20O8年专转本高等数学真题

2008河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分）1．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[)2,1-D ．()2,1-【答案】C【解析】由1020x x ->⎧⎨+≥⎩可得21x -≤<，故选C ．2．312cos limsin 3x xx ππ→-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．0CD【答案】D【解析】3312cos 2sin limlim sin cos 33x x x xx x ππππ→→-==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3．点0x =是函数113131xxy -=+的（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点【答案】 【解析】11311lim 1131xx x-→--==-+，11031lim 131xx x +→-=+，故选B ．4．下列极限存在的是（ ）A ．lim xx e →+∞B ．0sin 2lim x xx →C ．01lim cosx x+→ D ．22lim 3x x x →+∞+-【答案】B 【解析】0sin 2lim2x xx→=，其他三个都不存在，应选B ．5．当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小【答案】D【解析】0x →时，22ln(1)~x x +，211cos ~2x x -，故选D ．6．设函数11(1)sin ,11()1,10arctan ,0x x x f x x x x ⎧++<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，则()f x （ ）A ．在1x =-处连续，在0x =处不连续B ．在0x =处连续，在1x =-处不连续C ．在1,0x =-处均连续D ．在1,0x =-处均不连续【答案】A【解析】1lim ()1x f x -→-=，1lim ()1x f x +→-=，(1)1()f f x -=⇒在1x =-处连续；0lim ()1x f x -→=，0lim ()0x f x +→=，(0)1()f f x =⇒在0x =处不连续，应选A ．7．过曲线arctan x y x e =+上的点(0,1)处的法线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y --=D ．220x y +-=【答案】D 【解析】211x y e x'=++，02x y ='=，法线的斜率12k =-，法线方程为112y x -=-，即220x y +-=，故选D ．8．设函数()f x 在0x =处满足，()(0)3()f x f x x α=-+，且0()lim0x x xα→=，则(0)f '=（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．3【解析】000()(0)3()()(0)limlim 3lim 30x x x f x f x x x f x x xαα→→→--+'===-+=--，应选C ．9．若函数()(ln )(1)x f x x x =>，则()f x '=（ ） A ．1(ln )x x - B ．1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -+C ．(ln )ln(ln )x x xD ．(ln )x x x【答案】B【解析】ln(ln )()(ln )x x x f x x e ==，[]11()(ln )ln(ln )(ln )ln(ln )ln x x f x x x x x x x x x ⎡⎤''==+⋅⋅⎢⎥⎣⎦1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -=+，故选B ．10．设函数()y y x =由参数方程33cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ） A ．2- B ．1- C．3-D．3【答案】D【解析】223sin cos sin 3cos sin cos dy dy dt t t t dx dx dt t t t ===--，22d y dx =1d dy dx dt dx dt⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭2211cos 3cos sin x t t-=⋅- 413cos sin t t =，224|t d y dx π==，故选D ．11．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x=【答案】C【解析】验证罗尔定理得条件，只有21y x =-满足，应选C ．12．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ．0x =B ．(0,2)-C ．无拐点D ．0,2x y ==-【解析】235y x '=+，6y x ''=，令0y ''=，得0x =，当0x >时，0y ''>，当0x <时，0y ''<，故拐点为(0,2)-，应选B ．13．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．只有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B 【解析】1lim 0|1|x x →∞=-，曲线有水平渐近线0y =；1lim |1|x x →∞=∞-，曲线有垂直渐近线1x =，故选B ．14．如果()f x 的一个原函数是ln x x ，那么2()x f x dx ''=⎰（ ）A ．ln x C +B ．2xC +C ．3ln x x C +D ．C x -【答案】D【解析】()(ln )1ln f x x x x '==+，21()f x x''=-，2()x f x dx dx x C ''=-=-+⎰⎰，应选D ． 15．243dxx x =-+⎰（ ）A ．13ln 21x C x -+-B ．1ln3x C x -+-C ．ln(3)ln(1)x x C ---+D ．ln(1)ln(3)x x C ---+【答案】A 【解析】211113ln 43(3)(1)23121dx dx x dx C x x x x x x x -⎛⎫==-=+ ⎪-+-----⎝⎭⎰⎰⎰，应选A ．16．设14011I dx x =+⎰，则I 的取值范围为（ ）A ．01I ≤≤B ．112I ≤≤ C ．04I π≤≤D ．14I π<<【答案】B【解析】因01x ≤≤，411121x ≤≤+，根据定积分的估值性质，有112I ≤≤，故选B ．17．下列广义积分收敛的是（ ）A ．31x dx +∞⎰B ．1ln xdx x+∞⎰C ．1⎰D ．0x e dx +∞-⎰【答案】D【解析】D 项中001x xe dx e +∞--+∞=-=⎰，故收敛．18．331xdx --=⎰（ ）A ．3021x dx -⎰B ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰C ．1331(1)(1)x dx x dx ----⎰⎰ D ．1331(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰【答案】D【解析】3131333131111(1)(1)xdx xdx xdx x dx x dx ----=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰，故选D ．19．若()f x 是可导函数，()0f x >，且满足220()sin ()ln 221cos x f t tf x dt t=-+⎰，则()f x =（ ） A ．ln(1cos )x + B ．ln(1cos )x C -++C ．ln(1cos )x -+D ．ln(1cos )x C ++【答案】A【解析】对220()sin ()ln 221cos x f t t f x dt t =-+⎰两边求导有()sin 2()()21cos f x xf x f x x'=-+，即 sin ()1cos x f x x '=-+，从而sin (1cos )()ln(1cos )1cos 1cos x d x f x dx x C x x+=-==++++⎰⎰．由初始条件(0)ln 2f =，代入得0C =，应选A ．20．若函数()f x 满足111()1()2f x x f x dx -=+-⎰，则()f x =（ ）A ．13x -B ．12x -C ．12x +D ．13x +【答案】C【解析】令11()a f x dx -=⎰，则1()12f x x a =+-，从而11111()122a f x dx x a dx a --⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1a =，故1()2f x x =+，应选C ．21．若320()eI x f x dx =⎰，则I =（ ）A ．2()e xf x dx ⎰B ．0()exf x dx ⎰C ．21()2e xf x dx ⎰D ．1()2exf x dx ⎰ 【答案】C【解析】32222001()()2ee I xf x dx x f x dx ==⎰⎰，令2t x =，则220011()()22e e I tf t dt xf x dx ==⎰⎰，故选C ．22．直线24:591x y zL ++==与平面:4375x y z π-+=的位置关系是（ ）A ．斜交B ．垂直C ．L 在π内D ．L π【答案】D【解析】直线的方向向量(5,9,1)=s ，平面的法向量(4,3,7)=-n ，由0⋅=s n 得⊥s n ，而点(2,4,0)--不在平面内，故平行，应选D ．23．220x y →→=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．不存在【答案】A【解析】22000001)2x x x y y y →→→→→→===，故选A ．24．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程为（ ）A ．245x y z +-=B ．425x y z +-=C ．245x y z +-=D ．245x y z -+=【答案】A【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，(1,2,5)2x F =，(1,2,5)4y F =，(1,2,5)1z F =-，得切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=，故选A ．25．设函数33z x y xy =-，则2zy x∂=∂∂（ ）A ．6xyB ．2233x y -C ．6xy -D ．2233y x -【答案】B【解析】323z x xy y ∂=-∂，22233z x y y x∂=-∂∂，应选B ．26．如果区域D 被分成两个子区域12,D D ，且1(,)5D f x y dxdy =⎰⎰，2(,)1D f x y dxdy =⎰⎰，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A ．5B ．4C ．6D ．1【答案】C【解析】根据二重积分的可加性，(,)6Df x y dxdy =⎰⎰，应选C ．27．如果L 是摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩上从点(2,0)A π到点(0,0)B 的一段弧，则曲线积分231(3)sin 3xLx y xe dx x y y dy ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．2(12)1e ππ--B ．22(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦C ．23(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦D ．24(12)1e ππ⎡⎤--⎣⎦【答案】C 【解析】因2P Qx y x ∂∂==∂∂，从而此积分与路径无关，取直线段0x x y =⎧⎨=⎩，x 从2π变成0，则002302221(3)sin 333()3x xx x x L x y xe dx x y y dy xe dx xde xe e πππ⎛⎫++-===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰23(12)1e ππ⎡⎤=--⎣⎦．28．通解为x Ce （C 为任意常数）的微分方程为 （ ）A ．0y y '+=B ．