专题17 等腰、等边三角形问题(解析版)

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误． 故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ． 【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ． 考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 【答案】D ． 【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ． 考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ． 【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形 【答案】D ． 【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ． 考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A ． 【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ． 考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．【答案】1＜c ＜5． 【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度．【答案】60． 【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个． 【答案】10． 【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10． 考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．【答案】5． 【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2． 【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ． 考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题17 等腰（等边）三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.考点剖析☆典型例题（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x ﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．2023•益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE ＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．例4（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A．B．6C．8D．例5（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5考点过关☆专项突破类型一等腰三角形的性质与判定1．（2023•南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（）A．5B．10C．15D．202．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°3．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°4．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形5．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．46．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．7．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是．8．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．9．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．10．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．类型二等边三角形的性质与判定1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°2．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合3．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°4．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°5．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．6．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB 与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．7．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．8．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为．9．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．10．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF 相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是．类型三线段垂直平分线的性质1．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．4．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．85．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．186．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．78．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．。

专题17 等腰、等边三角形问题专题知识回顾一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.四、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

第四篇图形的性质专题17 三角形及其性质☞解读考点算与证明☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．(2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm)，此时三角形的三边长分别为2cm,4cm，4cm,符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系;3．分类讨论．2．（2017广西河池市)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（)A．中线B．角平分线C．高D．中位线【答案】A．【解析】试题分析:∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．考点:1．三角形的面积；2．三角形的角平分线、中线和高；3．应用题．3．（2017贵州省遵义市)如图，△ABC的面积是12,点D,E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4。

5B．5C．5.5D．6【答案】A．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．三角形的面积．4．（2017南宁）如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：由三角形内角和定理得,∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，故选B．考点：三角形内角和定理．5．(2017南宁)如图，△ABC中,AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是(）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE ∥BC D．∠DAE=∠EAC【答案】D．【解析】考点：1．作图—复杂作图;2．平行线的判定与性质；3．三角形的外角性质．6．(2017广西贵港市）从长为3，5,7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】B．【解析】试题分析：从长为3，5，7,10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有:3,5，7；3，5，10；3，7，10；5,7，10,共4种,其中能构成三角形的情况有：3,5，7;5，7,10，共2种,则P（能构成三角形）=24=12，故选B．考点:1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系；3．概率及其应用．7．（2017江苏省扬州市)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6B．7C．11D．12【答案】C．【解析】试题分析：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4,∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长:8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．考点：三角形三边关系．8．（2017四川省雅安市)一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程27120x x-+=的一根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【答案】C．【解析】考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．9．（2017四川省巴中市)若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形【答案】D．【解析】试题分析:设一份为x，三内角分别为x，2x，3x,根据内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得:x=30°,∴三内角分别为30°，60°，90°，则这个三角形为直角三角形，故选D．考点：1．三角形内角和定理；2．实数．10．（2017德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为()A．121B．362C．364D．729【答案】C．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．规律型：图形的变化类．二、填空题11．（2017四川省广安市)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8，D、E分别为AC、AB的中点,连接DE,则△ADE的面积是．【答案】6．【解析】试题分析：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD=12AC=4，DE=12BC=3，DE∥BC，∴∠ADE=∠C=90°，∴△ADE的面积=12×AD×DE=6，故答案为：6．考点：三角形中位线定理．12．（2017宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC,交AC于点E，点M在DE上，且ME=13DM．当AM⊥BM时,则BC的长为．【答案】8．【解析】考点:1．三角形中位线定理;2．等腰三角形的判定与性质．13．（2017贵州省黔南州)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE 的度数是．【答案】40°．【解析】AD，试题分析:∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP=12BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∵∠FPE=100°,∴∠PFE=40°，同理，FP=12故答案为：40°．考点：三角形中位线定理．14．（2017黑龙江省绥化市）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形,如此操作下去,则第n 个小三角形的面积为 ．【答案】2112n ．【解析】考点:1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．综合题；4．规律型；5．操作型．15．（2017四川省成都市）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：4，则∠A 的度数为 ． 【答案】40°． 【解析】试题分析：∵∠A ：∠B ：∠C =2:3：4，∴设∠A =2x ，∠B =3x ，∠C =4x ,∵∠A +∠B +∠C =180°,∴2x +3x +4x =180°，解得：x =20°,∴∠A 的度数为：40°．故答案为：40°． 考点：三角形内角和定理．16．（2017四川省达州市）△ABC 中，AB =5，AC =3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ,则m 的取值范围是 ． 【答案】1＜m ＜4． 【解析】试题分析：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD 是△ABC的中线，∴BD=CD,在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．17．（2017贵州省黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是．【答案】15．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．18．（2017四川省巴中市）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满2--=,第三边c为奇数，则c= ．9(2)0a b【答案】9．【解析】试题分析:∵a、b满足2-+-=，∴a=9，b=2，∵a、b、c为三a b9(2)0角形的三边,∴7＜c＜11，∵第三边c为奇数，∴c=9,故答案为：9．考点：1．三角形三边关系;2．非负数的性质:偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．19．（2017四川省泸州市)在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE,垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【答案】45．【解析】试题分析:连接AO并延长,交BC于H，由勾股定理得，DE=22+OE OD =25,∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=45，OBC=25，∵O 是△ABC的重心，∴AH是中线,又BD⊥CE，∴OH=12是△ABC的重心,∴AO=2OH=45,故答案为：45．考点：1．三角形的重心；2．勾股定理．20．（2017山东省淄博市）设△ABC的面积为1．如图1,分别将AC，BC边2等分,D1，E1是其分点，连接AE1，BD1．交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13如图2，分别将AC,BC边3等分,D1,D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=1；6如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=1；10…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．．【答案】2++n n(1)(2)【解析】考点：1．规律型：图形的变化类；2．三角形的面积；3．规律型；4．综合题．三、解答题21．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证:B D=CE；（2）设BD与CE相交于点O,点M，N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；(2）四边形DEMN是正方形．【解析】试题解析：（1）解:由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线,∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC,∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB,AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=1BC,∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，2BC，∴ED∥MN,ED=MN, MN是△OBC的中位线,∴MN∥BC，MN=12∴四边形EDNM是平行四边形，由(1)知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM,ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC,∵△ABC的重心到顶点A的BC，∴BD⊥CE，∴四边距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心;3．等腰三角形的性质．【2016年题组】一、选择题1．（2016贵州省铜仁市)如图，已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1B． 2 C．4D．8【答案】B．【解析】考点：1．角平分线的性质；2．含30度角的直角三角形．2．（2016贵州省毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题分析：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质;2．角平分线的性质．3．（2016广西河池市）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10B．4,5,6C．4，4,4 D．3，4，5【答案】A．【解析】考点:三角形三边关系．4．（2016广西百色市）三角形的内角和等于(）A．90°B．180°C．300°D．360°【答案】B．【解析】试题分析：因为三角形的内角和为180度．所以B正确．故选B．考点：三角形内角和定理．5．（2016广西贵港市）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C 的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵三角形的内角和是180°，又∠A=95°，∠B=40°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣95°﹣40°=45°，故选C．考点：三角形内角和定理．6．（2016江苏省盐城市)若a、b、c为△ABC的三边长，且满足-+-=，则c的值可以为(）420a bA．5B．6C．7D．8【答案】A．【解析】试题分析:∵420-+-=，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2a b＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件；故选A．考点：1．三角形三边关系;2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根．7．（2016湖南省岳阳市)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（)A．2cm，3cm,5cm B．7cm,4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm【答案】D．【解析】考点：三角形三边关系．8．(2016贵州省安顺市)已知实数x,y满足480--=，则以x，yx y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B．【解析】试题分析:根据题意得:4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得：48x y =⎧⎨=⎩． （1)若4是腰长,则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长,则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形,周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．非负数的性质;3．三角形三边关系；4．分类讨论．9．(2016湖北省荆门市）已知3是关于x 的方程2(1)20xm x m -++=的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ）A ．7B ．10C ．11D ．10或11【答案】D ．【解析】考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解;3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．10．（2016湖北省襄阳市)如图,AD 是∠EAC 的平分线,AD ∥BC ,∠B=30°，则∠C的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】C．【解析】试题分析:∵AD∥BC,∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°．又∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=60°．∵∠EAC=∠B+∠C,∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．故选C．考点：1．平行线的性质；2．角平分线的定义;3．三角形的外角性质．11．（2016湖北省鄂州市）如图所示,AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E,∠1=50°，则∠2的度数为（)A．50°B．40°C．45°D．25°【答案】B．【解析】考点:1．平行线的性质;2．三角形内角和定理．12．（2016湖北省黄石市)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°【答案】B．【解析】试题分析:∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选B．考点：1．三角形的外角性质；2．线段垂直平分线的性质．13．(2016湖南省湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是(）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【答案】C．【解析】试题分析:当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm,5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．14．(2016青海省）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x-+=的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．12【答案】B．【解析】考点：1．解一元二次方程—因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．15．（2016宁夏）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E，F 分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=2,BD=2,则菱形ABCD 的面积为(）A．22B2C．62D．82【答案】A．【解析】试题分析：∵E，F分别是AD，CD边上的中点,EF=2，∴AC=2EF=22，又∵BD=2,∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×22×2=22A．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．16．(2016广东省广州市）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D，连接CD，则CD=(）A．3B．4C．4.8D．5【答案】D．【解析】考点：1．线段垂直平分线的性质；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．三角形中位线定理．17．(2016新疆）如图,在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．DE=12BC B．AD AEAB ACC．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：2【答案】D．【解析】试题分析：∵D 、E 分别是AB ．AC 的中点，∴DE ∥BC ,DE =12BC ,∴12AD AE DE ABACBC===，△ADE ∽△ABC ,∴2ΔADE ΔABC 1:()4AD SS AB ==，∴A ，B ，C 正确，D 错误；故选D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理． 18．（2016广西梧州市）在△ABC 中,AB =3，BC =4,AC =2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点,连接DF 、FE ,则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 【答案】B ． 【解析】考点：三角形中位线定理．19．（2016陕西省）如图，在△ABC 中,∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△A BC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B．【解析】试题分析：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=22+=10，∵DE是△ABC的中位线，86+=22AB BC∴DF∥BM，DE=1BC=3，∴∠EFC=∠FCM,∵∠FCE=∠FCM，2AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8．故∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF=12选B．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．20．(2016江苏省苏州市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=22,E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3【答案】C．【解析】考点:三角形的面积．21．（2016湖北省咸宁市）如图，在△ABC 中，中线BE ,CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①12DE BC=；②ΔDOEΔCOB12SS =；③AD OE AB OB=；④ΔODE ΔADC 13S S = 其中正确的个数有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ． 【解析】故正确的是①③．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的重心．22．（2016湖南省永州市）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短"的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【答案】B．【解析】考点:1．圆的认识；2．线段的性质：两点之间线段最短;3．垂线段最短；4．三角形的稳定性．23．(2016内蒙古包头市)如图,点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A3B．33C．32D．22【答案】A．【解析】试题分析:∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2(∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°,∴tanA=tan60°3A．考点：1．角平分线的性质；2．特殊角的三角函数值．24．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再MN的长为半径画弧，两弧交于点P，分别以点M，N为圆心,大于12作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15,则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．60【答案】B．【解析】考点：角平分线的性质．25．（2016福建省厦门市）如图,DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【答案】B．【解析】试题分析:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F,在△ADE和△CFE中，∵∠ADE=∠F，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS)，∴DE=FE．故选B．考点:1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定与性质。

