一元二次方程中的整体思想(换元法)

第讲---整体思想与换元法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2０１4春季９年级数学第5讲 整体思想与换元法一、专题简介：整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等．二、典例剖析例1.已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．类题演练： １．已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 ( ） A.6 B.6- C.125 D.27- 2.已知代数式2346x x -+的值为9,则2463x x -+的值为例2.例4. 已知关于x ,y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩,那么关于x ,y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为类题演练:1.若⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=+19296781567896y x y x 的解，则b a +＝ 2．解方程组⎩⎨⎧=+=+600820022003600720032002y x y x 例３.解方程：24)4)(3)(2)(1(=++++x x x x类题演练：1． 解方程组：（1）⎩⎨⎧=-++=--+15)(3)(43)(3)(2y x y x y x y x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++11063106y x y x y x y x ２.解方程：()()()()111225-=-+--x x x x例4．在四边形ABC Ｄ内放入201３个点，将这201３个点与四边形的4个顶点连结,可以将四边形ABC Ｄ分割成多少个互不重叠的小三角形。

1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：换元法。

分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。

分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题；换元法。

分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。

初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（ ） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。

换元法的实质是整体思想的应用。

例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。

例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（ ） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。

整体换元法换元法上一篇讲到了因式解的四个基本方法，但有的时候碰到一些比较难的题目，基本方法用不上，这时候就要考虑进阶方法了，比如我们今天要讲的换元法。

换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。

换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。

数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。

整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。

整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。

二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。

例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。

例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。

双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。

四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。

一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。

1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。

下面将介绍其中两种常用的解法。

1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。

求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。

1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。

配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。

首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。

例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。

接下来，利用开平方的性质求解方程。

对于上述方程，解为x = -3。

2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。

2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。

判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。

根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。

什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？在数学学习过程中，我们除了要学习大量的数学知识和方法技巧之外，更要掌握好一些重要数学思想方法，如整体思想。

数学思想方法大家接触过很多，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，不同的思想方法有不同的应用法则，或不同的数学思想方法可以一起“共用”，共同解决问题等。

像数形结合这些思想方法是大家接触较多的，而对于整体思想的了解和应用，相对会少一些，因此为了能更好帮助大家提高对整体思想的了解，今天我们就一起来讲讲此类思想方法的“用法”。

什么是整体思想呢？整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论。

更加直白的讲整体思想就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

我们先一起来看一道具体的例子：分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21解：设x2+5x-3=t，则x2+5x+1=t+4原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）再将x2+5x-3=t代入上式原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）=（x2+5x+4）（x2+5x-6）=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）题干分析：若把两个二次三项式（x2+5x-3）与（x2+5x+1）相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。

但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）视为一个整体，即把（x2+5x-3）看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。

解题反思：由这道典型例题我们可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。

重视一元二次方程解法中的数学思想作者：卢霞来源：《文理导航》2013年第23期【摘要】一元二次方程是初中数学中的重要内容，在初中代数中占有重要地位。

但是，解一元二次方程却一直被认为是一个难点。

究其原因，是未能很好的掌握解法中的数学思想。

对于学生而言，很少人能够系统的掌握。

为此，结合教学实践，将其中的四种数学思想陈列如下并配以例题说明。

【关键词】一元二次方程；转化思想；整体思想；分类讨论思想；方程思想课标要求“人人学有价值的数学”。

“有价值的数学”就是数学思想方法，数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，在解一元二次方程中，也蕴含了一定的数学思想。

一、转化思想著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

转化，是一种重要的思想方法，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

解一元二次方程的基本思路是运用了“转化”的思想，即把待解决的问题（一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题（一元一次方程）。

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。

直接开平方法：两个一元一次方程，把“未知”转化为“已知”；配方法：一元二次方程，两个一元一次方程，体现了数学形式的转化；因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程；公式法：直接用公式把把“未知”转化为“已知”。

