棱柱棱锥棱台的表面积公式

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底．①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ；①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ①棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝12Ch ′.3．棱台的表面积棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .3．棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V 3【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 6 cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(53＋95) cm2[分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．[解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm，故三棱台的表面积为3×12×(2＋4)×5＋12×2＋3＋12×4×23＝53＋9 5.归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S 表＝S 侧＋2S 底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6(m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板．探究二 多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDE F 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，E F①AB ，E F ＝32，E F 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B ．5C ．6D.152【答案】 D[解析] 如图，连接EB ，EC ，AC ，则V E ­ABCD ＝13×32×2＝6.①AB ＝2E F ，E F①AB ，①S①EAB＝2S①BE F.①V F­EBC＝V C­E F B＝12V C­ABE＝12V E­ABC＝12×12V E­ABCD＝32.①V＝V E­ABCD＋V F­EBC＝6＋32＝152.归纳总结：求几何体体积的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.3补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.4分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h ， S ①ABC ＝S ，则S ①A 1B 1C 1＝4S . ①VA 1­ABC ＝13S ①ABC ·h ＝13Sh ，VC ­A 1B 1C 1＝13S ①A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 三棱台ABC ­A 1B 1C 1＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，①VB ­A 1B 1C ＝V 三棱台ABC ­A 1B 1C 1－VA 1­ABC －VC ­A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh . ①体积比为124， ①应选C.课后作业A 组 基础题一、选择题1．如图，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C [①V C ­A ′B ′C ′＝13V ABC ­A ′B ′C ′＝13，①V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．486B ．64C ．16D ．96【答案】B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )A ．1∶9B ．1∶8C ．1∶4D ．1∶3【答案】B [两个锥体的侧面积之比为1①9，小锥体与台体的侧面积之比为1①8，故选B ．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A ． 3B ． 2C ．23D ．32【答案】A [如图所示，正方体的A ′、C ′、D 、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a ，则正四面体边长为2a . ①正方体表面积S 1＝6a 2， 正四面体表面积为S 2＝4×34×(2a )2＝23a 2， ①S 1S 2＝6a 223a 2＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )A ．1x ＝1y ＋1zB ．1y ＝1x ＋1zC ．1z ＝1x ＋1yD ．1z ＝1x ＋y【答案】C [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得，⎩⎪⎨⎪⎧4·x ＋y 2·h ′＝x 2＋y 2，z 2＋⎝⎛⎭⎫y －x 22＝h ′2，消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ①4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ①z (x ＋y )＝xy ， ①1z ＝1x ＋1y.] 