1.2解三角形应用举例
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高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题学案5
1。
2 应用举例第1课时解三角形的实际应用举例—-距离问题必备知识·自主学习1.基线（1）定义和选取原则.(2）本质:解三角形必须知道三角形的一条边长，这恰是基线的意义所在。
（3)作用：基线的选择决定了测量方案的设计.2。
方位角和方向角（1）方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角.如图（1)目标A的方位角为135°.(2）方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角。
如图(2),北偏东30°，南偏东45°。
方位角与方向角有什么共同点?提示：方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系。
1.辨析记忆（对的打“√”,错的打“×").(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同。
(）（2)东偏北45°的方向就是东北方向。
（) (3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. （)（4)如图所示，为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b，γ进行计算. （)提示:(1）√.（2)√.由方向角的定义可知。
（3）√.可由正弦定理解三角形求解.（4）√。
由余弦定理可求出AB。
2。
某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A。
北偏西35° B.北偏东55°C.南偏西35°D。
南偏西55°【解析】选D。
根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示α=55°，则β=α=55°。
所以B在A的南偏西55°。
3。
（教材二次开发:习题改编）如图所示，已知两座灯塔A和B 与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（)A.a kmB. a kmC. a km D。
2a km【解析】选B。
由题意得∠ACB=120°，AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a。
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
S pp ap bp cp d ,其中p a b c d .
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例—高度问题
分析：如图，求AB长的 关键是先求AE，在
△ACE中，如能求出C点
到建筑物顶部A的距离 CA，再测出由C点观察A
的仰角，就可以计算出
AE的长.
由
例2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 = 5440′，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 = 501′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高 CD (精确到1 m).
分析: 根据已知条件,大家能设计出 解题方案吗？
若在ΔABD中求CD，则关键需
要求出哪条边呢？ 那又如何求BD边呢？
解：在△ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
把测量数据代入上式，得
177.4-27.3≈150(m)
答：山的高度约为150米.
思考:有没有别的解法呢？
先在△ABC中，根据
正弦定理求得求出AC. 再在△ACD中求CD即可.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏 北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山 顶在西偏北25°的方向上,仰角为8° ,求此山的 高CD (精确到1 m).
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高约为1047米.
智者不只发现机会，更要创造机会。 ——培根
解三角形的实际应用举例
—高度问题
现实生活中 , 人们是怎样测量底部不可到达的建
筑物高度பைடு நூலகம்？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞
机下方山顶的海拔高度呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
△ACE中，如能求出C点
到建筑物顶部A的距离 CA，再测出由C点观察A
的仰角，就可以计算出
AE的长.
由
例2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 = 5440′，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 = 501′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高 CD (精确到1 m).
分析: 根据已知条件,大家能设计出 解题方案吗？
若在ΔABD中求CD，则关键需
要求出哪条边呢？ 那又如何求BD边呢？
解：在△ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
把测量数据代入上式，得
177.4-27.3≈150(m)
答：山的高度约为150米.
思考:有没有别的解法呢？
先在△ABC中，根据
正弦定理求得求出AC. 再在△ACD中求CD即可.
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏 北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山 顶在西偏北25°的方向上,仰角为8° ,求此山的 高CD (精确到1 m).
解：在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高约为1047米.
智者不只发现机会，更要创造机会。 ——培根
解三角形的实际应用举例
—高度问题
现实生活中 , 人们是怎样测量底部不可到达的建
筑物高度பைடு நூலகம்？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞
机下方山顶的海拔高度呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
第一章1.2第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题
得20＝BP，∴BP＝20 3. 13
22
栏目
导引
第一章 解三角形
在△BPC 中，BC＝30×80＝40， 60
由已知，∠ PBC＝ 90°， ∴PC＝ BP2＋BC2 ＝ （20 3）2＋402 ＝20 7(海里)． ∴P，C 间的距离为 20 7海里．
栏目 导引
第一章 解三角形
易错警示
实际应用问题中忽视隐含条件致误
2 ＝ 84t2－240t＋400 ＝2 21t2－60t＋100.
栏目 导引
第一章 解三角形
(2)当 t>2 时，如图(2)， 在△APQ 中，AP＝8t，AQ＝10t－20， ∴PQ＝ AQ2＋AP2－2AQ·APcos 60° ＝2 21t2－60t＋100， 综合(1)(2)可知， PQ＝2 21t2－60t＋100(t≥0)， ∴当 t＝30＝10时，PQ 最小．
栏目 导引
第一章 解三角形
解析：在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由sinA1B5°＝sinA4D5°，得
AD＝ABs·ins1in5°45°＝8060－×
2 2 2
4
＝800( 3＋1)(m)．
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800( 3＋1) m.
