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第一章 量子力学基础知识

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第一章 量子力学基础知识

第一章 量子力学基础知识

《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。

1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。

黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。

黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。

★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。

按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。

按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。

Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。

经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。

• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。

• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。

能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。

第一章 量子力学基础

第一章 量子力学基础

氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率

第一章量子力学基础知识总结

第一章量子力学基础知识总结

第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。

●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。

●不同金属的临阈频率不同。

●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。

●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。

●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。

Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。

如：sin，log等。

线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。

5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。

第一章量子力学基础知识.doc

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第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。

2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。

金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。

光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。

(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。

(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。

光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。

按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。

(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。

电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。

2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。

第1章 量子力学基础知识

第1章 量子力学基础知识

d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态

01第一章量子力学基础

01第一章量子力学基础

2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.

1第一章 量子力学基础


•
实例1： 运动速度为1.0×106m·s-1的电子的de Broglie波波长为
实物微粒的波粒二象性
6.6 ×10−34 J ⋅ s λ= = 7.0 ×10−10 m (9.1×10−31 kg ) × (1.0 ×106 m ⋅ s −1 )
这个波长相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动的波效应 是重要的。而宏观粒子，如质量为1.0×10-3kg的宏观粒子以1.0×10-2 m·s-1的 速度运动时，经计算λ= 7.0×10-29 m，观察不到波动效应。 实例2：电子的运动λ =h/mυ，它由加速电子运动的电场电势差V（伏特）决定。
W 脱出功，hv0 Ek光电子动能，mυ2/2
ε = h ν， p = h/λ ε, p 粒性， v, λ 波性
实物微粒的波粒二象性
• 波粒二象性是微观粒子的基本特性，这里所指的微 观粒子既包括静止质量为零的光子，也包括静止质 量不为零的微粒，如电子、质子、原子和分子等。 • 1924年de Broglie(德布罗意)受光的二象性启发， 提出实物微粒的波粒二象性假设，三年后被 C.J.Davisson（戴维孙）等人用电子衍射实验证实。 • de Broglie的假设内容有： E = hν ， p= h/λ 这样实物微粒在以大小为p = mv 的动量运动时， 其波长 λ =h/p=h/mυ 此即de Broglie关系式， λ 为德布罗意波的波长。
者之间所应满足的关系。
例：试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量，假设它 解：
们在x方向都以速度200m/s运动，速度的不确定度在0.01%内。
Δx ⋅ Δp x ≥ h
−32
h Δx = Δp x
电子: Δp x = 0.01% mv x = 10 −4 × 9.11× 10 −31 × 200

第一章 量子力学基础


1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.

量子力学基础教程

量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。

第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。

为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。

这些思考最终导致了量子力学的诞生。

第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。

在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。

然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。

第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。

它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。

这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。

不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。

第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。

它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。

通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。

波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。

第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。

例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。

量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。

结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。

本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。

希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。

量子力学基础


i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h


定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
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dx
(2)
d
2 2
(3x x )
3 2
d dx
(9 x 2 x) 18 x 2 (3x x )
2 3 2
dx
2013-3-22
3
第一章 量子力学基础知识
ˆ ˆ 将总能量算符 H 代入本征方程 A a ， ˆ 则得方程 H E —— Schrodinger 方程
2
通解为： ( x) A cos x B sin x
2013-3-22
11
第一章 量子力学基础知识
根据边界条件确定方程的特解 边界条件为： (0) (l ) 0
(0) 0
A cos 0 B sin 0 0
A0 B0
( x) B sin x
2013-3-22 27
第一章 量子力学基础知识
掌握几重要个算符； 对于给定体系，会求： 本征态：物理量的确定值； 任意态：物理量的平均值；
A
2013-3-22
ˆ * A d

* d
或 A

ˆ * A d
28
第一章 量子力学基础知识
3. 掌握一维势相粒子的处理结果
2
] 0
B
2
l
2
B
2 l
( x)
2 l
Sin
nx l
一维势箱波函数
2013-3-22
14
第一章 量子力学基础知识
三、解的讨论
1、能级 A. 能量量子化 粒子的能量是不连续的，随n 不同，能量取一 系列不连续的分立值。
2013-3-22 15
E
n h 8ml
2
2 2
n 1, 2 , 3
2013-3-22
20
第一章 量子力学基础知识
C C C C
离域效应
E1
E定 2 2
h
2 2
8ml
4 E1
定域键
2013-3-22 21
第一章 量子力学基础知识
C C C C
2 2 2 2
E离 2
h
8m（3l） E1
2
4h
4 4
8m（3l）
4/9E1 1/9E1
3l
10 9

