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高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例 2.3.2 角度问题与方案设计问题课件 北师大版必修5

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高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件高二必修5数学课件

高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件高二必修5数学课件

们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该
三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是首先根据题意,从实际问题中抽
象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到
实际问题的解.
2.对于本例还要注意相遇时两船航行的时间相等这一条件,应用余弦定
理构建出方程是关键所在.
首页
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
合作学习
当堂检测
规范解答
解:如图,若设甲、乙两船在 B 处相遇,所需时间为 t h,这样由题
设知,AC=10 n mile,AB=20 3t n mile,BC=20t n mile,
∠ACB=45°+75°=120°.
设甲船沿方位角(45°+θ)方向航行.
§3
解三角形的实际应用(yìngyòng)举例
12/8/2021
第一页，共三十页。
-1-
首页
自主预习
学 习 目 标
合作学习
思 维 脉 络
1.能运用正弦定理、余弦定理等知识解决
测量中的距离问题、高度问题、角度问题.
2.通过解三角形实际应用的学习,提高解
决实际问题的能力.
12/8/2021
第二页，共三十页。
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究二
自主预习
合作学习
当堂检测
规范解答
测量高度问题
【例2】 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的
两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角

高中数学复习课件-解三角形应用举例

高中数学复习课件-解三角形应用举例
追上走私船，则CB 10x, AB 14x, AC 9
ACB 750 450 1200
由余弦定理得AB2 AC2 BC 2 2AC BC cos1200
即(14x)2 92 (10x)2 2910x cos1200
化简得：32x2 30x 27 0,解得x 3 或x 9 (舍去)
1.2 解三角形应用举例
高度和角度的测量
距离 高度 角度 有关三角形计算
复习回顾
a
1.正弦定理：sin
A
b sin B
c sin C
2R
2.余弦定理和推论：
a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
tan 80 0.14
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
sin 380 5 3 14
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处
图2
③两点都不能到达
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
A
E
D
C
H
G
B
练习1: 在山顶铁塔上B处测得地
B
面上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔
底C处测得A处的俯角β＝30°。 已知铁塔BC部分的高为28m，求
C
出山高CD.
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
2、方向角：指北或指 南方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平 角，如图

解三角形的实际应用举例

解三角形的实际应用举例

第二章 解三角形
(2)由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4575°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4455°°＝20(米)．
栏目 导引
第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
栏目 导引
第二章 解三角形
栏目 导引
第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
栏目 导引
第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
栏目 导引
第二章 解三角形
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶

解三角形的实际应用举例课件ppt

解三角形的实际应用举例课件ppt

方法点评 函数关系的建立及最值的求法 (1)依据条件，确定适当的变量，如时间、距离、角度等． (2)利用正、余弦定理在三角形中寻找关系． (3)建立相应函数关系式，利用二次函数或三角函数求最值 的方法使问题得到解决．
谢谢！
解 如图所示，易知 ∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
所以 sin B＝12313.
在△ABC 中，AC＝BCsinsinAB＝31s× in 162301°3＝24(千米)．
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A 得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)． ∴AD＝AB－BD＝15(千米)． ∴故此人在D处距A还有15千米．
∴BC＝ 6，且 sin∠ABC＝ABCC·sin∠BAC＝ 26·23＝ 22， ∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向成 90°角．(8 分)
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12，(10 分) ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私
解三角形的实际应用举例课件ppt
自学导引
1．仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水 平视线和目标视线的夹角．目标视 线在水平视线_上__方__时叫仰角，目标 视线在水平视线_下__方__时叫俯角，如 图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)．
∵sin10300°＝sinBC15°.∴BC＝50( 6－ 2) m
设倾斜角为 θ，则sin9B0C°＋θ＝sin5045°，

数学：2.2-2.3《三角形中的几何计算》与《解三角形的实际应用举例》(理)知识精讲(北师大版必修5)

数学：2.2-2.3《三角形中的几何计算》与《解三角形的实际应用举例》(理)知识精讲(北师大版必修5)

高二数学第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（理）【本讲教育信息】一、教学内容：三角形中的几何计算及实际应用举例二、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。

（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。

三、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：） （i ）大角对大边：,,,A B a b B C b c C A c a >⇒>>⇒>>⇒> （ii ）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，（R 是三角形外接圆的半径） （iii ）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-（iv ）三角形的面积S △ABC 111sin sin sin 222ABCS bc A ac B ab C pr ====4abc R = 2. 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。

（3）解决实际问题的步骤。

（i ）理解题意分清已知与未知。

（ii ）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。

（iii ）作答。

3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i ）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（ii ）sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin 2222A B C A B CA B C A B C +++=+=-== （iii ）tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C++=【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，AB=AD ，βα=∠=∠ABC ,CAD 。