0y y '-=C ．1y y '-=D ．10y y '-+=【答案】B【解析】x y Ce =，x y Ce '=，从而0y y '-=，故选B ．29．微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y = （ ）A ．()x x ax b e -+B ．ax b +C ．()x ax b e -+D ．2()x x ax b e -+【答案】A【解析】特征方程为20r r +=，特征根为10r =，21r =-，1-是特征方程的单根，应设*y =()x x ax b e -+，应选A ．30．下列四个级数中，发散的是（ ）A ．11!n n ∞=∑B ．1231000n n n ∞=-∑C ．12n n n∞=∑D ．211n n ∞=∑【答案】B【解析】231lim 01000500n n n →∞-=≠，故级数1231000n n n∞=-∑发散，应选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）31．0lim ()x x f x A →=的________条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．【答案】充分必要（或充要） 【解析】显然为充分必要（或充要）．32．函数sin y x x =-在区间(0,2)π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．【答案】增加（或递增），凹【解析】1cos 0y x '=->⇒在(0,2)π内单调增加，sin y x ''=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内大于零，应为凹的．33．设方程22232x y z a ++=（a 为常数）所确定的隐函数为(,)z f x y =，则zx∂=∂________． 【答案】【解析】222(,,)32F x y z x y z a =++-，则6x F x =，2z F z =，故3x z F z xx F z∂=-=-∂． 34．=________．【答案】2ln(1C -++ 【解析】令t =2dx tdt =，212122ln(1)2ln(121t dt dt t t C C t t ⎛⎫==-=-++=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰．35．331cos xdx x ππ-=+⎰________．【答案】0【解析】1cos x y x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，故3301cos x dx x ππ-=+⎰．36．在空间直角坐标系中以点(0,4,1)A -，(1,3,1)B --，(2,4,0)C -为顶点的ABC ∆面积为________．【解析】(1,1,0)AB =-，(2,0,1)AC =-，110(1,1,2)201AB AC ⨯=-=----i j k，故ABC ∆的面积为1122S AB AC =⨯=37．方程221942x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩在直角坐标系下的图形为________．【答案】两条平行直线【解析】椭圆柱面与平面2x =-的交线，为两条平行直线．38.函数33(,)3f x y x y xy =+-的驻点________． 【答案】【解析】由22330330fx y xf y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，可得驻点为(0,0)，(1,1)．39．若21z x y e -=+(1,0)|zx ∂=∂________． 【答案】0【解析】(1,0)(,0)000|z zz x x x ∂∂=⇒=⇒=∂∂．40．440cos xydx dy yππ=⎰⎰________．【解析】44444000cos cos cos sin y xy y dx dy dy dx ydy yy yπππππ====⎰⎰⎰⎰⎰．41．直角坐标系下二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰（其中D 为环域2219x y ≤+≤）化为极坐标形式为________．【答案】231(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰【解析】231(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰．42．以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．【答案】690y y y '''++=【解析】由通解3312x x y C e C xe --=+可知，有二重特征根3-，从而微分方程为690y y y '''++=．43．等比级数()00n n aq a ∞=≠∑，当________时级数收敛；当________时级数发散． 【答案】1q <，1q ≥【解析】级数0n n aq ∞=∑是等比级数，当1q <时，级数收敛，当1q ≥时，级数发散．44．函数21()2f x x x =--展开成x 的幂级数________． 【答案】11011(1)32n n n n x ∞++=-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑，11x -<< 【解析】211111111()231231612f x xx x x x x ⎛⎫==-+=-⋅-⋅ ⎪--+-+⎝⎭- 110001111(1)(1)36232n n n n n n n n n n x x x ∞∞∞++===-⎡⎤=---=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，11x -<<．45．12nn n n ∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是敛散性为________的级数． 【答案】发散 【解析】(2)2222lim lim 10n n n n n e n n -⋅--→∞→∞-⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，级数发散．三、计算题（每小题5 分，共40 分）46．求252222lim 3x x x x +→∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 【答案】52e【解析】222225535552225232222255lim lim 1lim 1333x x x x x x x x x e x x x ++-+⋅⋅-→∞→∞→∞⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．47．2400lim x x x →⎰． 【答案】【解析】24300lim 2x x x x x →→→===⎰．48．已知lnsin(12)y x =-，求dy dx ． 【答案】2cot(12)x -- 【解析】lnsin(12)1cos(12)(2)2cot(12)sin(12)dy d x x x dx dx x -==⋅-⋅-=---．49．计算arctan x xdx ⎰．【答案】 【解析】2221111arctan arctan arctan 12221x xdx xdx x x dx x ⎛⎫==-- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ 22111arctan (arctan )(arctan arctan )222x x x x C x x x x C =--+=-++．50．求函数cos()x z e x y =+的全微分．【答案】[]cos()sin()sin()x x e x y x y dx e x y dy +-+-+ 【解析】cos()sin()x x z e x y e x y x∂=+-+∂，sin()x z e x y y ∂=-+∂，故 []cos()sin()sin()x x z z dz dx dy e x y x y dx e x y dy x y∂∂=+=+-+-+∂∂．51． 计算2D x d y σ⎰⎰，其中D 为由2y =，y x =，1xy =所围成的区域． 【答案】1724【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x 后积y ，交点坐标为(2,2)，(1,1)，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故222122221111117224y y Dx x d dy dx y dy y y y y σ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程sin cos x y y x e -'+=满足初始条件(0)1y =-的特解．【答案】sin (1)x y e x -=-【解析】()cos P x x =，sin ()x Q x e -=，则通解为cos cos sin sin ()xdx xdx x x y e e e dx C e x C ---⎛⎫⎰⎰=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰， 又(0)1y =-，所以1C =-，特解为sin (1)x y e x -=-．53．求级数031nn n x n ∞=+∑的收敛半径与收敛区间（考虑端点）． 【答案】11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】1131lim lim 323n n n n n na n a n ρ++→∞→∞+==⋅=+，收敛半径113R ρ==． 当13x =时，级数为011n n ∞=+∑，该级数发散；当13x =-时，级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，该级数收敛， 故收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．过曲线2y x =上一点(1,1)M ，作切线L ，D 是由曲线2y x =，切线L 及x 轴所围成的平面图形．求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】（1）112 （2）30π【解析】（1）曲线2y x =在(1,1)M 处的切线斜率为2，过M 点的切线方程为21y x =-，切线与x 轴的交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则平面图形D 的面积 123100111111223412A x dx x =-⋅⋅=-=⎰． （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为12225100111()1325630V x dx x πππππ=-⋅⋅⋅=⋅-=⎰．55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A 最大，求腰长x 和它对底边的倾斜角α．【答案】【解析】由题意知梯形的上、下底分别为2422cos x x α-+，242(0,0)x x α->>． 故221(2422cos 242)sin 24sin 2sin sin cos 2A x x x x x x x αααααα=-++-⋅=-+， 24sin 4sin 2sin cos A x x xαααα∂=-+∂， 222224cos 2cos (cos sin )A x x x ααααα∂=-+-∂， 令0A x∂=∂，0A α∂=∂，联立解得，在定义域内唯一驻点8x =，3πα=， 故当3πα=，8x cm =时正截面面积A 最大．五、证明题 （6 分）56．证明方程0ln x x e π=-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．【解析】令0()ln x f x x e π=-+⎰，显然()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上连续，且0()0f e ==⎰，3220()360f e e e π=-+<-<⎰，由零点定理得，在3(,)e e 内至少存在一个ξ，使得()=0f ξ． 又11()f x x e'=-，在3(,)e e 内()<0f x '，所以在内单调减少．综上所述，方程0ln x x e =-⎰在区间3(,)e e 内仅有一个实根．。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案 选择题部分一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

