等边三角形专题

专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

1专题07 等边三角形的判定与性质知识对接考点一、等边三角形的判定与性质 1、性质： (1)三边相等.(2)三个内角相等,每一个内角都等于60°. (3)是轴对称图形,有三条对称轴. (4)面积:S=43a 2(a 为等边三角形的边长). 2、判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.专项训练一、单选题1．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，其中四边形OBCD 为平行四边形，连接AB ，AC ，则⊙A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】A 【分析】连接OC ，先证明⊙OBC 是等边三角形，得到⊙BOC ＝60°，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：连接OC ．⊙四边形OBCD为平行四边形，⊙OD＝BC，⊙OB＝OC＝OD，⊙OB＝OC＝BC，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙⊙BOC＝60°，⊙BOC＝30°，⊙⊙BAC＝12故选A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O 上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（）A．36°B．30°C．25°D．22.5°【答案】B【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α，先证明⊙OAB和⊙OBG 都是等边三角形，得到⊙OBA=⊙OBG=60°，再由⊙ABO+⊙OBG=⊙ABC+⊙CBG=120°，求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α⊙正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，⊙OA=OB=OG=BG=AB，⊙⊙OAB和⊙OBG都是等边三角形，3⊙⊙OBA =⊙OBG =60°，⊙⊙ABO +⊙OBG =⊙ABC +⊙CBG =120°，⊙ABC =90°（正方形的性质）， ⊙⊙CBG =30°， ⊙α=30°， 故选B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2021·西安市铁一中学）如图，在矩形ABCD 中，DAB ∠的平分线交BD 于点F ，CD 于点E ，15EAC ∠=︒，AB =EF 的长为（ ）A．2 BC．2 D1【答案】B 【分析】过点F 作FG AD ⊥于点G ，根据矩形性质证明OAD ∆是等边三角形，利用tan60=︒GF DG ，求出GF 的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，过点F 作FG AD ⊥于点G ，在矩形ABCD 中，EA 是DAB ∠的平分线， ⊙45DAE EAB AED ∠=∠=∠=︒， ⊙AD DE =，AG GF =， ⊙15EAC ∠=︒，⊙60=︒∠DAC ，⊙OAD ∆是等边三角形， ⊙60ADB ∠=︒， ⊙AB = ⊙2AD =，4BD =， ⊙2AD DE ==， ⊙AE =⊙60GDF ∠=︒，2=-=-DG AD AG GF ， ⊙tan60=︒GF DG ，⊙()2=-GF GF解得3=GF⊙==AF⊙(=-=EF AE AF ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·海南三亚·九年级一模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点C 逆时针转60︒，得到MNC ，则BM 的长是（ ）A ．1B ．1C D ．2+【答案】B 【分析】连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC =＝2，再根据旋转的性质得CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°，则可判断⊙ACM 为等边三角形，直接证BM 垂直平分AC ，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD 和MD ，从而得到BM 的长． 【详解】5解：连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，⊙⊙ABC ＝90°，AB ＝BC = ⊙AC ===2，⊙⊙ABC 绕点C 逆时针转60°，得到⊙MNC ， ⊙CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°， ⊙⊙ACM 为等边三角形， ⊙MA ＝MC ， 而BA ＝BC ， ⊙BM 垂直平分AC ， ⊙BD 12=AC ＝1，MD ==2 ⊙BM ＝1 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 5．（2021·河北九年级）如图，直线AB 、CD 交于点O ，若AB 、CD 是等边MNP △的两条对称轴，且点P 在直线CD 上（不与点O 重合），则点M 、N 中必有一个在（ ）A ．AOD ∠的内部B ．BOD ∠的内部PC ．BOC ∠的内部D ．直线AB 上【答案】D 【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可． 【详解】 解：如图，⊙⊙PMN是等边三角形，⊙⊙PMN的对称轴经过三角形的顶点，⊙直线CD，AB是⊙PMN的对称轴，又⊙直线CD经过点P，⊙直线AB一定经过点M或N，故选：D．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·四川绵阳·）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）A．2B．3C D【答案】D【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，由题意可知AD的长即为所求，AB=2，⊙B=60°，⊙sinAD AB B==故选D．7【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（2021·四川雅安·）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形OBCD 为菱形，A ∠为（ ）．A ．45°B ．60°C ．72°D ．36°【答案】B 【分析】根据菱形性质，得OB OD BC CD ===；连接OC ，根据圆的对称性，得OB OC OD ==；根据等边三角形的性质，得BOD ∠，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案． 【详解】⊙四边形OBCD 为菱形 ⊙OB OD BC CD === 连接OC⊙四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形 ⊙OB OC OD ==⊙OBC ，OCD 为等边三角形 ⊙60BOC COD ∠=∠=︒⊙120BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒⊙1602A BOD ︒∠=∠=故选：B ． 【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．8．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，=AC 6BD =，点P 是AC 上一动点，点E 是AB 的中点，则PD PE +的最小值为（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】A 【分析】连接DE ，先根据两点之间线段最短可得当点,,D P E 共线时，PD PE +取得最小值DE ，再根据菱形的性质、勾股定理可得6AB =，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE 的长即可得． 【详解】解：如图，连接DE ，由两点之间线段最短得：当点,,D P E 共线时，PD PE +取最小值，最小值为DE ，四边形ABCD 是菱形，=AC 6BD =， 11,3,22AB AD OB BD OA AC AC BD ∴=====⊥，6AB ∴=， 6AB AD BD ∴===，ABD ∴是等边三角形，9点E 是AB 的中点， 13,2AE AB DE AB ∴==⊥，DE ∴即PD PE +的最小值为 故选：A ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．9．（2021·天津）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD =C ．DE DC BC +=D ．AB CD ∥【答案】D 【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒， ⊙点A ，D ，E 在同一条直线上， ⊙18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒， ⊙60ABC ∠<︒，⊙ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意； 由旋转可知CB CE =，⊙120EDC ∠=︒为钝角， ⊙CE CD >，⊙CB CD >，故B 选项错误，不符合题意； ⊙DE DC CE +>，⊙DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意； 由旋转可知DC AC =， ⊙60ADC ∠=︒， ⊙ADC 为等边三角形， ⊙60ACD ∠=︒． ⊙180ACD BAC ∠+∠=︒，⊙//AB CD ，故D 选项正确，符合题意； 故选D ． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．10．（2021·安徽）如图，在ABC 中，AB ＝BC ＝3，⊙ABC ＝30°，点P 为ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．易证P A +PB +PC =PC +PF +EF ，因为PC +PF +EF ≥EC ，推出当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小，求出EC 的长即可解决问题． 【详解】解：将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．11由旋转的性质可知：⊙PBF 是等边三角形， ⊙PB =PF ， ⊙P A =EF ，⊙P A +PB +PC =PC +PF +EF ， ⊙PC +PF +EF ≥EC ，⊙当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小， 由旋转可知：BC =BE =BA =3，⊙CBE =⊙ABC +⊙ABE =90°， ⊙EB ⊙BC ， ⊙ECBC=⊙P A +PB +PC的最小值为 故选A ． 【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 二、填空题11．（2021·杭州市十三中教育集团（总校））如图，点D 是等边⊙ABC 边BC 上一点，将等边⊙ABC 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF （点E 在边AB 上）． （1）当点D 为BC 的中点时，AE ：EB ＝________； （2）当点D 为BC 的三等分点时，AE ：EB ＝________．【答案】1：1 7：5或7：8 【分析】（1）连接AD ，然后根据折叠的性质和等边三角形的性质求解即可；（2）分当DC ：BD ＝1：2时，当DC ：BD ＝2：1时两种情况，利用相似三角形进行求解即可. 【详解】解：（1）如图，连接AD ，⊙D 为BC 的中点，⊙ABC 为等边三角形，折叠， ⊙AD ⊙BC ，⊙DAB ＝⊙DAC ＝1=2BAC ∠30°，⊙B ＝60°，⊙⊙EDB ＝90°﹣30°＝60°＝⊙B ， ⊙⊙BED 为等边三角形，⊙AE ＝ED ＝BE ，即AE ：EB ＝1：1， 故答案为：1：1；（2）当DC ：BD ＝1：2时， 设CD ＝k ，BD ＝2k ， ⊙AB ＝AC ＝3k ， ⊙⊙ABC 为等边三角形， ⊙⊙EDF ＝⊙A ＝60°，⊙⊙EDB +⊙FDC ＝⊙BED +⊙EDB ＝120°， ⊙⊙BED ＝⊙FDC ， ⊙⊙B ＝⊙C ＝60°， ⊙⊙BED ⊙⊙CDF ， ⊙=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙54BE kk k， ⊙BE ＝54k ，⊙AE ＝74k ， ⊙AE ：BE ＝7：5，13当DC ：BD ＝2：1时， 设CD ＝2k ，BD ＝k ， 同上一种情况得：=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙425BE kk k⊙BE ＝85k ， ⊙AE ＝75k， ⊙AE ：BE ＝7：8， 故答案为：7：5或7：8．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，在边长为6cm 的正六边形中，点P 在边AB 上，连接PD 、PE ．则PDE 的面积为______cm 2．【答案】【分析】首先求得正六边形的边心距，从而求得⊙PDE 边DE 上的高，利用三角形的面积公式求得答案即可．【详解】解：如图所示，连接OD 、OE ，此正六边形中DE＝6，则⊙DOE＝60°；⊙OD＝OE，⊙⊙ODE是等边三角形，⊙OG⊙DE，⊙⊙DOG＝30°，⊙OG＝OD•cos30°＝cm），⊙⊙PDE边DE上的高为2OG＝cm），cm2），⊙S⊙PDE＝12故答案为【点睛】此题考查了正六边形的性质，三角形面积的求法，解题的关键是根据题意作出辅助线．13．（2021·江苏九年级二模）若线段DE是等边⊙ABC的中位线，且DE＝2，则⊙ABC的周长为____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据等边三角形的概念计算即可．【详解】解：如图，⊙DE是⊙ABC的中位线，⊙BC＝2DE＝4，⊙⊙ABC为等边三角形，15⊙AB ＝AC ＝BC ＝4， ⊙⊙ABC 的周长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的概念，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021·山东滨州·）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，2AB =．若点P 是ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为____________．【分析】根据题意，首先以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，再根据两点之间线段最短，可以得到P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，然后根据勾股定理可以求得CB ′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，连接BB ′、PP ′，CB '，如图所示，则⊙P AP ′=60°，AP =AP ′，PB =P ′B ′， ⊙⊙APP ′是等边三角形， ⊙AP =PP ′，⊙P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，⊙PP ′+P ′B ′+PC ≥CB ′，⊙PP ′+P ′B ′+PC 的最小值就是CB ′的值， 即P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值， ⊙⊙BAC =30°，⊙BAB ′=60°，AB =AB '=2，⊙⊙CAB ′=90°，AB ′=2，AC =AB •cos ⊙BAC =2×cos 30°=2= ⊙CB=【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．15．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为___________．【答案】 【分析】首先证明120APB ∠=︒，推出点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧．连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值． 【详解】如图所示，⊙边长为6的等边ABC ∆，17⊙6AC AB ==，60ACB CAB ∠=∠=︒ 又⊙AE CF = ⊙()ACF BAE SAS ≅ ⊙CAP PBA ∠=∠⊙60EPA PBA PAB CAP PAB CAB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ⊙120APB ∠=︒⊙点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧 此时120AOB ∠=︒连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值 ⊙CA CB =，CO CO =，OA OB = ⊙()ACO BCO SSS ≅⊙30ACO BCO ∠=∠=︒，60AOC BOC ∠=∠=︒ ⊙90CAO CBO ∠=∠=︒ 又⊙6AC =⊙'tan 306OP OA AB ==⋅︒==cos30AB OC =⋅==︒⊙''CP OC OP =-==即min CP =故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强． 三、解答题16．