专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为1 两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).证明如图1，设AB中点P的坐标为(x P,y P).由x P-x1=x2-x P，得x P=221xx+，同理y P=221yy+，所以线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).1.2 平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CAxx+,2CAyy+).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DBxx+,2DByy+).∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.总结即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．图42.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题题目例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=21x -a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ), N ( )； (2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.解答解：(1)M (1,a -1)，N (a 34,-a 31)；(2)a=-49；S 四边形ADCN =16189；(3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 34,-a 31).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+am m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==81525a m . ∴P 1(25,-85)； ②当以AN 为对角线时，得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=-+=+am m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==81525a m (不合题意，舍去). ③当以CN 为对角线时，得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=+am m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=8321a m . ∴P 2(-21,87). ∴在抛物线上存在点P 1(25,-85)和P 2(-21,87)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形.反思 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=132312--x x ； (2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0,t )；点P 在抛物线上， 设点P 坐标为(m,132312--m m ).尽管点Q 在y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．①当以AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ， ∴m=-4，∴P 1(-4,7)；②当以BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P 2(4,35)； ③当以AB 为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P 3(2,-1). 综上，满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,35)、P 3(2,-1).这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直线上．设图6题目例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．解答解：（1）易求抛物线的解析式为y=21x 2+x -4； （2）s=-m 2-4m (-4<m <0)；s 最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程．由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点，设Q (s ,-s )，把Q 看做定点；设P (m ,21m 2+m -4). ①当以OQ 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.∴Q 1(-2+52,2-52)，Q 2(-2-52,2+52)；②当以BQ 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+++=+s m m s m 44210002 ∴s 1=-4，s 2=0(舍). ∴Q 3(-4,4)；③当以OB 为对角线时， ⎪⎩⎪⎨⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s 1=4，s 2=0(舍). ∴Q 4(4,-4).综上，满足条件的点Q 为Q 1(-2+52,2-52)、Q 2(-2-52,2+52)、Q 3(-4,4)、Q 4(4,-4).反思该题中的点Q 是直线y =-x 上的动点，设动点Q 的坐标为(s ,-s )，把Q 看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1（0）和点B与y轴交于点C（0（3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M（N同时停止运动，问点M（N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（（1（0（（B（3（0）两点，与y轴相交于点C（0（（3（（（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使（POB 与（POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且（ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．7．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A（（4（0（（B（1（0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C（D（（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E（F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M（N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得（CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得（AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y=（14x 2（12x+2与x 轴交于A（B 两点，与y 轴交于点C （1）求点A（B（C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A（B（E（F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得（ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （（1（0（（B （4（0（（C （0（（4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设（MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使（MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且（MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．1．如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 3．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC（ (1)求抛物线的函数表达式； (2)（BCD 的面积等于（AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)A D --，，P 点为抛物线2y x bx c =++﹣上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC， 又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定 【答案】B【解析】 如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。

专题17 三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2、理解三角形内角和定理及推论．3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．【考点总结】一、三角形的概念【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三条线段能否组成三角形1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A．4，4，8 B．5，5，1C．3，7，9 D．2，5，42．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是() A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()A．6＜l＜15 B．6＜l＜16C．11＜l＜13 D．10＜l＜165．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为()A．25 B．25或32C．32 D．197．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.技巧2：三角形的三种重要线段【类型】一、三角形的高题型1：找三角形的高1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．题型2：作三角形的高2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)题型3：应用三角形的高3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)求AD∶BE的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG.【类型】二、三角形的中线题型1：利用中线求长度5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为()A．2 B．3 C．4 D．66．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()A．40B．46C．50D．567．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．题型2：利用中线求面积8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．【类型】三、三角形的角平分线题型1：三角形角平分线定义的直接应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．题型3：求三角形两内角平分线的交角度数12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．【类型】二、三角尺或直尺中求角度3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为()A．125°B．120°C．140°D．130°4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．【类型】三、与平行线的性质综合求角度6．如图，AB ∥CD ，∠ABE ＝60°，∠D ＝50°，求∠E 的度数．【类型】四、与截角和折叠综合求角度7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°8．△ABC 是一个三角形的纸片，点D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的两点．(1)如图①，如果沿直线DE 折叠，则∠BDA′与∠A 的关系是____________；(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由；(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A 的关系，并说明理由．【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例1、已知①ABC 中::3:4:7A B C ∠∠∠=，则①ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则第三边长可能为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm【题型】三、确定三角形第三边的取值范围例3、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，已知12AC =，13AB =，则CD 的长是（ ）A ．5B ．6013C ．6D ．6512【题型】五、与三角形重心有关的计算例5、如图，在①ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD①BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ①EF 于点D ，如果①A ＝20°，则①ACG ＝（ ）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD 中，CD①AB ，AC①BC ，若①B ＝50°，则①DCA 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算例8、如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒三角形基础（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，若①B =70°，①1=110°，则①A =（ ）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°2．如图，已知直线AE ①BD ，且①C ＝15°，①1＝110°，则①2的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°3．数学课上，同学们在作ABC 中AC 边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）A ．3、4、8B ．4、4、8C ．3、5、6D ．5、6、115．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）A ．三角形具有稳定性B ．两点之间线段最短C ．经过两点有且只有一条直线D ．垂线段最短二、填空题6．如图，点B 、C 、D 在同一直线上，AB ①CE ，若①A ＝55°，①ACB ＝65°，则①1为___°．7．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB AC 、上，且AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=_________°．三、解答题8．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，130BCD ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ．(1)求ABE ∠的大小；(2)若48ADC ∠=︒，求DEF ∠的大小．三角形基础（提升测评）一、单选题1．如图，点C ，D 在直线AB 上，OC OD ⊥，若120ACO ∠=，则①BDO 的大小为（ ）A ．120B ．140C ．150D ．1602．一把直尺和一块三角板ABC （含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ，①CED =25°，则①BF A 的大小为（ ）A ．105°B ．110°C ．115°D ．125°3．如图，BE 是ABC 的中线，AD BC ⊥交BE 于点F ，且BD AE =，50∠︒=EAD ，则EBC ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°4．如图，在ABC 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，BCD △的周长为20，则ABD △的周长为（ ）A ．17B ．23C ．25D ．285．如图，Rt ①ABC 中，①C ＝90°，BD 平分①ABC 交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，若AB ＝12，CD ＝3，则①DBE 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．9D ．6二、填空题6．如图，在ABC ∆ 中，AD 平分CAB ∠ ，AB AC CD =+ ，若81CAB ∠=︒ ，则B ∠ 度数为______．7．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 上，AD BD =，如果102∠=︒DAC °，那么BAD ∠=___________度．三、解答题8．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE 平分CED ∠；(2)连接BD ，求证：90DBC ∠=︒．。