栏目 导引
第一章 解三角形
[解] 如图，设缉私艇 t 小时后在 D 处追上走私船①，则 BD＝10t n mile，CD＝10 3 t n mile.1 分 ∵∠BAC＝45°＋75°＝120°，2 分 ∴在△ABC 中，由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝ 6.4 分
1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级姓名设计者日期课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时： 3课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课教案_31
海伦和秦九韶教学设计教材分析《海伦和秦九韶》是人教A版2003课标版必修5第一章第二节的阅读与思考，是学生学习了正弦和余弦定理，推导了已知三角形的两边及其夹角求三角形面积之后，对求三角形面积的进一步拓展学习。
海伦公式和秦九韶的“三斜求积”公式弥补了已知三角形三边求三角形面积的空白，并在生产实际中的应用很广泛。
本阅读材料可以作为一个引子可以激起学生进一步了解他们二位的兴趣，从而激发起学习数学的兴趣。
学情分析我校处于西南地区，我们班学生一半以上是留守儿童，由于家庭和学习压力等因素，网上学习机会少，自学能力相对较差。
在学生眼中的数学学习大多就是定义、定理、公式的学习，还有就是练习。
这一节课对于学生来说是新颖的，不只是公式学习，还有人文文化的学习。
高一年级的学生有一定的解三角形的基础与类比学习的能力，但是学生计算能力和计算技巧比较差。
教学目标1.知识与能力：（1）了解“三斜求积”公式，记忆海伦公式，掌握公式推导的方法；（2）能较熟练选择、应用海伦或“三斜求积”公式计算三角形的面积。
（3）数学语言转化能力。
（3）掌握基本量思想。
2.过程与方法：回顾旧知，接着问题引入，引发学生学习的兴趣，整个公式推导用类比的学习手法，学生很容易入手，在推导过程中，培养学生的计算能力以及计算技巧。
3.情感态度与价值观：在公式的推导过程，采用小组讨论的形式进行，既培养学生的运算能力，又培养学生的团体合作精神。
通过海伦和秦九韶的人物介绍，学生可以学习他们身上勇于探索的精神。
激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
教学重难点海伦和“三斜求积”公式的推导突破重难点运用基本量思想，采用类比的学习方法，从一般到特殊的学习方法，计算过程中仔细分析式子结构，运用平方差公式和完全平方公式。
设计理念以学生为主体，知识由浅入深、层层深入，增强学生学好数学的心里体验，产生学习数学的兴趣，体验在学习中获得成功。
_解三角形应用举例课堂使用
图2
③两点都不能到达
二、练习
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 1. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
2.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为a,b,c且 cos C 3a c 2 2 cos B b 3 (1)求sinB的值; (2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
5 3 sin 38 14
0
45
75
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处 追上走私船，则CB 10 x, AB 14 x, AC 9 0 0 0 ACB 75 45 120 由余弦定理得AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A
a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
变式2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速 行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A 点到B点用了t秒，请你设计方案求 B 汽车的速度？
A
C
分析：用例1的方法，可以计算出AC,BC的 距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦 定理可以计算出A、B两点间的距离。
在RT ACE中，AE AC sin
a sin sin sin
AB AE BE
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
③两点都不能到达
二、练习
（2009 湖北卷文）在锐角△ ABC 中，a、b、c 分别为 1. 角 A、B、C 所对的边，且 3a 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小： (Ⅱ)若 c＝ 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a＋b 的值。
2.在△ABC中,设角A ,B,C的对应边分别为a,b,c且 cos C 3a c 2 2 cos B b 3 (1)求sinB的值; (2)若b= 4 2 且a=c,求△ABC的面积 8 2
5 3 sin 38 14
0
45
75
解：设巡逻船沿AB方向经过x小时后在B处 追上走私船，则CB 10 x, AB 14 x, AC 9 0 0 0 ACB 75 45 120 由余弦定理得AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A
a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
变式2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速 行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A 点到B点用了t秒，请你设计方案求 B 汽车的速度？
A
C
分析：用例1的方法，可以计算出AC,BC的 距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦 定理可以计算出A、B两点间的距离。
在RT ACE中，AE AC sin
a sin sin sin
AB AE BE
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有 一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速 度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿 着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要 多少时间才追赶上该走私船？
1.2 应用举例-王后雄学案
张喜林制1.2 应用举例教材知识检索考点知识清单1．解三角形应用问题的基本思路： 实际问题 → →实际问题． 2．解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图；(3)建立数学模型，合理运用 求解，并作答.要点核心解读1．正弦定理、余弦定理的应用问题中的名词、术语(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1-2 -1①所示，角α为仰角，角β为俯角． (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角，如东c45南（或东南方向），是指由正东方向向南偏,45o 如图1-2 -1②中.45o=α(3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图1-2 -1③中的角.α(4)坡角：坡面与水平面的夹角，如图1-2 -1④中的角.α (5)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即==lhi i (tan α为坡比，α为坡角），如图1-2 -1④，正确认识上述有关角的概念有助于正确地理解实际问题，是解斜三角形实际应用问题时不可缺少的知识．2．正弦定理、余弦定理应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的量．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的量．(3)实际问题抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解三角形时，需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解． 3．建模思想解斜三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边、角的大小，从而得出实际问题的解，这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：4．正弦定理、余弦定理应用问题的解题步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求。
人教版必修5教案解三角形应用举例（四）三角形的面积公式及三角恒等式的证明