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，点E 是AC 的中点，且AC AD =（1）尺规作图：作CAD ∠的平分线AF ，交CD 于点F ，连结EF 、BF （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，证明：BEF 为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出CAD ∠的平分线AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BE AC =并求出30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，再根据等腰三角形三线合一性质得出CF DF =，从而得到EF 为中位线，进而可证BE EF =，60BEF ∠=︒，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF 平分CAD ∠，（2）⊙45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠， ⊙30CAD ∠=︒，15BAC ∠=︒， ⊙AE EC =，90ABC ∠=︒， ⊙12BE AE AC ==， ⊙15ABE BAC ∠=∠=︒， ⊙30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒， 又⊙AF 平分CAD ∠，AC AD =， ⊙CF DF =， 又⊙AE EC =， ⊙1122EF AD AC ==，//EF AD ，19⊙30CEF CAD ∠=∠=︒， ⊙60BEF BEC CEF ∠=∠+∠=︒ 又⊙12BE EF AC ==⊙BEF 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 17．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，BC 是O 的直径，点A 是O 上一点，点D 是BC 延长线上一点，AB AD =，AE 是O 的弦，30AEC ∠=．（1）求证：直线AD 是O 的切线； （2）若3CD =，求O 的半径；（3）若AE BC ⊥于点F ，点P 为ABE 上一点，连接AP ，CP ，EP ，请找出AP ，CP ，EP 之间的关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）EP AP +=，理由见解析 【分析】（1）先求出⊙BAD ＝120°，再求出⊙OAB ，进而得出⊙OAD ＝90°，即可得出结论； （2）先判断出⊙AOC 是等边三角形，得出AC ＝OC ，再判断出AC ＝CD ，即可得出结论； （3）先判断出⊙CAP ＝⊙CEM ，进而得出⊙ACP ⊙⊙ECM （SAS ），进而得出CM ＝CP ，⊙APC ＝⊙M ＝30°，再判断出MN =，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AC OA ，，30AEC ∠=︒， 30ABC AEC ∴∠∠︒==，AB AD =，30D ABC ∴∠∠︒==，120BAD ∴∠=︒，OA OB =，，30OAB ABC ∴∠=∠=︒，90OAD BAD OAB ∴∠∠∠︒=-=，点A 在O 上， ⊙直线AD 是的切线； （2）解：如图1，连接AC ，由（1）知，30D ∠=︒，90OAD ∠=︒，9060AOC D ∴∠︒∠︒=-=，∴AOC △是等边三角形，OC AC ∴=，60OAC ∠=︒，30CAD OAD OAC D ∴∠∠-∠︒∠=＝=， 3AC CD ∴==，3OC ∴=，即O 的半径为3；（3）EP AP +=， 理由：如图， 30AEC ︒∠=， 30APC AEC ︒∴∠=∠=，连接AC ，延长PE 至M ，使EM AP =，连接CM ，AE BC ⊥，BC 为O 的直径，AC EC ∴=，四边形APEC 是O 的内接四边形，CAP CEM ∴∠=∠，∴()ACP ECM SAS ≅，21CM CP ∴=，30APC M ︒∠=∠=，过点C 作CN PM ⊥于N ，2PM MN ∴=，在Rt CNM △中，MNcos CMM =，MN cos30CM ∴︒=MN ∴=，2PM MN ∴===，PM PE EM PE AP =+=+，PE AP ∴+=，即EP AP +=． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．18．（2021·广州市八一实验学校九年级）如图，在⊙P AB 中，点C 、D 在AB 上，PC ＝PD ＝CD ，⊙A ＝⊙BPD ，求证：⊙APC ⊙⊙BPD ．【答案】见解析 【分析】根据PC ＝PD ＝CD ，可得出PCD 为等边三角形，即可得出PCD PDC ∠=∠,进而得出ACP PDB ∠=∠,再根据相似三角形的判定推出即可．【详解】证明：⊙PC ＝PD ＝CD ， ⊙PCD 为等边三角形， ⊙⊙PCD ＝⊙PDC 60=︒， ⊙120ACP PDC ∠=∠=︒, ⊙⊙A ＝⊙BPD ， ⊙⊙APC ⊙⊙PBD ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．19．（2021·黄石市有色中学九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）若2DG =，求AC 的长； （2）求证：AB AE AF =+． 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，再由AD =AB ，可得⊙ABD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出DG =AG =12AD =2，，即可求解； （2）由⊙ABD 是等边三角形，得出BD =AD ，⊙ABD =⊙ADB =60°，证出⊙BDE =⊙ADF ，由ASA 证明⊙BDE ⊙⊙ADF ，得出AF =BE ，即可求解． 【详解】解：（1）证明：⊙AB =AC ，AD BC ⊥， ⊙⊙BAD =⊙DAC =12⊙BAC ， ⊙⊙BAC =120°，⊙⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，⊙AD =AB ，⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙AD =AB =BD ， ⊙AD BC ⊥， ⊙DG =AG =12AD =2， ⊙AD =AB =AC =4， 即AC =4；（2）⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙⊙ABD =⊙ADB =60°，BD =AD ， ⊙AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，⊙⊙BAD=⊙DAC=12×120°=60°，⊙⊙ABD=⊙DAC，⊙⊙EDF=60°，⊙⊙ADB-⊙ADE=⊙EDF-⊙ADE，即⊙BDE=⊙ADF，⊙⊙BDE⊙⊙ADF（ASA），⊙BE=AF，⊙AB=AE+BE，⊙AB=AE+AF．【点睛】本题主要考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．20．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）如图1，已知等腰直角ΔABC，⊙ACB＝90°，在直角边BC上取一点D，使⊙DAC＝15°，以AD为一边作等边ΔADE，且AB与DE相交．（1）求证：AB垂直平分DE；（2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，若F为线段AE上一点，且FC＝AC，求EFAF的值．【答案】（1）见解析；（2）互相平行；见解析；（3）1【分析】（1）根据⊙DAC＝15°及等腰直角三角形的性质，可得⊙DAB=30°，根据等边三角形的性质可得⊙EAB=30°，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由（1）的结论易得BD=BE，⊙EBA=⊙CBA=45°，即BE⊙BC，从而可得BE与AC的位置关系；（3）延长CF，与BE的延长线交于点G．易得CF=BF；其次由（2）的结论易得⊙G=30°，从而CG=2BC=2FC，即CF=GF，然后可证明⊙CAF⊙⊙GEF，从而得AF=EF，即可得结果．【详解】（1）⊙⊙ABC是等腰直角三角形，⊙ACB=90°⊙AC=BC，⊙CAB=⊙CBA=45°⊙⊙DAC=15°⊙⊙DAB=⊙CAB-⊙DAC=30°23⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙⊙DAE =60°⊙⊙EAB =⊙DAE -⊙DAB =30° ⊙⊙DAB =⊙EAB ⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙AB 垂直平分DE （2）互相平行 理由如下： ⊙AB 垂直平分DE ⊙BD =BE⊙⊙EBA =⊙CBA =45° ⊙⊙EBC =⊙EBA +⊙CBA =90° 即⊙EBC +⊙ACB =180° ⊙BE ⊙AC（3）延长CF ，与BE 的延长线交于点G ，如图所示⊙⊙F AC =⊙DAE +⊙DAC =75°，FC =AC ⊙⊙CF A =⊙F AC =75° ⊙⊙FCA =180°－2×75°=30° ⊙AC =BC ，AC =FC ⊙BC =FC由（2）知：BE ⊙AC ⊙⊙G =⊙FCA =30° ⊙⊙EBC =90° ⊙CG =2BC =2FC ⊙CF =GF在⊙CAF 和⊙GEF 中 FCA G CF GFCFA GFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊙⊙CAF ⊙⊙GEF (ASA ) ⊙AF =EF ⊙1EFAF=25【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，第（3）问的关键是作辅助线，构造三角形全等．21．（2021·广西柳州市·）如图，已知ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的O 交AB 于E ，过点E 作EG AC ⊥于G ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若30F ∠=︒，求证：24FG FC FB =⋅； （3）当6BC =，4EF =时，求AG 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）245【分析】（1）连接EC ，OE ，由BC 为O 的直径，可得90BEC ∠=︒，由AC BC =，可得E 为AB 中点，由O 为BC 中点，利用中位线性质可得OE∥AC ，由EG AC ⊥，可得OE EG ⊥即可； （2）由OE OC =，可得OEC OCE ∠=∠，由EF 为圆的切线，可得90FEC OEC ∠+∠=︒，由90BEC ∠=︒，可得90B BCE ∠+∠=︒，可证FEC FBE △∽△，可得2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，可求60FOE ∠=︒，可证OEC △为等边三角形，可得30FEC F ∠=︒=∠，可证2FE FG =即可；（3）由（2）得2FE FC FB =⋅，可得()246FC FC =⋅+，解得2FC =或FC =-8舍去，可证FCG FOE △∽△，可得253CG=，可求65CG =即可． 【详解】解：（1）证明：连接EC ，OE ， ⊙BC 为O 的直径， ⊙90BEC ∠=︒， ⊙CE AB ⊥， 又⊙AC BC =， ⊙E 为AB 中点， 又⊙O 为BC 中点， ⊙OE∥AC ，又⊙EG AC ⊥， ⊙OE EG ⊥， 又OE 为O 的半径， ⊙FE 是O 的切线．（2）⊙OE OC =， ⊙OEC OCE ∠=∠， ⊙EF 为圆的切线， ⊙90FEC OEC ∠+∠=︒， ⊙90BEC ∠=︒ ⊙90B BCE ∠+∠=︒， ⊙FEC B ∠=∠， 又⊙F F ∠=∠， ⊙FEC FBE △∽△， ⊙FE FCFB FE=， ⊙2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，60FOE ∠=︒， 又OE OC =，⊙OEC △为等边三角形， ⊙60OEC ∠=︒， ⊙30FEC F ∠=︒=∠， ⊙CE CF =， 又CG FE ⊥， ⊙2FE FG =， ⊙()22FG FC FB =⋅， 即24FG FC FB =⋅．（3）由（2）得2FE FC FB =⋅， 又6BC =，4FE =，FB=BC +FC =6+FC ，27⊙()246FC FC =⋅+，因式分解得（FC +8）（FC -2）=0， 解得2FC =或FC =-8舍去， ⊙6BC =， ⊙132OE OC BC ===，6AC BC ==， ⊙235FO FC CO =+=+=， ⊙CG∥OE ，⊙⊙GCF =⊙EOF ，⊙FGC =⊙FEO ， ⊙FCG FOE △∽△， ⊙FC CG FO OE =，即253CG=， ⊙65CG =， ⊙624655AG AC CG =-=-=． 【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，掌握圆的切线判断，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键． 22．（2021·江苏九年级）如图，⊙ABC 为等边三角形，AB ＝6，将边AB 绕点A 顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD ，连接CD ，CD 与AB 交于点G ，⊙BAD 的平分线交CD 于点E ，F 为CD 上一点，且DF ＝2CF ． （1）当⊙EAB ＝30°时，求⊙AEC 的度数；（2）当线段BF 的长取最小值时，求线段AG 的长； （3）请直接写出⊙ADE 的周长的最大值．【答案】（1）60°；（2）AG ＝12；（3）6＋【分析】（1）用角平分线的性质和旋转性质即可；（2）作FM ⊙AD ，连接BM ，FM ＝2，点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆，当B、F 、M 共线时，BF 取最小值； 由⊙ADG ⊙⊙BFG 可求AG ；（3）连接BE ，设BAE α∠=，AE 平分BAD ∠，可得,DAE ED EB α==∠，得到A E B C 、、、四点共圆，作ABC 的外接圆O ，CAB △是等边三角形，可将CAB △绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △，得E 、A 、N 三点共线，求出AE DE +的最大值，即可求出ADE 的周长. 【详解】（1）⊙AD 由AB 旋转得到AD =AB ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙30DAE EAB ∠=∠=︒ ⊙120DAC ∠=︒ ⊙30D ∠=︒⊙=AEC D DAE ∠+∠∠ ⊙⊙AEC ＝60°； （2）如图，⊙CA =AB =6 ⊙2163CM CD ==，⊙13CM CA =，13FM AD =， 又DF 2CF = ⊙13CF CD = ⊙13CF CM CD CA == 又MCF ACD =∠∠ ⊙MCF ACD ∽∠∠ ⊙12,3MF AD CFM D ====∠∠ ⊙FM ＝2，⊙点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆， ⊙当B 、F 、M 共线时，BF 取最小值 即min 2BM BM MF BM =-=- ⊙2,6,60CM BC ACB ===︒∠⊙BM =29⊙min 22BM BM MF BM -=-== ⊙CFM D =∠∠ ⊙FH ⊙AD又BF 取最小值点F 在BM 上， ⊙BFAD⊙⊙ADG ⊙⊙BFG ⊙AD AGBF BG=，6AGAG=-，⊙12AG ＝；⊙当BF取最小值时，12AG ＝ （3）如图，连接BE ，设BAE α∠= ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙,DAE ED EB α==∠ ⊙602DAC α=︒+∠ 又60ABC ∠=︒ ⊙A E B C 、、、四点共圆作ABC 的外接圆O ，则点F 在O 上， 180CBE CAE +=︒∠∠又CAB △是等边三角形，⊙可将CBF 绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △ 由旋转的性质得：,,60CN CE AN EB ECN ===︒∠,CAN CBE =∠∠ ⊙180CAN CAE +=︒∠∠ ⊙E 、A 、N 三点共线 ⊙ECN 为等边三角形，⊙,AE ED AE EB AE AN EN CE +=+=+== ⊙6AB =⊙ABC 的外接圆O 的半径R ==R⊙CE 的最大值为2R =即AE DE +的最大值为⊙ADE 的周长是AD AE DE ++⊙ADE 的周长是6+ 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定,等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建辅助圆来确定线段的最值问题.23．（2021·甘肃庆阳·九年级二模）如图，等边三角形ABC 的外部有一点P ，且30BPA ∠=︒，将AP 绕点B 逆时针旋转60°得到CQ ，连接BQ ．（1）求证：ABP CBQ ≌△△．（2）若4AP =，3BP =，求P ，C 两点之间的距离． 【答案】（1）见解析（2）5 【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可 （2）连接,PQ PC ，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得P C ，的距离 【详解】（1）由旋转的性质可知，,,60AB CB PB QB PBQ ABC ==∠=∠=︒PBA PBQ QBA ABC QBA QBC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ABP CBQ ∴≌（SAS ）（2）连接,PQ PC,60PB BQ PBQ=∠=︒PBQ∴为等边三角形60PQB∴∠=︒,3PQ BQ==ABP CBQ≌△△∴30BPA BQC∠=∠=︒,4QC AP==603090PQB PQB BQC∴∠=∠+∠=︒+︒=︒222PC PQ QC∴=+5PC∴==【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．31。

