等边三角形复习

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．2345A30 B 40 ． 50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A Ll=L2 B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE 的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________ ．1617192016．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________ ．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= _________ ．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________ 个；△PAB的面积是_________ ．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________ ．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________ ．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________ ．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________ ．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________ ．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC 的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定l考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L=L2．1解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键．5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC 的面积等于（）A．190 B．192 C．194 D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选 B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12 B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，3即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC 的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EFAB，EDAC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100 B．60 C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BD C，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD 和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 6 ．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△C ND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC 于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON= （）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有 1 个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为 3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= 2 ．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°﹣60°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．（2）过D作DF⊥BC，则DF=AG，根据等边三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE 的面积．解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，即BD为AC边上的中线，∴BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°，∴∠CBD=∠ABC=30°，。

八年级上册综合复习（六）等边三角形（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定2.如图所示，∠ACB=3∠B，∠1=∠2，CD⊥AD于点D，若AC=5，CD=3，则AB的长为( )A.10B.11C.12D.15答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定及性质3.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为( )A.60°B.45°C.40°D.30°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质4.如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形BCN，连接AN，BM．若∠MBN=38°，则∠ANB的度数为( )A.80°B.82°C.85°D.90°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定及性质5.如图，已知D，E，F分别是等边△ABC的边AB，BC，AC上的点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，则下列结论成立的是( )①DEF是等边三角形；②△ADF≌△BED；③．A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定及性质6.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD；④∠ABE=60°.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质7.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定及性质8.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质9.如图，△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是( )A.124°B.122°C.120°D.118°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质10.已知△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，AD=4，BD=10，则边CD的长为( )A.4B.5C.6D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定及性质第11页共11页。

13．3．2 等边三角形（二）总课时数：课 型:新授课教学目标:知识与技能1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．过程与方法1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．情感、态度与价值观1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性。

教学重点:含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。

教学难点:1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题。

教法:讲授法、ppt 演示法 探究归纳法学法:自学与小组合作学习相结合的方法 探究归纳法教学准备:电脑、两个全等的含30°角的三角尺主备教师:宋如芳教学过程:一．提出问题，创设情境问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？二．导入新课用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)C A B(2)D C AB其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．追问：从不同的角度说明了图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．追问：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB．ADCAB证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=12BD=12AB．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=12AB，DE=12AD，所以BD=12×7.4=3.7（m）．又AD=12AB，DCA EBDA所以DE=12AD=12×3.7=1.85（m ）． 答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=12AC=a 三．随堂练习（一）课本P81练习（二）补充练习1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=14AB ． 证明：在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴BC=12AB ． 在Rt △BCD 中，∠B=60°， ∴∠BCD=30°．∴BD=12BC ． ∴BD=14AB ． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，∴∠ABC=60°，∠C=30°．又∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC=30°．∴AD=12BD ，BD=CD ． ∴CD=2AD ． 四．课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用五、作业设计:D C A B D C A B13．2.1 画轴对称图形总课时数：课型:新授课教学目标:（一）〔知识与技能〕1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）〔过程与方法〕经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．（三）〔情感、态度与价值观〕1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功体验，锻炼克服困难的意志，建立信心。

等边三角形复习题一、等边三角形相关知识点回顾：（一） 等边三角形的性质：1.等边三角形三个边都相等；2.等边三角形三个角都相等，且都等于60°；3.等边三角形有三组三线合一，有三条对称轴.（二）等边三角形的判定方法:1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.有两个角是60°的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（三）含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵ 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴ BC =12AB ．二、例题练习1. 等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．2.如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =CE ，BE 和CD 相交于点F ．(1)求证：△ACD≌△CBE . (2)求∠BFC 的度数．3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，F为AB的中点，以AC为边向形外作等边△ACD，连FD交AC于H.(1)求证：△BCF是等边三角形；(2)求证：HD=3FH．4.已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF．(1)如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；(2)如图2，在(1)的条件下，若∠DFC=45°，连接AD，求证：BE+CF=AD；课后练习题1.下列关于等边三角形的描述错误的是( )A. 三边相等的三角形是等边三角形B. 三个角相等的三角形是等边三角形C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形D. 有两个角是60°的三角形是等边三角形2.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则△ABC是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 不能确定3.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为（）A. 2B. 6C. 9D. 15第3题第5题第6题4.已知a、b、c是三角形的三边长,且满足(a−b)2+|b−c|=0,那么这个三角形一定是( )A. 直角三角形B.等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形5.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=( )A.6B.6√2C.6√3D.126.如图,AC=BC=10cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm7.在等边三角形ABC中,边长为2,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥BC,则△ADE的周长为()A. 2B. 2.5C. 3D. 4第7题第8题第9题8.如图,在等边三角形ABC中,D是AC边上的中点,延长BC到点E,使CE=CD,则∠E的度数为( )A. 15∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘9.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD=BE=CF.则△DEF的形状是______.10.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB，AC分别相交于点D和点E，则折痕DE的长为______.10题 11题 12题11.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA于D，若PC=5，则PD=______．12.如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AC上的一点，且AE=AD，求∠EDC的度数13.如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE=AD.13.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E. A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.14.如图1，已知等边三角形ABC，点P为AB的中点，点D、E分别为边AC、BC上的点，∠APD+∠BPE=60°．(1)①若PD⊥AC，PE⊥BC，直接写出PD、PE的数量关系：______；②如图1，证明：AP=AD+BE(2)如图2，点F、H分别在线段BC、AC上，连接线段PH、PF，若PD⊥PF且PD= PF，HP⊥EP．求∠FHP的度数；15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D为AB上一点，连接CD．(1)如图1，若∠BCA=90°，CD⊥AB，则ADBD =______(直接写出结果)．(2)如图2，若BD=AC，E为CD的中点，AE与BC存在怎样的数量关系，判断并说明理由；(3)如图3，CD平分∠ACB，BF平分∠ABC，交CD于F.若BF=AC，求∠ACD的度数．。