1.B 解析: 因为()()()())(cos )1(cos 122x f x x x x x f =+=-+-=-，所以该函数是偶函数，因此选项B 正确。

2.D 解析: 1lim lim 0)0()(lim )0(000-=-==--='---→→→-xxx x x f x f f x x x 1lim lim 0)0()(lim )0(000===--='-++→→→+x x x x x f x f f x x x ，因此)(x f 在点0=x 处连续但不可导，因此选项D 正确。

3.C 解析: 由题意可知，因为022>dx f d ，所以dxdf 单调递增，根据拉格朗日中值定理可得，)(01)0()1(ξf f f '=--，()1,0∈ξ，所以01)0()1(==>->x x dx dff f dx df ，因此选项C 正确。

4.C 解析:根据定义，22y x z +=表示的曲面为圆锥面，因此选项C 正确。

5.A 解析:()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则由罗尔定理得：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0='ξf ，即：曲线()x f y =上平行于x 轴的切线至少有一条，因此选项A 正确。

非选择题部分二、填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。

6. 21解析: 2121lim 2sin 1lim 00=⋅=→→x x x x x x7. 2 解析: ()()()()2)1(22121lim 2121lim00='=-+=-+→→f x f x f x f x f x x8.x1 解析: 因为()x x f ln 2=，所以令x t 2=，得()2ln ln )2ln(-==t tt f ，因此：()2ln ln -=x x f ，所以()x dx x df 1=9. )3,1(- 解析: 因为曲线为x x x y --=233，所以1632--='x x y ，66-=''x y ，令0=''y ，解得：1=x ，且当1<x 时，0<''y ，函数为凸函数；当1>x 时，0>''y ，函数为凹函数；因此拐点为：)3,1(-10. 211x+ 解析: 依题意可知：C x dx x f +=⎰arctan )(，两边求导后可得：211)(x x f +=11. )(x f - 解析: 根据变限积分函数求导公式可得：())(2x f dt t f dx d x-=⎰12.332π 解析:利用定积分计算的奇偶性性质可得：()ππππ03022322x dx x dx x x ==+⎰⎰-332π=13. ()22sin 2y x x +- 解析: )sin(22)sin(2222y x x x y x x z+-=⋅+-=∂∂14. ()⎰⎰110,ydx y x f dy解析: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==11010),(),(),(yx dxy x f dy dxdy y x f dy y x f dx15. 0224=-+-z y x 解析: 平面∏的法向量为：=→n )2,1,4(-，由点法式可知，该平面方程为：0)1(2)0()1(4=++---z y x ，即：0224=-+-z y x三、计算题：本题共有10小题，每小题6分，共 60分。