专题13.12 等边三角形（专项练习）一、单选题知识点一、等边三角形的性质1．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠BED 为（ ）A ．45°B ．15°C ．10°D ．125° 2．如图，AD 是等边ABC 的中线，点E 在AC 上，AE AD =，则EDC ∠的度数为（ ）A ．30B ．20︒C ．25︒D ．15︒3．如图所示，已知m n ，等边ABC 的顶点B 在直线n 上，125︒∠=，则∠2的度数是（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒ 4．如图，ABC 是等边三角形，两个锐角都是45︒的三角尺的一条直角边在BC 上，则1∠的度数为（ ）A．60︒B．65︒C．70︒D．75︒知识点二、等边三角形的判定5．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形6．如图，在∠ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在∠ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则∠BCD是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在∠ABC 中，∠若AB=BC=CA，则∠ABC 为等边三角形；∠若∠A=∠B=∠C，则∠ABC 为等边三角形；∠有两个角都是60°的三角形是等边三角形；∠一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个8．如图，D、E、F分别是等边∠ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则∠DEF的形状是（）．A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形知识点三、等边三角形的判定和性质9．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里10．如图，已知点D为等腰直角∠ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：∠∠ADB ＝120°；∠∠ADC∠∠BDC；∠线段DC所在的直线垂直平分线AB；∠ME＝BD；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．∠BDE和∠FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．∠ABC的周长B．∠AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长12．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边∠ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直知识点四、含30度的直角三角形13．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6B．2C．3D．14．如图，在∠ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为()A ．3B ．4C ．5D ．615．等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm ，那么底边上的高为( ) A ．10cm B ．5cm C ．6cm D ．8cm16．如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q ，且4PQ =，1PE =，则AD 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题 知识点一、等边三角形的性质17．如图，已知∠ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．18．如图，直线a ，b 过等边三角形ABC 顶点A 和C ，且//a b ，142∠=︒，则2∠的度数为________．19．在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ，若三角形ABC 的边长为1，AE=2，则CD 的长为________．20．如图，等边∠AOB ，且OA ＝OC ，∠CAB ＝20°，则∠ABC 的大小是_____．知识点二、等边三角形的判定21．已知∠ABC 三边a 、b 、c 满足（a ﹣b ）2+|b ﹣c|=0，则∠ABC 的形状是_______． 22．已知一个三角形的三边长a 、b 、c ，满足(a -b)2+|b -c|=0，则这个三角形是____ 三角形. 23．如图，AD 是∠ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把∠ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为 ．24．如图，∠ABC 为等边三角形，∠1＝∠2，BD ＝CE ，则∠ADE 是______三角形．知识点三、等边三角形的判定和性质25．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）测得的相关数据为：60,60,48ABC ACB BC ∠=︒∠=︒=米，则AC =________米．26．如图，P 为等边ABC ∆内一点，且PA PB =，若15PAB ∠=，则BPC ∠=__________度．27．如图，ABC是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠=︒，则ED的长为____________．EDA3028．如图，已知∠ABC．∠ACB=30°，CP为∠ACB的平分线，且CP=6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则∠PMN周长的最小值为____．知识点四、含30度的直角三角形29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是___cm230．如图所示，在ABC中，90︒B，以A为圆心，任意长为半径画弧分∠=C，30别交AB 、AC 于点M 和N 再分别以MN 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的有________．∠AD 是BAC ∠的平分线；∠60ADC ︒∠=；∠点D 在AB 的中垂线上；∠:1:3DAC ABC S S =31．如图，在等边∠ABC 中，F 是AB 的中点，FE∠AC 于E ；如果∠ABC 的边长是12，则AE=_____；32．如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=，则BCD ABDS S ∆∆=_____．三、解答题知识点一、等边三角形的性质33．如图，在等边三角形ABC 中，AD ＝BE ．求证：CD ＝AE ．知识点二、等边三角形的判定34．如图，点E 在∠ABC 的外部，点D 边BC 上，DE 交AC 于点F ，若∠1=∠2，AE=AC ，BC=DE ，（1）求证：AB=AD ；（2）若∠1=60°，判断∠ABD 的形状，并说明理由．知识点三、等边三角形的判定和性质35．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，A ，D ，C 在同一条直线上，连接BD ，CE ，点M ，N 分别为BD ，CE 的中点，顺次连接A ，M ，N ．知识点四、含30度的直角三角形36．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=．参考答案1．A【分析】由等边三角形的性质可得60DAE ∠=︒，进而可得150BAE ∠=︒，又因为AB AE =，结合等腰三角形的性质，易得AEB ∠的大小，进而可求出BED ∠的度数. 解：ADE 是等边三角形，∴60DAE ∠=︒，AD AE DE ==，四边形ABCD 是正方形，∴90EAB ∠=︒，AD AB =，∴9060150BAE ∠=︒+︒=︒，AE AB =，∴30215AEB ∠=︒÷=︒，∴601545BED ∠=︒-︒=︒.故选：A .【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AEB ∠的度数，难度适中.2．D【分析】由等边三角形三线合一即可求出30DAC ∠=︒，90ADC ∠=︒．再由等腰三角形的性质可求出75ADE ∠=︒，最后即可求出15EDC ∠=︒．解：∠ABC 是等边三角形，且AD 为中线． ∠1302DAC BAC ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒， ∠AE AD =， ∠11(180)(18030)7522ADE AED DAC ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∠907515EDC ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：D ．【点拨】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．3．B【分析】先根据平行线的性质得出125ACD ∠=∠=︒，2DCB ∠=∠，再根据等边三角形的性质和∠1的度数求出∠2的度数即可．解：过点C 作//DE m∠//DE m ，//m n∠//DE n2DCB ∴∠=∠∠//DE m∠125ACD ∠=∠=︒∠ABC 是等边三角形∠60ACB ∠=︒∠602535DCB ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠235DCB ∠=∠=︒故选：B ．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．4．D【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，故选：D ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．5．A【解析】∠这个三角形是轴对称图形，∠一定有两个角相等，∠这是一个等腰三角形.∠有一个内角是60°，∠这个三角形是等边三角形.故选A.6．A【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB=30°，由角平分线的定义得到∠BCD=2∠ACB=60°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，于是得到结论．解：∠∠A=65°，∠ABC=85°，∠∠ACB=30°．∠CA平分∠BCD，∠∠BCD=2∠ACB=60°．∠直线MN为BC的垂直平分线，∠BD=CD，∠∠BCD是等边三角形．故选A．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．7．D解：试题分析：∠根据等边三角形的定义可得∠ABC为等边三角形，结论正确；∠根据判定定理1可得∠ABC为等边三角形，结论正确；∠一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得∠ABC为等边三角形，结论正确；∠根据判定定理2可得∠ABC为等边三角形，结论正确．故选D．考点：等边三角形的判定．8．A【分析】根据等边∠ABC中AD=BE=CF，证得∠ADF∠∠BED∠∠CFE即可得出：∠DEF是等边三角形．解：∠∠ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∠AE=BF=CD，又∠∠A=∠B=∠C=60°，∠∠ADE∠∠BEF∠∠CFD（SAS），∠DF=ED=EF，∠∠DEF是等边三角形，故选A.【点拨】考点：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出∠ADE∠∠BEF∠∠CFD是解答此题的关键．9．B【分析】由已知可得∠ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．解：由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40∠∠ABC是等边三角形∠AC=AB=40海里．故选B．10．D【解析】【分析】由等腰三角形的性质可判断∠，由“SSS”可证∠ADC∠∠BDC，可判断∠，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断∠，由“AAS”可证∠ACD∠∠ECM，可判断∠．解：∠AD=BD，∠BAD=30°，∠∠BAD=∠ABD=30°，∠∠ADB=120°,故∠正确;∠AC=BC，AD=BD，CD=CD,∠∠ADC∠∠BDC（SSS）,故∠正确;∠∠ADC∠∠BDC∠∠ACD=∠BCD，且AC=BC∠线段DC所在的直线垂直平分线AB,故∠正确;∠∠ABC是等腰直角三角形,∠∠CAB=∠CBA,∠∠CAD=∠CBD=15°,∠CA=CE,∠∠E=∠CAD=15°,∠∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,∠∠CDE=∠CMD=60°,∠∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,∠∠ACD∠∠ECM（AAS）,∠AD=ME=BD,故∠正确,故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．11．A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明∠AFH∠∠CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．解：∠∠GFH为等边三角形，∠FH＝GH，∠FHG＝60°，∠∠AHF+∠GHC＝120°，∠∠ABC为等边三角形，∠AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∠∠GHC+∠HGC＝120°，∠∠AHF＝∠HGC，∠∠AFH∠∠CHG（AAS），∠AF＝CH．∠∠BDE和∠FGH是两个全等的等边三角形，∠BE＝FH，∠五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∠只需知道∠ABC的周长即可．故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．12．A【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠AOC∠∠ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．【详解】∠∠AOB=60°，OA=OB，∠∠OAB是等边三角形，∠OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°∠当点C在线段OB上时，如图1，∠∠ACD是等边三角形，∠AC=AD，∠CAD=60°，∠∠OAC=∠BAD，在∠AOC和∠ABD中，OA BAOAC BAD AC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AOC∠∠ABD，∠∠ABD=∠AOC=60°，∠∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∠BD∠OA；∠当点C在OB的延长线上时，如图2，∠∠ACD是等边三角形，∠AC=AD，∠CAD=60°，∠∠OAC=∠BAD，在∠AOC 和∠ABD 中，OA BA OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AOC∠∠ABD ，∠∠ABD=∠AOC=60°，∠∠ABE=180°﹣∠ABO ﹣∠ABD=60°=∠AOB ，∠BD∠OA ，故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．13．C【分析】直接利用角平分线的作法得出OP 是∠AOB 的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【详解】如图，过点M 作ME∠OB 于点E ，由题意可得：OP 是∠AOB 的角平分线，则∠POB=12×60°=30°， ∠ME=12OM=3， 故选C ．【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP 是∠AOB 的角平分线是解题关键．14．D【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可．解：∠DE是BC的垂直平分线，∠EB＝EC＝12，∠∠B＝30°，∠EDB＝90°，∠DE＝12EB＝6，故选D．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．B【分析】先设此三角形的底角是x，则顶角是4x，根据三角形内角和定理，可得2x+4x=180°，易求底角．在Rt∠ABD中，由于AB=10，∠B=30°，易求AD．解：设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则：2x+4x=180°解得：x=30°．当x=30°时，则顶角=4x=120°．如图，在Rt∠ABD中，AB=10，∠B=30°，∠AD12AB=5．故选B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是求出底角．16．C【分析】分析：由已知条件，先证明∠ABE∠∠CAD得∠BPQ＝60°，可得BP＝2PQ＝8，AD ＝BE．则易求．