等边三角形的边角关系复习教案一、研究目标通过本节课的研究，学生将能够：- 理解等边三角形的定义和性质；- 掌握等边三角形内外角的关系；- 运用等边三角形的边角关系解决相关问题。

二、教学内容1. 等边三角形的定义和性质；2. 等边三角形内外角的关系；3. 运用等边三角形的边角关系解决相关问题。

三、教学过程第一步：概念讲解（10分钟）- 介绍等边三角形的定义：三边相等的三角形；- 引导学生观察等边三角形的特点：三条边相等，三个角也相等；- 引导学生发现等边三角形的内外角关系：内角均为60度。

第二步：练演示（15分钟）- 出示几个等边三角形的例子，让学生观察并判断是否为等边三角形；- 让学生通过测量或推理得出等边三角形的内角都是60度的结论。

第三步：知识探究（15分钟）- 设计一些等边三角形内外角关系的问题，让学生自主探究并解决；- 引导学生用等边三角形内角为60度的性质解决问题。

第四步：拓展应用（15分钟）- 出示一些与等边三角形相关的实际问题，让学生应用等边三角形的边角关系解决；- 引导学生发现等边三角形在实际生活中的应用，如建筑设计、地图制作等。

第五步：小结复（10分钟）- 归纳等边三角形的定义和性质；- 回顾等边三角形内外角的关系；- 总结运用等边三角形的边角关系解决问题的方法。

四、教学评估作业：- 布置一些与等边三角形相关的题目，让学生独立完成。

测验：- 出一些等边三角形的题目，测试学生对等边三角形的理解和运用能力。

讨论：- 引导学生就等边三角形在实际生活中的应用展开讨论，鼓励分享观点。

五、教学反思本节课通过引导学生观察和探究等边三角形的性质、解决相关问题，培养了学生的观察力、推理能力和问题解决能力。

在教学评估环节，可以检测学生的研究情况和思考能力，为下一步教学提供反馈和指导。

> 注意：以上为教案提纲，根据实际教学情况，具体内容和时间可以适当调整。

等边三角形的性质与判定复习基础专题一、知识梳理/提炼1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形.2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三边都相等。

（2）等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（3）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

（5）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）3.等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形二、课堂精讲例题例题1：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④巩固：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形例题2：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形D．不等边三角形1.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形。

2.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由。

EDCABF3.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形。

知识点二：含30°角的直角三角形的性质1.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________.2.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为_______,顶角是__________.3.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，则CD=____AC,BC=____AB,BD=____BC,BD=_____AB.4.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线与点D，则CD的长为___________.5.如右图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长。

