综合解一元二次方程换元法

一元二次方程的解法一、结构特殊的直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的方程可以直接运用“直接开平方法”求解．例1．解方程2256x =．解：∵2256x =，∴25616x =±=±．∴121616x x ==-，．例2．解方程2536x -=（）． 解：∵2536x -=（），∴56x -=±．∴12111x x ==-，． 有的方程可以通过整理，变形化为形如2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式后，再采用直接开平方法来解．例3．解方程290x -=．解：∵290x -=，∴29x =．∴1233x x ==-，．例4．解方程21120x +-=（）． 解：∵21120x +-=（），∴2112x +=（）．∴123x +=±． ∴12231231x x =-=--，．通过以上例子，我们可以归纳出运用“直接开平方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式； 2．两边开平方，得x a =±或b cx a-±=． 这里要特别注意00a c ≥或≥的条件．若00a c <<或，则方程无实数根，只有当00a c ≥或≥时，方程才有实数根，而运用“直接开平方法”解应用题的关键是将方程化为2(0)x a a =≥或2()(0)ax b c c +=≥的形式．练习：用直接开平方法一元二次方程：1．9x 2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．二、法力无边的配方法把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告我们根据完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法 —— “配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222a ab b a b ±+=±（）．例5．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x +=（）．开方，得12112x x ==-，．通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．练习：用配方法解一元二次方程：1．x 2-4x -3＝0； 2．6x 2+x ＝35；3．4x 2+4x+1＝7； 4．2x 2-3x -3＝0．三、神通广大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的结果，求根公式为224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥．例6．解方程28103x x +=．解：把该方程化为一般形式： 281030x x +-=．∵8103a b c ===-，，，22410483196b ac -=-⨯⨯-=（）， ∴2410196101422816b b ac x a -±--±-±===⨯．∴121342x x ==-，．通过本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；2．正确确定a b c ，，的值；3．代入公式242b b acx a -±-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解．练习：用公式法解一元二次方程：2．2x 2+7x -4＝0； 3 .2y 2 -y=5 4．3x 2+5(2x+1)=0四、简便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理论依据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即0a b =，则00a b ==或，这种方法简便易行．是最常用的一种方法．例7．解方程23520x x --=．解：方程左边因式分解，得3120x x +-=（）（），∴31020x x +=-=，，∴12123x x =-=，．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将方程的右边化为零；2．将方程的左边分解为两个一次因式的积； 3．令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4．解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键是： 1．要将方程右边化为零； 2．要熟练掌握因式分解的方法． 练习：用因式分解法解一元二次方程：1. )7(5)7(2+=+x x x2.223)(x 3)-(4x +=3．0822=--x x 4．06)23(2=---x x这四种方法既有区别又有联系．公式法比配方法简单，它直接由配方法导出的求根公式求解，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解．一般顺序为：先特殊后一般．直接开平方法→因式分解法→公式法．没有特别说明，一般不用配方法．遇到特殊结构或次数较高的方程，就需用到下面要讲的“换元法”．五、出奇制胜的换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代替，从而达到繁为简，化难为易的目的，这种方法叫“换元法”，有些一元二次方程数式结构复杂，或次数较高，或字母个数过多，用常规的四种一元二次方程的解法计算既繁琐也困难，甚至根本无法求解，这时用“换元法”就会出奇制胜．例8．解方程25425430x x -+--=（）（）．解：设54x y -=，则原方程可化为2230y y +-=，130y y -+=（）（），1030y y -=+=或，∴13y y ==-或，即541543x x -=-=-或．∴12115x x ==，．例9． 解方程42440x x -+=．解：设2x y =，则原方程变为2440y y -+=，解之，得2y =．∴22x =，∴2x =±． 练习：用适当的方法解关于x 的方程1、095162=-+）（x 2、8)4(2=-x 3、8)32)(2(=++y y4、02x 3x 2=+-5、04x 3x 22=-+ 6、y 249y 162=+；7、0x 7)1x (52=-+ 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-5）2+x 2=510、)7(5)7(2+=+x x x 11、01224=--x x 12、012222=--x x13、012)(8)(222=+---x x x x 14、02)32(3)32(2=++-+x xx x六、一元二次方程根的两个特性例1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2=-2，则x 1+x 2=4，x 1·x 2=-12； (2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32；(3)方程3x 2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0且a 、b 、c 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1x 2与系数a 、b 、c 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）【基础知识】一．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x 的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．二．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．三．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．四．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．五．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．六．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．七．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．八．解一元二次方程-公式法（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．九．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．十．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣xC．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝02．（2021秋•宜兴市月考）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝．3．（2021秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．二．一元二次方程的一般形式（共4小题）4．（2021秋•南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．（2021秋•海州区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1、0 B．1、3 C．1、﹣3 D．﹣1、﹣36．（2021秋•黄石期末）将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是．7．（2020秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．三．一元二次方程的解（共5小题）8．（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣129．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝．10．（2022•邗江区一模）关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为．11．（2021•南海区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．（1）求a的取值范围；（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．12．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）13．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝2514．（2021秋•东台市期中）解方程：2x2＝6．15．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）17．（2020秋•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）23．（2021秋•广陵区期末）解方程：（1）x2+5x+4＝0．（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．24．（2021秋•泗阳县期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．八．换元法解一元二次方程（共3小题）25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣226．（2021秋•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝．27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝73．（2021秋•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，104．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x+2＝3 B．x+y＝1 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2 15．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（）A．0或﹣2 B．﹣2 C．0 D．1或﹣1二．填空题（共3小题）6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝．7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝，p＝．8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝．三．解答题（共9小题）9．（2020秋•沭阳县期末）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．（2）8（x+1）3＝27．10．（2021秋•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）x2﹣3x﹣2＝0；（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．11．（2021秋•南京期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）100（x﹣1）2＝121．12．（2022•常州模拟）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣45＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．13．（2016秋•盐都区期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．14．（2021•吴中区开学）解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y ＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为（结果化成一般式）（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．17．（2020秋•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：．解：设（t≥0）∴原方程化为2t﹣3＝0∴而∴∴请利用上面的方法，解出下面两个方程：（1）（2）。