解：∠∠ABC为等边三角形，∠AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；又∠AE＝CD，在∠ABE 和∠CAD 中，AB CA BAE ACD AE CD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∠∠ABE∠∠CAD （SAS ）；∠BE ＝AD ，∠CAD ＝∠ABE ；∠∠BPQ ＝∠ABE ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAD ＝∠BAE ＝60°；∠BQ∠AD ，∠∠AQB ＝90°，则∠PBQ ＝90°−60°＝30°∠PQ ＝3，∠在Rt∠BPQ 中，BP ＝2PQ ＝8；又∠PE ＝1，∠AD ＝BE ＝BP ＋PE ＝9．故选：C ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明∠BAE∠∠ACD ．17．：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数．解：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠ACB=60°，∠ACD=120°，∠CG=CD ，∠∠CDG=30°，∠FDE=150°，∠DF=DE ，∠∠E=15°．故答案为15．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.18．102°【分析】根据题意可求出BAC ∠的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案． 解：三角形ABC 为等边三角形60BAC ∴∠=︒//a b214260102BAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：102︒．【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．19．1或3解：当E 在线段BA 的延长线上，D 在线段BC 的延长线上时，如图1所示，过E 作EF ∠BD ,垂足为F 点,可得∠EFB =90°，∠EC =ED ,∠F 为CD 的中点,即CF =DF =12CD ， ∠∠ABC 为等边三角形,∠∠ABC =60°，∠∠BEF =30°，∠BE =AB +AE =1+2=3， ∠FB =12EB =32， ∠CF =FB −BC =12， 则CD =2CF =1；当E 在线段AB 的延长线上，D 在线段CB 的延长线上时，如图2所示，过E 作EF ∠BD ,垂足为F 点,可得∠EFC =90°，∠EC =ED ,∠F 为CD 的中点,即CF =DF =12CD ， ∠∠ABC 为等边三角形,∠∠ABC =∠EBF =60°，∠∠BEF =30°，∠BE =AE −AB =2−1=1，∠FB =12BE =12， ∠CF =BC +FB =32， 则CD =2CF =3，综上，CD 的值为1或3.故答案为：1或320．130°．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO ＝60°﹣2BOC ∠，由外角性质可求∠BOC ＝40°，即可求解．解：∠∠AOB 是等边三角形，∠∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOB ＝60°，OA ＝OB ＝AB ，∠OA ＝OC ，∠∠ACO ＝∠OAC ＝180-2AOC ︒∠＝120-2BOC ︒∠＝60°﹣2BOC ∠， ∠∠CAB +∠OBA ＝∠COB +∠ACO ，∠20°+60°＝∠COB +60°﹣2BOC ∠， ∠∠BOC ＝40°，∠OC ＝OA ＝OB ，∠∠OBC ＝70°，∠∠ABC ＝∠ABO +∠OBC ＝130°，故答案为：130°．【点拨】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.21．等边三角形【解析】试题解析：由题意可知：a-b=0，b-c=0，∠a=b=c，∠∠ABC的形状是等边三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判断．关键是利用非负数的性质解题．属于基础题型．22．等边【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：，，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．-=-=00a b b c解：∠(a-b)2+|b-c|=0∠(a-b)2=0，|b-c|=0∠a=b，b=c∠a=b=c∠这个三角形是等边三角形．【点拨】本题考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定．23．3【解析】根据中点的性质得BD=DC=3，再根据对称的性质得∠ADC′=60°，判定三角形为等边三角形即可求．解：根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3．有轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=3，∠BDC′=60°，故∠BDC′为等边三角形，故BC′=3．故答案为3．24．等边【解析】【分析】由条件可证明∠ABE∠∠ACD，从而AE=AD，∠BAC=∠CAE=60°,所以可知∠DAE 是等边三角形．证明：∠三角形ABC 为等边三角形∠AB=AC ，在∠ABD 和∠ACE 中,12AB AC BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠AE=AD ，∠BAD=∠DAE=60°，∠∠ADE 是等边三角形．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定，解题的关键是证∠ABD∠∠ACE ．25．48【分析】先说明∠ABC 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．解：∠60,60ABC ACB ∠=︒∠=︒∠∠BAC=180°-60°-60°=60°∠∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∠∠ABC 是等边三角形∠AC=BC=48米．故答案为48．【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得∠ABC 是等边三角形是解答本题的关键．26．105°【分析】由等边三角形性质和已知可证明∠BPC∠∠APC ，可得∠BCP=∠ACP=30°，由15PAB ∠=可得∠PBC=45°，根据三角形内角和可得∠BPC 的度数.解：在等边三角形中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC ，又∠PA PB =，15PAB ∠=，∠15PBA PAB ∠=∠=，∠∠PBC=∠PAC=45°，∠∠BPC∠∠APC （SAS ）， ∠∠BCP=∠ACP=12∠ACB=30°， ∠180-=105BPC PBC PCB ∠=︒-∠∠︒故答案为：105°.【点拨】本题主要考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．3【分析】根据题意易得AD BC ⊥，BD=DC ，60B C ∠=∠=︒，从而得到30DAC EDA ∠=∠=︒，所以得到AE=ED ，再根据直角三角形斜边中线定理得AE=EC ，由三角形中位线得出答案． 解： ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线∴ 60B C ∠=∠=︒，AD BC ⊥，BD=DC∴30DAC ∠=︒30EDA ∠=︒∴AE=ED90ADC ∠=∴60EDC C ∠=∠=︒∴ED=EC∴DE=AE=EC ∴132DE AB == 故答案为3．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边中线及三角形中位线，关键是根据等边三角形的性质得到角的度数，进而得到边的等量关系，最后利用三角形中位线得到答案．28．6【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时∠PMN的周长最小．解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC 于N，连接CE、CF．此时∠PMN的周长最小．由对称的性质可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6，∠∠ACB=30°，∠∠ECF=60°，∠∠CEF是等边三角形，∠EF=CE=6，∠∠PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6，故答案为：6．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．29．49 2解：∠∠B=30°，∠ACB=90°，AB=14cm，∠AC=12AB=7cm,在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，∠CF=AC=7cm，则阴影部分的面积是1497722⨯⨯=(cm)故答案为：49 230．∠∠∠∠【分析】∠根据题目中尺规作图的步骤即可判断出AD 是BAC ∠的平分线；∠利用直角三角形两锐角互余求出BAC ∠的度数，然后根据角平分线的定义求出CAD ∠的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；∠通过角平分线的定义能够得出30B BAD ∠=∠=︒，则AD BD =然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；∠根据含30°的直角三角形的性质得出2BD AD CD ==，则3BC CD =，又因为ADC 和ABC 高相同，则ADC 和ABC 面积之间的关系可求．解：由题干可知，AD 是BAC ∠的平分线，故∠正确；∠90C ∠=︒，30B ∠=︒∠9060BAC B ∠=︒-∠=︒∠AD 平分∠BAC ∠1302BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒ 2,9060AD CD ADC CAD ∴=∠=︒-∠=︒, 故∠正确；30B BAD ∠=∠=︒AD BD ∴=∠点D 在AB 的中垂线上，故∠正确；2BD AD CD ==3BC CD ∴=∠ADC 和ABC 高相同，∠:1:3DAC ABC S S =，故∠正确；故答案为：∠∠∠∠．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键． 31．3；【分析】根据等边三角形的性质及EF∠AC ，可推出AE=12AF=14AB=3． 解：∠等边∠ABC∠∠A=60°∠EF∠AC∠∠AFE=30° ∠AE=12AF=14AB=3，故答案为3. 【点拨】本题考查了等边三角形的性质的应用及含30度角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质．32．12． 【分析】利用基本作图得BD 平分ABC ∠，再计算出30ABD CBD ∠=∠=，所以DA DB =，利用2BD CD =得到2AD CD =，然后根据三角形面积公式可得到BCD ABD S S 的值．解：由作法得BD 平分ABC ∠， ∠90C =∠，30A ∠=，∠60ABC ︒∠=，∠30ABD CBD ︒∠=∠=，∠DA DB =，在Rt BCD ∆中，2BD CD =，∠2AD CD =， ∠12BCD ABD S S ∆∆=. 故答案为12． 【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．33．见解析【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B =∠DAC =60°、AC =AB ，结合AD =BE 即可证出∠DAC ∠∠EBA （SAS ），再根据全等三角形的性质即可得出CD =AE ．证明：∠∠ABC 为等边三角形，∠∠B =∠DAC =60°，AC =AB ．在∠DAC 和∠EBA 中，AC AB DAC B AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠DAC ∠∠EBA （SAS ），∠CD =AE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 证出∠DAC ∠∠EBC 是解题的关键．34．（1）见解析；（2）∠ABD 是等边三角形．理由见解析.解：分析：（1）由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC 可得∠E=∠C ，这样结合AE=AC ，BC=DE 即可证得∠ABC∠∠ADE ，由此即可得到AB=AD ；（2）由∠1=∠2=60°可得∠BDE=120°，由∠ABC∠∠ADE 可得∠B=∠ADE ，AB=AD ，进而可得∠B=∠ADB=∠ADE ，由此即可得到∠ADB=12∠BDE=60°，这样结合AB=AD 即可得到∠ABD 是等边三角形.详解：（1）∠∠1+∠AFE+∠E=180°，∠2+∠CFD+∠C=180°，∠1=∠2，∠AFE=∠CFD ， ∠∠E=∠C ，∠AC=AE ，∠C=∠E ，BC=DE ，∠∠ABC∠∠ADE ，∠AB=AD ．（2）∠ABD 是等边三角形．理由如下：∠∠1=∠2=60°，∠∠BDE=180°﹣∠2=120°，∠∠ABC∠∠ADE ，∠∠B=∠ADE ，AB=AD ，∠∠B=∠ADB ，∠∠ADB=∠ADE ， ∠∠ADB=12∠BDE=60°， ∠∠ABD 是等边三角形．点睛：（1）解第1小题的关键是：由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC 得到∠E=∠C ；（2）解第2小题的关键是：由第1小题所得的∠ABC∠∠ADE 证得∠B=∠ADB=∠ADE.35．（1）见解析；（2）AMN 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证ABD ACE △≌△，可得BD=CE ；（2）由“SAS”可证ABM ACN △≌△，可得AM=AN ，∠BAM=∠CAN ，可证AMN 是等边三角形．证明：（1）∠ABC 和ADE 均为等边三角形，∠AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，在ABD △和ACE △中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABD ACE △≌△（SAS ），∠BD=CE ；（2）AMN 是等边三角形，理由如下： ∠点M ，N 分别为BD ，CE 的中点，BD=CE ，∠BM=CN ，∠ABD ACE △≌△，∠∠ABM=∠ACN ，在ABM 和ACN △中，AB AC ABM ACN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABM ACN △≌△（SAS ），∠AM=AN ，∠BAM=∠CAN ，∠∠MAN=∠BAC -∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN 是等边三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明ABM ACN △≌△是本题的关键．36．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到AD∠BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．解：证明（1）如图：∠AB=AC ，AD 是中线，∠∠B=∠C ，BD=CD ，在∠BDE 与∠CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BDE∠∠CDF ；（2）∠GH∠BD ，∠B=60°，∠∠AGH=60°，∠AB=AC ，AD 是中线，∠AD∠BC ，∠∠BAD=30°∠AHG=90°， ∠GH=12AG ， ∠AG=12AB ， ∠GH=14AB ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP V 中， 60P Ð=° ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP V 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ V 周长是（ ）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m 【答案】C【完整解答】解：∵60P Ð=° ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ，∵MNP V 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.2．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12Ð=Ð，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】B【完整解答】解：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ，∠BAE=60°，∵∠1=∠2，BE=CD ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AE=AD ，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE 是等边三角形．故答案为：B ．【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。

