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣）即x2﹣31x+30=0解得x1=30 x2=1∵路宽不超过15米∴x=30不合题意舍去答：小路的宽应是1米．【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意，得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2007年该企业盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：预计2009年该企业盈利2592万元．【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可．【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000，整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000，解得：x1=，x2=，当x1=时，则涨价10元，销量为：400件；当x2=时，则涨价30元，销量为：200件．答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．【专题】几何动点问题．【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有=或=，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么=，依此列出比例式=，解方程即可．【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，则×2x（6﹣x）=××8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，则有=或=，所以=，或=，解得t=，或t=．因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似；（ 3）有可能．由勾股定理得AB=10．∵CD为△ACB的中线，∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，又PQ⊥CD，∴∠CPQ=∠B，∴△PCQ∽△BCA，∴=，=，解得y=．因此，经过秒，PQ⊥CD．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。

一元二次方程难题解答 （一）1.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式)12)((2+--mm m m 的值是______ 解： m 是方程022=--x x 的一个根∴022=--m m 即22=-m m 0≠m 方程两边除以m 得： 021=--mm 12=-m m∴4)11(2)12)((2=+⨯=+--m m m m 2.已知a x =是方程0120162=+-x x 的一个根，求代数式12016140312222+-+-a a a a 的值解： a x =是方程0120162=+-x x 的一个根∴0120162=+-a a ∴120162-=-a a 或a a 201612=+12016140312222+-+-a a a a =aa a a a 2016201614032222-++-a a a a -++-=1)2016(22 3.关于m 的方程02722=--m n nm 的一个根为2，求22-+n n 的值。

解：由题意得：2=m 把2=m 代入方程得：022742=--n n整理得：01722=+-n n 方程两边除以n 得：0172=+-n n 721=+nn 方程两边平方得：281222=++nn 2622=+∴-n n 4.已知36)41(222=-+m m ，求m m 1-的值。

解： 36)41(222=-+m m 64122±=-+∴m m10122=+∴m m 或2122-=+∴mm （舍去）102)1(2=+-∴m m 即8)1(2=-m m 221±=-∴mm 5.用换元法解下列方程：解：设y x =-12，则原方程为032=-y y 0)3(=-y y 3021==∴y y当0=y 时，012=-x 1±=x 当3=y 时，312=-x 2±=x∴原方程的解为22114321-==-==x x x x6.设y x 、为实数，求542222+-++y y xy x 的最小值，并求出此时x 与y 的值。

换元法解一元二次方程专项练习(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．(31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。

