微积分第九章微分方程

微分方程和积分方程是微积分中重要的两个分支，它们在多个科学领域中具有广泛应用的价值。

微分方程是描述函数变化率的方程，而积分方程是描述函数与其积分之间的关系的方程。

它们之间有密切的联系和互相补充的作用。

微分方程是以未知函数及其导数之间的关系为基础的方程，它描述了函数的变化率。

微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程仅涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。

微分方程不仅仅是数学中的一种工具，更是自然科学和工程领域中描述物理现象的重要工具之一。

微分方程的解是解析计算和数值计算的基础，也是理解和研究动力学系统的关键。

例如，牛顿第二定律中的运动方程、电路中的电流变化、生物中的生长模型等，都可以通过微分方程来描述和求解。

微分方程的解法有很多种，常见的方法有分离变量法、常系数齐次方程法、特殊形式微分方程法等。

积分方程是将函数与积分联系起来的方程，它描述了函数与其积分之间的关系。

在微积分中，我们常常使用积分方程来求解一些复杂的问题，尤其是在求解微分方程的时候。

通过对微分方程进行积分，可以得到积分方程，从而得到解析解或数值解。

积分方程在工程技术中的应用非常广泛。

例如，电动力学中的库仑定律、弹簧振子的运动规律、化学反应的速率等，都可以通过积分方程来描述和求解。

积分方程的求解方法有很多种，常见的方法有变量代换法、逐次积分法、分部积分法等。

微分方程和积分方程在科学研究中具有重要的地位，无论是在数学领域还是在物理、化学、生物等科学领域中，它们都有着广泛的应用。

通过对微分方程和积分方程的研究，我们可以更深入地理解和解释各种自然现象和工程问题。

总之，微分方程和积分方程是微积分中的重要内容，它们对于理解和解决各类科学问题起着关键作用。

微分方程和积分方程之间相互依存、相辅相成，互为理论基础和应用工具。

不管在理论研究还是实际应用中，微分方程和积分方程都具有不可替代的地位。

通过深入学习和研究微分方程和积分方程，我们将能够更好地掌握微积分的核心思想和方法，提高数学分析和问题求解的能力。

第九章 微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引 言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。

微分方程是微积分的一个重要应用领域，研究的是含有未知函数的导数或微分的方程。

微分方程在物理学、经济学、生物学以及工程学等领域中都有广泛的应用，在求解实际问题中起着重要的作用。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程是只含有一个自变量的方程，而偏微分方程是含有多个自变量的方程。

本文将主要讨论常微分方程中的微分方程。

微分方程的基本形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$这个方程可以理解为函数y对自变量x的变化率就是f(x,y)。

微分方程的求解过程可以分为两个步骤：1）求解齐次方程；2）求解非齐次方程。

对于齐次微分方程$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$通过变量代换，令y = vx，可以将齐次方程转化为可分离变量方程$$v\frac{dv}{dx}+v=f(v)$$其中，在得到v的解后，将v代入y = vx，可以得到原齐次微分方程的解。