2008年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=ln(1-x)+的定义域是( )A．[-2，-1]B．[-2，1]C．[-2，1)D．(-2，1)正确答案：C解析：解不等式组，得C为正确选项．2．= ( )A．1B．0C．D．正确答案：D解析：3．点x=0是函数y=的( )A．连续点B．跳跃间断点C．可去间断点D．第二类间断点正确答案：B解析：=-1，左右极限均存在，但不相等，故选B.4．下列极限存在的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：选项A的极限为正的无穷大，选项B的极限为2，选项C的极限振荡不存在，选项D的极限也为正的无穷大．5．当x→0时，ln(1+x2)是比1-cosx的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但不等价无穷小正确答案：D解析：因为=2故选D.6．设函数f(x)=，则f(x) ( )A．在x=-1处连续，在x=0处不连续B．在x=0处连续，在x=-1处不连续C．在x=-1，x=0处均连续D．在x=-1，x=0处均不连续正确答案：A解析：=1=f(-1)，所以f(x)在x=-1处连续；，所以在x=0处不连续7．过曲线y=arctanx+ex上的点(0，1)处的法线方程为( )A．2x-y+1=0B．x-2y+2=0C．2x-y-1=0D．x+2y-2=0正确答案：D解析：y’=+ex，曲线上点(0，1)处的切线斜率为y’｜0=2，所以法线的斜率为k=，因此法线方程为y-1=(x-0)，即x+2y-2=08．设函数f(x)在x=0处满足f(x)=f(0)-3x+a(x)，且=0,则f’(0)=( ) A．-1B．1C．-3D．3正确答案：C解析：f’(0)=9．函数(x)=(lnx)x(x>1)，则f’(x)= ( )A．(lnx)x-1B．(lnx)x-+(lnx)xln(lnx)C．(lnx)xln(lnx)D．x(lnx)x正确答案：B解析：f(x)=(lnx)x=exln(lnx)，则f’(x)=exln(lnx)×[ln(lnx)+]，即f’(x)=(lnx)x[ln(lnx)+]=(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx)·10．设函数y=y(x)由参数方程确定，则= ( )A．-2B．-1C．D．正确答案：D解析：11．下列函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是( )A．y=exB．y=ln｜x｜C．y=1-x2D．y=正确答案：C解析：选项A在[-1，1]两端的值不相等，选项B在[-1，1]内不连续，选项D在[-1，1]内不连续．12．曲线y=x3+5x-2的拐点是( )A．x=0B．(0，-2)C．无拐点D．z=0，y=-2正确答案：B解析：y’=3x2+5，令y’’=6x=0，得x=0，此时y=-2，当x>0时，f’’>0；当x ( )A．仅有水平渐近线B．既有水平渐近线，又有垂直渐近线C．仅有垂直渐近线D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线正确答案：B解析：因=+∞，所以有垂直渐近线，又因=0，所以有水平渐近线14．f(x)的一个原函数是xlnx，那么∫x2f’’(x)x= ( )A．lnx+CB．x2+CC．x3lnx+CD．C-x正确答案：D解析：f(x)的一个原函数是xlnx，则f(x)=(xlnx)l=lnx+1，f’(x)=，f’’(x)=，那么∫x2f’’(x)dx=∫-1dx=-x+C.15．= ( )A．B．C．ln(x-3)-ln(x-1)+CD．ln(x-1)-ln(x-3)+C正确答案：A解析：16．设I=，则I的取值范围为( )A．0≤I≤1B．≤I≤1C．0≤I≤D．＜I＜1正确答案：B解析：在区间[0，1]上，1≤1+x4≤2，从而，所以选B.17．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因广义积分(a>1)在k>1时均收敛，k≤1时均发散，所以选项A、B、C中积分均发散，故选D.18．= ( )A．B．C．D．正确答案：D解析：19．若函数f(x)为可导函数，f(x)＞0，且满足f2(x)=ln22-，则f(x)= ( )A．ln(1+cosx)B．-ln(1+cosx)+CC．-ln(1+cosx)D．ln(1+cosx)+C正确答案：A解析：对f2(x)=ln22-两边求导得，2f(x)f’(x)=，即f’(x)=+cosx=ln(1+cosx)+C，又因f(x)满足初始条件f(0)=ln2，代入上式可得C=0，所以f(x)=ln(1+cosx)．20．若函数f(x)满足f(x)=x+1-f(x)dx，则f(x)=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为f(x)dx的值为常数，不妨令其为k，则对f(x)=x+1-f(x)dx 两边同时积分得k==2-k，所以k=1，从而f(x)=x+1-21．若I=，则I=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：I=22．直线与平面4x-3y+7z=5的位置关系是( )A．直平与平面斜B．直线与平面垂直C．直线在平面内D．直线与平面平行正确答案：D解析：直线的方向向量为={5，9，1}，平面的法向量为={4，-3，7}，因为=0，即，从而可知直线与平面平行或重合，又因直线过定点M0(-2，-4，0)，将该点坐标代人平面方程得4×(-2)-3×(-4)+7×0=4≠5，即表明该点不在平面内，故选D.23．= ( )A．2B．3C．1D．不存在正确答案：A解析：令x2+y2=t，则24．曲面z=x2+y2在点(1，2，5)处的切平面方程为( )A．2x+4y-z=5B．4x+2y-z=5C．x+2y-4z=5D．2x-4y+z=5正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+y2-z，则(x，y，z)=2x，(z，y，z)=2y，(x，y，z)=-1，则在点(1，2，5)处，=2，=4，=-1，曲面z=x2+y2在该点处切平面的法向量为{2,4，-1}，所以切平面方程为2(x-1)+4(y-2)-(x-5)=0，即2x+4y-z=5．25．设函数z=x3y-xy3，则= ( )A．6xyB．3x2-3y2C．-6xyD．3y2-3x2正确答案：B解析：=3x2y-y3，=3x2-3y226．如果区域D被分成两个子区域D1和D2，且f(x，y)dxdy=5，f(x，y)dxdy=1，则f(x，y)dxdy= ( )A．5B．4C．6D．1正确答案：C解析：如果区域D被分成两个子区域D1和D2，则f(x，y)dxdy=f(x，y)dxdy+f(x，y)dxay=5+1=6．27．如果L是摆线从点a(2π，0)到B(0，0)的一段弧，则曲线积分∫L(x2y+3xex)dx+(-ysiny)dy= ( )A．e2π(1-2π)-1B．2[eπ(1-2π)-1]C．3[e2π(1-2π)-1]D．4[e2π(1-2π)-1]正确答案：C解析：令P(x，y)=x2y+3xex，Q(x，y)=，则表明曲线积分与路径无关，取x轴上从A(2π，0)到B(0，0)的直线段，则有∫L(x2y+3xex)dx+(x3-ysiny)dy==3[e2π(1-2π)-]28．通解为y=Cex(C为任意常数)的微分方程为( )A．y’+y=0B．y’-y=0C．y’y=1D．y’-y+1=0正确答案：B解析：对y=Cex求导可得y’=Cex=y，即y-y’=0．显然B为正确选项．29．微分方程y’’+y=ce-x的特解形式应设为( )A．x(ax+b)e-xB．ax+bC．(ax+b)e-xD．x2(ax+b)e-x正确答案：A解析：根据自由项的形式为f(x)=xe-x，知多项式为1次多项式，且λ=-1，又知y’’+y’=0对应特征方程的根为r1=0，r2=-1，所以λ为单根，故特解形式应设为x(ax+b)e-x30．下列四个级数中，发散的级数是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：的一般项为，其极限为≠0，故选项B的级数为发散的填空题31．(x)=A的______条件是正确答案：充要解析：函数在点x0处极限存在的充分必要条件是左右极限存在且相等．32．函数y=x-sinx在区间(0，2π)内单调______，其曲线在区间(0，)内的凹凸性为______的正确答案：递增凹解析：因y’=1-cosx，在区间(0，2π)内y’≥0，故单调递增；y’=sinx在区间(0，)内恒大于0，故为凹的．33．设方程3x2+2y2+z2=a(a为常数)所确定的隐函数为z=f(x，y)，则=______正确答案：解析：方程两边同时对x求偏导(视y为常数)，得6x+2z.34．=______正确答案：2-2ln(1+)+C解析：=2t-2ln(1+t)+C=2-2ln(1+)+C 35．=________正确答案：0解析：对称区间上奇函数的定积分恒为零．36．在空间直角坐标系中，以点A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的△ABC的面积为________正确答案：解析：={-1，1，0}，={2，0，-1}，则={-1，-1，-2}，，故S△ABC=37．方程组在空间直角坐标系下的图形为________正确答案：两条平行直线解析：将x=-2代入=1，得y=，则该方程组的另一种形式为，因此在空间直角坐标系下的图形表示两条平行直线。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. 报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号：()A ()()0101f f dx df dx dfx x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx dff f dx df ()C ()()0101==>->x x dx df f f dx df()D ()()1001==>>-x x dx dfdx df f f 4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）. (超纲,去掉)()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)1.计算_________________2sin 1lim0=→xx x 2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x . 3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df 4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z(超纲,去掉) 9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx (超纲,去掉)10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy.3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f .6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解.8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.__________________报考专业：______________________姓名 准考证号9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. (超纲,去掉)10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D . (超纲,去掉)四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案一. 选择题:(每小题4分,共20分)二..填空题:(每小题4分,共40分) 1.21; 2. 2; 3. x 1; 4. )3,1(-; 5. 211x+; 6. ()x f -; 7. 332π; 8.()22sin 2y x x +-; (超纲,去掉) 9.()⎰⎰110,ydx y x f dy ; (超纲,去掉)10. 224=+-z y x .三．计算题(每小题6分,共60分)1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e xe →→=- …………..4分1=. …………6分解法二.令t e x=-1, 则 ()t x +=1ln ……….. 2分于是, ()11ln lim 1lim 00=+=-→→t tx e t x x . …………6分2.解.x dxdgsin -=, ()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛= …………3分 故 x e dxdyx cos sin --=. ………..6分3. 解法一.令t x =,,则2t x =, ………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx……….5分 C x +=arctan 2. ……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2. ……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe . ………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---1024100212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x . ……….6分 6.解. 设()A dx x f =⎰10,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=1101112122dx x f e A eAdx dx edx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11.. ………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12. ……….6分7.解.特征方程为02=+k k ，得到特征根1,021-==k k ， ………..1分 故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21， ………..3分 由观察法，可知非齐次方程的特解是xe y 21=*， ………..5分 因而，所求方程的通解为 x xe e c c y 2121++=-，其中21,c c 是任意常数. ……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n , ….3分 所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n . ……..6分9解.()()222,2y x xy x y x y y f y x y y x y x x x f +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, ……….2分(超纲,去掉) 从而()()0,12,02,0=∂∂=∂∂yf xf, ……….4分所以()()()()dx dy yf dx xf y x df =∂∂+∂∂=2,02,02,0,. ………6分10.解.采用极坐标变换,令θθsin ,cos r y r x == ,πθ20,10<≤≤<r , .2分(超纲,去掉)()⎰⎰⎰⎰=+132022dr r d dxdy y xDπθ ……….4分 2π=. ……..6分四.综合题:(每小题10分,共30分) 1.解法一(1).()⎰-=1dx e e S x……….4分()1110=+-=-=e e e ex x. ………..6分(2).()⎰-=122dx e eV x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ ………..12分解法二.(1)⎰-=1dx e e S x……….3分110=-=xe e . ………..6分(2).⎰-=122dx e e V xππ ……….9分()12221022+=-=ee e xπππ. …………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dx dy ,令0=dx dy ,得到 2,021==x x (驻点), …….2分 (),1622-=x dx y d 由022=dx yd ,得到13=x , …….3分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分 极大值为－1，极小值为－5, ……..11分)1,(-∞为凸区间，),1(+∞为凹区间 ………12分3.证明. 令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+= ()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分 利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ，其中1+<<x x ξ, …….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时，()x F 是单调增加的， ………5分 而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim , 所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11. ………..6分。

