第一章 线弹性断裂力学

第一章 线弹性断裂力学

线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。（李灏）

§1.1 线弹性断裂力学的基本理论

线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。

一、Griffith理论

1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。

Griffith研究了如图1-1所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为

2222211UaBEUaBE平面应变平面应力

图1-1

其中：为泊松比。

另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为

4SaB

其中：为单位面积上的表面能。 2a x y  如果应变能释放率ddUA，等于形成新表面所需要吸收的能量率ddSA，则裂纹达到临界状态；如果应变能释放率ddUA小于吸收的能量率ddSA，则裂纹稳定；如果应变能释放率ddUA大于吸收的能量率ddSA，则裂纹不稳定。因此可以得到如下表达式

d()0dUSA 临界状态

d()0dUSA 裂纹稳定

d()0dUSA 裂纹不稳定

能量关系为()ddWUSdAdA (其中W为外力功)

板中初始的应变能20122UVVE,形成裂纹后系统的总能量012CUUU.

以平面应力为例：

22242aUVaEE2240UaaE

可得22cEa，又22220UaE

当22cEa时，系统有极大内能。

当caa时,a增大,内能增大,需补充能量,若无裂纹不会扩展.

当caa时,a增大,内能减少,无需补充能量,裂纹即扩展.

同理：当a固定,122()cEa,当c时裂纹失稳扩展.

对于平面应变:2222(1)2(1)ccEaEa.

Griffith判据:

(1)当外加应力超过临界应力c时;(2)当裂纹尺寸a超过临界裂纹尺寸ca时;则脆性物体断裂.(适用于理想的脆性材料).

二、Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展

Orowan在1948年指出:金属材料考虑塑性变形，pU----塑性变形功.

22()(1)2()PcPEUaEUa平面应变平面应力 2222()(1)2()PcPEUaEU平面应变平面应力

Irwin在1948年引入解记号G

1()2GWUa

其中W为外力功,U为裂纹存在释放出的应变能,G为裂纹能量释放率(裂纹扩展能力).

判据(G准则):

cGG

其中：cG是临界值,由试验确定.

Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形。

该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志。

三、应力强度因子理论

Irwin判据提出后的最初十年未取得显著的成果,主要原因是G计算不方便.而在Irwin之前,发现裂纹尖端的奇异性（如图1-2）,即:

1(,)(0)iyrrr

图1-2

基于这种性质，1957年Irwin提出的解的物理量—应力强度因子K,即：  r y

x 0lim2(,0)yyrKrr

K是仅与裂纹顶端局部相关联的量,确定比G容易.

1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的cKK.

断裂判据(K准则):

cKK.

总结:1920年Griffith理论提出,1960年线弹性断裂力学最终建立.

§1.2 裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值

一、裂纹的类型

1.按裂纹的几何类型分类:

穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.

表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.

深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.

2.按裂纹的受力和断裂特征分类：

张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.

滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.

撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.

二、裂纹尖端附近的应力场.位移场

1.Ⅰ型裂纹

问题的描述:无限大板,有一长为2a的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力的作用，确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.

Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.

(1)Westergaurd应力函数

弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数边界条件及双调和方程.这类问题的应力,应变和位移.

1939年Westergaurd应力函数

ReImZyZⅠⅠ 2a x y

O 其中：Z为解析函数.,ZZ为一次积分和二次积分.

首先证明:为应力函数.即40满足双调和方程.

42222()()xyxy

因为:222Re(Im)ZyZⅠⅠ

解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数

(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程

2Re0ZⅠ222222(Im)(Im)(Im)yZyZyZxyⅠⅠ

22Im(ImIm)ZyyyZZxyyy

2222ImImImImZZyZyZxyyy

2ImIm2ZyZy

柯西黎曼条件

解析函数性质:

ReImImZZZyx ImReReZZZyx

有Im22ReZZy

222(2Re)0ZⅠ

即函数是平面问题的应力函数.

则应力分量:

2222(ReIm)xZyZyyⅠⅠ

ReIm(Im)ZZZyyyyⅠⅠⅠ

(ImImRe)ZZyZyⅠⅠⅠ ReReZZyyⅠⅠ

ReImZyZⅠⅠ

即 ReImxZyZⅠⅠ 0z (平面应力)

ReImyZyZⅠⅠ ()2RezxyZⅠ (平面应变)

RexyyZⅠ

物理方程:

yxxEE yxyEE xyxyG (平面应力)

21[(1)(1)]xxyE

21[(1)(1)]yyxE

xyxyG (平面应变)

几何方程:

xux yuy

得:

平面应力

1[(1)Re(1)Im]uZyZEⅠⅠ

1[2Im(1)Re]vZyZEⅠⅠ

平面应变

1[(12)Re(1)Re]uZyZEⅠⅠ

1[2(1)ImRe]vZyZEⅠⅠ

(2)求解双向拉伸Ⅰ型裂纹

边界条件:

a: 0y xa时,0yxy

b: 无穷远处，z时，,0xyxy

选取Ⅰ型裂纹的ZⅠ函数： 22zZzaⅠ

验证:

a: 0y,zx, 22xZxaⅠRe0ZⅠ又0y,

0yxy

b:22limlimzzzZzaⅠ,即ReImxZyZ

同理: ReImyZyZ

RexyyZ

0z (平面应力)

()2RezxyZ (平面应变)

将应力分量代入物理方程.

1[(1)Re(1)Im]2(1)xZyZG

1[(1)Re(1)Im]2(1)yZyZG

1Re2xyyZG

()1平面应力（平面应变）

2RezZE (平面应力)

0z (平面应变)

对几何方程积分

1[(1)Re(1)Im]2(1)xudxZyZG

1[2Im(1)Re]2(1)yvdxZyZG