高考数学二轮复习考前回扣7概率与统计学案(1)
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高考数学二轮复习考前回扣7概率与统计学案(1)
1．随机抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．
[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．
答案 24
解析 设本次抽取的总户数为x，由抽样比例可知，＝，则x＝24.
2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
[问题2] 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为________. 答案 8
解析 依题意，甲班学生的平均分为
85＝，故x＝5.
乙班学生成绩的中位数为83，
故其成绩为76,81,81,83,91,91,96，
所以y＝3，x＋y＝8.
3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．
[问题3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．
答案 77.5
解析 由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.
4．互斥事件的概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
(1)公式适合范围：事件A与B互斥．
(2)P()＝1－P(A)．
[问题4] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 答案 23
5．古典概型
P(A)＝(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)．
[问题5] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．
答案 25
解析 设袋中1个红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件为(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
6．几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝.此处D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别为长度、面积和体积等．
即P(A)＝. [问题6] 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
答案 1－π12
解析 记“点P到点O的距离大于1”为事件A，
P(A)＝＝1－.
易错点1 抽样方法理解不准
例1 一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为l＋k或l＋k－10(如果l＋k≥10)．若l＝6，则所抽取的第5组的号码是________．
易错分析 本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样．
解析 由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.
因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.
因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.
因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.
因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.
答案 51
易错点2 误解基本事件的等可能性
例2 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．
易错分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．
解析 将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝＝.
答案 112
易错点3 几何概型中“测度”确定不准
例3 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M，求AM
(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
易错分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解．
解 (1)由题意可知，AB＝AC.
由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.
所以P(AM
(2)由于在∠ACB内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置(如图所示)，
因此基本事件的区域应是∠ACB，
所以P(AM
易错点4 互斥事件概念不清
例4 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．
易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．
解析 因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝Ω，故B与D互为对立事件．
答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
1．(2018·江苏盐城中学模拟)有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为________．
答案 31
解析 根据系统抽样原理，抽样间隔为l＝＝20.
设第1组抽取数据为a0，
则第5组抽取的产品编号为4×20＋a0＝91，
解得a0＝11.
∴第2组抽取的产品编号为1×20＋a0＝31.
2．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在直线x＋3y＝15两侧的概率为________．
答案 1718
解析 由题意可知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，点P(m，n)共有36种可能，其中只有当和时，点P落在直线x＋3y＝15上，故点P落在直线x＋3y＝15两侧的概率为P＝1－＝.
3．某市教研室在组织全市高三学生一模考试后，对全市14 500名高三学生的数学成绩(满分：160分)进行分析，发现成绩全部在区间[85,145]上，将成绩绘制成频率分布直方图如图所示，则此次考试该市学生成绩在[125,135)之间的人数为________． 答案 1 740
解析 由频率分布直方图可得成绩在[125,135)之间的频率为1－(0.010＋0.024＋0.030＋0.016＋0.008)×10＝0.12，则此次考试该市学生成绩在[125,135)之间的人数为0.12×14 500＝1 740.
4．同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于10的概率为________．
答案 1936
解析 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，基本事件总数n＝6×6＝36，列表如下：
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
两个点数之积不小于10包含的基本事件有19个，
∴两个点数之积不小于10的概率P＝.
5．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为________.
答案 110
解析 甲的平均成绩为＝90，
