江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备四二级结论巧用学案(附答案)
- 格式：docx
- 大小：83.29 KB
- 文档页数：19
必备四 二级结论巧用
结论一 函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为 .
2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
的x的取值范围是 .
3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,则不等式 ( )- (- ) <0的解集为
.
结论二 函数的单调性、极值与最值
1.函数的单调性
(1)∀x1,x2∈D,x1≠x2, ( )- ( ) - >0(<0)⇔y= (x),x∈D单调递增(递减).
(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.
(3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒ '(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数⇒ '(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.
注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒ '(x)>0,x∈D有解.
(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)=f(x2)⇔y= (x),x∈D不单调.
2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f'(x)=0有两个不等根;
(2)函数f(x)在[a,b]上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).
3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为M⇔ 0∈D, ( 0)= , ( )≤ , ∈ 恒成立.函数f(x)在D上的最小值为m⇔ 0∈D, ( 0)= , ( )≥ , ∈ 恒成立.
跟踪集训
4.设f(x)=4x3+mx2+(m- )x+n( ,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为 .
5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x- |,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是
. 6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是
.
7.已知函数f(x)= - ax x
- ( ),若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
结论三 抽象函数的周期性与单调性
1.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.
2.函数图象的对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=
对称.
(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点
,
对称.
跟踪集训
8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= .
9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)= .
10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为 .
结论四 函数零点
1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.
2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解. 3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.
跟踪集训
11.已知函数f(x)= ,x , (x+ ),x≥ ,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是
.
12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是
.
13.已知函数f(x)= ,x ,( - )( ), (a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是
.
结论五 三角函数
1.sin
= (- )
n ( ),(- )
(
2.cos
= (- )
( ),(- )
n (
3.asinα+bcosα= sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tanφ=
.
4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: (a)≤ (x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,x=a是函数的一条对称轴.
跟踪集训
14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则
n )
- n
的值为 .
15.设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为 .
16.设f(x)=sin2x- cosxcos
,则f(x)在 0
上的单调增区间为 .
结论六 解三角形
1.sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C);
2.A>B⇔sinA>sinB,cosA
3.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; 4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sinA>cosB,sinA>cosC, , , .
跟踪集训
17.在斜△ABC中,若tanA∶tanB∶tanC= ∶ ∶ ,则cosA= .
18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)求cosA+sinC的取值范围.
结论七 不等式
1.
≤ ≤
≤
(a,b>0).
.( )xy≤
;( )xy≤
;(3)当x>0时,x+
≥ ;
(4)当x,y同号时,
+
≥ ;当x,y异号时,
+
≤-2.
3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a (x),x∈D恒成立,则a0,x∈D恒成立,即为f(x)min>0,x∈D.
跟踪集训
19.若在区间[1,3]内,存在实数满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是 .
20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则
的最小值为 .
22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2 -(4a2+b2)的最大值是 .
结论八 平面向量
1.三点共线的判定
A,B,C三点共线⇔ , 共线;向量 , , 中,A,B,C三点共线⇔存在实数α,β使得 =α +β ,且α+β=1. 2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔| |=| |=| |=
n =
n =
n .
(2)O为△ABC的重心⇔ + + =0.
(3)O为△ABC的垂心⇔ · = · = · .
(4)O为△ABC的内心⇔a +b +c =0.
3.向量中线定理:△ABC中,点D为BC的中点,则 + =2 .
4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.
5.若a,b都是非零向量,则a∥b⇔a=λb⇔x1y2=x2y1⇔夹角等于0°或 80°⇔|a·b|=|a||b|.
6.若a,b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔夹角等于 0°⇔|a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a与b为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·| θ|≤|a|·|b|(θ为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是 · x x y y 0,x y -x y 0
a与b的夹角为钝角的充要条件是 · x x y y 0,x y -x y 0