这些都体现了转化的思想。

例1 方程x2+4x=2的正根为（）.A.2-B.2+C.-2-D.-2+解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .例2 若2x2-5x+ ，则2x2-5x-1的值为 .解析：把原式中2x2-5x为一个未知数，令2x2-5x=y，用换元法得到分式方程求出y，则可得到所求的值。

二、整体思想整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体，从而使问题巧妙的解决的方法称之为整体思想。

第一部分：定义定义：．．．只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注意： 1：a ≠02：未知数的最高次数是2 3：要为整式方程4：化简后再判断（看2x 是否会被抵消）题型一：一元二次方程判断1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x2．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③+3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤（x ﹣1）2+y 2=2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：一元二次方程定义求参3．关于x 的方程（m ﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．3或﹣14.当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 一元二次方程。

5.方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

第二部分：方程的根x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一0，则a 的值为 。

0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程3=的解相同，求k 的值； m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=m 3 。

a 是0132=+-x x 的根，则=a 6 。

1与2为根的一元二次方程式。

1与－2为根的一元二次方程式。

13.写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：14.写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：题型五：已知特征式求根16．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．2 17．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．218、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。

整体思想与换元法
换元法是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速求解解方程，对复杂问题的计算也非常有用。

它的核心思想就是将原问题转换成一
个新的方程，然后使用合适的替换法则来求解新方程的解。

换元法的一个基本思想是，一般来说，当我们遇到一个复杂的问
题时，可以先将这个问题转换成一个简单的问题，然后依次求解。

举
个例子，假设我们要求解一个复杂的方程：
x2 + 3x + 2 = 0
通过换元法，可以将其转换成如下的新的方程：
y2 + 2y + 1 = 0
两个方程的形式相同，只是参数变了，因此，求解新方程的解就
容易多了，然后根据求得的解将其转换回原方程的解就可以了。

另外，我们也可以利用换元法来把一个多项式方程转换成一个一
元方程，从而求解其根。

例如，将x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0转换成一
元方程z3 - 5z + 2 = 0，然后求解z3 - 5z + 2 = 0就可以得到x3
- 4x2 + 5x - 2 = 0的根了。

总之，换元法是一种有效的数学方法，它能让我们有效地求解许
多复杂的问题，当遇到困难的问题时，写不出答案时，就可以拿出来
使用，把复杂问题转化为简单问题，为解决困难问题提供有力的帮助。

1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为， ，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得 解得经检验：是原方程的根.【变式 2】 解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。

一元二次方程中的整体思想（换元法）一、内容概述所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。

最具体的代表就是换元法的运用。

二、例题解析初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。

何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。

（一）换元法在解方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。

然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。

1.利用倒数关系换元例1 解分式方程：224343x xx x+=--分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。

但是若稍加整理成2243403x xx x-++=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。

解：移项整理得2243403x xx x-++=-设23x x y-=，则原方程可化为440yy++=去分母得2440 y y++=解得122y y==-当2y=-时，232x x-=-解得11x=22x=经检验：11x=22x=是原方程的根所以，原方程的根为11x=22x=练习110 3 =2.利用平方关系进行换元例2解方程：226x x +-=分析：代数式22x x +有平方关系，因此可以这样解y =，则原方程可化为256y y -= 解得16y =， 21y =-当6y =6= 解得14x = 292x =- 当1y =-1=-， 此方程无实数根 经检验：14x = 292x =-是原方程的根所以，原方程的根为14x = 292x =-练习2解方程：2265x x --=分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的2x 项与x 的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程3.利用对称关系换元 例3解方程组：2252616x xy y =+-=⎪⎩分析：将第二个方程左边分解因式可得()()22316x y x y+-=，a=，b=，那么原方程组可化为简单的对称方程组22516a ba b+=⎧⎨=⎩4.均值换元例4 分解因式()()2274784x x x x-+-++分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设276x x a-+=，解题步骤如下：解：设276x x a-+=，则原式=()()()()()222222247616a a a x x x x-++==-+=--当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。