2008年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设函数在x=0处连续，则常数a与b的值为( )．A．a=0 b=一3B．a=一3 b=0C．a=0 b=3D．正确答案：A解析：由题意可知，函数y=f(x)在x=0处连续，又因则3+b一0=f(0)=a，所以a=0，b=一3．2．当x→0时，函数eax一1与是等价无穷小量，则常数a的值为( )．A．2B．C．一2D．正确答案：B解析：3．设函数f(x)的一个原函数为e-x，则不定积分等于( )．A．lnlnx+CB．x+CC．D．正确答案：D解析：由题意可知，函数f(x)的一个原函数为e-x，4．在空间直角坐标系中，平面π1：2x+y+z+7=0与平面π：x+2y—z+4=0的夹角为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意可得，平面π1的法向量n1={2，1，1}，平面π2的法向量n2={1，2，一1}，5．设积分区域D是由直线y=x，y=0及所围成的闭区域，则二重积的值为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：如图所示，积分区域D可表示为填空题6．设函数F(x)的定义域为[-1，1]，则函数g(x)=f(x+1)+f(sinx)的定义域为__________．正确答案：[-2，0]解析：由函数f(x)的定义域为[一1，1]，则解之得一2≤x ≤0，所以函数的定义域为[一2，0]．7．设函数f(x)在x=1处可导，，则f’(1)的值为________．正确答案：4解析：由题意可得，则f’(1)=4．8．函数f(x)=x4一2x2在[0，2]上的最小值为__________．正确答案：一1解析：由函数f(x)=x4—2x2，则f’(x)=4x3一4x，当0＜x＜1时，f’(x)＜0，则函数f(x)=x4—2x2单调减少；当1＜x＜2时，f’(x)＞0，则函数f(x)=x4一2x2单调增加，所以函数f(x)=x4一2x2的最小值为f(1)=一1．9．设函数f(x)=x—∫0e1xrf(x)dx，则∫01exf(x)dx的值为__________．正确答案：e一1解析：10．设由方程ex一xyz=1所确定的隐函数为z=z(x，y)，则=________．正确答案：解析：令F(x，y，z)=ez一xyz一1，则Fz=ez一xy，Fx=一yz，所以综合题11．求极限正确答案：12．设由参数方程,所确定的函数为y=y(x)，求正确答案：13．已知∫xf(x)dx=arcsinx+C，求正确答案：原方程两边对x求导数，得14．计算定积分正确答案：15．设函数其中f，δ具有二阶连续导数，求正确答案：16．求函数f(x，y，z)=xy2+yz2+zx2在点(1，1，0)处的梯度．正确答案：17．计算二重积分，其中区域D是由直线y=x，y=0及曲线x2+y2=4围成第一象限的部分．正确答案：18．计算对坐标的曲线部分I=∮L[xln(x+y)一4y]dx+[x-yln(x+y)一ey]dy其中L是以点A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)为顶点的三角形闭区域的正向边界曲线.正确答案：设D是三角形区域，如图P=xln(x+y)一4y，Q=x—yln(x+y)一ey由格林公式，得19．求微分方程y’’一2y’一3y=3e2x的通解．正确答案：齐次方程所对应的特征方程为r2一2r一3=0，即(r一3)(r+1)=0特征根为r1=3，r2=一1对应的齐次方程的通解为Y(x)=C1e3x+C2e-x令y*(x)一Ae2x，则y*=2Ae2x，y*=4Ae2x，代入原方程并消去e2x，得4A一4A一3A=3解得A=一1所以y*(x)=一e2x从而微分方程通解为y(x)=C1e3x+C2e-x一e2x．20．求幂级数的收敛域及和函数，并求级数的和．正确答案：证明题21．计算抛物面z=4一x2一y2与平面z=0围成立体的体积．正确答案：立体在xOy面的投影区域为D={(x，y)｜x2+y2≤4}所以，所求立体体积为22．设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0，又F(x)=x2f(x)，证明：至少有一点ε∈(0，1)，使得F’’(ε)=0．正确答案：由条件知，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，并且F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点η∈(0，1)使F’(η)=0又F’(x)=2xf(x)+x2f’(x)由于f(x)在[0，1]上有二阶导数，所以F’(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，并且F’(0)=F’(η)=0．由罗尔定理知，至少有一点ε∈(0，η)c(0，1)，使F’’(ε)=0．。