对于非齐次微分方程，又可以分为两种情况。

1）线性微分方程$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，p(x)和q(x)都是已知函数。

线性微分方程可以通过常数变易法进行求解。

先求解对应的齐次方程，然后再求解非齐次方程。

根据线性微分方程的齐次方程可以得到一组线性无关的解，将其线性组合并加上非齐次方程的一个特解，就可以得到原方程的通解。

2）可化为线性微分方程的方程$$\frac{dy}{dx} = p(x)y^2+q(x)y+r(x)$$这类方程可以通过变量代换将其化为线性微分方程进行求解。

微分方程的求解方法还有很多种，比如分离变量法、恒等变换法、参数法等等，每种方法都有其适用的问题类型。

除了求解微分方程的方法，微分方程还有一些重要的概念和定理。

比如初值问题，就是给定了一个初值条件，要求求解满足初值条件的微分方程的解。

而皮卡-林德勒夫定理则保证了微分方程在一定条件下具有唯一解的存在性。

第九章 微分方程初步微分方程是微积分学理论联系实际的重要渠道之一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．尽管很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关系，但是由实际问题所提供的信息及相关学科的知识，可得到关于所求函数的导数或微分的关系式，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程后，再通过求解微分方程得到要寻找的未知函数．本章先介绍微分方程的基本概念，然后讨论几种常见的微分方程的解法，并介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．第一节 微分方程的基本概念下面通过几个具体例子引入微分方程的有关概念．例1 一曲线过点(1，2)，且该曲线上任意点P (x ,y )处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍，求此曲线的方程．解 设所求曲线的方程为y =y (x )．由导数的几何意义及题意可得xyd d ＝3x 2． （1） 又因曲线过点(1,2)，故y =y (x )还应满足条件：y|x =1＝2 (或记作y (1)=2)， （2）对(1)式两端积分，得y =x 3+C （其中C 为任意常数），（3）把条件(2)代入(3)，得C =1．于是，所求曲线的方程为y =x 3+1， （4）例2 在地球引力作用下，质量为m 的物体，从空中某处由静止自由落下，试求物体的运动规律．解 假设自由落体在时刻t 下落的距离为x ．取x 轴的正向铅直向下，物体下落的起点为坐标原点．由二阶导数的物理意义(第三章第三节例8)知22txd d ＝g ． （5） 且当t =0时，x =0，txd d ＝0，或写成 x |t =0＝0，tx d d t =0＝０．（6）易验证： x =21gt 2满足方程(5)． 例3 考察某地区人口数量y 的增长情况，即人口数量与时间t 的函数关系． 解 根据自然规律推测： 某时刻人口的增长率tyd d 与t 时刻人口数量y 成正比，而这个比例系数应是当地人口出生率m 与人口死亡率n 之差．于是可得方程tyd d ＝（m -n ）y ． （7） 易验证： y =Ce (m -n )t 满足方程(7)．在上面的几个例子中，都无法直接找到变量之间的函数关系，而是利用几何、物理或经济意义，建立了含有未知函数的导数的方程(1)、(5)及(7)，然后通过积分等手段求出满足方程和附加条件的未知函数．这一类问题及解决问题的过程具有普遍意义，下面抽象出它们的数学本质，引进微分方程的有关概念．定义1 含有未知函数的导数(或微分)，同时也可能含有自变量与未知函数本身的方程，叫做微分方程．在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方程．上面的方程(1)、(5)及(7)都是常微分方程，而像x z x∂∂+yz y ∂∂=x +y （8） 或22x u ∂∂＋22y u ∂∂+22zu∂∂＝0（9） 都是偏微分方程．本章只研究常微分方程，以后若不特别说明，凡提到的微分方程或方程，均指常微分方程．定义2 微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数，叫做微分方程的阶． 例如方程(1)、(7)、(8)是一阶微分方程，方程(5)、(9)是二阶的． 一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)=0．如果能将y ′从上述方程解出，则得方程y ′=f (x ,y )．前一方程称为一阶隐式方程，后一方程称为一阶显式方程．相应地，二阶隐式微分方程的一 般形式为F (x ,y ,y ′,y ″)=0,其中F 是一个已知函数，且y ″必须出现．二阶显式微分方程的形式为y ″=f (x ,y ,y ′)．定义3 如果将某个已知函数代入微分方程中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该方程的解．如y =x 3+1是方程(1)的解，y =C e (m -n )t 是方程(7)的解．定义4 如果n 阶微分方程的解中含有n 个独立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解．而确定了通解中任意常数的值的解，称为方程的特解．例如y =x 3+C 是方程(1)的通解，而y =x 3+1是方程(1)的一个特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为定解条件)，求出满足定解条件的特解．一般地，一阶方程给出一个定解条件，常见的定解条件形式为：y (x 0)=y 0或记为0x x y ==y 0．二阶方程给出两个定解条件，常见的定解条件形式为：y (x 0)=y 0， y ′(x 0)=y 1, 或记为 0x x y ==y 0， 0x x y ='=y 1，其中x 0,y 0,y 1为给定的常数．即当自变量取某个特定值时，给出未知函数及其导数的对应值，这样的定解条件称为初始条件．图10-1求解微分方程满足定解条件的问题，称为微分方程的定解问题，求解微分方程初始条件的问题，称为微分方程的初值问题．微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线．由于微分方程的通解中含有任意常数，当任意常数取不同的值时，得到不同的积分曲线，所以通解的图形是一族积分曲线(称为微分方程的积分曲线族)．而微分方程的某个特解的图形是积分曲线族中满足给定的初始条件的某一条特定的积分曲线．如例1中，方程(1)的积分曲线族是立方抛物线族y =x 3+C ，而满足初始条件(2)的特解y =x 3+1是过点(1，2)的立方抛物线(图10-1)．例4 验证y =xx C 222-(C 为常数)是否为微分方程(x +y )d x +x d y =0的解．解 由y =x x C 222-得d y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21222xC d x ，代入方程左边得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x x C x 222d x +x ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21222x C d x ＝0． 故y =xx C 222-是所给方程的解．例5 求曲线x 2-y 2=Cy 所满足的微分方程． 解 对x 2-y 2=Cy 两边关于x 求导，得2x -2yy ′=Cy ′．将C =yy x 22-代入上式，得2x -2yy ′＝222x y x -·y ′．整理得y ′＝222y x xy+．习题9-11． 指出下列各微分方程的阶数：(1) x (y ′)2-2yy ′+x =0; (2) (y ″)3+5(y ′)4-y 5+x 6=0; (3) y x '''+2y ″+x 2y =0; (4) (x 2-y 2)d x +(x 2+y 2)d y =0． 2． 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y =(x +C )e -x , y ′+y =e -x ;(2) xy =C 1e x +C 2e -x , xy ″+2y ′-xy =0;(3) x =cos2t +C 1cos3t +C 2sin3t ， x ″+9x =5cos2t ;(4) 2212C y C x +=1， xyy ″+x (y ′)2-yy ′=0． 