第五章能观与能控性分析

T 2 1 3 2 5 4⎤ ⎞ ⎡ ⎟ ⎢1 1 2 2 4 4⎥ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟ ⎢− 1 − 1 − 2 − 2 − 4 − 4⎥ ⎟ ⎣ ⎦ ⎠ 49 49 ⎤ ⎡59 49 49⎤ 42 42 ⎥ = rank⎢49 42 42⎥ = 2 < 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0⎥ − 42 − 42⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 故系统状态不完全能控。
+
∫
−2
x2
+
+
∫
−3
x1
y
u
显然，u只能控制 x1 而不能影响 x2 ，我们称状态变 量 x1 是可控的，而 x2 是不可控的。 当系统所有状态可控，则称系统状态完全可控；如有 一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。
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能观测性： 指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力， 它回答了状态变量能否由输出反映出来。
⎡λ1 ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
λ2
0⎤ ⎥ ⎥x + Bu ⎥ ⎥ λn ⎦
B
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阵不包含元素全为零的行。
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系统完全能控的判据二——基于标准型的判据
定理5.4 若线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征
值对应一个独立的特征向量，则系统状态完全能控的充分必要 条件是，其经过非奇异变换后的约当标准型
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二、状态完全能控的判别准则 1、判据一（能控性判别矩阵）
x 定理5.1：对于线性连续定常系统： = Ax + Bu 状态完全 5.1
能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
Qc = [ B AB A2 B An−1 B] 满秩
rankQc = rank[ B AB A2 B
An−1 B] = n
[解]： rankQ = rankQQT = rank B AB [( c c c ⎛⎡ 2 ⎜ = rank⎜ ⎢ 1 ⎜⎢ ⎜ ⎢− 1 ⎝⎣ ⎡ 59 = rank⎢ 49 ⎢ ⎢− 49 ⎣
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An−1B)(B AB
An−1B)T ]
1 3 2 5 4⎤ 1 2 2 4 4⎥ ⎥ − 1 − 2 − 2 − 4 − 4⎥ ⎦
Modern Control Theory 第五章 线性系统的能控性和能观性
教材： 王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011
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定性分析 定量分析 (第四章) 建模 (第二章)
研究系统一般性质： 能控性、能观性（第 五章）稳定性(第三章) 研究系统在外部 激励下的响应特性 状态空间模型
控制系统分析
学习任务：了解系统的能控性和能观性的定义、结构 特性，及其相关判据、实现。
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本章内容提纲
5.1 能控性和能观性问题 5.3 线性定常系统的能观性
学习核心 ——能控性和能观性
5.2 线性定常系统的能控性 （概念、判据、实现） 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解
A = P − 1 AP
x=Px
B = P −1 B
C = CP
D=D
线性变换不 会改变系 统的固有 性质
则称两个系统是代数等价的， 且线性非奇异变换 x = P x 称为等价变换
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定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、 离散）状态方程的能控性保持不变。
证明：设线性定常连续系统的状态方程为 S： x = Ax+ Bu 经非奇异线性变换 x = Px 变换为 S的能控阵为 rankS
能控性判别矩阵
由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必须 有解，即系统的能控性判别矩阵满秩，定理5.1得证。
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[例] 判别如下系统的能控性 ⎡ x1 ⎤ ⎡− 1 − 2 − 2⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ 0 − 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 1 0 − 1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ [解]： 1）构造能控性判别矩阵：
x2 p1
p
p2
0
pn
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x1
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（2）离散系统的能控性
定义 在有限时间区间 t ∈ [0, nT ] 内，若存在无约束的阶梯控制序 列 u (0), , u ( n − 1)，能使系统从任意初态 x(0) 转移到任意终 态 x(n)，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
（3）能控性和能达性
解:
Qc
⎡0 = ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎣
0 1 0
−1 0 0
2 −2 −4
2 0 −1
−4⎤ 4 ⎥ ⎥ 10 ⎥ ⎦
由于 Qc 的前三列组成的矩阵的行列式不为0，因此
rankQc = 3
所以系统完全能控。