《等边三角形》专题2.(2017第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =3. (2017第11题)如图，在ABC ∆中，AC AB =，CE AD ,是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于EP BP +最小值的是（ ）A ．BCB ．CE C. AD D ．AC17. （2017第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．3B ．4 C. 8 D ．910.（2008·中考）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

《等边三角形》练习题1．（2012•）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为6．（2009•）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE7．（2007•）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△3S1=2S22S1=S2成三等分，则图中阴影部分的面积为（）9．（2006•）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD 分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正11．（2007•）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）12．（2006•）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB13．（2011•）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（2004•）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________ 三角形．18．（1999•）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2009•）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；②_________ ；③_________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB 为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14．①②③⑤．15．.16． a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n）∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．：①是；②是；③否．并（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

《等边三角形》专题2.(2017天津第9题)如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转060得DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD .下列结论一定正确的是（ ）A ．E ABD ∠=∠B ．C CBE ∠=∠ C. BC AD // D ．BC AD =3. (2017天津第11题)如图，在ABC ∆中，AC AB =，CE AD ,是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于EP BP +最小值的是（ ）A ．BCB ．CE C. AD D ．AC17. （2017河池第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．3B ．4 C. 8 D ．910.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD 交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．2C．D．34．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（）A．2 B．4 C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其A．3个B．2个C．1个D．0个设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________ ．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________ ．16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3= _________ ；（2）△A n B n C n的边长a n= _________ （其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________ 三角形．18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________ 个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′= _________ ．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD 为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________ ；②_________ ；③_________ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB 至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E= 15 度．14．①②③⑤．15．.16．a3=；△A n B n C n的边长a n= （或21﹣n）17．等边三角形．18． 2 个．19 PP′= 3 ．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，∴DF=CD，∴DF=CF，∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，∴ED=5．双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