二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．【答案】6 [设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】3212 [S 表＝4×34×12＝3， V 体＝13×34×12×12－⎝⎛⎭⎫33 2＝212.]8.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，则点A 到平面A 1BD 的距离d ＝________.【答案】33a [在三棱锥A 1­ABD 中，AA 1是三棱锥A 1­ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，①V 三棱锥A 1­ABD ＝V 三棱锥A ­A 1BD ， ①13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d ， ①d ＝33a . ①点A 到平面A 1BD 的距离为33a .]三、解答题9．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.①V D ­ABE ＝13DE ·S ①ABE ＝16V 长方体，同理，V C ­ABF ＝V D ­ACG ＝V D ­BCH ＝16V 长方体，①V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，①V 四面体ABCD ＝8.10．如图，已知正三棱锥S ­ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ①AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ①AB ，SE ＝h ′.①S 侧＝2S 底， ①12·3a ·h ′＝34a 2×2. ①a ＝3h ′.①SO ①OE ，①SO 2＋OE 2＝SE 2.①32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. ①h ′＝23，①a ＝3h ′＝6.①S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ①S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.11．建造一个容积为16 m 3，深为2 m ，宽为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m 2，池壁的造价为80元/m 2，求水池的总造价．解：设长方体的长、宽、高分别为a m ，b m ，h m ，水池的总造价为y 元．①V ＝ab h ＝16，h ＝2，b ＝2，①a ＝4.则有S 底＝4×2＝8 (m 2)，S 壁＝2×(2＋4)×2＝24 (m 2)，y ＝S 底×120＋S 壁×80＝120×8＋80×24＝2 880(元)．B 组 能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )A ．3πB ．43C ．32πD ．1 【答案】B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为2，故底面积为(2)2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为13×2×1＝23.则几何体的体积为2×23＝43.] 2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )A ．423B ． 2C ．223D ．23【答案】D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为13×12×2×2×2＝23.] 二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90 138 [该几何体的体积V ＝4×6×3＋12×4×3×3＝90，表面积S ＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋12×4×3×2＋32＋42×3＋3×4＝138.] 三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC ．四棱锥E ­ABCD 的体积V 四棱锥E ­ABCD ＝13×42×3＝16. ①AB ＝2EF ，EF ①AB ，①S ①EAB ＝2S ①BEF .①V 三棱锥F ­EBC ＝V 三棱锥C ­EFB ＝12V 三棱锥C ­ABE ＝12V 三棱锥E ­ABC ＝12×12V 四棱锥E ­ABCD ＝4. ①多面体的体积V ＝V 四棱锥E ­ABCD ＋V 三棱锥F ­EBC ＝16＋4＝20.5．一个正三棱锥P ­ABC 的底面边长为a ，高为h .一个正三棱柱A 1B 1C 1­A 0B 0C 0的顶点A 1，B 1，C 1分别在三条棱上，A 0，B 0，C 0分别在底面△ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？[解] 设三棱锥的底面中心为O ，连接PO (图略)，则PO 为三棱锥的高，设A 1，B 1，C 1所在的底面与PO 交于O 1点，则A 1B 1AB ＝PO 1PO ，令A 1B 1＝x ，而PO ＝h ，则PO 1＝h ax ， 于是OO 1＝h －PO 1＝h －h ax ＝h ⎝⎛⎭⎫1－x a . 所以所求三棱柱的侧面积为S ＝3x ·h ⎝⎛⎭⎫1－x a ＝3h a (a －x )x ＝3h a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24－⎝⎛⎭⎫x －a 22.当x ＝a 2时，S 有最大值为34ah ，此时O 1为PO 的中点．。