《等边三角形》专题2.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =3. (2017天津第11题)如图，在ABC ∆中，AC AB =，CE AD ,是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于EP BP +最小值的是（ ）A ．BCB ．CE C. AD D ．AC17. （2017河池第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．3B ．4 C. 8 D ．910.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD 交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．2C．D．34．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其A．3个B．2个C．1个D．0个设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________ 三角形．18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD 为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；②_________ ；③_________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14．①②③⑤．15．.16．a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n）17．等边三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，∴DF=CD，∴DF=CF，∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，∴ED=5．双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

第十六讲：等腰三角形与直角三角形基础知识知识点一：等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角（或三条边）都相等的三角形是等边三角形；推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；典型例题解析例1：已知实数x ，y 满足|x ﹣4|+=0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．思路分析：先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分x 的值是腰长与底边两种情况讨论求解．解：根据题意得，x ﹣4=0，3y ﹣6=0，解得x=4，y=2，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，周长=4+4+2=10； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、2、2，不能组成三角形，所以，三角形的周长为：10；故答案为：10．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x 、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．思路分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．解：在三角形ABC 中，设AB=AC ，BD ⊥AC 于D ．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．对应训练1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5第1题图第2题图第6题2.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°3.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．64. 如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．4时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯第9题图 第10题图 第11题图10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，若AB=6，CD=4，则△ABC 的周长是 ．11. 如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE= °．12. 如图，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD=BC ，AE=AC ，则∠DCE 的大小为 度．第12题图 第13题图 第14题图13. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．14.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ．知识点二：勾股定理：3.直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

专题17 三角形【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，连结BD ．若1CD =，则AD 的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，∠ABD =30A ∠=︒，求得30CBD ∠=︒，即可求出答案．【解析】解：∵90C ∠=︒，∴∠A +∠ABC =90︒，∵线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，∴AD=BD ，∴∠ABD =30A ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∵1CD =，∴AD=BD =2CD =2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文2】（2021·广东广州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，连结BD ．若1CD =，则AD 的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，∠ABD =30A ∠=︒，求得30CBD ∠=︒，即可求出答案．【解析】解：∵90C ∠=︒，∴∠A +∠ABC =90︒，∵线段AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，∴AD=BD ，∴∠ABD =30A ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∵1CD =，∴AD=BD =2CD =2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，38B ∠=︒，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当//B D AC '时，则BCD ∠的度数为________．【答案】33︒【分析】如图，连接CB '，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得38B B ︒'∠=∠=，DCB DCB '∠=∠，并由平行线的性质可推出38ACB B ︒''∠=∠=，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．【解析】解：如图，连接CB '∵点B 关于直线CD 的对称点为B '，∴CB CB '=，DB DB '=．∵CD CD =，∴DCB DCB '≅△△．∴38B B ︒'∠=∠=，DCB DCB '∠=∠．∵//B D AC '，∴38ACB B ︒''∠=∠=．∵AC BC =，∴38A B ︒∠=∠=．∴1802104ACB B ︒︒∠=-∠=．∵2104ACB ACB DCB DCB ACB DCB ︒'''∠=∠+∠+∠=∠+∠=．∴210466DCB ACB ︒︒'∠=-∠=．∴33DCB ︒∠=．故答案为：33︒．【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D ∠=∠，BE CF =，证明：AE DF =．【答案】见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【解析】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D ∠=∠，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文5】（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，点E 是AC 的中点，且AC AD =（1）尺规作图：作CAD ∠的平分线AF ，交CD 于点F ，连结EF 、BF （保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，证明：BEF 为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出CAD ∠的平分线AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BE AC =并求出30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，再根据等腰三角形三线合一性质得出CF DF =，从而得到EF 为中位线，进而可证BE EF =，60BEF ∠=︒，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【解析】解：（1）如图，AF 平分CAD ∠，（2）∵45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，∴30CAD ∠=︒，15BAC ∠=︒，∵AE EC =，90ABC ∠=︒，∴12BE AE AC ==， ∴15ABE BAC ∠=∠=︒，∴30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，又∵AF 平分CAD ∠，AC AD =，∴CF DF =，又∵AE EC =，∴1122EF AD AC ==，//EF AD ， ∴30CEF CAD ∠=∠=︒，∴60BEF BEC CEF ∠=∠+∠=︒又∵12BE EF AC == ∴BEF 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文6】（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．【答案】553+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE =++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，53AE =∴553DEF C =+△【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．D CB AD CB A 知识要点归纳：1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

备考2019中考数学高频考点剖析专题十七平面几何之全等三角形问题考点扫描☆聚焦中考全等三角形，是每年小考的必考内容么一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。

解析题主要以证明为主。

结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：(1)全等三角形的性质；(2)全等三角形的判定；(3)涉及到全等三角形的综合应用.考点剖析☆典型例题頑(2018-黔南州)下列各图中纸b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ ABC全等的是( )【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与AABC全等，甲与AABC不全等.【解答】解：乙和AABC全等;理由如下:在AABC和图乙的三角形屮，满足三角形全等的判定方法：SAS,所以乙和AABC全等；在AABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：A AS,所以丙和△ABC全等；不能判定甲与AABC全等；故选：B.例2 (2018-安顺)如图，点D, E分别在线段AB, AC上，CD与BE相交于0点,已知AB二AC,//° wA.ZB=ZCB. AD二AEC. BD二CED. BE二CD【分析】欲使△ ABE^AACD,己知AB=AC,可根据全等三角形判定定理MS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.【解答】解：TAB二AC, ZA为公共角，A、如添加ZB=ZC,利用ASA即可证明厶ABE^AACD；B、如添AD=AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；C、如添BD二CE,等量关系可得AD二AE,利用SAS即可证明厶ABE^AACD；D、如添BE二CD,因为SSA,不能证明厶ABE^AACD,所以此选项不能作为添加的条件. 故选：D.硕冋（2018*南充）如图，已知AB二AD, AC二AE, ZBAE^ZDAC.求证：ZC=ZE.【分析】由ZBAE=ZDAC可得到ZBAC=ZDAE,再根据“SAS”可判断△ BAC^ADAE,根据全等的性质即可得到ZC=ZE.【解答】解：TZBAE二ZDAC,・•・ ZBAE - ZCAE二ZDAC - ZCAE,即ZBAC二ZDAE,在ZXABC 和AADE 中，'AB二AD•・・< ZBAC二ZDAE,,AC二AEAAABC^AADE (SAS),AZC=ZE.（2018*哈尔滨）已知：在四边形ABCD屮，对角线AC、BD相交于点E,且AC丄BD,作BF 丄CD,垂足为点F, BF 与AC 交于点C, ZBGE=ZADE.(1) 如图1,求证:AD=CD ；(2) 如图2, BII 是AABE 的中线，若AE 二2DE, DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出图2屮四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于AADE 面积的2倍.【分析】(1)由 AC 丄BD 、BF 丄CD 知 ZADE+ZDAE 二ZCGF+ZGCF,根据 ZBGE=ZADE=ZCGF 得出ZDAE 二ZGCF 即可得；⑵设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a> EG 二DE P 、AH 二HE 二a 、CE=AE=2a,据此知 S^DC 二2/二2S MDE , 证厶ADE^ABGE 得BE 二AE 二2°,再分别求出 S AA BE 、 S AACE 、 S ABHG ， 从而得出答案.【解答】解：(1) VZBGE=ZADE, ZBGE=ZCGF,・・・ZADE 二 ZCGF,TAC 丄BD 、BF 丄CD,・•・ ZADE+ ZDAE= ZCGF+ ZGCF,•••ZDAE 二 ZGCF,「•AD 二 CD ；(2)设 DE 二a,・・・ S AA DE=-yAE • • 2a • a=a 2,TBH 是Z\ABE 的中线, •: AH=HE=a,TAD 二CD. AC 丄BD,CE=AE=2a,在ZiADE 和ZXBGE 中, "ZAED 二 ZBEG「DE 二 GE ,,ZADE=ZBGEAADc=yAC*DE=y- (2a+2a ) • a =2a.2=2S AADE ;「•△ADE竺△BGE (ASA), /• BE 二AE=2a,・・・S“E二寺AE・BE二+• (2a) *2a=2a2,综上，面积等于ZkADE面积的2倍的三角形有ZXACD、AABE^ ABCE> ABIIG. 考点过关☆专项突破类型一全等三角形的性质1.如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）解析：能够完全重合的两个图形叫做全等形.A、B、D图案均与题干屮的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180。