专题1.2 等边三角形的判定与性质【十大题型】【北师大版】【题型1 利用等边三角形的性质求值】 (1)【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 (2)【题型3 等边三角形的证明】 (4)【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 (5)【题型5 等边三角形中的折叠问题】 (7)【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 (9)【题型7 等边三角形中的动态问题】 (10)【题型8 等边三角形中求最值】 (12)【题型9 等边三角形中的多结论问题】 (13)【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 (14)【知识点等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1利用等边三角形的性质求值】【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD 与BE交于点P，则∠APE=°．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．(1)求证：△DBE≌△CBE；(2)求∠BDE的度数．(3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由．【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C 的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM 的长为．【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】BC，点【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)连接BD，求证：BD=DE．【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．（1）利用图证明：EF=2AC；（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．【题型3等边三角形的证明】【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．证明：∵DF平分∠CDA（已知），∠___________（___________）．∴∠FDC=12∵∠CDA=120°（已知），∴∠FDC=__________°．∵DF∥BE（已知），∴∠FDC=∠__________（___________），∴∠BEC=60°．又∵EC=EB（已知），∴△BCE是等边三角形（____________）．【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：(1)DE=DF；(2)△DEF是等边三角形．【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC 边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．(1)求∠ADE的度数．(2)证明：△ADF是等边三角形．【题型4等边三角形在坐标系中的运用】【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？【变式4-2】（2023春·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A0 ， 2，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB=AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变，请说明理由．【变式4-3】（2023春·湖北黄石·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求证：FG平分∠AFC；(3)如图2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系．【题型5等边三角形中的折叠问题】【例5】（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为度．【变式5-1】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D 落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【变式5-3】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．【题型6与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3 C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1的周长和为．【变式6-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）A B C D【变式6-2】（2023·四川·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为．【变式6-3】（2023春·广西柳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是．【题型7等边三角形中的动态问题】【例7】（2023春·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为v P=2cm/s，v Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【变式7-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则△ABQ和△CAP 还全等吗？说明理由；【变式7-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ,CP,PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（）A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAPC．△BPQ的形状可能是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化【变式7-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；(2)当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．【题型8等边三角形中求最值】【例8】（2023春·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（）A B．1C D．2【变式8-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（ ）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为．【变式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（）A．8B．10C．12D．14【题型9等边三角形中的多结论问题】【例9】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正确的有．【变式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式9-3】（2023春·全国·八年级期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≅△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正确的说法有．【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】【例10】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．(1)当点F在线段BD上时，如图①，直接写出DF，CE，CF之间的关系 ．(2)当点F在线段BD的延长线上时，如图②，当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．(3)在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，请直接写出CF的值．【变式10-1】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合，连接AD、BE，AD，BE交于点F．(1)试说明△BEC≌△ADB；(2)直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系；(3)运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．【变式10-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，过等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上，（不与点A重合），作射线BD，把射线BD绕着点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在AC上，请写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由．(2)（2）如图2，点D在点A的右侧，点E在AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论，若不成立，写出你认为正确的结论，并证明．。

等边三角形1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的角平分线BD和CE相交于点O，则图中的全等三角形共有( )A．4对 B．3对 C．2对 D．1对2. 下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中说法正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于( )A．20° B．25° C．30° D．35°4. 如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，若BC ＝10，BD＝8，则△ADE的周长为( )A．25 B．20 C．18 D．155. 在下列三角形中：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等；④一边上的高也是这边上的中线；⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是( )A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④ D．①②④⑤6. 在△ABC中，∠A＝60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．正确的说法有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD等于( )A．3 B．2 C．1 D．58. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．79. 若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为10. 如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论中：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD；④∠ABE＝60°.其中正确的有个11. 如图，已知四边形ABCD是正方形，△FAD是等边三角形，则∠BFC的度数是12. 如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝____度．13. 如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D 恰好落在BC上，AP的长是14. 在下列三角形中：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角都相等；④一边上的高也是这边上的中线；⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是（填序号）15. 如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是．16. 如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7.4m，则BC＝____ m，DE＝____ m.17. 如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则△ABC的面积为____cm218. 如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E，A在直线DC同侧．连接AE，求证：AE∥BC.19. 如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．20. 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN ⊥AC.(1) 求证：△PMN是等边三角形；(2) 若AB＝9 cm，求CM的长度．21. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．22. 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC. (1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF.求证：①△ABE≌ACF；②△AEF是等边三角形；(2)如图②，若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF 是等边三角形？证明你的结论．答案：1---8 BDACB ABD9. 50°10. 411. 30°12. 1513. 614. ① ② ③ ⑤15. 等边三角形16. 3.7 1.8517. 2518. 证明：∵△ABC ，△CDE 是等边三角形，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACE ＋∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE.在△BCD 和△ACE 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ， ∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴∠B ＝∠CAE.∵∠B ＝∠ACB ，∴∠CAE ＝∠ACB ， ∴AE ∥BC19. 解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是高，∴∠ABO ＝12∠ABC＝30°， 根据SAS 证明△AOE≌△AOB，得∠E＝∠ABO＝30°20. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∵PN ⊥AC ，∴∠APN ＝30°，又∵MP⊥AB，∴∠MPN ＝60°，同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN 是等边三角形(2)MC ＝3 cm 点拨：可证△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN ＝BP ＝CM ，∵在Rt △APN 中，∠APN ＝30°，∴AN ＝12AP ，则BP ＝12AP ， ∵AB ＝9cm ，∴CM ＝BP ＝3cm21. 解：根据SAS 可证△ABE≌△CAD，∴BE ＝AD ，∠ABE ＝∠CAD.∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，∠BAC ＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BPQ ＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP ＝90°，∴∠PBQ ＝90°－∠BPQ＝30°，∴PQ ＝12BP ，∴BP ＝2PQ ＝2×3＝6，∴BE ＝BP ＋PE ＝7， ∴AD ＝BE ＝722. 解：(1)①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理可得△ACD 是等边三角形．∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS) ②由△ABE ≌△ACF 得AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形 (2)存在．证明：当BE ＝CF 时，与(1)同理证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∴∠CAF －∠CAE ＝∠BAE －∠CAE ，∴∠EAF ＝∠BAC ＝60°，∴△AEF 是等边三角形。

专题7 等边三角形的判定与性质知识解读等边三角形的判定方法有三种：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在这三种判定方法中，证明角度等于60°和证明两个角度相等比证明线段相等容易些，因此在证明一个三角形是等边三角形的时候，尽可能寻找60°的角.如果能找到两个60°的角，则就完成了三角形全等的证明.如果找到一个60°的角，则可继续证明这个三角形是等腰三角形．当一个图形中出现等边三角形时，由于等边三角形的三边相等，三个角都等于60°，这就为全等三角形提供了可能.而当一个图形中出现两个等边三角形的时候，由于图中出现了太多相等的线段和相等的角，此时一般会出现全等三角形．培优学案典例示范一、等边三角形判定方法的选择例1 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE=BD．求证：△DAE为等边三角形．【提示】由于CE=BD，AB=AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，因此可证AD=AE，要说明△DAE为等边三角形，我们只需证明DE和AD，AE相等或者证明△ADE中一个角等于60°即可．【解答】EABCD【技巧点评】要证明一个三角形是等边三角形时，当已知这个三角形是等腰三角形，可设法证明第三条边和这两条边相等，或者证明这个三角形中有一个角等于60°．跟踪训练1．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于点E 和点F ，求证：△OEF 是等边三角形．FEOCBA二、等边三角形为全等三角形提供可能例2 如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：BE=DC ； （2）求∠BOC 的度数． 【提示】（1）BE 和DC 可置于△ACD ，△AEB 中，通过证明△ACD ≌△AEB ，来证得BE=DC ，要证明△ACD ≌△AEB 需要的条件可从等边三角形中获得；（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO +∠DBO ，可将求∠BOC 转化为求∠BDO +∠DBO ． 【解答】OEDCBA【技巧点评】等边三角形的三条边相等、三个角相等，相等的线段、相等的角是三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形．跟踪训练2．在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ．（1）如图1，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC=BD ；②∠APB =60°；（2）如图2，若∠AOB =∠COD=a ，则AC 与BD 间的等量关系式为 ，∠APB 的大小为 （直接写出结果，不证明）图 1 图 2PPOCAODCBA三、旋转线段，构造等腰直角三角形和等边三角形例3 已知：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，将线段CB 绕点C 旋转60°得到CB'，∠ACB 的平分线CD 交直线AB'于点D ，连接DB ，在射线DB'上截取DM=DC ． （1）在图1中证明：MB'=DB ；（2）若6，分别在图1、图2中，求出AB'的长（直接写出结果）．【提示】（1）本题隐含两个等边三角形，△BCB'和△CDM 都是等边三角形，连接CM 后，可得到一对全等三角形；（2）在图1中，可证明△ACB'是一个等腰三角形，其底角为15°6，要求的是底边长；图2中，图1的两个三角形仍然全等，△ACB'还是等腰三角形，其顶角是30°6，要求的是底边长，充分利用30°角构造直角三角形可解决这个问题． 【解答】图 1 图 260°60°M B'DCBAB'MDC BA【技巧点评】线段绕其一个端点旋转60°，连接另一个端点的对应点，可得一个等边三角形，线段绕其一个端点旋转90°，连接另一个端点的对应点，可得一个等腰直角三角形．跟踪训练3．（北京中考题）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=a （0°<a <60°），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE ，若∠DEC=45°，求a 的值．图 1 图 2EDCBA DCBA四、借助60°构造等边三角形解决问题例4 如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连接CE 、DE ．求证：EC=ED ．【提示】要证明EC=ED ，可考虑将这两条线段置于一对全等三角形中，图中没有全等三角形，可设法构造全等三角形，由于∠B =60°，可考虑延长BD 到点F ，构造一个等边三角形． 【解答】F EDC B A跟踪训练4．已知：△ABC 为等边三角形．（1）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°.试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC >BD ．图 1 图 2PDCBAPCBA拓展延伸五、与等边三角形有关的动态问题例5 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断△BPQ 的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，△BPQ 的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．QP C BA【提示】（1）当出发后两秒时，AP =2×1=2，所以BP =4，BQ =2×2=4，又△ABC 是等边三角形，∠B =60°，所以△BPQ 是等边三角形，∠BPQ =∠A =60°，所以PQ //AC ．（2）过Q 作QH ⊥AB ，因为∠B =60°，所以∠BQH =30°，又BQ =2t ，所以BH=t ，由勾股定理，得3t ，所以得面积S ()36t -． 跟踪训练5.如图2-7-10，在等边△ABC 中，AB =9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动.P ，Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟。

