下载文档原格式
数值分析--第9章常微分⽅程数值解数值分析--第9章常微分⽅程数值解第九章常微分⽅程数值解法许多实际问题的数学模型是微分⽅程或微分⽅程的定解问题。
如物体运动、电路振荡、化学反映及⽣物群体的变化等。
常微分⽅程可分为线性、⾮线性、⾼阶⽅程与⽅程组等类；线性⽅程包含于⾮线性类中，⾼阶⽅程可化为⼀阶⽅程组。
若⽅程组中的所有未知量视作⼀个向量，则⽅程组可写成向量形式的单个⽅程。
因此研究⼀阶微分⽅程的初值问题=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy ， (9-1)的数值解法具有典型性。
常微分⽅程的解能⽤初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。
⽤解析⽅法只能求出线性常系数等特殊类型的⽅程的解。
对⾮线性⽅程来说，解析⽅法⼀般是⽆能为⼒的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能⾮常复杂⽽不便计算。
因此研究微分⽅程的数值解法是⾮常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯⼀的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。
由常微分⽅程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满⾜条件（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续；（2）),(y x f 在D 上关于y 满⾜Lipschitz 条件，即存在常数L ，使得y y L y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟⼀的连续解)(x y y =。
在下⾯的讨论中，我们总假定⽅程满⾜以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若⼲点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的⽅法。
),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如⽆特别说明，我们总假定步长为常量。