专题17 两圆一线法求第三点与已知两点构成等腰三角形V是等腰三1．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使ABC角形，则符合条件的C点共有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】分三种情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分别画图即可．【详解】解：如图，当AB=AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA=BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA=CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有4个，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆的定义，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．V，2．等边三角形ABC所在平面内有一点P，且点P不与点A，B，C重合，使得PAB△，PBCV都是等腰三角形，这样的点P共有（）PCAA．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】【分析】当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，当点P 在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．3．已知坐标平面内一点()2,1A ，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】依题意，分三种情况讨论，①当OA OB =时，②当AO AB =时，③当BO BA =时，分别求得符合条件的动点B 的个数即可．【详解】如图，①当OA OB =时，以O 为圆心，OA 的长度为半径作圆，交x 轴于点13,B B ；②当AO AB =时，以A 为圆心，AO 的长度为半径作圆，交x 轴于点4B ；③当BO BA =时，作AO 的垂直平分线，与x 轴交于点2B ,综上所述，V AOB 是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为4个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（2，2），点N 在x 轴上，若△OMN 是等腰三角形，则满足条件的点N 共有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论【详解】解：若OM 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若ON 为底边，则满足条件的点N 有1个，在点O 的右侧若NM 为底边，则满足条件的点N 有2个，在点O 的右侧一个，在点O 的左侧一个由上可知，满足条件的点N 共有4个故选：B【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键5．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA 为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．V，∠OAB=30°，∠AOB=90°，O点与坐标系原点重合，若点P在坐标轴上，6．如图，已知Rt OAB且APB△是等腰三角形，则点P的坐标可能有（ ）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】B【解析】【分析】分PAB Ð为顶角、PBA Ð为顶角、APB Ð为顶角三种情况，再根据等腰三角形的判定即可得．【详解】Q 在Rt OAB V 中，30,90OAB AOB Ð=°Ð=°，60ABO \Ð=°，由题意，分以下三种情况：（1）如图，当PAB Ð为顶角时，以点A 为圆心、AB 长为半径画圆，交坐标轴于点123,,P P P ，其中1APB △是等边三角形；（2）如图，当PBA Ð为顶角时，以点B 为圆心、BA 长为半径画圆，交坐标轴于点145,,P P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，1BP BA \=，\点1P 一定在以点B 为圆心、BA 长为半径的圆上；（3）如图，当APB Ð为顶角时，作AB 的垂直平分线，交坐标轴于点16,P P ，经过点1P 的理由：1APB Q V 是等边三角形，\点1P 一定在AB 的垂直平分线上；综上，符合条件的点P 有6个，即点P 的坐标可能有6个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．V 7．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使ABC 是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，﹣3），点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【详解】解：如图示，点P 共有4个点．故选C ．9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 经过原点，且3OA =，1OB =，点P 在y 轴上，若以PAB 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】分别以AB 、为圆心，以AB 长为半径画圆，确定与y 轴交点的个数，此外作AB 的垂直平分线，确定与y 轴交点的个数，即可求解．【详解】解：分别以AB 、为圆心，以4AB =长为半径画圆，如下图：此时与y 轴交点的个数为4，作AB 的垂直平分线，如上图：此时与y 轴交点的个数为1，故选：B【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义．10．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，以C 为原点，AC 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M ，使MAB △为等腰三角形，符合条件的点M 有__________个．【答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM ；②BM = BA ；③MA = MB ．【详解】如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴有一点3M ，交y 轴有两点12,M M ，此时AB = AM ，\MAB △为等腰三角形；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线x 轴有两点45,M M ，交y 轴有一点6M ，此时BM = BA ，\MAB △为等腰三角形；③作AB 的垂直平分线交y 轴于点7M ，交x 轴于点8M ，此时MA = MB ，\MAB △为等腰三角形，60ABC Ð=°Q ，3M AB V 是等边三角形，故348M M M ，，重合\符合条件的点有6个，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【解析】【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底，AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．12．如图，直角坐标系中，点22A -（，）、01B （，），点P 在x 轴上，且PAB V 是等腰三角形，则满足条件的点P 共______个．【答案】4【解析】【分析】分AB =AP 、BA =BP 、PA =PB 三种情况，画出图形即可得答案．【详解】①AB =AP ：以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 1、P 2，∴P 1、P 2，符号条件，②BA =BP ：以B 为圆心，BA 长为半径画弧，与x 轴有2个交点P 3、点(2，0)，∵点(2，0)与AB 不能构成三角形，∴P 3符合条件，③PA =PB ：作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有1个交点P 4，∴P 4A =P 4B ，∴P 4符合条件，综上所述，符合条件的点共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键．13．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，36CAB Ð=°，在直线AC 或直线BC 上取点M ，使得MAB △为等腰三角形，符合条件的M 点有_______个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB =AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM =BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA =MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．14．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．【答案】10【解析】【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，②以O 为圆心，以8为半径画弧，交直线a 和直线b 分别有两个点，即共4个点符合，③作AO 的垂直平分线分别交直线a 、b 于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP V 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．【答案】90°，45°，135°【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．16．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有__________【答案】8【解析】【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．17．在坐标系xOy 中，已知点()3,1A 关于x 轴，y 轴的对称点分别为P ，Q ，若坐标轴上的点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形，则满足条件的点M 有______个．【答案】5【解析】【分析】如图所示，利用两圆一线的方法，判断点M 的个数即可．【详解】解：如图，分别以A ，Q 为圆心，以AQ 长度为半径画出两个较大的圆，此时x 轴上的点满足与A ，Q 组成等腰三角形有5个，y 轴上的点均可满足与A ，Q 组成等腰三角形，然后分别以A ，P 为圆心以AP 的产生古为半径画出两个较小的圆，此时坐标轴上只有x 轴上的点满足与A ，P 组成等腰三角形，因此点M 恰使MAP △，MAQ V 均为等腰三角形共有5个．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是利用等腰三角形性质判断相关的点．18．如图，在xOy中，∠ABO＝25°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C 点有_____个．【答案】8【解析】【分析】分类讨论：AB=AC时，AB=BC时，AC=BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【详解】解：如图，①当AB=AC时，在y轴上有2点满足条件的点C1，C5，在x轴上有1点满足条件的点C2，②当AB=BC时，在y轴上有1点满足条件的点C4，在x轴上有2点满足条件的点C3，C8，③当AC=BC 时，在y 轴有1点满足条件的点C 6，在x 轴有1点满足条件的点C 7，综上所述：符合条件的点C 共有8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．19．如图，平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)A 和(0,1)B ，若动点C 在x 轴上运动，则使ABC V 为等腰三角形的点C 有________个．【答案】4【解析】【分析】分为三种情况：①AB =AC ，②AC =BC ，③AB =BC ，画出图形，即可得出答案．【详解】∵A （1，0），B （0，1），∴AO=OB=1，如图：①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；共2+1+1=4个点符合．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．20．O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上找一点P，使三角形AOP为等腰三角形，符合条件的点P 有___________个．【答案】4【解析】【分析】此题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.共有4个．【详解】解：如图，（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有_________个．【答案】8【解析】【分析】根据等腰三角形的性质作图即可；【详解】解：如图，以AB为腰的三角形有6个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP7，△ABP8．因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键．22．作图题：在等边V ABC所在平面上找这样一点P，使V PAB、V PBC、V PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【解析】【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O BCMD EEABDCF BCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDB B ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABC ADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B DFE C图2A ′ E ′D ′ AENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ）A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 87．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CPA =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，PA =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=PA +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC D(第1题)(第2题)ABD E CABPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABPQCABD MCFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF ，BA 交于E ，延长FM 至点P ，使MP =MF ，连BP ，则△BMP ≌△CMF ，∴BP =CF . ∵AD 平分∠BAC ，AD ∥FM ，∠BAD =∠DAC =∠MFC =∠AFE =∠E =∠P ，∴AE =AF ，BE =BP ，即AB +AE =AB +AF =AB +AC -CF =CF ，∴CF =12(AB +AC )= 12(7+11)=9.例2 D例3 提示：△EMC 为等腰直角三角形，连AM ，易证：△ADE ≌△BAC .∴AD =AB ， 又∠DAB =90°.又∵M 为BD 中点，∴AM ⊥DB 且DM =BM =AM . 又∵∠MDE =∠MAC =105°，∴△EDM ≌△CAM . ∴EM =MC ，∠DME =∠AMC ， ∴∠DME +∠EMA =∠AMC +∠EMA =90°. ∴△EMC 为等腰直角三角形.例4延长AD 至G ，使DG =AD ，连接BG . 由△ADC ≌△GDB ，得AC =BG ，AC ∥BG . ∵BE =AC ，∴BE =BG ，得∠BED =∠BGD ， ∴∠F AE =∠BGD =∠BED =∠AEF ， 故AF =EF .例5 提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO ≌△ACO ，∴∠BAO =∠CAO =10°，∴∠ABO =∠ACO =20°，∴∠AOB =∠AOC =150°.又∵BO =BC =CO = AD ，∴△ACD ≌△CAO ，∴∠AOC =∠CDA =150°，故∠BDC =30°.A 级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D 提示：将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD ≌△CBF ，∴∠CAD =∠BCF .又∵∠CAD +∠CDG =∠BCF +∠CDG =90°， ∴∠CGD =90°，∴AD ⊥CF . ⑵△ACF 为等腰三角形.10.提示：延长DB 至E ，使BE =AB ，连结AE ，证明∠E =∠C ，AC =AE . 11. 提示：证明△DCA ≌△ECB 、△DCM ≌△ECN ，∠NCM =60°. 12. ⑴提示：先证明∠CEF =∠CFE .⑵作EG ⊥AC 于G ，证明△CEG ≌△BE ´D ´，可得CE = BE ´，又CF =CE ，BE ´=CF .B 级1.2:12.110°3.104.D5.C 提示：在五边形内作等边三角形ABF ，则E 、F 、C 在一条直线上.6.B7. 提示：⑴ ⑵ 在BB ´上取点P ，使∠BPC =120°，再在PB ´上取点E 使PE =PC ，连结CE . 则由△PCE 为等边三角形，可得：PC =CE ，∠PCE =60°，∠CEB ´=120°∵△ACB ´为正三角形，∴可证：△ACP ≌△B ´CE . ∴∠APC =∠B ´EC =120°，P A =EB ´.ACGDEF∴∠APC =∠BPC =∠CP A =120°，∴P 为△ABC 的费马点. ∴BB ´过△ABC 的P ，且BB ´=EB ´+PB +PE =P A +PB +PC .8. 提示：延长AB 至M ，使BM =BP ，连结PM ，则AB +BP =AM ，可证明BQ =QC . ∴AQ +QB =AQ +QC =AC ，又由△AMP ≌△ACP 得AM =AC ，故AB +BP =AQ +BQ .9. 提示：延长FM 至P ，使PM =FM ，连结BP ，则△BMP ≌△CMF ，AE =AF ，BE =BP .10. 提示：当D 为BC 的端点，显见△AED 是等边三角形；当D 为BC 边的中点，取AC 的中点F ，连接DF ，易证△CDF 为等边三角形，又△ADF ≌△EDC ，故△ADE 为等边三角形．猜测：当D 为BC 上任意点时，△ADE 也为等边三角形． 11．（1）142y x =-+；（2）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，证明△AOB ≌△BHC 即可；（3）符合条件的P 点共有5个，分别为()()()()84,12,4,,4,8,4,4,4,43⎛⎫-------- ⎪⎝⎭．12．提示：（1）B (8，0)；（2）如图a ，过A 作AS ⊥OB 于S ，过D 作DT ⊥x 轴于T ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，∴OS =AS =BS ，再由△ASC ≌△CTD ，可得：AS =CT ，SC =TD ． ∴CT =AS =OS ，∴OT =CS =TD ． ∴∠TOD =45°，则∠AOD =90°；（3）等式成立，理由如下：如图b ，在AM 上截取AS =OF ，连ES ，可证△EAS ≌△EOF ，可得：ES =EF ，∠AES =∠OEF ∴∠SEF =∠AEO =90°，∴∠FEM =∠SEM =45°． 又∵EM =EM ，∴△EFM ≌△ESM ，∴FM =SM ， ∴AM =AS +SM =OF +FM ，∴1AM FMOF-=．x图a图b。