《等边三角形》专题2.(2017天津第9题)如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接.下列结论一定正确的是（ ）A． B． C. D．3. (2017天津第11题)如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A． B． C. D．17. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（）A． B． C. D．10.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

《等边三角形》练习题1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（ ）　A．6B．12C．32D．64 2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ）　A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD 上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（ ）　A．2B．2C．D．34．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（ ）　A．2B．4C．D．25．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）　A．B．C．D．不能确定6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）　A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）　A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）　A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）　A．3个B．2个C．1个D．0个10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）　A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）　A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）　A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　_________　度．14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有　_________　．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为　_________　．16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则：（1）△A3B3C3的边长a3=　_________　；（2）△A n B n C n的边长a n=　_________　（其中n为正整数）．17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为　_________　三角形．18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出　_________　个．19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=　_________　．20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①　_________　；②　_________　；③　_________　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF 与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002•黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010•雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005•临沂）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE 的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C　2．C　3．C　4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E=　15　度．14．　①②③⑤　．　15．.16． a3=；△A n B n C n的边长a n=　（或21﹣n）　17．　等边　三角形．18．　2　个．19 PP′=　3　．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①　是　；②　是　；③　否　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，∴DF=CD，∴DF=CF，∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，∴ED=5．双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是 。

等边三角形专题
知识点：
性质：1、等边三角形三条边相等。

2、等边三角形三个角都是60°。

判定：1、三边相等的三角形是等边三角形。

2、三个角相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是60°的等妖三角形是等边三角形。

1、若△ABC三边满足等式a²+b²+c²=ab+bc+ac,则△ABC为（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.不能确定
2、已知等边△ABC，AP=CQ.求∠BOQ的度数
3、已知△ABC和△BDE是等边三角形，求证：AE=CD
4、已知△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,CE=CD,求证：BD=DE
5、已知：△ABC和△CDE是等边三角形，A,C,E在同一条直线上，
求证：(1)AD=BE (2)AP=BQ (3) ∠AOB=60°
变式：将△CDE绕点C旋转，问∠AOB是否发生改变？。

初中数学中考专题复习《等边三角形》【目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．知识点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.知识点解释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．知识点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.知识点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．知识点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点解释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.例题1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【思路】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO ＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．【答案】解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°∴△ODE是等边三角形；（2）答：BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC．【总结】本题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解和应用.举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF 是等边三角形．例题2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC，∠ABC ＝60°，，AD ＝CE ，求∠BPD 的度数.【答案】证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°在ADC ∆和CEB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB ACADC ∆≌CEB ∆（SAS ）∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝∴∠DPB＝60°.【总结】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.例题3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【思路】（1）由于△OCD和△OAB都是等边三角形，可得OD＝OC＝OB ＝OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD与△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO ＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，从而得到∠AEB 的值.【答案】证明：（1）∵O 是AD 的中点，∴AO ＝DO又∵等边△AOB 和等边△COD∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC∴∠BOD ＝∠AOC在△BOD 与△AOC 中，BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠ACO ＝∠BDO∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.【总结】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.【答案】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB＝∠ACB＝60°．例题4、已知：如图，B、C、E三点共线，ABC∆都是等边三∆，DCE角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N、M ，连结MN.求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.【答案】证明： ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60°∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴ECA BCD ∠=∠在BCD ∆和ACE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD AC BC （已证）∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等）54∠=∠（全等三角形对应角相等）在BMC ∆和ANC ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠2154AC BC （已证） ∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）∵∠2＝60°∴△MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1∴MN∥BE（内错角相等，两直线平行）【总结】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE ＝BD；为证明MN∥BE，可先证明△MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.例题5、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使DE.AE＝BD，连接CE、DE. 求证：CE＝【思路】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证∠ECD ＝∠EDC ，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC 扩展成大等边△BEF 后，易证△EBC ≌△EFD. 【答案】证明：延长BD 至F ，使DF ＝AB ，连结EF∵△ABC 为等边三角形 ∴AB ＝BC, ∠B ＝60º ∵AE ＝BD ，DF ＝AB ∴AE ＋AB ＝BD ＋DF 即BE ＝BF∴△BEF 为等边三角形 ∴BE ＝EF, ∠F ＝60º 在△EBC 与△EFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BC F B EF EB ∴△EBC ≌△EFD ∴EC ＝ED【总结】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高. 举一反三：【变式】如图所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC至M1，使CM1＝BM，连接DM1．∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠BDC＝120°，且BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∴∠ABD＝∠ACD＝90°．又∵ BD＝CD，BM＝CM1，∴ Rt△BDM≌Rt△CDM1(SAS)．∴ DM＝DM1，∠BDM＝∠CDM1，∴∠MDM1＝∠MDC＋∠CDM1＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．又∵∠MDN＝60°．∴∠M1DN＝∠MDN＝60°．又∵ DM＝DM1，DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)．∴ MN＝M1N＝NC＋M1C＝CN＋BM．例题1、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE 相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．【答案】解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°，在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．∴BH＝2EH＝4．同理可得，CH＝2HD＝2，∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．【总结】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．举一反三：【变式】如图, △ABC 中, ∠ACB ＝90°, ∠ABC ＝60°, AB 的中垂线交BC 的延长线于D ，交AC 于E, 已知DE ＝2.则 AC 的长为_________.【答案】3；提示：连接AD ，证△ABD 为等边三角形，则DE ＝AE ＝2，CE ＝1，所以AC ＝3. 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，∠BAC ＝120°． 求证：12DE DF BC +=．【答案】证明：∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝1(180)302BAC ︒-∠=︒． ∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴ 12DE BD =，12DF CD =． ∴ 12DE DF BC +=．例题2、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【思路】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理． 【答案】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)． ∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°， ∴ ∠BPQ ＝60°． ∵ BQ ⊥AD ， ∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°， ∴ BP ＝2PQ ．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力.1．如图，ABC∆是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则A D B∠的度数为( )A．25°B．60°C．85°D．95°2．以下叙述中不正确的是( )．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．3. 下列每组三角形中，不一定全等的是（）A.有一个角是60°且腰长相等的两个等腰三角形B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形D.有两条边分别相等的两个等腰三角形4. △ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形5. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°6. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．127. 如图，等边ABC∆的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DBDE=,则CE的长为_ ．8．如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12cm，则CD ＝________cm．9. 下列命题是真命题的是_________.①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形． ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形． ④三个外角都相等的三角形是等边三角形．10.△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为_____三角形.11．如图所示，△ABC 为等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，•则四个结论正确的是 ．①P 在∠A 的平分线上； ②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP.12.如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥ 于点F ．若4BC =，则BE CF +=_____________．13. 已知：如图，△ABD为等边三角形，△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，DE⊥AC交AC延长线于E，求证：DE＝CE.14. 已知，如图，△ADC是等边三角形，B是DC边中点，E在AC延长线上且CE＝BC.请判断△ABE的形状并证明你的结论.15. 如图，直角△ACB中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，而△ACD和△ABE都是等边三角形，AC，DE交于F.求证：FD＝FE且CF＝3AF.1. 【答案】D；【解析】∠ADB＝∠DBC＋∠C ＝35°＋60°＝95°.2. 【答案】C；【解析】等腰三角形顶角还可能是直角或钝角.3. 【答案】D；【解析】D选项腰长相等的锐角三角形和钝角三角形不全等.4. 【答案】B；【解析】由题意a＝b或b＝c或a＝c，这个三角形一定是等腰三角形.5. 【答案】B；【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°.6. 【答案】C；【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.7. 【答案】32；【解析】∠DBE＝∠DEB＝30°，CE＝DC＝12AC＝32.8. 【答案】2；【解析】在直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半.9. 【答案】①④【解析】②一般等腰三角形的两个底角的外角都相等；③等腰三角形底边上的高就是底边的中线.10.【答案】等边；【解析】利用SAS可以判定△EAF≌△FBD≌△DCE，从而可得，EF=FD=DE，即△DEF为等边三角形.11.【答案】①②③④；12.【答案】2；【解析】BE＝12BD；CF＝12DC，BE CF+=12（BD＋DC）＝2.13.【解析】证明：连接DC，∵△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠DBA＝60°又∵△ACB为等腰三角形且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠BDC＝∠ADC＝30°∴∠CBD＝15°，∠DCB＝180°－30°－15°＝135°又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝45°∵DE⊥AC∴ΔDEC为等腰直角三角形∴DE ＝CE14.【解析】△ABE 为等腰三角形.证明：∵△ADC 是等边三角形，B 是DC 边中点 ∴∠ACD ＝60°，∠DAB ＝∠CAB ＝30° 又∵CE ＝BC ， ∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CBE ＋∠CEB ＝∠ACD ＝60° ∴∠CEB ＝30°在△ABE 中，∠CAB ＝∠CEB ＝30° ∴△ABE 为等腰三角形. 15.【解析】证明：作DG ⊥AC 于G ，∵△ACD 和△ABE 都是等边三角形， ∴∠CDG ＝30°，DC ＝AC ，AB ＝AE ，CG ＝AG在△ABC 与△DGC 中30ABC DGC BAC CDG AC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DGC （AAS ） ∴DG ＝AB ＝AE 在△DGF 和△EAF 中，DFG EFA DGF EAF DG AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DGF ≌△EAF （AAS ） ∴AF ＝GF ，FD ＝FE ∵CG ＝AG ，AF ＋GF ＝AG ∴CF ＝3AF.1. 以下命题中，正确的是（）A. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和大于腰上的高B. 一腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等D. 等腰三角形的角平分线、中线和高共有7条或3条2．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE ＝15cm，CD＝6cm，则 AC＝（）cmA.9B.8C.7D.103. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P与P关于OB对称，2P1与P关于OA对称，则P，2P与O三点构成的三角形是（）1A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.视P点的位置而定4. 如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm5. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则BDDC的值是（）A.12 B.23C.1D.326. 如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE ≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有条.9. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.10. 在等边三角形ABC所在平面内能找到个点P，使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.11．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，FG 且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AF ＝．13.已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论．14. 已知△ABC和△DEF为等边三角形，点D在△ABC边AB上，点F 在直线AC上．(1)若点C和点F重合(如图所示)，求证AE∥BC；(2)若F在AC的延长线上(如图所示)，(1)中的结论是否成立，给A BCDEFDA BCE出你的结论并证明．15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB （填“＞”,“＜”或“＝”）.图1图2在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ,如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.DA BCE（2）一般情况，证明结论如图2，过点E 作EF //BC ，交AC 于点F.（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明） 证明：1. 【答案】D ；【解析】一般等腰三角形的角平分线有7条，等边三角形的角平分线有3条. 2. 【答案】A ；【解析】证△ABD ≌△ACE ，AC ＝BC ＝BD －CD ＝CE －CD ＝15－6＝9cm .3. 【答案】C ；【解析】根据对称性，∠12POP ＝60°，且12OP OP OP ==. 4. 【答案】C ；【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的23，正六边形的周长为90×3×23＝180cm ，所以正六边形的边长是180÷6＝30cm ．【解析】根据题意：若DE⊥AB，必有∠BDE＝30°，而∠EDA＝60°；的值是1．故AD⊥BC；即BD＝DC；故BDDC6. 【答案】B；【解析】①②正确. 证△ACE≌△DCB（SAS），△EMC≌△BNC（ASA）.7. 【答案】150°；【解析】设∠CBD＝x，∠BCD＝y，由题意∠ADB＝60°＋x，∠ADC＝60°＋y，△BCD中，x＋y＋60°＋x＋60°＋y＝180°,x＋y＝30°，所以∠BDC＝150°.8. 【答案】3；【解析】由题意可得∠DEC＝60°，△AFD≌△AED，易证△BFD为正三角形，故BD＝BF＝FD＝DE.9. 【答案】12；【解析】连接AD，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半. 10.【答案】10；【解析】如图所示：【解析】连接AO ，△ABO 的面积＋△ACO 的面积＝△ABC 的面积，所以OE ＋OF ＝等边三角形的高.12．【答案】12；【解析】证△CBD ≌△ACE ，∠BCD ＝∠CAE ，因为∠ACF ＋∠BCD ＝60°，∠CAE ＋∠ACF ＝∠AFG ＝60°，所以∠FAG ＝30°，所以AF FG ＝12.13.【解析】解：∠BQM 为定值．理由：如图①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC∵BM ＝CN∴△ABM ≌△BCN （SAS ）∴∠BAM ＝∠CBN （全等三角形的对应角相等），∴∠BQM ＝∠BAQ ＋∠ABQ ＝∠CBQ ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°即∠BQM 为定值．图②中：∠BQM ＝∠ABN ＋∠BAM∵△ABM ≌△BCN∴∠BAM ＝∠CBN∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°图③中：∠BQM＝∠N＋∠NAQ∵△ABM≌△BCN，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°．14.【解析】证明：(1)如图所示，∵△ABC和△DEF为等边三角形∴∠3＋∠1＝∠2＋∠3＝60°，∴∠1＝∠2．∴△AEF≌△BDC，∴∠4＝∠B＝∠ACB＝60°．∴ AE∥BC．(2)如下图中结论仍成立，过点F作FH∥CB交AB延长线于点H，∴∠1＝∠2＝60°，∴△AHF为等边三角形．由(1)知，可证△AEF≌△HDF，∴∠3＝60°，∴∠3＝∠ACB＝∠AFH．∴ AE∥BC．15.【解析】解：（1）＝（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB ＝AC＝BC∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC∴DB＝EF，∴AE＝BD.。

