江苏省2019年高考数学二轮复习考前冲刺必备一主干知识回扣学案
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2019年教学资料
1 必备一 主干知识回扣
技法一 函数性质
1.函数的单调性
(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.
(2)证明方法:定义法、导数法.
2.函数的奇偶性
(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.
(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
3.函数零点
(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.
函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.
(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题. 2019年教学资料
2 技法二 导数
1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.
2.常见的导数公式:(xn)'=nxn-1;(ax)'=axlna(a>0且a≠1);(ex)'=ex;(logax)'=1 (a>0且a≠1);( x)'=1 ;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.
3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);
( ) ( ) '= '( ) ( )- ( ) '( )[ ( )] (g(x)≠0).
4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;
f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.
5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.
(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.
技法三 基本初等函数
1.指数的概念及运算性质:(1)( )n=a( ∈N*);当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:
= ; -
=1 =1 (a>0,m、 ∈N*,且n>1).
2.对数的概念及运算性质:(1)ab=N⇔logaN=b(a>0且a≠1);
(2)对数的运算法则:loga(M·N)= ogaM+logaN;loga
=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(a>0且a≠1);
(3)换底公式:logaN= og N og a(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
3.指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数;
对数函数的定义:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数;
幂函数的定义:一般地,形如y=xa的函数叫做幂函数.
4.指数函数、对数函数的图象和性质:
指数函数
对数函数
01 01
图象
2019年教学资料
3 共同
性质 定义域:R;值域:(0,+∞);
图象过定点(0,1) 定义域:(0,+∞);值域:R;
图象过定点(1,0)
不同
性质 在(-∞,+∞)上是单调增函数 在(-∞,+∞)上是单调减函数 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数
技法四 三角函数
1.任意角的三角函数的定义:sinα=
,cosα=
,tanα=
.
2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=
o .
3.诱导公式:k·
±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.
4.三角函数的图象和性质:
三角
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域 R R xx∈R,
x≠
+kπ,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称
中心 (kπ,0),k∈Z
,0 ,k∈Z
,0 ,k∈Z
对称轴 x=kπ+
,k∈Z x=kπ,k∈Z 没有对称轴
周期性 2π 2π π
单调
增区间 2kπ-
,
2kπ+
,k∈Z [2kπ-π,2kπ],k∈Z kπ-
,
kπ+
,k∈Z
单调
减区间 2kπ+
, [2kπ,2kπ+π],k∈Z 无 2019年教学资料
4 2kπ+
,k∈Z
特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.
(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.
(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=
求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=
求解.
y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=
;
y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=
.
(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+
,k∈Z.
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+
,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.
(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).
5.三角恒等变换:
(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ± o αsinβ;
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;
tan(α±β)= a a
1 a a .
(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α= a
1- a .
(3)降幂公式:sin2α=1- o
;cos2α=1 o
.
6.解三角形:
(1)正弦定理:
=
=
=2R;
S△ABC=1 absinC=1 bcsinA=1 casinB.
(2)余弦定理:cosA= -
,cosB= -
,cosC= -
,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
技法五 平面向量 2019年教学资料
5 1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λa.
(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.
3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作 =a, =b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.
(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|· o θ.
注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.
技法六 数列
1.等差数列与等比数列:
等差数列 等比数列
定义 an+1-an=d( ∈N*,d为常数) 1 =q( ∈N*,q为常数)
通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m, ∈N*,且n>m) an=a1qn-1=amqn-m(m, ∈N*,且n>m)
前n项和公式 Sn= ( 1 )
=na1+ ( -1) d Sn= 1,q 1 1(1- )1- 1- q1- ,q 1
常
用
性
质 若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则 am+an=ap+aq am·an=ap·aq
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N*) 是公差为k2d的等差数列 是公比为qk的等比数列(Sk≠0)
证明{an}成等差(比)数列的方法 定义法和等差中项法 定义法和等比中项法
2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.
3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.
技法七 不等式