专题17 三角形中的尺规作图问题知识对接考点一、尺规作图问题1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；专项训练一、单选题1．（2021·河北）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为ABC的内心的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C 中尺规作图作的是1∠､ACBABC∠的平分线，所以点O为ABC的内心，故选：C．【点睛】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．2．（2021·河北九年级）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧①，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）A．AH是ABC中BC边上的高B．AH DH=C．AC平分BAD∠D．作图依据是：①两点确定一条直线；①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：如图，连接CD，BD，3由作图步骤可知，AC DC =，AB DB =， 由①两点确定一条直线，①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 可知BH 为AD 的垂直平分线，即AD BH ⊥，AH DH =， 故选C ． 【点睛】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是判定图示所做为垂直平分线．3．（2021·吉林长春市·东北师大附中）如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝ECB ．BE ＝EC C ．BC ＝BED ．AE ＝EC【答案】C 【分析】证明①BEC =①BCE ，可得结论． 【详解】解：由作图可知，CD ①AB ，CE 平分①ACD ， ①①ACE ＝①DCE ， ①①ACB ＝①CDB ＝90°，①①A +①B ＝90°，①B +①DCB ＝90°， ①①A ＝①DCB ，①①BEC ＝①A +①ACE ，①BCE ＝①ECD +①DCB ， ①①BEC ＝①BCE ， ①BC ＝BE ， 故选：C ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2021·广西）如图，在①ABC 中，AB =AC ，AE =2，BE =1，观察尺规作图的痕迹，则EC 的长度是（ ）A．2B．3C D【答案】D【分析】根据作图判断出CE①AB，利用勾股定理即可求解．【详解】解：由作图知，CE①AB，①AB=AC，AE=2，BE=1，①AB=AC= AE+BE=3，由勾股定理得：EC故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2021·河北唐山·九年级）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学做图描述：甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点D，做直线CD即为所求乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线下面说法正确的是（）A．甲对，乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的作图方法即可判断． 【详解】甲图先尺规作图得到AC =BC ，再得到AD =BD ，根据等腰三角形的三线合一可知CD ①AB ，故正确；乙图为垂直平分线的作图方法，故正确； 故选C ． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知垂直平分线的作图方法．6．（2021·广东九年级）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点О为圆心，任意长为半径作弧，交AOB ∠的两边OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ，并连接CD 、CE ．下列结论不正确的是（ ）A ．OC 垂直平分DEB ．CE OE =C ．DCO ECO ∠=∠D ．12∠=∠【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，在①OCD 和①OCE 中， OD OEDC EC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OCD ①①OCE （SSS ）， ①①DCO =①ECO ，①1=①2， ①OD =OE ，CD =CE ， ①OC 垂直平分线段DE ， 故A ，C ，D 正确，故选：B．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2021·浙江九年级）如图，已知ABC，AB BC<，用尺规作图的方法在BC上取一点P，+=，则下列选项正确的是（）使得PA PB BCA．B．C．D．【答案】B【分析】因为BC=PB+PC，根据已知P A+PB=BC，所以P A=PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．【详解】解：作AC的中垂线，交BC于点P，则P A=PC，①BC=PB+PC，①P A+PB=BC，故选：B．【点睛】本题是作图-复杂作图，考查了线段中垂线的作法，明确线段垂直平分线的性质是关键．8．（2021·广东九年级）尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；CD长为半径画弧，两弧交于点P；①分别以C、D为圆心，大于12①过点P作射线OP，射线OP即为所求．则上述作法的依据是（）7A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】A 【分析】根据SSS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接PC ，PD ．．由作图可知，OC ＝OD ，PC ＝PD ， 在①OPC 和①OPD 中， OC OD OP OP PC PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①①OPC ①①OPD （SSS ）， ①①POC ＝①POD ， 故选：A ． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·扬州市梅岭中学）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A 【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线，①AC=BC，①①1=①ABC=90°-68°=22°，故选A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．10．（2021·河北石家庄·九年级）观察下列尺规作图的痕迹：>的是（）其中，能够说明AB ACA．①①B．①①C．①①D．①①【答案】C【分析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．【详解】解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在①ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可>；判AB AC>;如图①为作①ABC的角平分线，无法判定AB AC>;如图①为以AC为半径画弧交AB于D，即AB AC>;如图①为作①ACB的平分线，无法判定AB AC综上，①①正确．故选C．9【点睛】本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键． 二、填空题11．（2021·云南）如图，四边形ABCD 是平行四边形，1058'4D ∠=︒．观察图中尺规作图的痕迹，则AEB ∠=_____．【答案】376'︒ 【分析】根据平行四边形的性质可得出①BAD ，①AEB =①DAE ，根据作图可得DAE =∠12DAB ∠从而得出结论． 【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形 ①AD //BC ，AB //CD①①AEB =①DAE ，180BAD D ∠+∠=︒ ①1058'4D ∠=︒①①BAD =180°-105'48︒=7412'︒ 由作图可知，AE 是①BAD 的平分线， ①①AEB=DAE =∠12DAB ∠=376'︒ 故答案为：376'︒ 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分的定义与作法以及平行四边形的性质，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．12．（2021·广东东莞·九年级）尺规作图要求： a 、过直线外一点作这条直线的垂线；b、作线段的垂直平分线；c、过直线上一点作这条直线的垂线；d、作角的平分线．其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是______．（填序号）【答案】①①①①【分析】根据基本作图进行判断．【详解】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图①；b，作线段的垂直平分线，如图①；c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图①；d、作角的平分线．如图①．故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．13．（2021·昭通市昭阳区第一中学九年级）如图，已知AB①CD，①BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知①BCD的度数为_____．【答案】26°28'【分析】根据尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，结合AB①CD，可得①BCD=①B=①FCB，进而即可求解．【详解】由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分①DCF，①①BCD=①FCB，①AB①CD，①①BCD=①B，①①FCB=①B，①①BFC＝127°4'，①①BCD=①B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线以及平行线的性质，根据尺规作图的痕迹，得到BC平分①DCF，是解题的关键．14．（2021·北京西城·九年级二模）如下是小华设计的“作AOB∠的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线,OA OB于点P，点Q，连接PQOPQ∠=①︒，理由是①第二步过点C作PQ的垂线，交PQ于点D，交PQ于点E PE EQ=，PE=①第三步作射线OE射线OE平分AOB∠射线OE为所求作．【答案】见解析；①90；①直径所对的圆周角是直角；①EQ【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．11①①OQ是直径①①OPQ=90°故答案为：90；①故答案为：直径所对的圆周角是直角；①①CE①PQ①由垂径定理得：PE EQ．故答案为：EQ【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键15．（2020·河南周口市·九年级）在①ABC中，尺规作图的痕迹如图所示，已知①ADB＝50°，①A＝110°，则①ABC的度数为_____．【答案】45°【分析】由作图可知：EF垂直平分线段BC，先求出①C，再利用三角形内角和定理解决问题即可．【详解】解：由作图可知：EF垂直平分线段BC，①DB＝DC，①①DBC＝①C，①①ADB＝①DBC+①C＝50°，①①C＝25°，①①ABC＝180°﹣①A﹣①C＝180°﹣110°﹣25°＝45°，故答案为：45°．