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最新微积分第九章微分方程

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《经济数学微积分》微分方程

《经济数学微积分》微分方程
y
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2

常微分方程

常微分方程

dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程

微积分教学课件第9章微分方程

微积分教学课件第9章微分方程

解: 方程变 dy2 形 y为 y2,令 u y , 则有
dx x x
x
uxu2uu2
分离变量 u2duudxx
即 1 1dudx
u1 u
x
积分得 lnu1lnxlnC, 即 x(u1) C
u
u
代回原变量得通解 x(yx)C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 (Xx) y
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Xxyy
x yy x, 即 yy2x0 Q o
P xx
微积分
微积分
第9章 微分方程
9.1 基本概念 9.2 一阶方程求解 9.3 可隆阶高阶方程举例
微积分
9.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
微积分
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dx x
解法: 令 u y , 则yux, dy uxdu ,
x
dx
dx
代入原方程得 uxdu (u)
dx
分离变量:
du dx
(u)u x
两边积分, 得
du
(u)u
dxx
积分后再用 y 代替 u, 便得原方程的通解. x

经济应用数学基础微积分第九章课件

经济应用数学基础微积分第九章课件

形如 dy f (x)g( y) 的方程，称为变量分离方程. dx
例如 dy xe y e ydy xdx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,

1 g( y)
dy


f
(
x)dx
分离变量法
设G( y)和F (x)分别为 1 和f (x)的原函数，则 g( y)
G( y) F( x) C 为微分方程的解.
第九章 微分方程与差分方程简介
一、微分方程的一般概念 二、一阶微分方程 三、几种二阶微分方程 四、二阶常系数线性微分方程 五、差分方程简介
9.1 微分方程的一般概念
1、问题的提出
引例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y(x),则
三、不显含自变量的二阶微分方程y'' f ( y, y ')
一、最简单的二阶微分方程
形 如 y f (x) 的微分方程是最简单的二阶微
分方程。
特点：右端是 x 的一元函数。
解法：连续求 两 次积分。
例 解微分方程
y xex
二、不显含函数的微分方程y'' f ( x, y ')
常微，偏微，阶，通解，特解。 二、变量分离微分方程的解法
三、齐次微分方程的解法: y ux
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;

数值分析25_第九章常微分方程数值法9。19。2欧拉法

数值分析25_第九章常微分方程数值法9。19。2欧拉法
h2 y xn O h 3 O h 2 2


所以隐式Euler方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项 h2 为 yxn ，仅与显式Euler方法的局部截断误差的主项反一个符号。 2 梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差
h Rn,h y xn 1 y xn f xn，y xn f xn 1，y xn 1 2
n 1
。
对于隐式公式，通常采用预估-校正技术，即先用显式公式计算，得到
预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得 到 校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式 作校正，即
0
yn 1 yn hf xn，yn ，
h 0 yn 1 yn f xn，yn f xn 1，yn 1 ，n 0，。 1， 2
从
x0 处的初值 y0 开始，按（2）可逐步计算以后各点上的值。称 （2）式为显式Euler。由于（3）式的右端隐含有待求函数值 yn 1 ，
不能逐步显式计算，称（3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果
将（2）和（3）两式作算术平均，就得梯形公式。
华长生制作 8
yn 1 yn
解 本题有 并代入h=0.1得
f ( x，y) x y 1，y0 1。如果用Euler方法，由（2）
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn 0.1( xn yn 1) 0.1xn 0.9 yn 0.1
同理，用隐式Euler方法有 yn 1 yn hf xn 1 , yn 1 yn 0.1 xn 1 yn 1 1 yn 0.1xn 1 0.1yn 1 0.1

经济数学基础微积分课件 常微分方程

经济数学基础微积分课件 常微分方程

例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶

微积分9章2线性微分方程

微积分9章2线性微分方程

= ce ∫
1 dx x
= ce ln x = cx
dy = 2y dx dy = 2y 【解 】 dx
(5)
⇒
dy − 2y = 0 dx
[ p( x ) = −2 ]
y = ce
− ( −2 ) dx
∫
= ce
2 dx
∫
= ce 2 x
5 16
( 6)
dy = y cos x dx dy = y cos x ⇒ dy − (cos x ) y = 0 dx dx
[ p( x ) = 1 ]
y = ce
= ce − x
( 2) y ′ = y
【解 】 y ′ = y ⇒ y ′ − y = 0
[ p( x ) = −1 ]
y = ce
− ( −1) dx
∫
∫ dx = ce x = ce
[ p( x ) = x ]
− x2
4 16
1 2
( 3) y′ + xy = 0
= ( x + 1) ( x + 1) 2 + c 2 1 = ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 2 2
注意
求解一阶线性微分方程， (1) 求解一阶线性微分方程，直接使用通解公式即
可。不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。 不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。
14 16
dx 1 + x = y2 或 dy y 这就是说， 当作未知函数， 这就是说，如果把 x 当作未知函数，那么所给出的方程是
一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程。 【解】根据一阶线性微分方程的通解公式

