2.1.1指数幂运算与无理数指数幂

必修1 第二章 基本初等函数

1 2.1.1 指数与指数幂的运算（第1课时）

【教学目标】

1． 掌握根式的概念以及根式的运算性质

2． 让学生学会用联系的观点看待问题

【重点】有理指数幂的概念及运算.

【难点】根式的概念.

【学习探究】

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 48页～第50 页）

1.整数指数幂及其运算

（1）通过问题1，结合初中所学知识，说明整数指数幂2073.1的含义是__ ，

x073.1x(）的含义是____.

na的含义是____)(n, 0a___(1a),na_____ (na,0).

（2）回忆初中所学知识，填写整数指数幂的运算性质：

①sraa•=____（sra,,0）；②sra)(=______（sra,,0）;

③rba)(•=______（sra,,0）;④nba)(=______.

【感悟】回忆初中所学知识，类比记忆.

2.根式

（1）平方根与立方根

如果ax2，那么________；如果ax3，那么____________.

（2）n次方根

如果axn，那么___________，其中1n，且n.

若n是奇数，任意实数a的n次方根有 1个，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数.

若n是偶数， 负数 没有偶次方根，而正数的n次方根有 2 个，它们互为相反数.

无论n是奇数还是偶数，0的n次方根为0 .

【感悟】结合初中所学知识，理解记忆，效果较好.

3.根式

式子na叫做____，n叫做______，a叫做_______.

若nnax，则x可以用根式表示为nna.当n为奇数时，xa；当n为偶数时，xa.

【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快.

问题解决最佳方案

必修1 第二章 基本初等函数

2 问题解决最佳方案

课题：指数与指数幂的运算(一)

课 型：新授课

教学目标：

了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念

教学重点：掌握n次方根的求解.

教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a、3a）

2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：3,aa

二. 讲授新课:

1. 教学指数函数模型应用背景：

① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.

实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）

计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？

② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为57301()2tP. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

2. 教学根式的概念及运算：

① 复习实例蕴含的概念：2(2)4,2就叫4的平方根；3327，3就叫27的立方根.

探究：4(3)81,3就叫做81的？次方根, 依此类推,若nxa,那么x叫做a的n次方根.

② 定义n次方根：一般地，若nxa,那么x叫做a的n次方根.( n th root ),其中1n,n

简记：na. 例如：328，则382

Go the distance

课时作业(十九)

1．化简1－2x2(2x>1)的结果是( )

A．1－2x B．0

C．2x－1 D．(1－2x)2

答案 C

2．若3x2为一个正数，则( )

A．x≥0 B．x>0

C．x≠0 D．x<0

答案 C

3．81的4次方根为( )

A．9 B．±9

C．3 D．±3

答案 D

4．下列命题正确的是( )

A．－a一定是负数

B．若a<0，则－a2＝－a

C．若a<0，则|a2|＝－a2

D．a<0时a

a2＝1

答案 B

5．把

a－1

a根号外的a移到根号内等于( )

A.a B．－a

C.－a D．－－a

答案 D

Go the distance

6．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k等于( )

A．2－2k B．2－(2k－1)

C．－2－(2k＋1) D．2

答案 C

7．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )

答案 D

8．计算aaaa的结果是( )

答案 B

9.a3

a

·5a4的值是( )

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

答案 D

解析

10．把a·－a化成分数指数幂是________．

答案 －(－a) 3

2 11．若x<2，则x2－4x＋4－|3－x|的值是________．

答案 －1 Go the distance

12．若x≤－3，则x＋32－x－32＝________.

答案 －6 13.3

x＋13－3x－13＝________.

答案 2

14．化简(3＋2)2 015·(3－2)2 016＝________.

答案 3－2

15．求 61

4－3

338＋30.125的值．[来源学科网ZXXK]

解析

原式＝25

4－3278＋31

8＝5

2－3

2＋1

2＝32.

16．计算下列各式的值．

答案 (1)11 (2)7

8 (3)1

1 000 (4)9

25 (5)37

6 (6)6

►重点班·选做题

2.1.1-2指数与指数幂的运算

学习目标：

1．理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；

3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题

教学过程：

（一）复习：（提问）

1．整数指数幂的运算性质：

)()(),()(),(

ZnbaabZnmaaZnmaaa

nnnmnnmnmnm



2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.

②当n

为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=





)0()0(

aaaa

.

（二）新课讲解：

1．分数指数幂：10

510250aaaa12

312430aaaa

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

如果幂的运算性质（2）n

kknaa对分数指数幂也适用，

例如：若0a，则3

22

3

233aaa





，4

55

4

544aaa





，∴2

323aa4

545aa．

即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1

）正数的正分数指数幂的意义是

0,,,1m

nmnaaamnNn；

（2）正数的负分数指数幂的意义是

11

0,,,1m

n

m

nm

naamnNn

a

a．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

10,,rsrsaaaarsQ



20,,s

rrsaaarsQ



30,0,r

rrabababrQ

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

（三）例题分析：

例1．求值：2

38，1

2100，3

1

4







，3

416

81





．例2．用分数指数幂的形式表示下列各式

ao：

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）211511

336622263ababab