13【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题16．（2021·重庆实验外国语学校九年级）如图，平行四边形ABCD 中90ADB ∠=︒． （1）求作：AB 的垂直平分线MN ，交AB 于点M ．交BD 延长线于点N （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，直线MN 交AD 于E ，连接BE ，当22.5A ∠=︒时，求证：NE CD =．【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）利用基本作图，作AB 的垂直平分线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到①A ＝①C ＝22.5°，再利用线段垂直平分线的性质得到EA ＝EB ，MN ①AB ，则①EBA ＝①A ＝22.5°，接着判断①DEB 为等腰直角三角形得到DE ＝DB ，然后证明①NDE ①①ABD ，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，MN 为所作；（2）证明：如图，①四边形ABCD 为平行四边形， ①①A ＝①C ＝22.5°， ①MN 垂直平分AB ， ①EA ＝EB ，MN ①AB ， ①①EBA ＝①A ＝22.5°， ①①DEB ＝①A ＋①EBA ＝45°， ①①ADB ＝90°，①①DEB 为等腰直角三角形，①DEDN ＝90°， ①DE ＝DB ，①①N ＋①NED ＝90°，①A ＋①MEA ＝90°， 而①NED ＝①AEM ， ①①N ＝①A ，在①NDE 和①ABD 中，N A NDE ADB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①NDE ①①ADB （AAS ）， ①NE ＝AB ． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．17．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：①AOB ，求作：一个角，使它等于①AOB ．作法：如图15①作射线O A '' ；①以O 为圆心，任意长为半径作孤，交OA 于C ，交OB 于D ； ①以O '为圆心，OC 为半径作弧C E '' ，交OA ' 于C ' ； ①以C ' 为圆心，CD 为半径作弧，交弧C E '' 于D ； ①过点D 作射线O B '' ，则A O B '''∠ 就是所求作的角 请完成下列问题：（1）该作图的依据是 （填序号）①ASA ；①SAS ；①AAS ；①SSS （2）请证明A O B '''∠ ＝①AOB 【答案】（1）①；（2）见解析 【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS ，即可求解；（2）由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ，从而OCD O C D '''≅，即可求证． 【详解】解：（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是①； （2）证明：由作法得已知：OC ＝O C '' ，OD ＝O D '' ，CD ＝C D '' ， 在①OCD 和O C D ''' 中，＝＝＝''⎧⎪''⎨⎪''⎩OC O C OD O D CD C D ，①()OCD O C D SSS '''≅ ， ①A O B ＝AOB '''∠∠ ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．18．（2021·重庆字水中学九年级）如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，满足AC AB ⊥． （1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论： ①作线段AC 的垂直平分线l ，分别交AD 、BC 于点E 、F ；①连接CE ； （2）在（1）的条件下，已知10AB =，13CE =，求tan DCE ∠的值．【答案】（1）作图见详解，直线l 及连接CE 后的图形即为所求；（2）12tan 5DCE =． 【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）根据平行四边形的性质可求得：CD ①AC ，再根据平行线的判定可确定：l //CD ，得出：DCE GEC ∠=∠，然后利用中垂线及中位线定理得出：12GE CD =，在Rt EGC 中，利用勾股定理确定GC ，根据正切函数的定义即可解出答案． 【详解】解：（1）如图所示，直线l 以及连接CE 后如图即为所求； （2）如图所示：直线l 与AC 相交于点G ，①四边形ABCD 是平行四边形， ①10CD AB ==，AB //CD ， ①AC ①AB ， ①CD ①AC ，①直线l 垂直平分AC ， ①l //CD ，①DCE GEC ∠=∠，①G为AC的中点，①152GE CD==，在Rt EGC中，222213512 GC EC EG=--=，①12 tan5GCGECEG∠==，①12 tan5DCE∠=．【点睛】题目主要考查了中垂线的基本作法，平行四边形的性质、中位线定理、勾股定理及三角函数中正切函数的定义，熟练掌握相关定理及定义是解答此题的关键．19．（2021·重庆字水中学九年级）如图，已知平行四边形ABCD中，DE平分①ADC交BC于点E．（1）作①ABC的平分线BF交AD于点F．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母，写出结论）．（2）在（1）的条件下，求证：AF=CE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图，作①ABC的平分线；（2）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，①A=①C，①ABC=①ADC，再利用角平分线的定义得到①ABF=①CDE，然后证明①ABF①①CDE，从而得到AF=CE．【详解】解：（1）如图，BF为所作；17（2）证明：①四边形ABCD 为平行四边形， ①AB =CD ，①A =①C ，①ABC =①ADC ， ①BF 平分①ABC ，DE 平分①ADC ①①ABF =12①ABC ，①CDE =12①ADC ， ①①ABF =①CDE ， 在①ABF 和①CDE 中，ABF CDE AB CD A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①ABF ①①CDE （ASA ）， ①AF =CE ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．20．（2021·福建厦门一中九年级）如图，在正方形ABCD 内有等边BCE 、等边ADF ，AF 交BE 于点G ，DF 交CE 于点H ．（1）请用尺规作图的方法作出ADF （保留作图痕迹，不写作法）， （2）四边形EGFH 是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析 【分析】（1）分别以A ，D 为圆心，AD 为半径画弧，在正方形ABCD 内交于点F ，连接AF 和DF 即可；（2）利用正方形的性质和等边三角形的性质求出①GAB =①GBA =30°，从而推出GE =GF ，BE ①DF ，同理：EH ①GF ，即可证明四边形EGFH 是菱形． 【详解】解：（1）如图，即为所作图形；19（2）①四边形ABCD 是正方形， ①①BAD =①ABC =90°，①①ADF 和①BCE 为等边三角形，AD =BC ， ①①EBC =①F AD =60°， ①①GAB =①GBA =30°，①AG =BG ，①AGE =①GAB +①GBA =60°=①AFD ， ①GE =GF ，BE ①DF ， 同理：EH ①GF ， ①四边形EGFH 是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定，解决问题的关键是正确作出图形，熟练掌握菱形的判定方法．21．（2021·湖北）如图，在ABD △中，90ADB ∠=︒，30A ∠=︒，10AB =，点E 是边AB 的中点．分别以点B ，D 为圆心，以BE 的长为半径画弧，两弧交于点C ；连接CB ，CD ．（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形BCDE 是菱形； （2）求菱形BCDE 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2253【分析】（1）证明BC ＝BE ＝CD ＝DE 即可． （2）证明①BDE 是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）证明：①①ADB ＝90°，点E 是边AB 的中点， ①DE ＝BE ＝AE ， ①BC ＝DC ＝BE ，①BE＝BC＝CD＝DE，①四边形BCDE是菱形．（2）解：①①ADB＝90°，①A＝30°，①①DBE＝60°，①EB＝ED，①①BDE是等边三角形，①菱形BCDE的面积＝2S①BDE＝252【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级）在①ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点．（1）尺规作图：过点E作AB的平行线交BC于点F（要求，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，若点D、E分别为AB、AC的中点，探究①ADE与①EFC的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①ADE＝①EFC，证明见解析【分析】（1）如图在DE的下方作①DEF＝①ADE，EF交BC于点F，射线EF即为所求．（2）利用三角形中位线定理、平行线的性质证明即可．【详解】（1）解：如图，射线EF即为所求．（2）结论：①ADE＝①EFC．证明：①点D、E分别为AB、AC的中点，①DE①CB，①①ADE＝①B，①AB①EF，①①EFC＝①B，①①ADE＝①EFC．【点睛】本题考查尺规作图-作与已知角相等的角、平行线的判定与性质、三角形的的中位线性质，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形的中位线的性质是解答的关键．23．（2021·江苏扬州市·九年级二模）如图，①ABC中，AB＝CB．（1）作点B关于AC的对称点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接AD，CD，连接BD，交AC于点O．①猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；①取BC的中点E，连接OE、AE，若OE＝5，BO＝8，求线段AE的长．【答案】（1）见解答；（2）①四边形ABCD为菱形．理由见解析；97【分析】（1）过B点作AC的垂线，垂足为O，然后截取OD=BO得到D点；（2）利用对称的性质得到AB=AD，CB=CD，则AB=BC=CD=AD，所以四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，利用菱形的性质得到OA=OC，再根据斜边上的中线性质得到BE=CE=OE=5，接着利用勾股定理计算出OC=6，利用三角形中位线性质得到EF=4，然后利用勾股定理计算出AE的长．【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）①四边形ABCD为菱形．理由如下：①点B与点D关于AC的对称，21①AC垂直平分BD，①AB=AD，CB=CD，①AB=CB，①AB=BC=CD=AD，①四边形ABCD为菱形；①过E点作EF①AC于F，如图，①四边形ABCD为菱形，①BD①AC，OA=OC，①O为BC的中点，①BE=CE=OE=5，在Rt①OBC中，OC，①OA=6，①EF①OC，OB①OC，①EF为①OBC的中位线，①OF=CF=12OC=3，EF=12OB=4，在Rt①AEF中，AE【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了菱形的判定与性质．。