微积分-一阶线性微分方程的解

微积分-一阶线性微分方程的解

一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。

我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。

接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。

微积分中的微分方程与变分法

微积分中的微分方程与变分法

微分方程的定义
微分方程是包含 未知函数及其导 数的等式
微分方程描述了 变量之间的依赖 关系和变化规律
微分方程的解是 满足等式的函数
微分方程在科学、 工程等领域有广 泛应用
微分方程的分类
线性微分方程：方程中的未知函数及其导数都是一次幂的函数 非线性微分方程：方程中的未知函数及其导数都是高于一次幂的函数 常微分方程：只含有一个自变量的微分方程 偏微分方程：含有多个自变量的微分方程
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微分方程与变分法的互补性
微分方程在描 述物理现象和 解决实际问题 中具有重要地 位，而变分法 是研究泛函极 值的数学工具。
微分方程关注 方程的解，而 变分法关注泛
函的极值。
微分方程可以 用来求解具体 的初值或边值 问题，而变分 法可以用来求 解泛函极值问
题。
微分方程和变 分法在数学和 物理领域中相 互补充，共同 推动科学的发
微分方程是描述 函数变化规律的 数学模型，而变 分法是研究函数 极值的数学方法。
微分方程的解通 常表示函数的变 化规律，而变分 法的目标是最优 化某个函数或泛 函。
在某些情况下， 微分方程的解可 以通过变分法得 到，而变分法的 极值条件可以转 化为微分方程的 形式。
微分方程和变分 法在数学、物理、 工程等领域都有 广泛的应用，且 在解决实际问题 时经常相互借鉴 和交叉使用。
经济问题中的微分方程
描述经济现象的数学模型
微分方程在经济学中的应 用案例
微分方程在经济学中的求 解方法
微分方程在经济学中的实 际意义
生物问题中的微分方程
描述种群增长规律的微分方程
描述生物代谢过程的微分方程
添加标题

微积分(下册)第二版 第9章 微分方程

微积分(下册)第二版 第9章 微分方程

又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
2023/8/29
2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
2023/8/29
5
§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx

微积分 第3版 第9章 微分方程与差分方程

微积分 第3版 第9章 微分方程与差分方程
例1的微分方程模型可以改写为: dt
y(0) 64
常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.
在n 阶微分方程中形如
a n ( x ) y (n ) a n1 ( x ) y (n1) a 1 ( x ) y a 0 ( x ) y b ( x )
的微分方程称为线性微分方程; 其中
d 2Q
dQ Q
( 5) 2 R
0;
dt
dt C
d
( 6)
sin2 .
d
解 (1), (4), (6)为一阶微分方程;
(2), (5)为二阶微分方程;
(3)为三阶微分方程;
其中 (2), (3), (5), (6)是线性微分方程;
(1), (4)是非线性微分方程.
9.2 一阶微分方程
故, x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
例3 验证 y sin(x C ), (C 是任意常数) 是微分
2
2

y

y
1 的通解.
方程
解 将 y sin(x C ), y cos( x C )
代入方程, 得恒等式
sin2 ( x C ) cos 2 ( x C ) 1
9.2.1 可分离变量的微分方程
1. 定义 可化为形如
或
dy
( x ) ( y ) (9 1)
dx
M 1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0 (9 1')
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
其中 ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.

微积分内容总结

微积分内容总结

《微积分》考试大纲第一章：函数与Mathematica入门1.1 集合掌握集合运算，理解邻域的概念。

1.2 函数理解函数的概念,掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。

理解复合函数和反函数的概念。

熟悉基本初等函数的性质及其图形。

1.3 经济学中常用的函数掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。

第二章：极限与连续2.1 极限了解数列极限及函数极限的概念和性质，掌握极限的四则运算法则,会用变量代换求简单复合函数的极限，了解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)，连续性掌握两个重要极限,并会用它们求相关的极限。

2.2 函数的连续性理解函数的连续性的概念，了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性理、零点定理和介值定理)。

2.3 无穷小的比较了解无穷大量和无穷小量的有关概念及性质，了解无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第三章：导数与微分3.1 导数的概念理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

3.2 求导法则和基本初等函数导数公式掌握基本初等函数的求导公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数的导数。

了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶,二阶导数的求法,了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式。

3.3 微分的概念理解微分的概念,理解函数的可微性,可导性及连续性的关系,了解微分四则运算法和一阶微分的形式不变性。

第四章：中值定理及导数应用4.1 中值定理了解罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange) 中值定理及柯西(Cauchy)中值定理。