张喜林制1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教材知识检索考点知识清单1．沿着直棱柱的一条侧棱剪开，将侧面展开，其展开图是一个 ，其中一边长为 ，另一边长为 ，则=.直棱柱侧面积S2．正n 棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，底面是 ，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为=正棱锥侧则S h ,/=3．正n 棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形，设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 那么=正棱台侧S = .4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，即=球S （R 为球半径）．要点核心解读1．棱柱的表面积(1)定理：如果直棱柱的底面周长是c ，高是^，那么它的侧面积S 直棱柱侧=ch. (2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）长与侧棱长的乘积． (3)棱柱的表面积等于侧面积与两底面面积之和． 2．棱锥的表面积正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为,/h 则正n 棱锥的侧面积公式为.2121//ch nah S ==正棱锥侧 (1)语言叙述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．(2)正棱锥的全面积（或表面积）等于正棱锥的侧面积与底面积的和．(3)-般棱锥的每个侧面都是三角形，因此求出它们各自的面积，然后相加，即可求出棱锥的侧面积． 3．正棱台的表面积正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a ，周长为c ，上底面边长为,/a 周长为,/c 斜高为,/h 则正n 棱台的侧面积公式为.)(21)(21////h c c h a a n S +=+=正棱台侧 (1)正棱台的侧面积公式亦可由两个棱锥侧面积之差得出．(2)正棱台的表面积（或全面积）等于侧面积与底面积的和． (3)求一般棱台的侧面积可先分别求出每个侧面的面积然后相加． 4．球的表面积公式：,42R S π=球其中R 为球半径．(1)语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的四倍．(2)推导过程以后再加以研究，本书只要求记住结论，并会应用．(3)球面不能展开成平面图形，因此不能套用柱、锥、台表面积的导出方法求面积． 5．圆柱、圆锥、圆台的表面积(1)圆柱的底面半径为r ，母线长为Z （如图1-1-6 -1所示）．.22,22rl r S rl S πππ+==圆柱表圆柱侧(2)圆锥的底面半径为r ，母线长为L （如图1-1-6 -2所示）．,2lrπθ=,S rl π=圆锥侧.2r rl S ππ+=圆锥表(3)圆台的上底半径为r ，下底半径为R ，母线长为L （如图1-1-6 -3所示）．,2lrR -=πθ ,)(S l r R +=π圆台侧.)()(22l r R R r S +++=ππ圆台表典例分类剖析考点1 棱柱的侧面积命题规律(1)直棱柱的侧面积．(2)一般棱柱的侧面积和表面积. （3）棱柱性质的应用.[例1] 直平行六面体底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为,21Q Q 、求它的侧面积. [答案] 设直平行六面体底面边长为a ，侧棱长为L ，如图1 -1 -6 -4所示，则,4al S =侧因过D D B B C C A A 1111、与、的截面都为矩形，从而⎩⎨⎧⋅=⋅=,,21l BD Q l AC Q 则,,21l Q BD l Q AC == 又,)2()2(,222a BD AC BD AC =+∴⊥⋅∴ .)2()2(22221a lQ l Q =+∴ .2,42.221222122Q Q al Q Q l a +=+=∴ .242221Q Q al S +==侧[点拨] 直平行六面体中过不相邻两条侧棱的截面是两个矩形，其中各有两条边是直平行六面体的侧棱．母题迁移 1.一张a ×b 的矩形纸折叠成正六棱柱的侧面，试计算折成的六棱柱的侧面积和表面积， 考点2 正棱锥和正棱台的侧面积（1） 正棱锥和陵台的侧面积和表面积 （2） 平行于底面的截面性质． [例2] 在正四棱台1111D C B A ABCD -中，==AB a B A ,111).(O b a b 设>为底面1111D C B A 的中心，且棱台的侧面积等于四棱锥ABCD O -1的侧面积，求棱台的高，并讨论此题是否总有解．[答案] 如图1-1-6 -5所示，过高1OO 和AD 的中点E 作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高1EE 和棱锥的斜高1EO ，设,1h O O =则,242111EO b EO b S ⋅=⨯⨯=棱锥侧 =⋅+=1)44(21S EE b a 棱台侧⋅⋅+1)(2EE b a依题意，,棱台侧棱锥侧S S =且=OE ,2,211aE O b =得,)(2211EE b a EO b ⋅+=⋅,)2(,)2(22212221bh EO b a h EE +=-+=将其代入上式得 ⋅-++=+])2([)()4(222222b a h b a b h b解此关于h 的方程有⋅+-=ba ab a h 2)2(2122当且仅当,222a b >即a b >2时才有解．[点拨] 本题是一个棱台与一个棱锥的简单组合体，解题的关键是弄清这两种几何体之间的内在联系：等底面、等高．母题迁移 2．正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为,30如图1-1-6 -6，求正四棱锥的侧面积和表面积．考点3球及与球有关的组合体的表面积 命题规律 (1)球的表面积（2）与球有关的组合体的表面积.[例3] 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的．球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，求该正四棱柱的表面积．【答案】 正四棱柱的各顶点都在球面上，则该四棱柱的对角线即为球的直径.设正四棱柱的高为x ，则),(2,2112222cm x x ==++所以该正四棱柱的表面积为⋅+=⨯⨯+⨯⨯)(2422141122cm[点拨] 依组合体的特征，可知正四棱柱的对角线即为球的直径这是解题的关键．母题迁移 3．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为,4004922cm cm ππ和求球的表面积．考点4圆柱、圆锥和圆台的表面积命题规律 （1）三种旋转体的侧面展开图. （2）三种旋转体的侧面积公式.[例4] 以边长为a 的正六边形的对称轴为轴，将此多边形旋转1800，求所得旋转体的表面积． [答案] 正六边形有两类对称轴，故分两种情形进行计算．(1)如图1-1—6 -7是以过对边中点的直线为轴旋转所得的旋转体，是由两个完全相同的圆台组合而成的．