中考数学复习考点题型专练专题17三角形的基础（满分：100分 时间：90分钟）班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2022·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（） A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒ （2）当70︒的内角为这个等腰三角形的底角则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．2．（2022·山东菏泽市·中考真题）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．7【答案】C【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x ＝3为方程的解，把x ＝3代入方程可计算出k 的值即可．【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k ＝4；②当3为等腰三角形的腰，则x ＝3为方程的解，把x ＝3代入方程得9−12＋k ＝0，解得k ＝3； 综上，k 的值为3或4，故选：C ．3．（2022·江西中考真题）如图，1265,335︒∠=∠=∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．//AB CD B ．30B ∠=︒C ．2C EFC ∠+∠=∠D ．CG FG >【答案】C【分析】由12∠=∠可对A 进行判断；根据三角形外角的性质可对B 进行判断；求出∠C ，根据大角对大边，小角对小边可对D 进行判断；求出C EFC ∠∠，可对C 进行判断．【详解】1265∠=∠︒=，//AB CD ∴，故选项A 正确；335︒∠=，35EFB ∴∠=︒，又1EFB B ∠=∠+∠，1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选项B 正确；//AB CD ，30C B ∴∠=∠=︒，3530︒︒>，3C ∴∠>∠CG FG ∴>，故选项D 正确；335︒∠=，3180EFC ∠+∠=︒118035145EFC ︒-︒∴∠==︒， 而2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠，故选项C 错误．故选C ．4．（2022·辽宁大连市·中考真题）如图，ABC 中，60,40,//A B DE BC ︒︒∠=∠=，则AED ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】D【分析】由三角形的内角和定理求出∠C 的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，60,40A B ︒︒∠=∠=，∴180604080C ∠=︒-︒-︒=︒，∵//DE BC ，∴80AED C ∠=∠=︒；故选：D ．5．（2022·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC 中，AB =1，BC ，下列选项中，可以作为AC 长度的是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC 的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．【详解】∵在△ABC 中，AB =1，BC1＜AC 1，1＜21，4+1，51，61，∴AC 的长度可以是2，故选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确；故选：A ．6．（2022·四川眉山市·中考真题）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC CD =，35DAC ∠=︒，45ACD ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得35CDB ∠=︒，根据三角形的内角和可得100ADC ∠=︒，利用角的和差运算即可求解．【详解】解：∵35DAC ∠=︒，∴35DBC ∠=︒，∵BC CD =，∴35CDB ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴100ADC ∠=︒，∴65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒，故选：C ．7．（2022·辽宁本溪市·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE CE =，则OE 的长是（）A ．2B ．52C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB ，OC ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可．【详解】∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，AC ⊥BD ，由勾股定理得，5==，∵OE=CE ，∴∠EOC=∠ECO ，∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90︒，∴∠EOD =∠EDO ，∴OE=ED ，∴OE=ED=CE ，∴OE=12CD=52．故选：B．8．（2022·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x-+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．9．（2022·吉林中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A．85︒B．75︒C．65︒D．60︒【答案】B先根据直角三角板的性质得出∠ACD 的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD =60°，∠BCA =45°，∠D =90°，∴∠ACD =∠ECD －∠BCA =60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D －∠ACD =180°－90°－15°=75°，故选：B ．10．（2022·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A ．9B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=．故选：D ．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2022·甘肃天水市·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形的周长为_______．【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．【详解】解：∵x 2-8x +12=0，∴()()260x x --=，∴x 1=2，x 2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．12．（2022·湖北襄阳市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C=_______．【答案】40°【解析】试题解析：∵AB=AD ，∠BAD=20°， ∴∠B=1801802022BAD ︒-∠︒-︒==80°， ∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC ，∴∠C=180********ADC ︒-∠︒-︒==40°． 13．（2022·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC ，继而根据邻补角定义求解∠CDE ，最后根据外角定义求解∠BCD ．【详解】令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示：∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30．14．（2022·青海中考真题）已知a ，b ，c 为ABC 的三边长．b ，c 满足2(2)30b c -+-=，且a 为方程|4|2x -=的解，则ABC 的形状为________三角形．【答案】等腰三角形【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b 、c 的值，再根据式子解出a 的值，即可得出结果．【详解】 ∵2(2)30b c -+-=，∴20b -=，30c -=，∴2b =，3c =，又∵|4|2x -=，∴16x =，22x =，∵a 是方程的解且a ，b ，c 为ABC 的三边长，∴2a =,∴ABC 是等腰三角形．15．（2022·湖南岳阳市·中考真题）如图：在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，若20A ∠=︒，则BDC ∠=_________．【答案】40︒先根据直角三角形斜边中线的性质得出12CD AD AB ==，则有20DCA A ∠=∠=︒，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．【详解】∵在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的中线，， ∴12CD AD AB ==． ∵20A ∠=︒，∴20DCA A ∠=∠=︒，∴40BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．故答案为：40︒．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2022·江苏常州市·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）根据已知条件证明△ACE ≌△BDF ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.的正方形网格，每个小正方形的边长17．（2022·吉林长春市·中考真题）图①、图②、图③均是33为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：18．（2022·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是ABC的重心．求证：3AD GD=．【答案】见解析【分析】过点D 作DH ∥AB 交CE 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH ，从而得到AE=2DH ，再根据△AEG 和△DHG 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．【详解】解：过点D 作DH ∥AB ，交CE 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DH 是△BCE 的中位线，∴BE=2DH ，DH ∥AB ，∵CE 是△BCE 的中线，∴AE=BE ，∴AE=2DH ，∵DH ∥AB ，∴△AEG ∽△DHG ， ∴2AG AE DG DH==， ∴AG=2GD ，即AD=3GD.19．（2022·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，点P 、Q 分别是等边ABC ∆边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．（1）如图1，连接AQ 、CP 求证：ABQ CAP ∆≅∆（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．【分析】（1）根据点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，可得BQ=AP ，结合等边三角形的性质证全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB ，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数，再根据对顶角相等可得QMC ∠的度数；（3）先证出CBP ACQ ≅△△，可得∠Q=∠P ，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠CAB=60°，∵点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发，∴BQ=AP ，在△ABQ 与△CAB 中，AB AC ABC CAB BQ AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABQ CAP SAS ∆≅∆．（2）角度不变，60°，理由如下：∵ABQ CAP ∆≅∆∴∠CPA=∠AQB ，在△AMP 中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA ）=180°-（∠MAP+∠AQB ）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC 的度数不变，度数为60°．（3）角度不变，120°，理由如下：当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，有AP=BQ ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，BC AC CBP ACQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CBP ACQ SAS ≅△△∴∠Q=∠P ，∵∠QCM=∠BCP ，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC 的度数不变，度数为120°．20．（2022·四川南充市·中考真题）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD ．【答案】详见解析【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=，90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：∵AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∴90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∴90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=∴ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ∆≌CDE ∆故AB CD =．。