《一元二次方程》总复习教案《《一元二次方程》总复习教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！(一)基础知识归纳1.一元二次方程的有关概念(1)一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程。

注：一元二次方程须同时满足三个条件：①整式方程②化简后只含有一个未知数③未知数的最高次数是2。

(2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c是常数)其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a、b分别是二次项，一次项的系数。

(3)使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有实数根，关键由b2-4ac 的值的符号来确定，我们把b2-4ac叫一元二次方程根的判别式，记作“△”，即△=b2-4ac。

一元二次方程根的情况与判别式的关系：①当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。

反之亦然3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法的理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如(x+a)2=b(b≥0)的方程。

(2)配方法：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：①如果一元二次方程的二次项系数不是1，就定在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1;②把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。

③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式;④用直接开平方法解这个一元二次方程。

考点07 解一元二次方程——换元法一．选择题（共12小题）1．（2021·全国八年级）若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（ ）A ．2021B ．2020C ．2019D ．2015【答案】C【分析】设，即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=，由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020x =，即250at bt ++=有一个根为2020t =，所以12020x +=，x =2019．【解析】由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=，对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-，设，所以250at bt ++=，而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020x =， 所以250at bt ++=有一个根为2020t =，则12020x +=，解得2019x =，所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2019x =．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．2．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校九年级月考）已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)=12，那么x 2＋y 2的值是（ ）A ．－3或4B ．4C ．－3D ．－4或3【答案】B【分析】利用换元法，令，解一元二次方程即可，注意取值范围．【解析】令，则，原方程变形为：()112t t -=，解得：或（舍去）故选：B ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，但是注意换元之后的取值范围是关键．3．（2020·佛山市南海区南海实验中学九年级月考）一元二次方程20ax bx c ++=的解是，现给出另一个方程2(23)(23)0a x b x c ++++=．它的解是（ ）A ．B ．C ．D ．121,3x x =-=-【答案】D【分析】 利用换元法解一元二次方程即可得．【解析】令，则方程2(23)(23)0a x b x c ++++=可变形为20ay by c ++=，由题意得：，即1221,2333x x ++==-， 解得121,3x x =-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．4．（2020·山东淄博市·八年级期中）解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ）A ．2310y y ++=B ．2310y y -+=C ．2310y y --=D ．2310y y +-=【答案】D【分析】先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y 的方程，再整理去分母即可．【解析】设，，原方程变为y -+3=0，方程两边都乘以y 得，2310y y +-=， 把原方程变形成整式方程为：2310y y +-=．故选：D ．【点睛】本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键．5．（2020·四川遂宁市·射洪中学八年级期中）若，则的值是（ ）A ．3B ．-1C ．3或1D ．3或-1【答案】A【分析】用，解出关于a 的方程，取正值即为的值是．【解析】解：令，则(2)30a a --=， 即2230a a --=，即(3)(1)0a a ，解得，，又因为，所以故的值是3，故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．6．（2020·赤峰市松山区大庙中学九年级月考）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（）A．-3或1B．-3C．1D．不能确定【答案】C【分析】采用换元法，设x2﹣3x＝y，将原方程变成一元二次方程求出y，然后根据一元二次方程的根的判别式舍去不成立的解即可；【解析】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0()()-+=y y130解得：y1＝﹣3，y2＝1当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时2∆⨯＜=3-430方程无解则x2+3x的值为1故选C【点睛】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，灵活运用换元法和根的判别式是解题关键．7．（2020·呼和浩特市赛罕区世宙中学）若（m2+n2）（m2+n2-2）-8=0，则m2+n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2【答案】A【分析】x x--=，解方程求出x后结合m2+n2≥0即得答设m2+n2=x，将原方程转化为()280案．