考点07.一元二次方程（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +的值等于()A ．－2B ．－3C ．－1D ．－6【答案】A【分析】将x =1代入原方程即可求出答案．【详解】解：将x =1代入原方程可得：1+a +2b =0，∴a +2b =-1，∴24a b +=2(a +2b )=2×(-1)=-2，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．2．（2023·湖北鄂州市·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．04．（2023·湖北·校联考一模）如果方程()2(1)2+=0x x x m --的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A ．01m B ．34m C ．314m D ．3<14m4．（2023·安徽·校考模拟预测）若方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，,,a b c 满足0a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,2-B ．1,0-C ．1,0D ．无法确定【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．【详解】解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把2x =-代入得：420a b c -+=，即方程的一个解是2x =-；故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A ．方程x 2－3x ＋2＝0是2倍根方程B ．若关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程，则m ＋n ＝0C ．若m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程D ．若2m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程x 2＋(m －n )x －mn ＝0是2倍根方程6.（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2x x n mx ++=的两个实数根．若120x x <<，则（）A ．1,0m n >⎧⎨>⎩B ．1,0m n >⎧⎨<⎩C ．1,0m n <⎧⎨>⎩D ．1,0m n <⎧⎨<⎩【详解】解：依题意得：()23201405x +=，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．8．（2023·山东·统考三模）新定义：关于x 的一元二次方程a 1(x ﹣m )2+k ＝0与a 2(x ﹣m )2+k ＝0称为“同族二次方程”．如2(x ﹣3)2+4＝0与3(x ﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(x ﹣1)2+1＝0与(a +2)x 2+(b ﹣4)x +8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax 2+bx +2026能取的最小值是（）A ．2020B ．2021C ．2023D ．201810．（2023·广东·校考模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（）A ．k ＞﹣9B ．k ≤3C ．﹣9＜k ＜6D ．k 384-＞∵原方程有两个解，∴方程290t t k +--=有一正根和负根，∴1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，∴k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．11．（2023·四川绵阳·二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3-C ．3D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．12．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-##1-或23-13.（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于_____．【答案】13-【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-³-所以22242m n m ++-的最小值是13,-故答案为：13-【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.14．（2023·广东九年级课时练习）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅=-= ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且x ＞0，则4323x x x -+的值为______．15.（2023·浙江·校考模拟预测）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．1【分析】由(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0变形为()()321=0x b x c b x c +-+--，根据一一对应的原则求得b 、c 的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．【详解】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴()()2110x x x -+-=，∴1=0x -，210x x +-=，∴由求根公式得：11=22x --=，则原方程所有的解为：12-或1，故答案为：12-或1．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b 、c 的值．16．（2023·四川泸州·校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x ，则根据题意列出的方程是______．【答案】()()220020012001720x x ++++=【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x ，∴八月份的营业额为()2001x +万元，∴九月份营业额为()22001x +万元，∴可列方程为()()220020012001720x x ++++=，故答案为：()()220020012001720x x ++++=．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．17．（2023·四川成都·二模）已知m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个根，则（m 2+2018m ﹣3）（n 2+2020n ﹣1）＝__．【答案】2020【分析】由于m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n ＝﹣2019，mn ＝﹣2，并且m 2+2019m ﹣2＝0，n 2+2019n ﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．（2023·福建·校考一模）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)判断这个一元二次方程的根的情况．(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)8或10【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．【详解】（1）解：()()2224214b ac m m m ∆=-=-+-+⎡⎤⎣⎦2244144m m m m =++--10=>；∴一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴3是腰长，3x =是方程22(21)0x m x m m -+++=的一个根，∴2233(21)0m m m -+++=，整理，得：2560m m -+=，解得：2m =或3m =，当2m =时，2560x x -+=，解得122,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,2，周长3328=++=；当3m =时，27120x x -+=，解得124,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,4，周长33410=++=．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．20．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y （y 为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．【详解】解：（1）设销售单价为x 元（20x >），(15)[2005(20)]2250x x ---=，解得，130x =，245x =，3045<，∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；（2）由题意得，222005(20)180y y ≥⎧⎨--≥⎩解得：2224y ≤≤，因为y 取正整数，所以y 取22或23或24，所以有三种销售方案：方案一：销售价为22元，销售利润为(2215)(300522)1330--=⨯⨯（元），方案二：销售价为23元，销售利润为()23153005231480()-⨯-⨯=（元），方案三，销售价为24元，销售利润为()24153005241620()-⨯-⨯=（元），162014801330>>，第三种方案利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．【答案】(1)1米；(2)①21251682a a -++；②14a =．【分析】（1）设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为（2）①先用a 表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；22．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，且0a ≠），我们规定：若该方程的两根满足122x x =-，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，1x 、2x 称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）①23530x x -+=②2280x x +-=③12x x+=-(2)已知关于x 的一元二次方程()22210x t x t t -+++=为“灵粹二次方程”，求：当12x -≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)直线3y x =+与直线1y x =-+相交于点A ，并分别与x 轴相交于B 、C 两点，若m 、n 是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D 点坐标为（m ，n ），当点D 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部时．①试求出m 的取值范围．②若m 为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(1)x +人，则传染(1)x x +人，依题意列方程：1(1)36x x x +++=．【详解】由题意得：1(1)36x x x +++=，故选：C ．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）A ．()201231.2x +=B ．()20122031.2x +-=C ．()220131.2x +=D ．()22012031.2x +-=【答案】D【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得()22012031.2x +-=，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·山东临沂·中考真题）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为()()460,x x +-=从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，()()460,x x \+-=40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x ==-故选B【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．7．（2022·宜宾·中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（）A ．0B ．－10C ．3D ．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．8．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=10．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．11．（2020·上海中考真题）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是()A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得23,340a b a a +=-+-=，从而得到234+=a a ，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a a b ++-233a a a b =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．13.（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．【答案】1【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x -+=；243101x x -++=+；2441x x -+=；()221x -=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．14.（2022·云南·中考真题）方程2x 2+1=3x 的解为________．【答案】1211,2x x ==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∴()()2110x x --=，∴210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为(2)羊圈的面积能达到6502m【详解】（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x =，220x =．当16x =时，722723240x -=-=；当20x =时，722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()236432540⨯=--=-<∆，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．19.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1：为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x =，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2)间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ¹，求44a b +的值；(3)拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．。