3． 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程． 4． 求通解为y =C e x +x 的微分方程，这里C 为任意常数．第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)＝0或y ′=f (x ,y )，其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、 可分离变量的方程 形如xyd d =f (x )g (y ) (1) 或M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (2)的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．方程(1)的求解步骤如下： 先将方程(1)分离变量得)(y g yd =f (x )d x ， g (y )≠0， 对上式两端分别积分⎰)(y g yd =⎰x x f d )(,得通解G (y )=F (x )+C ，其中G (y )和F (x )分别是)(1y g 和f (x )的一个原函数，C 为任意常数．若有实数y 0使得g (y 0)=0,则y =y 0也是方程(1)的解，此解可能不包含在通解中．例1 求解方程xy d d ＝21y -． 解 分离变量得21yy -d ＝d x ．两边积分得arcsin y =x +C 或 y =sin(x +C )．注意 对于给定的C ，上述解中x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---C C 2,2ππ．此外，y =±1也是方程的两个特解，但它未包含在通解之中．这是由于分离变量时，将21y -作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsin y ＝x +C （C 为任意常数），另外还有两个特解y ＝±1．例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝pxx P d d ． 依题意，得pxx P d d ＝-3P 3， 于是xxd ＝-3P 2d P ， 积分得ln x =-P 3+C 1，即x =Ｃ3P -e(C =1C -e)．由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为x =3P -e．例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与广告支出x 之间有如下关系：xyd d ＝k (N -y ），其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，解 分离变量yN y-d =k d x ， 两边同时积分得-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)，因N -y ＞0，所以ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，上式经整理得y =N -C e -kx (C =1C -e＞0）．将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为y =N -(N -y 0)e -kx ． 由题设可知xyd d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞→=N ，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如x y d d =⎪⎭⎫⎝⎛x y f （3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(3)，通常可通过变量替换u =xy将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令 u =xy(或y =ux )， 其中u 是新的未知函数．对y =ux 两端关于x 求导，得x y d d =u +x xu d d ． 代入(3)得u +xxud d =f (u )． 分离变量并积分得⎰-uu f u)(d =⎰x x d ，即Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，其中Φ(u )是⎰-uu f u)(d 的一个原函数，再将u =x y 代入上式中，便得到方程(3)的通解Φ(xy)＝ln|x|+C ． 上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，也就是⎪⎭⎫⎝⎛x y f ＝xy．这时，方程(3)为 x y d d ＝xy． 这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．例4 求微分方程xyxy d d =x 2+y 2满足条件y |x =e ＝2e 的解． 解 原方程可化为x y d d = y x +xy，这是一个齐次方程．作代换u =x y ，即y =ux ，则 x y d d ＝u +x xud d ． 代入前一方程得u +xx u d d =u 1+u 即 x x u d d =u1， 分离变量并积分得u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，将u 替换为xy，便得原方程的通解： y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，再将初始条件代入通解得4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，求得 C =1， 于是，所求的特解为y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．例5 设甲、乙两种商品的价格分别为P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为21d d P P P P 12=1212P P P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．解 将所给方程整理为21d d P P =21212111P P P P P P +-．这是齐次方程．令u =21P P ，即P 1＝uP 2，则21d d P P ＝u +P 22d d P u ，代入上式得u +P 22d d P u ＝uu+-11·u ． 整理得⎪⎭⎫⎝⎛--211u u d u ＝222d P P ．两边积分得u1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）． 将u 替换为21P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 2＞０) 12P P e ＝CP 1P 2（C ＝1C e ， C 为正数)．2． 可化为齐次方程的微分方程 形如x yd d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222111C y b x a C y b x a f （4） 的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y b x a C y b x a 有惟一解x =α，y =β．作变量替换⎩⎨⎧-=-=,,βαy v x u 则222111C y b x a C y b x a ++++＝222111)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝vb u a v b u a 22111++．于是方程(4)化为u vd d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++v b u a v b u a f 22111． 这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令21a a ＝21b b ＝λ，即有a 1=λa 2, b 1=λb 2． 方程(4)可写为x yd d ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222122)(C y b x a C y b x a f λ． 作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2xyd d ，方程(4)化为 x t d d ＝a 2+b 212()t C f t C λ++．