一元二次方程解法，易错，综合题型一、类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x2－4x＋5的最小值是（）A．－1 B．1 C．2 D．55．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．(夏津县月考)求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．二、类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.第1种拆法：4x－x＝3x（正确），第2种拆法：2x－2x＝0（错误），所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x2－5x－6＝0；（2）x2＋9x－36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_______.5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(江都区期中)若关于x 的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或03．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值；(2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(朝阳中考)关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x21＋x22＝1，则k的值为_______.【易错2】8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】◆类型四与三角形结合时忘记取舍9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17C．17或19 D．1910．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二 一元二次方程与一次函数的 综合8．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是______．◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞52 B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠213．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．一、类比归纳专题：配方法的应用答案：二、类比归纳专题：一元二次方程的解法参考答案1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14，即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2，∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24；|（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3.4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x＋8＝0，∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题参考答案四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合答案：12.B 13.。

专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。

一元二次方程怎么解呢，有哪些解题的步骤呢，下面小编为大家提供一元二次方程有哪些解题方法，仅供大家参考。

一元二次方程的解题方法有哪些1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解： 9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b^2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2, b=-8, c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2= .4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

一元二次方程中蕴含的几种思想方法一、降次法降次法是把高次方程转化为低次方程的基本方法，解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一元一次方程来解.例1 一元二次方程230x x的根是（）Ａ．3x Ｂ．1203x x ，Ｃ．1203x x ，Ｄ．1203x x ，分析：把原方程化为x （x-3）=0的形式，就可降次为一元一次方程x=0或x-3=0,问题迎刃而解. 答案为Ｄ.二、配方法配方法是本章的一个难点，配方的目的是使方程的一边变成完全平方式，其根据是乘法公式a 2±2ab+ b 2=(a ±b)2.其步骤是：1.二次项系数化为1，并把常数移到方程的右边；2.在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能配成一个完全平方式；3.当方程右边的常数为非负数时，方程有解，这时用直接开平方法求解；当方程右边的常数为负数时，方程无解。