3h 2l
m
3
p c
h p3
32
第一章 量子力学基础知识
⒉ 已知一维势箱粒子的归一化波函数为：
( x)
2 l nx l n 1,2,3
sin
试问：动量有无确定值？若有，求之，若无， 求其平均值。
2013-3-22
33
第一章 量子力学基础知识
解题思路：
ˆ i d Px dx
第一章 量子力学基础知识
三、本征态、本征值和
Schrodinger
方程
ˆ 假设Ⅲ：若 A a ，a 为常数，则此状态下
ˆ 该力学量A有确定的值 a 。a称为算符 A 的本征值，
ˆ 称为 的本征函数， A
ˆ A称为本征方程。 a
自轭算符本征函数和本征值的性质 A. 自轭算符本征值是实数
⑶ 对应该波长光子的动量P，质量m；
⑷ 当一个π电子处于状态ψ3(x)时，其动量
和德布罗意波长。
2013-3-22 30
第一章 量子力学基础知识
解：分子中共有6个π电子
电子组态： 1 2 3 4
2 2 2 0
En
n h 8ml
2
2 2
(1) E总 2 E1 2 E2 2 E3
E E3 E2 (3 2 )
2 2
h
2 2

5h
2 2

hc
8ml
8ml



hc E

8ml c 5h
31
2
8 9.110
(5.6 10
10 2 34
) 3 10
8
5 6.626 10
7
2.067 10 m 206.7nm
实验值： 220.0nm
i 1
ci为任意常数
2013-3-22
5
第一章 量子力学基础知识
1、物理量的确定值
若微观体系粒子的运动状态 是某个物理量
ˆ 算符 A 的本征态，则在该状态 时，力学量 A 有 确定值，其值可由本征方程求得。
ˆ A a
a 为该物理量得确定值
2013-3-22
6
第一章 量子力学基础知识
ˆ 若 Px ( x) , Px有确定值;
否则，只能求其平均值：
Px
2013-3-22
ˆ ( x) p x ( x)dx
0
34
l
第一章 量子力学基础知识
⒊ 一粒子在长度为 l 的一维势箱中运动， 试求： ⑴ 在1/4势箱的左端区域找到粒子的几率？ ⑵ n为何值时此几率最大？
(l ) 0
BSin l 0 B 0
Sinl 0
l n
2013-3-22
n 1,2,3

n l
12
第一章 量子力学基础知识
因为 2 一维势箱能级公式:
E n h 8ml
2 2 2
2mE
2
所以 n 2 l
2
2

2mE
2
n 1, 2 , 3
2

d
2m
2m dx
定态 Schrodinger 方程:

2
d
2 2
( x) E ( x)
2m dx
即:
2013-3-22
d ( x)
2
dx
2

2mE
2
( x) 0
10
第一章 量子力学基础知识
令:

2
2mE
2
Sch方程为:
d
2
dx
( x) ( x) 0 二阶齐次方程 2
一维势箱波函数:
( x) BSin
2013-3-22
n x l
13
第一章 量子力学基础知识
根据归一化条件确定归一化系数
nx l
2nx l l 2n
l

l
0
( x) dx B Sin
2 0
2
l
2
dx B
2

l
1 2
(1 cos
2nx l
)dx
0

B
2
[ x sin
掌握势函数的特点，定态Sch方程的形式；
掌握一维势箱波函数及能级公式；
了解零点能效应，离域效应及节点与能量的关系； 会用一维势箱模型确定共轭体系π电子总能量， 跃迁最大吸收波长。
2013-3-22 29
第一章 量子力学基础知识
习题讲解
1. 若将1, 3, 5—己三烯分子中共轭π电子的运动 简化为一维势箱模型，设势箱长l，试求出： ⑴ 共轭电子的总能量； ⑵ 分子吸收光谱中最大吸收波长λ；
1. 实物微粒的波粒二象性
h
2. 德布罗意波长

h p h mv h
p
h

2mT
3. 不确定关系式
2013-3-22
x p x h
26
第一章 量子力学基础知识
三、量子力学基本假设
1. 波函数——假设Ⅰ 掌握波函数的物理意义 掌握波函数的合格条件及性质 2. 物理量和算符 了解算符的定义及线性、自轭算符的定义 掌握算符的本征态、本征值及本征方程。
x
a
4
2 a
sin
2x a
3 1 ( x) 4 2 ( x)
根据状态叠加原理，故 :
(x) 是一维势箱中粒子的一种可能的状态。
2013-3-22
38
第一章 量子力学基础知识
ˆ ˆ ˆ (2) H ( x) 3H 1 ( x) 4 H 2 ( x)
3E1 1 ( x) 4E2 2 ( x)
2013-3-22 1
第一章 量子力学基础知识
B. 自轭算符本征函数满足正交归一化性
1 i * j d 0

i j i j

归一性 正交性
或表示： i * j d j * i d ij
ij
1 0
i j i j
归一性 正交性
⑶ n→∞时，此几率的极限为何值？说明了
什么原理？
2013-3-22 35
第一章 量子力学基础知识
解：
(1) p
l 4
(
2 l
sin
nx l
) dx
2
1 4

1 2n
sin
n 2
0
⑵
n3
1 4
p max
1 2n
1 4

1 6
1 4
0.303
(3) lim (
n
2、物理量的平均值
ˆ 若 不是 A 的本征函数，即体系处于某个任意
状态，则在此状态，该物理量没有确定值，只能求 平均值。 平均值公式：
A
ˆ * A d


* d
若 为归一化波函数，则：
A
2013-3-22

ˆ * A d
7
第一章 量子力学基础知识
五、保里（Pauli）原理
第一章 量子力学基础知识
B. 零点能效应