专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=λab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的X围问题求边、角、面积等取值X围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)△ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos A sin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值X围是()A. B. C.(1, ] D.(4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C,即sin A cos C=3cos A sin C,由正、余弦定理,得a·=3c·,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b, ②联立①②得b=2,故选C.(3)设y=sin B+cos B=sin.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴cos B=,∴0<B<<sin≤1,1<sin,故选C.(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC中,sin B>0,∴si n A=cos A,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3,则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC的周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)123.亲临考场1.(2016某某,理3)在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015某某,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若=2c ,则△ABC 的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C , 而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)——建模(建立解斜三角形模型)——解模(利用正余弦定理有序地求解)——检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m(2)(2016某某某某一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017某某,11)我国古代数学家X徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015某某,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的X围,根据b sinA<a<b,解出相应的不等式即可典例导引4(1)利用基本不等式余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解X围问题,注意等号成立的条件典例导引4(2)利用函通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函典例导引数的值域数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利4(3)用条件中的X围限制,以及三角形自身X围限制2.典例指引4(1)(2017某某某某调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a ,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S ,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017某某某某、某某摸底联考)已知△ABC 中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为. 【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B ≤1,则sin B ≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值X围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。

等腰三角形存在性问题巩固练习（提优）1．在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】B【解析】如图，，∵AB所在的直线是y＝x，∴设AB的中垂线所在的直线是y＝﹣x+b，∵点A（，，∴AB把x y代入y＝﹣x+b，解得b，∴AB，，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；，，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．综上，可得若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．故选：B．2．平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为．【解答】（﹣3，4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）【解析】设P（m，n）．∵A（﹣5，0），∴OA＝5，∵S△POA＝10，∴5×n＝10，∴n＝4，当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，∴m＝±3，∵m＜0，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，4），当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，∴m＝﹣2或﹣8，∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有个．【解答】8【解析】如图所示：①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．4．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的动点，当点O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【解答】见解析【解析】如图所示，满足条件的点P有8个，其坐标分别为P1（5，0）、P2（8，0）、P3（0，5）、P4（0，6）、P5（﹣5，0）、P6（0，﹣5）、P7（0，）、P8，0）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△P AB＝S△ABC，请你求出a的值．【解答】（1）3；（2）D（0，）；（3）a的值为4或﹣2【解析】（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积＝6×1＝3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a，∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴a2+22＝（a+1）2，解得a＝∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△P AB＝S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y x﹣1，设直线CP解析式为y x+b，把C（4，0）代入，可得0＝﹣2+b，解得b＝2，∴直线CP解析式为y x+2，∴F（0，2），当x＝﹣4时，y＝2+2＝4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3，∴OE＝4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y x﹣4，当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．6．如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．【解答】（1）见解析；（2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．故△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD＝60°，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C出发，沿线段CA向点A运动，到达A点后停止运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBC是等腰三角形；（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H，当H为AB中点时，求t的值．【解答】（1）t为3秒时，△PBC为等腰三角形；（2）【解析】（1）∵∠C＝90°，∴当△PBC为等腰三角形时，其必为等腰直角三角形，∴BC＝PC，由题意可知PC＝2t，且BC＝6cm，∴2t＝6，解得t＝3，即当t为3秒时，△PBC为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝8cm，∵PH⊥AB，且H为AB中点，∴PH垂直平分AB，∴PB＝P A，由题意可知PC＝2tcm，则PB＝P A＝（8﹣2t）cm，在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB2＝CB2+CP2，即（8﹣2t）2＝62+（2t）2，解得t即当H为AB中点时t的值为．8．如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA 以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．（1）连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，用含t的代数式表示C点坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【解答】（1）C（8﹣t t）；（2）当t时，△CPQ为等腰三角形．【解析】（1）由题意得：AQ＝BP＝t，∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣t，∵CQ⊥AO，BO⊥AO，∴CQ∥BO，∴△ACQ∽△ABO，，∴，∴CQ t，∴C（8﹣t）；（2）①当CP＝CQ时，如图1，在Rt△ACQ，在Rt△AOB中，AB＝10，∴PC＝AB﹣PB﹣AC＝10﹣t﹣t，t＝10﹣t﹣t，t＝②当CP＝PQ时，如图2，过P作PD⊥CQ于D，∴CD＝DQ，∵PD∥AQ，∴CP＝P A，由①得：AC＝t，∴AP＝AC t，＝10﹣t，，③当CQ＝CP时，如图3，∵CQ＝CP t，∴AP＝AC﹣CP t＝∴10﹣t，t＝；④当CQ＝PQ时，如图4，过Q作QE⊥AB于E，cos∠QCA＝cos∠OBA，∴CE∴CE＝PE∵AC＝CP+AP；综上所述，当t或时，△CPQ为等腰三角形．9．如图，在平面直角坐标系中有一点A，OA＝16，动点P从A开始以每秒2个单位的速度向x轴负半轴运动，动点Q从0开始以每秒1个单位的速度向y轴正半轴运动，P，Q同时出发，设时间为t；（1）当t为何值时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）当t为何值时，三角形OPQ的面积为15．【解答】（1）当t为16秒时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）当t为3或5或4+秒时，三角形OPQ的面积为15.【解析】（1）①当P在x轴正半轴上时，OP＝16﹣2t，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，∴当OP＝OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，此时，16﹣2t＝t，解得t②当P在x轴负半轴上时，OP＝2t﹣16，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，∴当OP＝OQ时，三角形OPQ为等腰三角形，此时，2t﹣16＝t，解得t＝16；综上所述，当t16秒时，三角形OPQ为等腰三角形；（2）①当P在x轴正半轴上时，OP＝16﹣2t，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，三角形OPQ的面积为15，∴16﹣2t）×t＝15，解得t＝3或5；②当P在x轴负半轴上时，OP＝2t﹣16，OQ＝t，∵∠POQ＝90°，三角形OPQ的面积为15，∴2t﹣16）×t＝15，解得t＝4+或4﹣（舍去），综上所述，当t为3或5或4+秒时，三角形OPQ的面积为15．。