等边三角形讲点1等边三角形的定义、性质例1△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB=10，则BC=_________cm题意分析﹕等边三角形三边相等，三个角都为60º．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练1．1如图，已知ΔABC是等边三角形，点D，E在BC的延长线上，G是AC上的一点，且CG=CD，F是GD上的一点，且DF=DE，则∠E=_______度．★★★练1．2如图，ΔABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD，AD与BF交于F，⑴求证：ΔABE≌ΔCAD；⑵求∠BFD的度数．讲点2等边三角形的判定例2已知ΔABC中，AB等于AC，下列结论：①若AB＝BC，则ΔABC是等边三角形；②若∠A＝60º，则ΔABC是等边三角形；③若∠B＝60º，则ΔABC是等边三角形，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个题意分析﹕等边三角形的判定方法∶⑴定义法：证三边相等；⑵等角法：证三个角都相等；⑶等腰三角形法∶有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练2．1如图，ΔABC中，∠ACB＝90º，∠CAB=2∠B，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CD于E，交BC于点F，则ΔCEF为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形★★☆☆练2．2如图，ΔABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC．CA上的点，且AD＝BE=CF，求证：ΔDEF是等边三角形．讲点3含30º角的直角三角形例3如图，在RtΔABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，CD⊥AB于D，点．若BD=1，则AD=______．题意分析﹕在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对应的直角边等于斜边的一半．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练3．1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，AC的垂直平分线交BC 于点E．若CE=3，则BE的长度为()A．3B．72C．6D．132★★☆☆练3．2等腰三角形一腰上的高等于这腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为_______．讲点4利用共顶点等腰三角形构造全等例4如图，点C为线段AB上一点，ΔACM，ΔCBN是等边三角形，AN，MC交于点E，BM，CN交于点F⑴求证：AM=BM；⑵求证;ΔCEF是等边三角形．题意分析﹕共顶点问题中，以公共点为对应点，可以找到一组全等三角形，进而得到转移边转移角．解答过程：解题后的思考：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________★★☆☆练4.1如图，已知ΔABC是等边三角形，点D为BC延长线上一点，以AD为边作等边ΔADF，连接CF．⑴求证：BD=CF⑵求∠FCD的度数．★★★☆练4．2⑴操作发现：如图1，D是等边ΔABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边ΔDCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．⑵类比猜想：如图2，当动点D运动至等边ΔABC边BA的延长线时，其他做法与⑴相同，猜想AF与BD在⑴的结论是否仍然成立?直接写出你的结论(不接证明)；⑶深入探究：①如图3，当动点D在等边ΔABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边ΔDCF和等边ΔDCF＇，连接AF、BF＇与AB有何数量关系?并证明你探究的结论．②如图4，当动点D在等边ΔABC边BA的延长线上运动时，其它做法与图3相同，I 中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得到的结论(不写证明)考点与课堂练习★☆☆☆1．如图，在ΔABC中，∠C=90º∠CBA=60º，AB的垂直平分线分别交于AB于D，交BC于E，若CE=4，则BE=_____．★★☆☆2．如图，等边ΔABC的边长为3厘米，D，E分别是AB，AC上的两点，将ΔADE 沿直线DE折叠，点A落在点A＇处，且点A＇在ΔABC外部，则阴影部分图形的周长是_______cm．★★★☆3．ΔABC 中，AB=AC ，∠B=75º，9ABC S ，则AB=_______．★★★☆4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠ABC=30º，AB=6．点D 在AB 边上，点E 在BC 边上(不与点B ，C 重合)，且DA=DE ，则AD 的取值范围是________．★★☆☆5．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，D 为△ABC 外一点，且满足BD=AC ，BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．★★☆☆6．如图，四边形ABCD 中，AD=4，BC=1∠A=30º，∠B=90º，∠ADC=120，求CD 的长．★★★☆7．如图，D 为等边△ABC 的边AC 上一动点，延长AB 到E ，使BE=CD ，连接DE 交BC 于P ．求证：DP=PE ．★★★☆8．已知等边三角形ABC ，E ，D 分别是AB ，CB 上一点．⑵如图，若E 在线段AB 上(不与点AB 重合)，且ED=EC ，求证：AE=DB ；⑵若E是线段AB延长线上一点，BE=AB，△ECD为等腰三角形，并求出∠EDC的度数．★★★☆9．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是等腰三角形且顶角∠BDC=120º，以D为顶点作一个60º角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求证，△AMN的周长等于2．★★★☆10．如图，△BDE是等边三角形，∠ABD=15º，∠BDC=30º，∠CBD=45º，求证：△ABC是等边三角形．★★★★11．如图，△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点．⑴若∠ADB=60º，当D点不在AC的垂直平分线时，请直接写出线段DA，DC，DB数量关系；⑵若∠ADB=60º，当D点不在AC的垂直平分线时，⑴中的结论是否仍然成立？请说明理由．⑶当D点在如图的位置时，∠ADC=60º，请直接写出线段AD、BD和CD之间的数量关系．★★★★12．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边△ACE，BE分别与AD，AC交于F，G，连接CF．⑵求证：∠FBD=∠FCD；⑵若AF=3，DF=1，求EF的值★★★★13．如图，∠BAD=120º，BD=DC，AB＋AD=AC．求证：AC平分∠BAD．★★★★14．如图，△ABD是等边三角形，以BD为边向外作等边△DBC，E，F分别在AB，AD上且AE=DF，连接BF与DE相交于G，连接CG，证明下列结论：⑴△AED≌△DFB；⑵CG=DG＋BG★★★★15．如图，在△ABC中，∠ABC=60º，∠ACB=40º，点p为∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线的交点，证明：AB=-PC．课后反馈1．如图，等边△ABC中，D，E分别为AC，AB上两点，下列结论：①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=15º，∠DBC=60º，BC=4，则AD=______3．如图，在等边△ABC中，BD为中线，CE为角平分线，BD，CE交于点M，则∠BME=_______4．如图，已知Rt△ABC中，∠A=30º，∠ACB=90º，BD平分∠ABC，求证：AD=2DC．5．如图，等边△ABC中D是AC边的中点，DH⊥BC于H．⑴求证：BD⊥AC；⑵求证：14 CH BC6.如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，点A的坐标是(0，1)，点B为y轴上的一动点，以BP为边做等边△PBC．⑴求证：OB=AC；⑵求∠CAP的度数；⑶当B点运动时，AE的长度是否会发生变化？7.如图，在△ABC中，AB=AC，射线BD上有一点P，且∠BPC=∠BAC，⑴求证：∠APC=∠APD；⑵若∠BAC=60º，BP=3，PA=4，求PC的长。