这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．例6 求方程x y d d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组⎩⎨⎧=++=+-05,01x y x y 得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为u v d d =uv u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它的通解为ln(u 2+v 2)+2arctanuv=C ． 再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan23++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如y ′＋P (x )y =Q (x ) （5）的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．如果Q (x )≡0，方程(5)即为y ′+P (x )y =0． （6）该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(6)为(5)所对应的齐次方程．注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的． 下面来讨论一阶非齐次线性方程(5)的解法．先考虑非齐次线性方程(5)所对应的齐次方程(6)的通解．显然y =0是它的一个解，当y ≠0时分离变量得yyd =-P (x )d x ． 两边积分得ln ｜y ｜=⎰-x x P d )( +C 1，即y =C ⎰-xx P d e)( （C =±1Ce ）．y =0也是方程(6)的解，这时在上式中取C =0即可．于是得到方程(6)的通解为y =C ⎰-xx P d e)( (C 为任意常数)． (7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(5)的通解．由于方程(5)与(6)的左端相同，右端不同，方程(5)的右端比方程(6)的右端多了一项Q (x )，因此，我们猜想方程(5)的通解也具有(7)的形式，而其中的C 不可能还是常数，而是x 的某个函数C (x )．于是，可设方程(5)的解为y =C (x )·⎰-xx P d e)(， （8）其中C (x )是待定函数． 将(8)代入方程(5)，得[C (x ) ⎰-x x P d e)(]'+P (x )C (x ) ⎰-xx P d e)(=Q (x )．化简，得C '(x )＝Q (x ) ⎰xx P d e )(．上式两端同时积分，得C (x )=⎰)(x Q ⎰xx P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．将上式代入(8)式，得非齐次线性方程(5)的通解y =⎰-xx P d e)([⎰)(x Q ⎰x x P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常数)． （9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．将通解(9)改写为y =C ⎰-xx P d e)(+⎰-xx P d e)(⎰⎰x x Q xx P d )e (d )(． 不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(5)所对应的齐次线性方程(6)的通解，第二项是方程(5)本身的一个特解［对应于通解(9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为y ′+x y =xxe ． （10）先求得方程(10)对应的齐次线性方程的通解为y =xC， 再利用常数变易法，设方程(10)的解为y =xx C )(， 代入方程(10)得22)()()(x x C x x C x C x +-'＝xxe ，化简，得C '(x )=e x ，积分得C (x )=e x +C ，故得方程(10)的通解为y =x1 (e x+C )（C 为任意常数）． 这也就是所求方程的通解．以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(5)的标准形式．这里，P (x )= x 1，Q (x )＝xxe ，代入公式(9)，得方程的通解为y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x xd e e ed d 11＝x1(e x +C )． 例8 求方程y ′＝3yx y+满足初始条件y (0)=1的特解． 解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成y x d d -y1x =y 2， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．利用通解公式(9)得x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y yy yd eed 2d 11＝[]⎰+-C y y yy d ee 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +21y 3， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求 方程的特解为x =21-y +21y 3． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝t f xt d ⎰303)(＋e 2x ，求f (x )．解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可导．对方程两端同时求导，得f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．由一阶线性方程的通解公式，得f (x )＝()⎰+⎰-⎰C x xx xd e ee d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为63x ＋31，求f (x )的表达式．图10-2解 参看图10-2，由题设得2x ［1+f (x )］+⎰1)(x t t f d ＝63x ＋31，求导，得21［1+f (x )］+21xf ′(x )-f (x )=22x ， 即f ′(x )-x 1f (x )=xx 12- (x ≠0)．利用一阶线性微分方程的通解公式，得f (x )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x xd e ed d 1211＝e ＝x 221d x x C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝x 2+1+Cx ． 当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有f (x )=x 2-2x +1．形如xyd d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1） （11） 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(11)两端除以y α，得y -αx yd d +P (x )y 1-α＝Q (x )，即xy d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为xzd d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （12）这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．例11 求方程y ′+y xx21- =21xy 的通解． 解 这是α＝21的伯努利方程．方程两边同时除以21y ，得21211y xx x y y -+d d ＝x ． 令z ＝y 1-α＝21211y y=-，则上面的方程化为x z d d +z x x)1(22-＝2x ．这是一阶线性微分方程，其通解为z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰-⎰-C x x x x x x x xd e ed d 221211212 ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---C x x 43242)1(311＝)1(311242x x C ---． 