圆台上、下底面半径，高，侧面母线长分别是,232a a a a 、、、 .27]41)2([222a a a a a S πππ=++=∴表面积(2)如图1-1-6-8，是以过相对顶点且过中心的直线为轴旋转得到的旋转体，是由两个完全相同的圆锥与一个圆柱组合而成的，圆锥的高、底面半径、侧面母线长分别为,232a a a 、、圆柱的高、底面半径分别是,23a a 、.32.23.2.23.2S 2a a a a a πππ=+=∴表面积 [点拨] 由于正六边形的对称轴有两类，故分两种情况进行解答是必须的，封闭图形的表面积应是各边绕旋转轴旋转得到的几何体的侧面积与底面积之和．母题迁移 4．已知梯形ABCD 中，=∠ABC BC AD ,//,60,2,,90=∠==DCB a BC a AD o在平面ABCD 内，过C 作L ⊥CB ，以L 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积，优化分层测讯学业水平测试1．长方体的对角线长为,142长、宽、高的比为3:2:1，那么它的表面积为( )．44.A 88.B 64.C 48.D2．正三棱锥的底面边长为a ，高为,66a 则此三棱锥的侧面积等于( )． 243.a A 223.a B 243.a C 223.a D 3．长方体的高等于h ，底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于( )．222.ah b A + 2222.ah b B + 2222.ah b C + 222.ah b D +4．圆柱的底面积为S ，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积为 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为,3则这个圆锥的全面积是6．设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85 m ，底面的边长是1.5 m ，则制造这种塔顶需要多少铁板？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为( )．2:1.A 3:1.B 2:2.C 6:3.D2．(2010年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图，如图1-1-6 -11所示，则其侧面积等于( )．3.A 2.B 32.C 6.D3．（2010年安徽）一个几何体的三视图如图1 -1 -6 -12，该几何体的表面积是( )．372.A 360.B 292.C 280.D4．（2009年宁夏、海南）_二个棱锥的三视图如图1 -1-6-13所示，则该棱锥的全面积（单位：)2cm 为( )．21248.+A 22448.+B 21236.+C 22436.+D5．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )．π220.A π225.B π50.C π200.D6．（2006年全国Ⅱ）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( )．163.A 169.B 83.C 329.D7．两个球的表面积之差为48π ，大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )．4.A 3.B 2.C 1.D 8．如果棱台的两底面面积分别为,/S S 、中截面的面积为,0S 那么( )．/02.S S s A += /0.SS s B = /02.S S S C += /202SS D.S =二、填空题（5分x4 =20分）9．棱长为3的正方体各个顶点都在球面上，则该球的表面积为 ．10．棱台的上、下底面面积分别为16、81，一平行于底面的截面面积为36，则此截面截得的两棱台高的比为 ． 11．如图1-1 -6 -14①所示，已知正方体的面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图1 -1 -6-14②所示的几何体，那么此几何体的全面积为 ．12.（2010年福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1-1-6 -15所示，则其表面积等于____ 三、解答题（10分x4=40分）13.在三棱柱111C B A ABC -中，底面是边长为4的正三角形，且,6011=∠=∠AC A AB A 另一侧面CB C B 11是面积为32的矩形，求此三棱柱的表面积．14.圆柱有一内接长方体AC,，长方体的对角线长为,210cm 圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为100π，求圆柱的全面积．15.圆锥的底面半径为5，高为12，当它的内接圆柱的底面半径r 为何值时，圆柱的全面积达到最大值？16．(1)从半径为R 的球面上一点作球的三条弦，且三条弦两两互相垂直，求这三条弦的平方和；(2)在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直，且,a PC PB PA ===求球的表面积.。

棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。

本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。

一、棱柱的表面积和体积公式棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。

棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。

其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。

由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。

常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。

以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。

侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。

以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。

侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。

以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。

侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其中h表示高度。

二、棱锥的表面积和体积公式棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。

棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。

与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。

侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。

三、棱台的表面积和体积公式棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。

棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。