4.2 导数的应用会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限，理解函数的极值的概念,掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

4.3 泰勒公式了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想。

微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1

微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1

第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。

,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。

微分方程的基本概念(45)

微分方程的基本概念(45)
n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y, y,, y(n) ) 0。
F(x, y, y, y) d2 y b d y cy sin x 0。 d x2 d x
11
方程的解、通解、特解、所有解
能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。
如果 n 阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意 常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解。
易验证 y 0 也是方程的解，但它不被包含在通解内。
此时称 y 0为方程的奇解
33
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.
知道下列高阶方程的降阶法： y f (x, y), y f ( y, y), y(n) f (x).
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线
性微分方程的解法.
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
由于 y 1对应于C 0；y 1对应于C ，所以，
原方程的解为
y
1 1
Ce Ce
x x
，
( C 为任意常数)。
31
例
求方程(1 y2 ) d x y(x 1) d y 0 的通解。
解 方程两边同除以(x 1)(1 y2 )，得
dx d x 1 1
y y2
0。
两边同时积分，得
ln | x 1| 1 ln |1 y2 | ln | C |， 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第三十一讲 微分方程的基本概念
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第九章 常微分方程
本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方
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微积分第九章微分方程第九章微分方程一、教学目标及基本要求（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。

（2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。

（3）会用降阶法解下列方程：«Skip Record If...»。

（4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。

（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

（6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

（7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。

二、本章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。

三、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。

本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题）1、«Skip Record If...»2、«Skip Record If...»可微3、«Skip Record If...»4、«Skip Record If...»5、«Skip Record If...»6、«Skip Record If...»7、已知可微函数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»；8、已知«Skip Record If...»；9、求与曲线族«Skip Record If...»相交成«Skip Record If...»角的曲线；10、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？§9.1微分方程的基本概念一、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。

前者强调的是运动的过程，是系统的机理；后者强调的则是运动的结果，是系统的输出。

说明2：可分离变量的微分方程虽然简单，但它是求解各种微分方程的基础，要求学生必须熟练掌握。

定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。

如： «Skip Record If...»二阶方程；«Skip Record If...»一阶方程；«Skip RecordIf...»三阶方程，等等讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。

解之，«Skip Record If...»，方程两边三次积分，得方程的解«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为任意常数）。

当«Skip Record If...»时，也满足方程。

可见«Skip Record If...»包括了所有的解的形式。

则称它为通解。

定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。

若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。

注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解注2：一阶方程的几种形式：一般形式：«Skip Record If...»，从这个方程种有可能解出«Skip Record If...»，也有可能解不出来；一阶显式方程：«Skip Record If...»；对称形式：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»注3：在一阶方程种，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的关系是等价的.因此，有时可将«Skip Record If...»看成函数，«Skip Record If...»看做变量。

§9.2可分离变量的微分方程一、内容要点：可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。

本单元的讲课提纲：然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离变量法。

重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量法。

难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量方程的方法，以及具体积分方法。

二、教学要求和注意点掌握可分离变量微分方程的解法注意问题：«Skip Record If...»通常只表示一个原函数，积分常数C有时写成«Skip Record If...»定义1：称能改写为形式：«Skip Record If...»的一阶方程为可分离变量方程。

注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。

定理1：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的通解为«Skip Record If...»证：（1）先证«Skip Record If...»是方程的解。

两边对«Skip Record If...»求导，得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»故«Skip Record If...»是方程的解（2）设«Skip Record If...»是方程的任一解，则«Skip Record If...»两边关于«Skip Record If...»积分，得 «Skip Record If...»又 «Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个原函数，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个原函数则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中所以， «Skip Record If...»为«Skip Record If...»的通解。

注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。

注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。

【例1】求«Skip Record If...»的通解，并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解。

解：方程可变为«Skip Record If...»，两边积分，得«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»为方程的通解。

又«Skip Record If...»，代入，得 «Skip Record If...» «Skip Record If...»即满足初始条件的特解为 «Skip Record If...»【例2】求«Skip Record If...»的通解。

解：由«Skip Record If...»，分离变量，得«Skip Record If...»，两边积分，得«Skip Record If...»，即为方程的隐式通解。

二、可化为齐次方程的方程经«Skip Record If...»变换将行如«Skip Record If...»方程化为齐次方程。

【例3】求«Skip Record If...»的通解。

解：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»令«Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»方程变为：«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»代入，得«Skip Record If...»，积分，得 «Skip Record If...»，由 «Skip Record If...»代回，得通解为： «Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»为任意常数）§9.3齐次方程内容要点：齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法本单元的讲课提纲齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题，让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积累经验。

重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。