将21y 替换z ，得原方程的通解为y =2242)1(311⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)． 习题9-21． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝xy-+11； (2) xy d x +21x -d y =0; (3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)1,0110==+-+=x y y xy x y x d d ； (6) yy ′+x e y =0, y (1)=0;(7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ．2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=x y +sin xy ； (3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1；(5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1; (6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ; (7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) y ′-y =sin x ; (2) y ′-xny =x n e x ； (3) (x -2y )d y +d x =0;(4) (1+x sin y )y ′-cos y =0； (5) y ′-1+x y=(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2221212x x y x x +=+，y (0)=23;(7) y ′-y x1=-x 2ln x , y (1)=1;(8) y ′+2xy =(x sin x )·2x -e，y (0)=1;(9) y ′＝234xyy x +； (10) y ′＝xyy x +331． 5． 设函数f (x )在［1,＋∞)上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件f (2)=92的特解． *6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)．7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )． 8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为C ′(x )＝xCx +++11，且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ， 其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S 最高?第三节 高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程．本节只介绍几种特殊形式的高阶方程的求解问题．一、 几类可降阶的高阶微分方程 一般来说，求解一个阶数较低的微分方程总比求解相应的高阶方程要容易，因此对于一个高阶方程自然会想到能否把它的阶数降低，直至降到一阶微分方程来求解．这种求解方法称为降阶法．下面介绍几种容易降阶的高阶微分方程的解法．1． y (n )=f (x )型的微分方程 对方程y (n )=f (x ) （1）积分一次，得到一个n -1阶方程y (n -1)=⎰x x f d )( +C 1，再积分一次，得到一个n -2阶方程y (n -2)=()⎰⎰+x C x x f d d 1)( +C 2，依次积分n 次，便可得到方程(10-3-1)的通解．例1 求微分方程y '''=cos x -3x 的通解． 解 对方程的两端连续积分三次，得y ″＝⎰-x x x d )3(cos =sin x -223x +C 1， y ′＝⎰+-x C x x d )23(sin 12=－cos x -321x ＋C 1x ＋C 2，y ＝32214213281sin )21cos (C x C x C x x x C x C x x +++--=++--⎰d（C 1，C 2，C 3为任意常数）．这就是所求的通解．2． F (x ,y ′,y ″)=0型的微分方程这种方程的特点是不显含未知数y ．如果令y ′=P (x ),则y ″=P ′(x )，原方程可化为F (x ,P ,P ′)＝0，这是以x 为自变量，P (x )为未知函数的一阶微分方程．若能求出它的通解：P ＝ϕ(x ,C 1），将P 替换为y ′，那么又得一个一阶方程xyd d ＝ϕ(x ,C 1)． 对上式两端积分，便可得原方程的通解为y =x C x d ⎰),(1ϕ +C 2 (C 1,C 2为任意常数)．例2 求解微分方程xy ″+y ′=0满足初始条件y (1)=1,y ′(1)=2的特解． 解 令y ′=P ,则y ″=P ′，于是原方程化为xP ′+P =0．分离变量得xxP P d d -=， 两端积分得P ＝x C 1， 即x C x y 1=d d ， 代入初始条件y ′(1)=2, 得 C 1=2，于是有xx y 2=d d ， 再积分得y =2ln ｜x ｜+C 2，又代入初始条件y (1)=1得 C 2=1，因此所求的特解为y =2ln ｜x ｜＋１．在用降阶法求特解时，对积分过程中出现的任意常数，若及时代入初始条件确定出任意 常数，会使计算简化．3． F (y ,y ′,y ″)=0型的微分方程这种微分方程的特点是不显含自变量x ．如果令y ′=P (y )，则y ″＝yPP x y y P x P d d d d d d d d =⋅=， 于是原方程化为0),,(=yPPP y F d d ． 这是一个以y 为自变量，P 为未知函数的一阶微分方程．若能求得它的通解：P ＝ϕ(y ,C 1)，则有xyd d ＝ϕ(y ,C 1)．将上式分离变量再积分，便可得原方程的通解⎰),(1C y yϕd ＝x +C 2 ［ϕ(y ,C 1)≠0时］． 例3 求方程yy ″-2y '+y ′=0的通解． 解 令y ′=P ,则y ″=yPP d d ， 原方程化为01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-P y P y P d d ．因此P ＝0 或 01=+-P yPyd d ． 若P =0， 即0=xyd d ，方程的解为y =C 0 (C 0为任意常数)．而后一方程为 yP y y P 11-=-d d ， 这是一个非齐次线性微分方程，此方程的通解为P =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎰⎰-⎰1)1(1)1(C y y yy y yd eed d ＝1+C 1y (C 1为任意常数)， 即xyd d =1+C 1y ， 分离变量并积分得y =1211C C x C -e ,这里C 1，C 2为任意常数，且C 1≠0．由于y =C 0这个解包含在解y =1211C C x C -e 之中（取C 2＝0，C 1＝01C -即可），因此，原方程的通解为y =1211C C x C -e ．例2 求y 2y ″+1=0的积分曲线，并使积分曲线通过点(0，21)，且在该点处切线的斜率为2．解 由题设，所求曲线y =y (x )为满足方程y 2y ″+1=0及初始条件 y |x =0＝21， y ′|x =0＝2的解． 这是一个不显含x 的方程，令P ＝y ′，y ″＝yPPd d ，原方程化为 y P Py d d 2=-1,即21yy P P -=d d ， 分离变量并积分得1212C yP +=， 由y ′|x =0=2,y |x =0=21,得C 1=0, 于是有 yx y 2=d d ,即x y y d d 2=． 两边积分得223232C x y +=， 再由y |x =0=21,得2322132⎪⎭⎫ ⎝⎛=C ， 故所求积分曲线方程为y 3=2)213(21+x ． 二、 二阶线性微分方程解的性质与结构形如y ″+P (x )y ′+Q (x )y =f (x ) (2)的方程，称为二阶线性微分方程．方程右端f (x )称为自由项，P (x )与Q (x )称为方程的系数．当f (x )≡0时，方程（2）变为()()0y P x y Q x y '''++=， （3）称之为二阶齐次线性微分方程。