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ）A 、)(x f y -=B 、)(43x f x y =C 、)(x f y --=D 、)()(x f x f y -+=2、设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是 （ ）A 、)0()()0(lim'0f xx f f x -=-→B 、)()()2(lim0'00x f x x f x x f x =-+→C 、)()()(lim 0'000x f xx x f x x f x =∆∆--∆+→∆D 、)(2)()(lim 0'000x f xx x f x x f x =∆∆+-∆-→∆3、设函数)(x f ⎰=122sin xdt t t ，则)('x f 等于 （ ）A 、x x 2sin 42B 、x x 2sin 82C 、x x 2sin 42-D 、x x 2sin 82-4、设向量)3,2,1(=→a ，)4,2,3(=→b ，则→→⨯b a 等于 （ ） A 、（2，5，4） B 、（2，－5，－4）C 、（2，5，－4）D 、（－2，－5，4）5、函数xyz ln=在点（2，2）处的全微分dz 为 （ ） A 、dy dx 2121+-B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2121- D 、dy dx 2121--6、微分方程123'''=++y y y 的通解为 （ ）A 、1221++=--x xe c ec yB 、21221++=--x xe c ec yC 、1221++=-xx ec e c yD 、21221++=-xx ec e c y 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数)1(1)(2--=x x x x f ，则其第一类间断点为 .8、设函数{=)(x f ,0,3tan ,0,<≥+x xxx x a 在点0=x 处连续，则a ＝ . 9、已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 .10、设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分⎰dx x f )(＝ . 11、定积分dx x x⎰-++1121sin 2的值为 .12、幂函数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域为 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：xx xx 3)2(lim -∞→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠⎩⎨⎧-=-=,2,cos 1,sin π所决定，求22,dx yd dx dy15、求不定积分：⎰+dx x x 13. 16、求定积分：⎰10dx e x .17、设平面π经过点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求经过点P （1，2，1）且与平面π垂直的直线方程.18、设函数),(x y y x f z +=，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.19、计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 是由曲线xy 1=，直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域. 20、求微分方程2'2x y xy +=的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线)0(1>=x xy 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值. 22、设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成. （1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间),0(a 上至少存在一点ξ，使得)()(a f f +=ξξ.24、对任意实数x ，证明不等式：1)1(≤-xe x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、39、（2，17） 10、c x x ++-21cos 11、π 12、[]2,2- 13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x x x x x ，令2xy -=，那么 6631)11(lim )2(lim ey x x y x x x =+=-⋅-∞→∞→.14、.sin )(cos )(cos 1)(sin )(t t x t t y t t x t t y ==-==‘’‘’’‘，，，[].)cos 1(1)()()()()(cos 1sin )()(2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘’‘，，，，，’， 15、⎰⎰⎰⎰++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x 1ln )1(1)1(111233 .1ln 2323C x x x x ++-+-= 16、⎰⎰⎰⎰⎰-==⋅==112110212112121122110)(222)(212121212121dx e ex de e dx x ex d e dx ex x x x x x＝.222222221010212121=+-=-=-⎰e e e e dx ee xx17、由题意得：，，，－)032(=→AB )5,0,2(-=→AC ，那么法向量为 ).6,10,15(032250225003=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯=→，－－，－AC AB n 18、.221，‘f xy f x z -=∂∂)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋f x f x y f f y x z +=∂∂∂ ''223''212'22''12''1111f xy f x y f x f x f --+－＝ 19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=1211222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x ⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x 20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x xy dx dy =-在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232xx y dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =- 等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、令y xy x F -=1),(，那么x 和y 的偏导分别为20001),(x y x F x -=，.1),(00-=y x F y所以过曲线上任一点),(00y x 的切线方程为：.01020=-+-y y x x x 当X ＝0时，y 轴上的截距为001y x y +=. 当y ＝o 时，x 轴上的截距为.0020x y x x +=令002000001),(x y x y x y x F +++=，那么即是求),(00y x F 的最小值. 而4)1(211),(00000000≥+=+++=x x x x x x y x F ，故当100==y x 时，取到最小值4. 22、（1）⎰==-=1015445353)4(πππx dx x x V . （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(aadx x x dx x x化简得：⎰⎰=aadx x dx x 0122.解出a ，得到：213=a ，故.2131=a23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=，).0()()0(f a f g -= 由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ.24、将x e 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x。