高中数学 第2章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修5

高中数学 第2章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修5

●思考题 1 为了开凿隧道，要测量 隧道 D，E 间的距离，为此在山的一侧选 取适当的点 C(如右图)，测得 CA＝482.8 m，CB＝631.5 m，∠ACB＝56°18′，又测得 A，B 两点到隧道 的距离 AD＝80.12 m，BE＝40.24 m(A，D，E，B 在一直线上)， 计算隧道的长(精确到 0.1 m)．
方位角的其他表示——方向角：
(1)正南方向：指从原点 O 出发的经过目标的射线与正南的方 向线重合，即目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东 方向和正西方向．
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分 线．依此类推东北方向、西南方向、西北方向．
1．测量高度时常见的三种数学模型及其特征． 答：(1)有以下三种数学模型.
复习课件
高中数学 第2章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修 5
§3 解三角形的实际应用举例
要点 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰 角，在水平线下方的角叫俯角如图．
要点 2 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方 位角为 α 如图．
A．400 3 m
B．800( 3＋1) m
C．400( 3＋1) m
D．800( 3＋1) m
答案 B
4.如图，在河的两岸有两点 A，B，C 与 A 在河岸的同侧， 若∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AC＝50 m，则 AB＝________m.
答案 50
5．如图，A，B 两点都在河的对岸，C，D 在河的这一岸， 若 CD＝100 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∠BDC＝30°， ∠ACB＝75°，则 AB＝________m.

高中数学 第一部分 第二章 §3 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修5

答案：10 6
5．(2011· 郑州高二检测)某气象仪器研究 所按以下方案测试一种“弹射型” 气象观测仪器的垂直弹射高度： 在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A、 B 两地相距 100 米， ∠BAC＝60° ， 2 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒．A 地测得该仪 17 器在 C 处时的俯角为 15° ， A 地测得最高点 H 的仰角为 30° ， 求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/ 秒)
[一点通] 测量不可到达的两点的距离问题，
一般是把要求的距离转化为某三角形的一边，通过
解三角形获得答案．
1．海面上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 30° 的视角，则 B 与 C 之间的距离是 A．10 3海里 C．5 2海里 10 6 B. 海里 3 D．5 3海里 ( )
解析：由题意可知△ABC 中，AB＝10，∠BAC＝60° ， ∠ABC＝30° . ∴∠ACB＝180° －(60° ＋30° )＝90° . ∴BC＝AB· sin ∠BAC＝10×sin 60° ＝5 3(海里)．
答案：D
2．(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标 C， 若∠CAB＝75° ，∠CBA＝60° ，则 A、C 两点之间的距离是 ________千米．
∴BC＝ 6.∵∠CBD＝90° ＋30° ＝120° ， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD· sin ∠CBD 10tsin 120° 1 si＝30° . 即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船．
1．解三角形应用问题的一般步骤是： (1)审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应 用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等；

第二章用余弦定理正弦定理解三角形【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

平线平行,得α=β.
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,
当堂检测
反思感悟 1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解
决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
sin
B之间的
m,达到点B.
距离.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
南偏西44°50'方向上
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的(
)
答案(1)C (2)等腰直角三角形
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100 m.
如果甲从A出发,以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙
从B出发,以7 m/s 的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思

高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.2角度问题与方案设计问题课件北师大版必修5


α=55°,则β=α=55°. 所以B在A的南偏西55°方向. 答案:D
【做一做2】 在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的点B的 仰角是60°,点C的俯角为70°,则∠BAC= . 解析:如图,设水平线为AD,则 ∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+70°=130°.
答案:130°
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
题型四
解:作出示意图如图所示, 设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x n mile,BC=10x n mile,∠ABC=60°. 由余弦定理, 得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 60°,
解得 x=-2(舍去)或 x= . 故 AC=
21 2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设甲船沿方位角45°+θ方向航行,需t h才能与乙船在B处相遇. ∵在△ABC中,由余弦定理, 得AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB,
即(20 3������)2 = 102 + (20������)2 − 2 × 10 × 20������cos120° , 1 1 2 即 8t -2t-1=0,解得 t= 或t=− (舍去),
2 2
则 |F 合 |=AC=20 7 N. 故小车在力的作用下保持静止.
反思物理学中的力、速度等问题常利用平行四边形法则作出图 形,转化到三角形中,再利用解三角形的知识求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 如图所示,支座A受两个力作用,已知|F1|=40 N,与 水平线成θ角,|F2|=70 N,沿水平方向,两个力的合力|F|=100 N,求角θ 及合力F与水平线的夹角β(精确到1').

高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.1距离问题与高度问题课件北师大版必修5


题型一
题型二
题型三
题型四
反思求中间有障碍物的两点间的距离问题,可直接利用正弦定理 与余弦定理求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 如图所示,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之 间的距离.测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距 离是55 m,∠BAC=51°,∠ACB=75°,求A,B两点间的距离(精确到 0.1 m).
解析:如图所示,若设出发点为 A, 则有 AC2=AB2+BC2- 2AB· BC· cos 30°, 解得 x=2 3或 3.
答案:C
3.仰角、俯角 在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角.当视线在水平线 之上时,称为仰角,当视线在水平线以下时,称之为俯角,如图所示.
【做一做2】 从地面上观察一座建在山顶上的建筑物,测得其视 角为α,同时测得建筑物顶部的仰角为β,则山顶的仰角为( ). A.α+β B.α-β C.β-α D.α 答案:C
即 A,B 两点间的距离约为 65.7 m.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 求两个不可到达的点之间的距离 【例2】 如图所示,已知海岸边A,B两海事监测站相距60 n mile, 为了测量海平面上两艘轮船C,D间的距离,在B,A两处分别测得 ∠CBD=75°,∠ABC=30°,∠DAB=45°,∠CAD=60°(A,B,C,D在 同一个水平面内).
= 2������ ,
其中R是△ABC外接圆的半径. 2.余弦定理及推论 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C .
cos A = cos B = cos C=
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