专题20 等腰三角形与等边三角形考点一：三角形的中位线1. 中位线的定义：三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线。

2. 中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

1．（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：∵CD＝AD，CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE，∵DE＝10m，∴AB＝20m，故答案为：20．2．（2022•福建）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为 ．【分析】直接利用三角形中位线定理求解．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×12＝6．故答案为：6．3．（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴AB＝2DE＝2×25＝50（米）．故答案为：50．4．（2022•丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（ ）A．28B．14C．10D．7【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝4，∴四边形BDEF 的周长为：2×（3+4）＝14，故选：B ．5．（2022•眉山）在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长＝2△DEF 的周长．【解答】解：如图，点D ，E ，F 分别为各边的中点，∴DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝3，EF ＝AB ＝2，DF ＝AC ＝4，∴△DEF 的周长＝3+2+4＝9．故选：A ．6．（2022•广东）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（ ）A ．41B ．21C ．1D ．2【分析】由题意可得DE 是△ABC 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE 的长度．【解答】解：∵点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝×4＝2，故选：D ．7．（2022•沈阳）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，连接DE ，则∠CED 的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．30°D ．20°【分析】根据直角三角形的性质求出∠B ，根据三角形中位线定理得到DE ∥AB ，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＝90°﹣∠A ＝60°，∵D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠B ＝60°，故选：B ．8．（2022•常州）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ，∵DE ＝2，∴BC ＝4，故选：B ．考点二：等腰三角形3. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

专题2.5 等边三角形【十大题型】【浙教版】【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 (1)【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】 (3)【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】 (4)【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】 (5)【题型5 等边三角形的证明】 (6)【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 (8)【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】 (9)【题型8 与等边三角形有关的动点问题】 (10)【题型9 含30°角的直角三角形性质】 (11)【题型10 直角三角形斜边的中线】 (13)【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝°，∠AOC＝°；②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数；（3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，∠HAF＝30°，则∠1＝°．【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数．【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．（1）特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，∠D与∠A度数的比是；（2）猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【变式1-3】（2022秋•龙港区期末）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝（度）；∠GDF的大小＝（度）；AD与GD的数量关系是；DC与DF的数量关系是；（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】【例2】（2022秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）【变式2-1】（2022秋•西青区期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△ABC内部，连接AE，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠AEB的度数是．【变式2-2】（2022秋•兴化市校级月考）如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）求证：△DBC≌△EAC；（2）求证：AE∥BC；（3）如图2，若D在边BA的延长线上，且AB＝6，AD＝2，试求△ABC与△EAC面积的比值．【变式2-3】（2022秋•赫山区期末）如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F．（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFB的度数；（3）求证：CF平分∠AFD；（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】【例3】（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（）A．(0，−√3)B．(0，−2√3)C．（0，﹣2）D．(0，−2√2)【变式3-1】（2022春•龙口市期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标为（）A．（1，√3）B．（1，√5）C．（√3，1）D．（3，√3）2【变式3-2】（2022秋•新洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．【变式3-3】（2022秋•汉阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB＝30°，延长DB至E，使BE＝BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA＝60°，AM交BE于N．（1）求证：BE＝BC；（2）求证：∠ANB＝∠EPC；（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】CD．点【例4】（2022•南陵县模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12 E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．23√3B．34√3C．56√3D．√3【变式4-1】（2022春•西乡县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE＝1，求BF的长．【变式4-2】（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长【变式4-3】（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝30cm，DE＝2cm，则BC＝cm．【题型5 等边三角形的证明】【例5】（2022秋•建水县校级期中）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE ＝60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE．求证：△ADE是等边三角形．【变式5-1】如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．【变式5-2】（2022春•龙口市期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB＝60°．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）若EF＝5，求线段OE的长．【变式5-3】（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．【题型6 与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2022秋•思明区校级期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为．【变式6-1】（2022秋•简阳市期中）一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动：从坐标原点开始起跳记为A1，然后沿着边长为1的等边三角形跳跃即A1→A2→A3→A4→A5……已知A3的坐标为（1，0），则A2018的坐标是．【变式6-2】（2022•定兴县二模）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D1D2的长为3，4线段D n﹣1D n的长为（n为正整数）．【变式6-3】（2022•齐齐哈尔模拟）如图，点A1是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BA1为一边，构造等边△BA1C1，称为第一次构造；点A2是△BA1C1的两条中线的交点，再以BA2为一边，构造等边△BA2C2，称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△B n A n∁n的边B∁n与等边△CBA的边AB第一次在同一直线上时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是．【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】【例7】（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．【变式7-1】如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说明BE＝EF＝FC．【变式7-2】（2022秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．【变式7-3】（2022春•建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．【题型8 与等边三角形有关的动点问题】【例8】（2022秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式8-1】（2022春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B 同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N 第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022春•金牛区校级期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【变式8-3】（2022秋•禄劝县期末）如图，在等边△ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？【题型9 含30°角的直角三角形性质】【例9】（2022秋•尚志市期中）已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．（1）求证：AE＝EC；（2）若DE＝2，求BC的长．【变式9-1】（2022秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D．求证：CD＝3AD．【变式9-2】（2022春•湟中县校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N 在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，求OM的长度．【变式9-3】（2022秋•尚志市期中）如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F．（1）如图1，求证：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．【题型10 直角三角形斜边的中线】【例10】（2022秋•江都区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC ＝10，EF＝4．（1）求△MEF的周长：（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【变式10-1】（2022秋•鼓楼区期末）已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，点E、F分别是线段AB、CD 的中点．求证：EF⊥CD．【变式10-2】（2022秋•高港区校级期中）如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF．（1）若EF＝3，BC＝10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC＝29°，∠ACB＝46°，求∠EMF的度数．【变式10-3】（2022秋•靖江市校级月考）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连接DM，ME，求证：∠DME＝180°﹣2∠A；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．。