例2 用配方法解方程：2210xx ．解：两边都除以2，得211022xx（二次项系数化为1）移项，得21122xx（把常数移到方程的右边）配方，得221192416xx（在方程的两边都加上一次项系数一半的平方）即219416x1344x或1344x（直接开平方法）11x ，212x ．三、换元法换元法的基本思路是通过设辅助未知数，使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程.例3 用换元法解方程1)2()2(2＝＋－＋xx xx ，设xx y 2＋＝，则原方程可化为（）．A ．012＝－－y y B ．012＝＋＋y y C ．012＝－＋y y D ．012＝＋－y y 分析：若把原方程展开再解，项数增加、次数增高，解答起来会很复杂，设xx y 2＋＝，通过换元将原方程化为整式方程012＝－－y y 再解，方便多了. 故选 A.四、转化思想解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程.在本章，转化无处不在，一元二次方程转化为一元一次方程来解；特殊转化为一般，一般转化为特殊，例如通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的方法，进而得出一元二次方程的求根公式；将分式方程转化为整式方程；把实际问题转化为一元二次方程问题，等等.例4 经计算整式1x 与4x的积为234x x．则一元二次方程2340xx 的所有根是（）Ａ．11x ，24x Ｂ．11x ，24x Ｃ．11x ，24x Ｄ．11x ，24x 分析：通过已知可把2340x x 转化为（1x）（4x）=0，从而有1x=0或4x=0 ，解得11x ，24x ，故选Ｂ.五、类比思想要注意新旧知识的联系，把新旧知识进行类比，如用直接开平方法解一元二次方程时，可类比平方根的概念和意义；解可化为一元二次方程的分式方程时，可类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤等.例5 先阅读，再填空解题：（1）方程2120xx的根是13x ，24x ，则121x x ，1212x x ；（2）方程22730x x 的根是112x ，23x ，则1272x x ，1232x x ；（3）方程2310x x 的根是1x ，2x ．则12x x ，12x x ；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程2m x nx p （0m，且m n p，，为常数）的两个实数根是12x x ，，那么12x x ，12x x 与系数m n p，，有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．分析：由求根公式可得12353522x x ，，计算就有121231x x x x ，．由数到式，类比猜想可得：1212n p x x x x mm，．理由如下：一元二次方程20m x nx p（0m，且m n p ，，为常数）的两实数根是22124422nnm pn n m px x m m ，．22124422nnm p nnm px x m m，22n n mm ．22124422nn m p n n m px x mm，2222()(4)4n n m p m222(4)4nnmp p mm．。

v1.0 可编辑可修改解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。

一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。

(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。

(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。

3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。

一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x= x=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3，x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x=-2，x= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x=5 x=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。