2008年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一. 单项选择题（每题2分，共计60分）1.答案：C 【解析】：C x x x ⇒<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-120201.2.答案：C【解析】：0033sin cos 21lim===⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→x x x D x xx ⇒=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→312323cos sin 2lim 3.3.答案：B【解析】： ,1111313lim 11-=-=+--→xxx B x xx x xx ⇒===+-++→→13ln 33ln 3lim 1313lim 11000110. 4.答案：B【解析】：显然只有22sin lim 0=→xxx ,其他三个都不存在,应选B.5.答案：D【解析】： 22~)1ln(x x +,D x x x ⇒=-2~2sin 2cos 122. 6.答案：A【解析】：⇒=-==+--→-→1)1(,1)(lim ,1)(lim 111f x f x f x x )(x f 在1-=x 处连续;⇒===+-→→1)0(,0)(lim ,1)(lim 001f x f x f x x )(x f 在0=x 处不连续;应选A.7.答案：D 【解析】： D k f e xy x⇒-=⇒='⇒++='212)0(112法. 8.答案：C【解析】：3)(lim 3)(3lim 0)0()(lim )0(000-=α+-=α+-=--='→→→xx x x x x f x f f x x x ,应选C. 9.答案：B【解析】：='='⇒==])ln(ln [)(ln )(ln )()ln(ln x x x y e x x f x x x x )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-,应选B. 10.答案：D【解析】：⇒⨯=⇒-=t t t dx y d t t dx dy sin cos 31cos 1cos sin 2222 =π=422x dxyd 234,应选D. 11.答案：C【解析】：验证罗尔中值定理的条件,只有21x y -=满足,应选C. 12.答案：B【解析】：⇒=⇒==''006x x y )2,0(-,应选B. 13.答案：B 【解析】：,0|1|1lim =-∞→x x B x x ⇒∞=-→|1|1lim 1.14.答案：D【解析】：⇒-=''⇒+='=21)(ln 1)ln ()(xx f x x x x f C x dx dx x f x +-=-=''⎰⎰)(2,应选D. 15.答案：A 【解析】：C x x dx x x x x dx x x dx +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=+-⎰⎰⎰13ln 21113121)1)(3(342,应选A. 16.答案：B【解析】：此题有问题,定积分是一个常数,有111214≤+≤x ,根据定积分的估值性质,有121≤≤I ,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B.17.答案：D 【解析】：显然应选D. 18.答案：D 【解析】：=-⎰-33|1|dx x =-+-⎰⎰-3113|1||1|dx x dx x ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x ,应选D.19.答案：A【解析】：对⎰+-=xdt t t t f x f 022cos 1sin )(22ln )(两边求有:xxx f x f x f cos 1sin )(2)()(2+-=', 即有 ⎰⎰++=+-=⇒+-='xx d dx x x x f x x x f cos 1)cos 1(cos 1sin )(cos 1sin )( C x ++=)cos 1ln(,还初始条件2ln )0(=f ,代入得0=C ,应选A.20.答案：C【解析】：令⎰-=11)(dx x f a ,则a x x f 211)(-+=, 故有⎰⎰--⇒=⇒-=-+==111112)211()(a a dx a x dx x f a =)(x f 21+x ,应选C.21.答案：C【解析】：⎰⎰⎰======22200222)()(21)()(21)()(21e e t x e x d x xf t d t tf x d x f x I ,应选C.22.答案：D【解析】：n s n s⊥⇒-==}7,3,4{},1,9,5{ ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D. 23.答案：A 【解析】： 22222200222200)11)((lim11limy x y x y x y x y x y x y x +++++=-+++→→→→2)11(lim 2200=+++=→→y x y x ,应选A.24.答案：A【解析】：令z y x z y x F -+=22),,(,⇒-='='='1)5,2,1(,4)5,2,1(,2)5,2,1(z y x F F F⇒=---+-0)5()2(4)1(2z y x 542=-+z y x ,也可以把点（1，2，5）代入方程验证,应选A.25.答案：B【解析】： ⇒-=∂∂233xy x y z =∂∂∂xy z 22233y x -,应选B. 26.答案：C【解析】：根据二重积分的可加性, 6),(=⎰⎰dxdy y x f D,应选C.27.答案：C 【解析】：有⇒=∂∂=∂∂2x x Qy P 此积分与路径无关,取直线段x y x x ,0⎩⎨⎧==从π2变到0,则 02020232)(333)sin 31()3(πππ-===-++⎰⎰⎰x x x x x L e xe xde dx xe dy y y x dx xe y x ]1)21([32-π-=πe ,应选C. 28.答案：B【解析】：0=-'⇒='⇒=y y Ce y Ce y xx,应选B. 29.答案：A【解析】：-1是单特征方程的根,x 是一次多项式,应设xe b ax x y -+=*)(,应选A.30.答案：B 【解析】：级数∑∞=-1100032n n n 的一般项n n 100032-的极限为05001≠,是发散的,应选B. 二、填空题（每题2分，共30分）31.答案：充要条件【解析】：显然为充要条件(充分且必要). 32.答案：单调增加，凹函数【解析】：⇒>-='0cos 1x y 在)2,0(π内单调增加,x y sin =''在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内大于零,应为凹的. 33.答案：zx 3-【解析】：⇒='='⇒-++=x F z F a z y x F x z 6,223222zxF F x z z x 3-=''-=∂∂. 34.答案：C x x ++-)1ln(22【解析】：⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+==+=C t t dt t t tdt xdx tx )1ln(221112121C x x ++-=)1ln(22.35.答案：0【解析】：函数x x cos 1+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-3,3是奇函数，所以⎰ππ⋅-=+330cos 1dx x x .36. 答案：26 【解析】：}2,1,1{102011}1,0,2{},0,1,1{---=--=⨯⇒-=-=kj i AC AB AC AB ，所以ABC ∆的面积为26=. 37.答案：两条平行直线 【解析】：是椭圆柱面与平面2-=x 的交线,为两条平行直线. 38.答案：)1,1(),0,0(【解析】： )1,1(),0,0(03303322⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂x y yz y x xz.39.答案：0【解析】：⇒=∂∂⇒=00)0,(x z x f 0)0,1(=∂∂xz.40.答案：22【解析】： 22sin cos cos 1cos 14040040440====πππππ⎰⎰⎰⎰⎰x ydy ydx y dy ydy y dx y x. 41.答案：⎰⎰3120)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ【解析】：⎰⎰⎰⎰θθθ=π3120)sin ,cos (),(rdr r r f d dxdy y x f D.42.答案：096=+'+''y y y 【解析】： 由x xxe C eC y 3231--+=为通解知,有二重特征根-3,从而9,6==q p ,微分方程为096=+'+''y y y .43.答案：1||<q ，1||≥q 【解析】： 级数∑∞=0n naq是等比级数, 当1||<q 时,级数收敛,当1||≥q 时,级数发散.44.答案：()()11,23131011<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--∑∞=++x x nn n n 【解析】：21161113121113121)(2x x x x x x x f -⨯-+⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--=1100011(1)1(1),(11)362332n n n nn n n n n n x x x x +∞∞∞+===⎡⎤-=---=--<<⎢⎥⋅⎣⎦∑∑∑. 45.答案：发散 【解析】：021lim 2lim lim 2)2(2≠=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--⨯-∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n ,级数发散.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求2522232lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x .【解析】：252)23(32252222522252231312121lim3121lim 32lim 2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯-∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x2523252)23(32252223131lim 2121lim 22e eex x x x x x x x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--⨯-∞→∞→.47. 求⎰+→23241limx x dtt t x .【解析】：212lim214lim1lim3403423003242=+=⨯+===+→→→⎰xxx xx dtt t xx x x x .48.已知)21sin(ln x y -=,求dxdy. 【解析】：[][])21sin()21cos(221)21sin()21cos()21sin()21sin(1x x x x x x x dx dy ---='---='--=)21cot(2x --=. 49. 计算不定积分⎰xdx x arctan .【解析】：⎰⎰⎰+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx x x x x x xd xdx x 2222112arctan 22arctan arctan ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=dx x x x 2211121arctan 2 C x x x x ++-=arctan 2121arctan 22. 50.求函数)cos(y x e z x+=的全微分. 【解析】：利用微分的不变性,x x x de y x y x d e y x e d dz )cos()cos()]cos([+++=+=dx e y x y x d y x e x x )cos()()sin(++++-= dx e y x dy dx y x e x x )cos(])[sin(++++-= dy y x e dx y x y x e x x )sin()]sin()[cos(+-+-+=.51．计算⎰⎰σDd y x2，其中D 是由1,,2===xy x y y 所围成的闭区域. 【解析】：积分区域D 如图所示:把区域看作 Y 型,则有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21|),(,故 ⎰⎰⎰⎰=y y D dx y x dy dxdy yx12212yyy yx dy y xdx dy y 122121212211⨯==⎰⎰⎰481731211121213214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y . 52．求微分方程xex y y sin cos -=+'满足初始条件1)0(-=y 的特解.【解析】：这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程0cos =+'x y y 的通解为x Ce y sin -=,设x e x C y sin )(-=是原方程解,代入方程有x x e e x C sin sin )(--=',即有1)(='x C ,所以C x x C +=)(,故原方程的通解为x xxe Cey sin sin --+=,把初始条件1)0(-=y 代入得:1-=C ,故所求的特解为xex y sin )1(--=.53．求级数∑∞=+013n nn x n 的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).【解析】：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径ρ=1R ,而321lim 33123lim lim 11=++=+⨯+==ρ∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n nn n ,故收敛半径31=R .当31=x 时,级数化为∑∞=+011n n ,这是调和级数,发散的;当31-=x 时,级数化为∑∞=+-01)1(n nn ,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;所以级数的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-31,31.四、应用题（每题7分，共计14分）54. 过曲线2x y =上一点)1,1(M 作切线L ，D 是由曲线2x y =，切线L 及x 轴所围成的平面图形，求（1）平面图形D 的面积;y x =→yx 11=→ 1（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.【解析】：平面图形D 如图所示：因x y 2=',所以切线L 的斜率2)1(='=y k , 切线L 的方程为)1(21-=-x y ,即12-=x y 取x 为积分变量，且]1,0[∈x .（1）平面图形D 的面积为12)(3)12(1212103121102=--=--=⎰⎰x x x dx x dx x S （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成旋转体的体积为302345)12(1212315121214π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-π-π=-π-π=⎰⎰x x x xdx x dx x V x .55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A 最大,求腰长x 和它对底边的倾斜角α. 【解析】：梯形截面的下底长为x 224-,上底长为 α+-cos 2224x x ,高为αsin x ,所以截面面积为 α⋅-+α+-=sin )224cos 2224(21x x x x A , )20,120(π<α<<<x即αα+α-α=cos sin sin 2sin 2422x x x A ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=α-α+α-α=α∂∂=αα+α-α=∂∂0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222x x x A x x xA得唯一驻点⎪⎩⎪⎨⎧π=α=38x .根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在20,120:π<α<<<x D 内取得,又函数在D 内只有一个可能的最值点,因此可以断定3,8π=α=x 时,截面的面积最大. 五、证明题（6分）56. 证明方程⎰π--=2cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根. 【证明】：构造函数 ⎰π-+-=02cos 1ln )(dx x e xx x f ,即有22ln sin 2ln )(0+-=+-=⎰πex x xdx e x x x f ,显然函数)(x f 在区间],[3e e 连续,且有06223)(,022)(223<-<+-=>=e e e f e f ,由连续函数的零点定理知方程0)(=x f 即⎰π--=2cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 有至少有一实数根. 另一方面, e x x f 11)(-='在区间),(3e e 内恒小于零,有方程0)(=xf ,即⎰π--=02cos 1ln dx x e x x 在区间),(3e e 有至多有一实数根.xy x =→2x 224-x α综上所述, 方程⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根.。

