推荐学习K12(全国通用版)2019高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 回扣1 集合、常用逻辑用语、

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推荐学习K12资料 回扣1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明

1．集合

(1)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.

(2)子集、真子集个数计算公式

对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.

(3)集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．

2．四种命题及其相互关系

(1)

(2)互为逆否命题的两命题同真同假．

3．含有逻辑联结词的命题的真假

(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．

(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．

(3)命题綈p：与命题p真假相反．

4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定

(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．

(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．

5．充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．

(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

6．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．

7．一元二次不等式的恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 a<0，Δ<0.

8．分式不等式

fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

fxgx≥0(≤0)⇔ fxgx≥0≤0，gx≠0. 推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 9．基本不等式

(1)a＋b2≥ab(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．

10．线性规划

(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．

(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．

(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．

11．推理

推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．

合情推理的思维过程

(1)归纳推理的思维过程

实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理的思维过程

实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论

12．证明方法

(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．

推理模式

框图表示

Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件

(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．

推理模式

框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(3)反证法

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg

x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点推荐学习K12资料

推荐学习K12资料 集．

2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．

4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．

5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．

6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．

7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．

8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

9．不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错．

10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．

11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把fxgx≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.

12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋3x(x<0)时应先转化为正数再求解．

13．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．

14．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．

15．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比． 推荐学习K12资料

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1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )

A．(0,8) B．{3,5,7}

C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}

答案 D

解析 ∵M＝{x|0

∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.

2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )

A．①—综合法，②—分析法

B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法

D．①—分析法，②—反证法

答案 A

解析 由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线代表“推理与证明”中的思维方法是①—综合法，②—分析法．

3．用反证法证明命题：三角形的内角中至少有一个是钝角．假设正确的是( )

A．假设至少有一个是钝角

B．假设至少有两个是钝角

C．假设没有一个是钝角

D．假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角

答案 C

解析 原命题的结论为至少有一个是钝角，则反证法需假设结论的反面．“至少有一个”的反面为“没有一个”，即假设没有一个是钝角．

4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，则A∩B等于( )

A．∅ B．[0,1)∩(3，＋∞)

C．A D．B

答案 C

解析 由题意，得集合A＝{x|1

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推荐学习K12资料 5．设f(x)＝ln x,0

A．q＝r

p

C．p＝rq

答案 C

解析 ∵0ab，

又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，

故fa＋b2>f(ab)，即q>p.

又r＝12[f(a)＋f(b)]＝12(ln a＋ln b)＝12ln a＋12ln b＝ln(ab)12＝f(ab)＝p.

故p＝r

6．设有两个命题，命题p：关于x的不等式(x－3)·x2－4x＋3≥0的解集为{x|x≥3}；命题q：若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32

A．“p且q”为真命题 B．“p或q”为真命题

C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题

答案 C

解析 不等式(x－3)·x2－4x＋3≥0的解集为{x|x≥3或x＝1}，所以命题p为假命题．若函数y＝kx2－kx－8的值恒小于0，则－32

7．已知x，y满足条件 x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝y－1x＋3的最大值为( )

A．－23 B.13

C．2 D．3

答案 D

解析 作出可行域如图阴影部分所示．