第3关 一元二次方程的解法（讲义部分）知识点1 解一元二次方程-公式法一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= （1）当2时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =（2）当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a=- （3）当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ；②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况；③代公式：1,2x =（要注意符号）.题型1 公式法【例1】用公式法解下列方程： （1）2325x x =-；（2）23412y y -=；（3）(1)(1)x x +-=． （4）(1)(3)64x x x ++=+；（5）21)0x x ++=； （6）2(21)0x m x m -++=．【解答】解：（1）3a =，5b =，2c =-224543(2)2524490b ac -=-⨯⨯-=+=>．x ==所以12x =-，213x =．（2）原方程变形为：23820y y --=． 3a =，8b =-，2c =-．224(8)43(2)642488b ac -=--⨯⨯-=+=．x ==．所以1x ，2x（3）原方程变形210x --=．1a =，b =-1c =-．224(41(1)84120b ac -=--⨯⨯-=+=>．所以x ==．故1x 2x =（4）去括号，移项方程化为一般式为：2210x x --=， 1a =，2b =-，1=-，224(2)41(1)8b ac ∴-=--⨯⨯-=1x ∴===，11x ∴=+，21x =-；（5）1a =，1)b =，c =2241)]4116b ac ∴-=-⨯⨯=，1)2x ∴===-±，13x ∴=，21x =；（6）1a =，(21)b m =-+，c m =， 2224[(21)]4141b ac m m m ∴-=-+-⨯⨯=+，x ∴=，1x ∴=，2x =．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．【例2】阅读下面的例题：阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法： 方法一：教材中方法 方法二：20ax bx c ++=，224440a x abx ac ∴++=，配方可得：22(2)4ax b b ac ∴+=-． 当240b ac -…时，2ax b +=2ax b ∴=-±．当240b ac -…时，x ∴=． 请回答下列问题：（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？ （2）说说你有什么感想？ 【解答】解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“±”，相除后为何只有分子上有“±”2a =．第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二 种方法好．（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科． 说明：其它感想，只要合理即可．【点评】本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程． 知识点2 解一元二次方程-因式分解法（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有个等于0 ，那么它们的积就等于0 . （2）通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解.（3）因式分解常用方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧十字相乘平方差公式完全平方公式提公因式如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0.例如：290(3)(3)0x x x -=⇔+-=230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=题型2 因式分解法【例3】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-；（3）2(21)360x --=；（4）22(31)4(23)x x -=+；（5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=；（8）2237x x +=． 【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =； （4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-； （5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式 分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【例4】若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为( ) A ．(3)(5)x x +- B ．(3)(5)x x -+ C ．2(3)(5)x x +- D ．2(3)(5)x x -+ 【解答】解：2230x px q -+=的两根分别是3-与5，222462(23)x px q x px p ∴-+=-+ 2(3)(5)x x =+-， 故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：根据方程的解分解因式是解此题的关键．知识点3 解一元二次方程-换元法1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．题型3 换元法【例5】已知2222()(2)80x y x y +++-=，求22x y +的值． 【解答】解：设22x y t +=，则原方程变形为(2)80t t +-=，整理得2280t t +-=， (4)(2)0t t ∴+-=，14t ∴=-，22t =，当4t =-时，则224x y +=-，无意义舍去， 当2t =时，则222x y +=． 所以22x y +的值为2．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程转化为简单的一元二次方程， 便于求方程的解．【例6】已知2222(2)()350a b a b +-+-=，1a b -=，求： （1）a b +； （2）ab ；（3）22b a a b+．【解答】解：2222(2)()350a b a b +-+-=，设22a b λ+=，22350λλ∴--=，解得：7λ=或5-（设去）．2222()2()27a b a b ab a b ab +=+-=-+=， 且1a b -=，3ab ∴=，a b +=， ∴（1）3a b +=±． （2）3ab =．（3）原式33b a a b+=+ 22()()a b a b ab ab++-===． 【点评】该题主要考查了换元法解一元二次方程、完全平方公式及其应用问题；解题的关键是首 先运用换元法来求22a b +的值；然后灵活运用完全平方公式来分析、判断、推理或解 答；对求解运算能力提出了一定的要求．【例7】解方程：222222(34)(276)(342)x x x x x x +-+-+=-+． 【解答】解：设234u x x =+-，2276v x x =-+，则2342u v x x +=-+．则原方程变为222()u v u v +=+，即22222u v u uv v +=++， 0uv ∴=，0u ∴=或0v =，即2340x x +-=或22760x x -+=． 解得123434,1,,22x x x x =-===； 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题 进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一 个字母去代表它，实行等量替换．常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 知识点4 一元二次方程根的判别式利用一元二次方程根的判别式()ac b 42-=∆判断方程的根的情况． 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与ac b 42-=∆有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．题型4 一元二次方程根的判别式【例8】若关于x 的一元二次方程2(2)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围为( ) A ．2a -… B ．2a ≠ C ．2a >-且2a ≠ D ．2a -…且2a ≠【解答】解：由题意可知：△164(2)0a =+-…，2a ∴-…，20a -≠， 2a ∴≠，2a ∴-…且2a ≠， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于 基础题型．【例9】已知关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）在（1）的结论下，若m 取最小整数，求此时方程的两个根． 【解答】解：（1）由△22(21)4(1)0m m =+-->，解得：54m >-；（2）由（1）可知0m =， ∴原方程化为210x x +-=，x ∴=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型．