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、3 9、（2，17）10、c x x ++-21cos 11、π12、[]2.2-13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x xx x x ，令2x y -=，那么6631)11(lim )2(lim ey x x y x x x =+=-⋅-∞→∞→.14、.sin )(cos )(cos 1)(sin )(t t x t t y t t x t t y ==-==‘’‘’’‘，，，[].)cos 1(1)()()()()(cos 1sin )()(2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘’‘，，，，，’， 15、⎰⎰⎰⎰++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x 1ln )1(1)1(111233 .1ln 2323C x x x x ++-+-= 16、⎰⎰⎰⎰⎰-==⋅==1121121211212112211)(222)(212121212121dx e ex de e dx x ex d e dx ex x x x x x＝.22222222101212121=+-=-=-⎰e e ee dx ee x x17、由题意得：，，，－)032(=→AB )5,0,2(-=→AC ，那么法向量为 ).6,10,15(032250225003=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯=→，－－，－AC AB n 18、.221，‘f x y f x z -=∂∂)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋f x f xy f f y x z +=∂∂∂ ‘’‘’‘’，，－＝223212121f xy f x y f x f -+19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=1002110222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x 20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =- 等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln += 21、令y x y x F -=1),(，那么x 和y 的偏导分别为20001),(x y x F x -=，.1),(00-=y x F y 所以过曲线上任一点),(00y x 的切线方程为：.01020=-+-y y x x x 当X ＝0时，y 轴上的截距为001y x y +=. 当y ＝o 时，x 轴上的截距为.0020x y x x +=令002000001),(x y x y x y x F +++=，那么即是求),(00y x F 的最小值. 而4)1(211),(00000000≥+=+++=x x x x x x y x F ，故当100==y x 时，取到最小值4. 22、（1）⎰==-=1015445353)4(πππx dx x x V . （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(aadx x x dx x x化简得：⎰⎰=aa dx x dx x 0122.解出a ，得到：213=a ，故.2131=a 23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=，).0()()0(f a f g -= 由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ.24、将xe 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x。

河北省2008年专科接本科教育考试数学（一）（理工类）试题（考试时间: 60分钟 总分: 100分）说明: 请将答案填写在答题纸相应位置上, 填写在其它位置上无效。

一、单项选择题（本大题共10个小题, 每小题2分, 共20分。

在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置上无效。

）1 设 = , , 则 （ ）A 22x xB x1C 1±D 12 下列公式中计算正确的是（ ）A 1sin lim=∞→x x x B 11sin lim =∞→xx xC e x x x -=-∞→)11(limD e xxx =+-∞→)11(lim3设函数 可导, 则 （ ） A )(x f '- B)(21x f ' C )(2x f ' D )(x f ' 4设函数 在区间[ ]上可导, , 则方程 在区间（ ）内（ ）A 至少有两个实根B 有且仅有一个实根C 没有实根D 根的个数不能确定 5 下列各式中, 正确的是（ ） A⎰+=c xdx x 21 B ⎰+=c x xdx 2sec tanC⎰+=c x xdx cos sin D ⎰+=-c x dx xarcsin 1126 经过点A （2,3,1）且平行于yox 坐标平面的平面方程是（ ） A 2=x B 3=y C 1=z D 06=-++z y x7下列级数中, 收敛的级数是（） A∑∞=11n n B ∑∞=2)23(n nC ∑∞=131n nD ∑∞=12n nn8 微分方程032=-'+''y y y 的通解是（） A x xe c e c y 231+=- B x x e e c y +=-31 C x xe c ec y -+=231 D x x e e y 33-+=A 向量组βα,线性相关B 向量组γα,线性相关C 向量组γβ,线性相关D 向量组γβα,,线性相关 10 设矩阵 为 阶方阵, , 则下列说法正确的是（）A B A ,均不可逆 Ｂ O B A =+ C 00==B A 或行列式 Ｄ00==B A 或二 填空题（本大题共4个小题, 每小题4分, 共16分。