【解析】x x--=，解：设m2+n2=x，则原方程可变形为：()280解得：，∵m2+n2≥0，∵m2+n2=4．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于常考题型，正确换元、掌握解法是解题的关键．8．（2020·四川省达川第四中学九年级月考）(m2+n2)(m2+n2−2)−8=0，则m2+n2=（）A．4B．2C．4或−2D．4或2【答案】A【分析】设y=m2+n2，然后解一元二次方程即可求出y的值，结合平方的非负性即可求出结论．【解析】解：设y=m2+n2，原方程变形为y（y-2）﹣8=0．整理得，y2-2y﹣8=0，（y-4）（y+2）=0，解得y1=4，y2=-2，∵m2+n2≥0，∵m2+n2的值为4，故选A．【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，把m2+n2设为y，转化为关于y的一元二次方程是解题的关键．9．（2020·全国九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（）A．x1＝3，x2＝5B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝11，x2＝15【答案】B【分析】利用整体思想可得2x+5＝3或2x+5＝5，从而求出结论．【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，∵方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，解得：x＝﹣1或x＝0，即x1＝﹣1，x2＝0，故选：B．【点睛】此题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握整体思想是解决此题的关键．10．（2020·四川省内江市第六中学九年级月考）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．11．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）若实数、满足，则a2+b2的值为（）A．-5B．-2或5C．2D．-5或-2【答案】C【分析】根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据题意对m 的值进行取舍即可.【解析】解：令a2+b2=m ，原式可化为：(3)10m m +=，即23100m m +-=，解得：m=-5或m=2，因为a2+b2＞0所以m=2a²+b²=2故答案为C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m 将所求式子替换下来.12．（2020·四川遂宁市·射洪中学）已知(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-6=0，则 x 2+y 2 的值是（ ） A ．3或-2B ．-3或2C ．3D ．-2【答案】C【分析】设m=x2+y2，则有260m m --=，求出m 的值，结合x2+y20，即可得到答案．【解析】解：根据题意，设m=x2+y2，∵原方程可化为：(1)60m m --=，∵260m m --=，解得：或；∵220m x y =+≥，∵，∵；故选：C ．二．填空题（共6小题）13．（2021·上海九年级专题练习）如果实数x 满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是_____．【答案】2【分析】设，则原方程可变形为y2−y -2=0，求出解，将解分别代入x+=y 判断方程有无解即可．【解析】设，则原方程可变形为y2−y -2=0，解得y1=−1，y2=2，当y1=−1时，，化简得210x x ++=，∵∵=b2−4ac<0，∵此方程无解；当y2=2时，，化简得2210x x -+=， ∵∵=b2−4ac=0， ∵此方程有解， ∵；故答案为：2． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，根据题意设解方程使计算更加简便，求解后注意检验方程是否有解是解题的关键．14．（2020·全国）若，则代数式 的值为_____ 【答案】4 【分析】 用换元法求解． 【解析】 解：设，则原方程为2340t t --＝，解得1241t t -＝，＝，∵220a b +≥ ， ∵， ∵ ，故答案为：4．【点睛】本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．15．（2021·甘肃庆阳市·八年级期末）用换元法解方程时，设，换元后化成关于的一元二次方程的一般形式为______． 【答案】2230y y +-= 【分析】将代入得出，再化为一般形式即可． 【解析】根据题意原方程可化为， ，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=． 【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键．16．（2021·全国八年级）已知222(3)4(3)30x x x x ++++=，则的值为__． 【答案】． 【分析】设y ＝x2＋3x ，则原方程转化为关于y 的一元二次方程y2＋4y ＋3＝0，利用因式分解法解该方程，然后再解关于y 的一元二次方程即可． 【解析】设，则2430y y ++=，即(1)(3)0y y ++=． 解得或． 则的值为或，22993993()44244x x x ++-=---， 231x x ∴+=-，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．17．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期中）已知（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣5）=6，则x 2+y 2=_____． 【答案】6 【分析】设x2+y2=m ，把原方程转化为含m 的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值． 【解析】设x2+y2=m ，原方程可变形为：m(m ﹣5)=6， 即m2﹣5m ﹣6=0． ∵(m ﹣6)(m+1)=0， 解得m1=6，m2=﹣1．∵m=x2+y2≥0，∵x2+y2=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．18．（2021·靖江市实验学校九年级月考）已知已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为_____．【答案】4【分析】将a2+b2看成整体，设a2+b2=t，解关于t的一元二次方程即可，注意 a2+b2≥0．【解析】解：设a2+b2=t，则t2﹣t﹣12=0，解得：t1=4，t2=﹣3，∵a2+b2=t≥0，∵t=4，即a2+b2=4，故答案为：4．三．解析题（共6小题）19．（2021·扬州市江都区育才中学九年级期末）阅读下列材料：为解方程4260--=x x可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∵原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）；（2）23152x x ++=． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=2560y y -+=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=23250y y ，求解即可．【解析】 （1）设，得：2560y y -+=， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∵原方程的解为，，，．（2）设，则方程可变成23250yy ，∵， ，．当时，，所以无解． 当时，， ∵250x x +=， ∵，．经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 20．（2020·温岭市第三中学九年级期中）解方程：(1)(3)(1)3x x x -+=- (2)22(2)25x x +=+ 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用因式分解法求解，提取公因式； （2）用换元法求解，令，将原式变形成． 【解析】 解：（1）()30x x -=，，；（2）()22225x x +=+()()222221x x +=++，令，22210t t --=，4812∆=+=，， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的各种解法．21．（2020·山西临汾市·九年级期中）阅读材料：为解方程()()2221310x x ---=，我们可以将视为一个整体，然后设将原方程化为①，解得120,3y y ==． 当时当时，，24,2x x ∴=∴=± 原方程的解为 阅读后解答问题：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；利用上述材料中的方法解方程：【答案】（1）换元，整体与划归；（2）， 【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；（2）令，得，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．【解析】解：（1）将设为y，利用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想，故答案是：换元，整体与划归；（2）令，则，解得，，当时，，解得，，当时，，，方程无解，综上：方程的解是，．【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法．22．（2020·河南驻马店市·九年级期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．解：设22+=，则原方程变为，整理得，即，∵．2m n t∵22m n29+=．20m n+≥，∵22上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足，求的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【答案】（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5（1）设2x2+2y2=m ，则原方程变为（m+3）（m -3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3；（2）设最小的正整数为x ，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x （x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x ）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y ，则原方程变为y （y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y 是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x 的值即可. 【解析】解：（1）设，则(3)(3)27m m +-=，∵，即，∵，∵22220x y +≥，∵22226x y +=， ∵．（2）设最小数为x ，则， 即：，设，则221200y y +-=， ∵，，∵，∵2310y x x =+=， ∵，（舍去），∵这四个整数为2，3，4，5． 【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问23．（2020·河北保定市·保定十三中九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得当，时，∵； 当，时，∵； 原方程有四个根：．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）试用上述方法解方程()()2224120x xx x +-+-=【答案】（1）换元（2）x1＝−3，x2＝2． 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2＋x 当成一个整体y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程． 【解析】（1）（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：换元；（2）设x2＋x ＝y ，原方程可化为y2−4y−12＝0， 解得y1＝6，y2＝−2．由x2＋x＝6，得x1＝−3，x2＝2．由x2＋x＝−2，得方程x2＋x＋2＝0，b2−4ac＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1＝−3，x2＝2．【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．24．（2020·长沙市湘郡培粹实验中学）阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．【答案】（1）±3；（2）①（x+2）4；②或．【分析】（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，解之求得a的值，进而可得x+y 的值；（2）①设a＝x2+4x+3，原式变形为a（a+2）+1＝（a+1）2，将a代入进一步根据完全平方公式分解可得；②将原方程组变为，由题意得出，进一步即可得出答案．【解析】解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，解得：a＝±6，则2x+2y＝±6，∵x+y＝±3；（2）①设a＝x2+4x+3，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝（x+2）4；故答案为：（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∵方程组的解是：，解得：或，故答案为：或．【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了换元法、多项式的因式分解、一元二次方程的解法和方程组的拓展问题，读懂题意、明确方法、熟练掌握上述知识是解题的关键．。