【例10】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．【解答】（1）证明：△2224[(21)]4()10b ac m m m =-=-+-+=>∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：2112m x +±=， 1x m ∴=，21x m =+， 12x x ∴≠①若1x 为腰，2x 为底边，得3110m +=，3m =；②若2x 为腰，1x 为底边，得3210m +=，83m =；综上所述，3m =或83m =．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等 的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．【例11】判断关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根的情况，并直接写出关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根及相应的m 的取值范围． 【解答】解：当0m =时，方程化为30x -+=，解得3x =；当0m ≠时，当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+>，解得116m <，方程的解为1x =，2x =；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+=，解得116m =，方程的解为127x x ==；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+<，解得116m >，方程没有实数解．综上所述，当0m =时，3x =；当116m <且0m ≠，1x =，2x =116m =，127x x ==；当116m >，方程没有实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如 下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实 数根；当△0<时，方程无实数根．第3关 一元二次方程的解法（题册部分）【课后练1】用公式法解下列方程： （1）22980x x -+=； （2）216830x x ++=； （3）22221x x x ++=；（4）23x +=． 【解答】解：（1）22980x x -+=，224(9)42817b ac -=--⨯⨯=，x =，1x =，2x =； （2）216830x x ++=，224841631280b ac -=-⨯⨯=-<， 所以此方程无解；（3）22221x x x ++=，22410x x +-=，224442(1)24b ac -=-⨯⨯-=，x ，1x ，2x =（4）23x +=，230x -+=，24(b ac -=-，241320-⨯⨯=，x =1x 2x =【课后练2】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-； （3）2(21)360x --=； （4）22(31)4(23)x x -=+； （5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=； （8）2237x x +=．【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =；（4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-；（5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【课后练3】解下列方程（1）2(21)7x -=（直接开平方法） （2）22740x x --=（用配方法） （3）22103x x -=（公式法）（4）22(34)(34)x x -=-（因式分解法）（5）2426x +=（用换元法解） （6）222(21)230x x +--=（用换元法解） 【解答】解：（1）开平方，得21x -=，1x ∴=2x =； （2）移项，得 2274x x -=，化二次项的系数为1，得2722x x -=，配方，得274949221616x x -+=+， 2781()416x -=开平方，得7944x -=±， 14x ∴=，212x =-； （3）移项，得221030x x --=，2a ∴=，10b =-，3c =-， ∴△100241240=+=>，x ∴=，1x ∴，2x ； （4）移项，得22(34)(34)0x x ---=分解因式，得(3434)(3434)0x x x x -+---+=，10x ∴--=或770x -=， 11x ∴=-，21x =；（5）原方程变形为：2830x +=，设a ，将原方程变形为：230a a -=，移项，得2300a a --=，因式分解，得(5)(6)0a a +-=，50a ∴+=或60a -=，15a ∴=-（舍去），26a =，∴6=，解得：x =±经检验，x =±（6）原方程变形为：222(21)(21)20x x +-+-=，设221x a +=，则原方程变为：220a a --=，解得：11a =-，22a =， 当1a =-时，2211x +=-，△0<，原方程无解， 当2a =时， 2212x +=，11解得：x =【课后练4】阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程222()4()120x x x x +-+-=．【解答】解：（1）换元，降次（2）设2x x y +=，原方程可化为24120y y --=，解得16y =，22y =-．由26x x +=，得13x =-，22x =．由22x x +=-，得方程220x x ++=，2414270b ac -=-⨯=-<，此时方程无实根．所以原方程的解为13x =-，22x =．【课后练5】已知关于x 的一元二次方程2220x mx m --=．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若1x =是该方程的根，求代数式2425m m ++的值．【解答】解：（1）1a =，b m =，22c m =22224()41(2)9b ac m m m ∴-=-⨯⨯=，不论m 为何值，20m …，即290m …，240b ac ∴-…；∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根（2）因为1x =是2220x mx m --=的根所以2120m m --=，即221m m +=，所以224252(2)52157m m m m ++=++=⨯+=；【课后练6】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰ABC ∆的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5．求ABC ∆的周长．【解答】（1）证明：△22(21)4()k k k =+-+10=>，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）2112k x +±=， 所以11x k =+，2x k =，当15k +=，解得4k =，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为55414++=；当5k =，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为55616++=；综上所述，ABC ∆的周长为14或16．。

备战中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题及答案解析一、一元二次方程1．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x 1＝0，x 2＝﹣4当x 2+4x ＝﹣4时，x 2+4x +4＝0（x +2）2＝0解得：x 3＝x 4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=13．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.4．计算题 （1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+52m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+ 152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．6．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】 考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．7．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．8．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=9．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.10．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．11．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．12．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.13．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。