2.1.1-2指数与指数幂的运算
学习目标：
1．理解分数指数幂的概念；2.掌握有理指数幂的运算性质；
3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题
教学过程：
（一）复习：（提问）
1．整数指数幂的运算性质：
)()(),()(),(
ZnbaabZnmaaZnmaaa
nnnmnnmnmnm
2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(na)n=a.
②当n
为奇数时，nna=a；当n为偶数时，nna=|a|=
)0()0(
aaaa
.
（二）新课讲解：
1．分数指数幂：10
510250aaaa12
312430aaaa
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质（2）n
kknaa对分数指数幂也适用，
例如：若0a，则3
22
3
233aaa
，4
55
4
544aaa
，∴2
323aa4
545aa．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1
）正数的正分数指数幂的意义是
0,,,1m
nmnaaamnNn；
（2）正数的负分数指数幂的意义是
11
0,,,1m
n
m
nm
naamnNn
a
a．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
10,,rsrsaaaarsQ
20,,s
rrsaaarsQ
30,0,r
rrabababrQ
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
（三）例题分析：
例1．求值：2
38，1
2100，3
1
4
，3
416
81
．例2．用分数指数幂的形式表示下列各式
ao：
例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）211511
336622263ababab
《2.1.1 指数与指数幂的运算》测试题
一、选择题
1.下列说法正确的是(
).
A.正数的次方根是正数
B.负数的次方根是负数
C.0的次方根是0
D.是无理数
考查目的：考查次方根的定义.
答案：C.
解析：由次方根的定义得，当为偶数时，选项A，B不正确，D不正确，如是有理数.
2.计算的结果是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查次方根的定义.
答案：A
解析：=.
3.已知，则下列运算中正确的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查根式的运算及分数指数幂的性质.
答案：B.
解析：当时，选项A为；选项C中，；选项D中，．
二、填空题
4.求值：=_________．
考查目的：考查分数指数幂的性质.
答案：.
解析：=.
5.若，试用分数指数幂的形式表示下列各式：=_________，=_________.
考查目的：考查根式与分数指数幂的互相转化.
答案：，.
解析：；.
6.已知，求值：= .
考查目的：考查乘法公式、配方法和常见的分数指数幂变形方法.
答案：.
解析：∵，∴.
由知，，∴，∴.
三、解答题
7.计算：
⑴；
⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
解析：⑴原式；
⑵原式.
8.计算:(式中字母都是正数)
⑴；⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴；
⑵.
第17课时 指数与指数幂的运算（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出
次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
2．教学难点：根式概念的理解.
（三）教学方法
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接
受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐
地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意
它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强
学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采
用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
(四)复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根
呢？
归纳：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相
反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
(五)新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞
1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负
数，用表示，叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称
为根指数，a为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多
少个？当n为奇数时呢？
零的n次方根为零，记为
新知：分数指数幂
规定
※ 知识检测
1．,则的4次方根为 ；
第1页（共4页）
锦山蒙中高一数学导学案 姓名：
课题： 2.1.1指数与指数幂的运算
目标：1、理解分数指数幂的概念；
2、掌握根式与分数指数幂的互化；
3、掌握有理数指数幂的运算.
重点：分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的互化.
难点：有理数指数幂的运算.
一、复习回顾
复习1：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 .
复习2：判断下列个题的正误：
（1）-9没有平方根（ ）；（2）16=4（ ）；（3）21()10的平方根是110（ ）；（4）81的算术平方根是9（ ）；（5）2aa（ ）
二、新知探究
阅读教材第49-51页
探究任务一：根式的概念及运算
填空：22=4（），那么2就叫4的 ；33=27，那么3就叫27的 ；
43=81（），那么3就叫做81的 .
1、n次方根的定义：一般地，如，nxa，那么x叫做a的 ，其中1n，且*nN
2、根式：式子 叫做根式，读作
.
当n为奇数时：正数的n次方根有 ，负数的n次方根有 ；则nxa
如：365532,32,a
当n为偶数时：正数的n次方根有 ，这两个数互为 ；则nxa 第2页（共4页）
负数没有 ；0的任何次方根都是 ，记做 .