微积分中的微分方程微积分是现代科学和工程的基础，它包括微分和积分两个主要分支。

微分方程作为微积分的重要组成部分，在许多科学和工程领域中都扮演着重要的角色。

微分方程是描述变化率与未知函数之间关系的数学方程，它们能够描述自然界中的各种现象和过程。

微分方程的应用范围广泛，涉及到物理、化学、生物、经济、工程等领域。

下面我们将介绍微积分中的微分方程的基本概念、求解方法以及一些实际应用。

微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程有多个独立变量。

常微分方程的解是一个函数，而偏微分方程的解是一个函数族。

微分方程的一般形式可以写为dy/dx=F(x,y)，其中y是未知函数，x是独立变量，F(x,y)是已知函数或表达式。

微分方程的解是使得方程左右两侧相等的函数。

通常情况下，微分方程的解是不唯一的，解的形式和性质取决于方程的具体形式和边界条件。

一阶微分方程是最基本的微分方程形式，它只涉及到一阶导数。

一阶微分方程可以分为可分离变量方程、线性方程、齐次方程和一阶Bernoulli型方程等。

可分离变量方程的形式为dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将其化简为两个单变量的微分方程，然后求解得到解析解。

线性方程的形式为dy/dx+a(x)y=b(x)，可以通过积分因子法、变量变换法等方法求解。

齐次方程的形式为dy/dx=f(y/x)，可以通过变量变换的方法将其化为线性方程求解。

一阶Bernoulli型方程的形式为dy/dx+a(x)y=b(x)y^n，可以通过变量代换的方法将其化为线性方程求解。

二阶微分方程是包含二阶及以下导数的微分方程形式。

二阶微分方程可以分为齐次方程和非齐次方程两类。

齐次方程形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数或表达式。

齐次方程的解可以通过特征根法、特解法等方法求解。