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系统完全能控的判据二——基于标准型的判据 定理5.2 线性定常系统完全能控的充要条件是：
(2)求能控性判别阵的秩： (3)结论
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rankQ c = 3 = n
Qc 满秩，故系统是状态完全能控。
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例5.5 判别下列系统的能控性。
⎡− 2 x ( k + 1) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 ⎣ 2 −2 −4 − 1⎤ ⎡0 0 ⎥ x ( k ) + ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢1 0⎥ ⎦ ⎣ 0⎤ 1⎥u (k ) ⎥ 0⎥ ⎦
（1）当A为对角标准型，且对角元素均不相同时，对 应的B阵元素中没有全为零的行。 （2）当矩阵A为约当阵，且每一约当阵对应的特征根 均不相同时，每个约当块最后一行所对应的B阵中的 相应行中没有元素全为零的行。
注意：使用时一定要注意前提条件，如何标准化？
任意的状态空间模型总可以通过线性变换的方法转换为 标准型： 对角标准型、约当标准型、能控标准型、能观标准型
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非奇异线性变换
设两系统的动态方程为：
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx (t ) + Du(t )
若上述两个系统存在如下关系：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
x = P −1 x
0 2 1
0 ⎤ ⎥ −2⎥ 0 ⎥ ⎦
⎡1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢0⎥ = ⎢−2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ −1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢−2⎥ = ⎢−2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢−3⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
所以能控性判别阵为：
⎡1 1 1 ⎤ Qc = ⎡B AB A2 B⎤ = ⎢0 −2 −2⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢1 −1 −3⎥ ⎣ ⎦
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[例]：系统的状态方程如下，试判定系统的状 态能控性
⎡ x1 ( k + 1) ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ( k ) ⎤ ⎡1⎤ ⎢ x ( k + 1)⎥ = ⎢ 0 2 − 2⎥ ⎢ x ( k )⎥ + ⎢0⎥ u( k ) ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 3 ( k + 1)⎥ ⎢ − 1 1 0 ⎥ ⎢ x 3 ( k )⎥ ⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[解]： (1)首先构造能控性判别阵
Qc = ⎡ B ⎣
AB
A2 B ⎤ ⎦
离散线性定常系 统的能控性
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⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ B = ⎢0⎥ , ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 A2B = ⎢ 0 ⎢ ⎢−1 ⎣
⎡ 1 ⎢ AB = ⎢ 0 ⎢−1 ⎣ 0 2 1 0 ⎤ −2⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
rankS c = rank PB
c
= rank B
[
S：
x = Ax + Bu
A −1 B
AB
A2B
PA n −1 B
]
]
[ = rank [PB = rank {P [B
P A P −1 P B PA B AB A2B
P A 2 P −1 P B A n −1 B
PA 2 B
]}
]
PA n −1 P −1 PB
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控制系统 结构图
控制系统的两个重要问题： 1、控制问题：输入能否控制系统内部状态使其 满足预期目标——能控性？ 2、观测问题：能否通过输出观测系统内部状态 的变化，以便对系统进行更好的控制——能观测性？
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能控性： 能控性 指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支 配能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题 观察如下系统:
⎡J1 ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
J2
0 ⎤ ⎥ ⎥x + Bu ⎥ ⎥ Jk ⎦
中，每个约当小块 Ji
因为P是可逆即满秩的，所以
rankS c = rank B
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[
AB
A2B
A n −1 B = rankS c
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]
类似地，可以证明线性离散系统的情况。
系统完全能控的判据二——基于标准型的判据
定理5.3 设线性定常系统
x = Ax + Bu
具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分必 要条件，是经非奇异线性变换后的对角线标准型：
[证明]：根据能控性的定义可知， 对系统的任意的初始状态 x(t0) ，如果能找到输入 u(t)，使之在 [t0 , t f ] 的有限时间内转移到零状 态 x(tf ) =0 ，则系统状态能控。
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