2.1.1指数幂及其运算

研卷知古今；藏书教子孙。

2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

从容说课

指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.

分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.

由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出

anm=nma1（a＞0，m、n均为正整数，且n＞1）.

三维目标

一、知识与技能

1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.

2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.

二、过程与方法

1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.

2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.

3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.

三、情感态度与价值观

1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.

2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.

3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.

教学重点

杏坛中学数学必修1导学案 选编：贾慧美 审核：方芳

§2.1.1指数与指数幂的运算（2）

学习目标

1. 理解分数指数幂的概念；

2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化；

3 掌握有理数指数幂的运算.

预习案

预习课本P50—P52 页内容

1．正数a的正分数指数幂nma （),,0*Nnma

2．正数a的负分数指数幂nma （),,0*Nnma

3．sraa= （其中),,0Qsra

4．sra)( = （其中),,0Qsra

5．sba)(= （其中),0,Qsba

预习自测

1. 求下列各式的值：

（1）328 （2）21100 （3）239

2．用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）:

（1）aa2 （2）323aa （3）aa

3．计算下列各式（式中字母都是正数）:

（1）(2a32b21)(-6a21b31)÷(-3a61b65); （2）(m41n83)8.

我的疑问

杏坛中学数学必修1导学案 选编：贾慧美 审核：方芳

探究案

自主探究一:

(1)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,

①510a=552)(a=a2=a510; ②8a=24)(a=a4=a28;

③412a=443)(a=a3=a412; ④210a=225)(a=a5=a210.

(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗？

435,357,57a,nmx(x>0,m,n∈N,且n>1).

必修1 第二章 基本初等函数

1 2.1.1 指数与指数幂的运算（第1课时）

【教学目标】

1． 掌握根式的概念以及根式的运算性质

2． 让学生学会用联系的观点看待问题

【重点】有理指数幂的概念及运算.

【难点】根式的概念.

【学习探究】

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 48页～第50 页）

1.整数指数幂及其运算

（1）通过问题1，结合初中所学知识，说明整数指数幂2073.1的含义是__ ，

x073.1x(）的含义是____.

na的含义是____)(n, 0a___(1a),na_____ (na,0).

（2）回忆初中所学知识，填写整数指数幂的运算性质：

①sraa•=____（sra,,0）；②sra)(=______（sra,,0）;

③rba)(•=______（sra,,0）;④nba)(=______.

【感悟】回忆初中所学知识，类比记忆.

2.根式

（1）平方根与立方根

如果ax2，那么________；如果ax3，那么____________.

（2）n次方根

如果axn，那么___________，其中1n，且n.

若n是奇数，任意实数a的n次方根有 1个，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数.

若n是偶数， 负数 没有偶次方根，而正数的n次方根有 2 个，它们互为相反数.

无论n是奇数还是偶数，0的n次方根为0 .

【感悟】结合初中所学知识，理解记忆，效果较好.

3.根式

式子na叫做____，n叫做______，a叫做_______.

若nnax，则x可以用根式表示为nna.当n为奇数时，xa；当n为偶数时，xa.

【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快.

问题解决最佳方案

必修1 第二章 基本初等函数

2 问题解决最佳方案

2.1.1-2指数与指数幂的运算

学习目标：

1．理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；

3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题

教学过程：

（一）复习：（提问）

1．整数指数幂的运算性质：

)()(),()(),(

ZnbaabZnmaaZnmaaa

nnnmnnmnmnm



2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.

②当n

为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=





)0()0(

aaaa

.

（二）新课讲解：

1．分数指数幂：10

510250aaaa12

312430aaaa

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

如果幂的运算性质（2）n

kknaa对分数指数幂也适用，

例如：若0a，则3

22

3

233aaa





，4

55

4

544aaa





，∴2

323aa4

545aa．

即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1

）正数的正分数指数幂的意义是

0,,,1m

nmnaaamnNn；

（2）正数的负分数指数幂的意义是

11

0,,,1m

n

m

nm

naamnNn

a

a．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

10,,rsrsaaaarsQ



20,,s

rrsaaarsQ



30,0,r

rrabababrQ

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

（三）例题分析：

例1．求值：2

38，1

2100，3

1

4







，3

416

81





．例2．用分数指数幂的形式表示下列各式

ao：

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）211511

336622263ababab