2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，∴x===，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4，x2=﹣5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=0（2）（3﹣x）2+x2=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）解得y1=6，y2=﹣2（4分）当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2（6分）当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0∴方程无实数解（8分）∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）例5．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【同步训练】一．选择题（共10小题）1．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣1，x2=﹣22．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6=0 B．y2﹣y﹣6=0 C．y2﹣y+6=0 D．y2+y+6=03．用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（）A．y2+2y+1=0 B．y2﹣2y+1=0 C．y2+2y﹣1=0 D．y2﹣2y﹣1=04．已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣25．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（）A．y2﹣5y+2=0 B．y2+5y﹣2=0 C．y2﹣5y﹣2=0 D．y2+5y+2=06．若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（）A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣67．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣18．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或39．正整数x，y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y的值是（）A．10 B．18 C．26 D．10或1810．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2二．填空题（共5小题）11．已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．12．解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为_________．13．若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b=_________．14．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，如果设x2﹣x=y，那么原方程变为_________．15．在解方程（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0时，通过换元并整理得方程y2﹣2y﹣3=0，则y=_________．三．解答题（共4小题）16．解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=017．如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．18．对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．19．用适当方法解下列方程（1）（2y﹣1）2=（2）x﹣=5x（﹣x）（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0参考答案一．选择题（共10小题）1．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．2．解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y﹣6=0．故选A．3．解：设y=x2+x，得y2+2y﹣1=0．故选C．4．解：∵x2+=0∴∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0∴x+=1或﹣2．∵x+=1无解，∴x+=﹣2．故选D．5．解：∵x2﹣3=y∴3﹣x2=﹣y所以y2+5y+2=0．故选D．6．解：设x﹣y=m，则原方程可化为：m2+m﹣6=0，解得x1=2，x2=﹣3；故选B7．解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，又∵x2+y2的值是非负数，∴x2+y2的值为只能是1．故选B．8．解：∵x、y为正整数，∴或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，∴x+y=10或18．故选D．10．解：设a2+b2=x，则有：x（x﹣2）=8即x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4；∵a2+b2≥0，故a2+b2=x2=4；故选B二．填空题（共5小题）11．解：原方程可化为x2+（）2+2x•+2（x+）+1=2+2x•（x++1）2=4x++1=±2．12．解：∵x2﹣5=y，∴x2=5+y，∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．13．解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t2+2t+1=0，整理得：（t+1）2=0，解得：t=﹣1．∴a﹣b=﹣1．14．解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=015．解：方程整理，得（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0故y=x2﹣1三．解答题（共4小题）16．解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣．17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．x4±2x+1=0，即x4﹣x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x﹣1）+（x±1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1．而由题意知：a≠±2，即x≠±1．则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．那么﹣x3﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．故当a为整数时，方程没有有理根．18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，所以3y是整数．注意到，代入方程，得到，．所以是整数，3y是10的倍数．令3y=10k，k是整数，代入得，其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．所以有，．当k取不同整数时，的情况如下表：k ≤﹣2 =﹣1 =0 =1 =2 =3 ＞31﹣k﹣＜﹣1=﹣=1===0 ＜﹣1k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．代入验算得到或y=10．故答案：或y=10．19．解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）2=，∴2y﹣1=±，y=±；（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，解得x1=，x2=﹣；（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，解得x1=﹣3，x2=8；（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，利用配方法得（y+）2=4+，y+=±，得y=1或﹣4，设2x+1为y，则x1=0，x2=﹣．。