第一章解三角形§1.2应用举例（第四课时）【创设情景引入新知】杭州一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩.你知道这个整个避暑山庄占地面积是多少吗？怎么计算呢？请同学们开动脑筋，想想办法吧！【探索问题形成概念】前面我们已知知道三角形的面积公式1,2ABCS ah∆=其中a为底面边长，h为底面上的高.三角形的面积公式除上式之外还有其它的表达形式吗？这节课我们首先将给出三角形面积公式的另一种表达形式.1、三角形的面积公式如右图，△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc根据直角三角形中锐角三角函数的定义，容易证明：sin sinsin sinsin sinabch b C c Bh c A a Ch a B b A======将以上三式应用在三角形的面积公式12S ah=中，可以推导出下面的三角形面积公式；AB Ch ahbhc121212sin sin sin S ab C S ac B S bc A===已知三角形的任意两边及夹角便可求出三角形的面积.【例题】在 △ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; （2）已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm. 【思路】（1）中已知两边及夹角，可直接应用公式求解；（2）中已知两角和一角的对边，先根据正弦定理求出另一角的对边，再根据三角形内角和定理求出剩余的一角，便可应用面积公式求解；（3）中已知三角形的三边，可根据余弦定理求出其中任意一角，从而应用面积公式求解.【解答】（1）应用S=21acsinB ，得 S=21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，B b sin = Cc sin ，c = BC b sin sinS = 21bcsinA = 21b 2BA C sin sin sin A = 180︒-(B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒要求三角形的面积需要知道什么条件？思考S = 21⨯3.162⨯︒︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得cosB =ca b a c 2222-+=4.417.3823.274.417.38222⨯⨯-+≈0.7697sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384应用S=21acsinB ，得 S ≈21⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2)【反思】在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，从而求出三角形的面积.【例题】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？【思路】把这一实际问题化归为一道数学题目，本题已知三角形的三边，先根据余弦定理求角，再利用三角形的面积公式求解。
解三角形应用举例 (2)
三个条件?
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 A
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。
分析： AB 长的关键是 求 先求 AE，在 ACE 中， 如能求出 C 点到建筑物 顶部 A 的距离 CA， 再测 出由 C 点观察 A 的仰角， 就可以计算出 AE 的长.
问题 6：欲求出 CD， 大家思考在哪个三 角形中研究比较适 合呢？
新课讲授
3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山 顶 D 在东偏南 15o 的方向上，行驶 5km 后到 达 B 处，测得此山顶在东偏南 25o 的方向上， 仰角为 8o，求此山的高度 CD.
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 A
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。
分析： AB 长的关键是 求 先求 AE，在 ACE 中， 如能求出 C 点到建筑物 顶部 A 的距离 CA， 再测 出由 C 点观察 A 的仰角， 就可以计算出 AE 的长.
问题 6：欲求出 CD， 大家思考在哪个三 角形中研究比较适 合呢？
新课讲授
3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山 顶 D 在东偏南 15o 的方向上，行驶 5km 后到 达 B 处，测得此山顶在东偏南 25o 的方向上， 仰角为 8o，求此山的高度 CD.
§1.2 解斜三角形应用举例(2)
α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值， ∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值，
anα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值． 算出了 tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
【例 1】 某兴趣小组测量电视塔 AE 【变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直 的 变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直
x 解析： 设坡底伸长 x m， 在原图左侧的虚线三角形中， 由 sin15° 100 ＝ ，由此解得 x＝50( 6－ 2)． sin30°
答案：50( 6－ 2)
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：解三角形应用举例 含答案
1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计授课教师：管亚楠天津市第十四中学指导教师：申铁天津市中小学教育教学研究室刘金英天津市中小学教育教学研究室郑建天津市河北区教师进修学校朱宝坤天津市第十四中学2016年10月一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第一章《解三角形》1。
2《应用举例》的第二课时,测量底部不可到达的建筑物高度问题。
在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题,初步了解从实际背景中抽象数学模型,将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法。
本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的,在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力,增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。
本节课的教学重点：1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；2。
通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法;3。
结合用测量工具收集的数据,巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题。
二、教学目标解析：（一）教学目标:1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程,培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；3。
操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4。
通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想,培养学生的数学表达能力；5。
1.2解三角形应用举例(一)
1.2解三角形应用举例（一）班级_______姓名________ 1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角是60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）。
2、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为,α沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为,γ求证：山高sin sin().sin()ahαγβγβ-=-3、勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29°和38°，两个观察点之间的距离是200m，求此山的高度。
4、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250m，速度为1 000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度（精确到1 m）。
5、测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得AC=65.3m ，塔顶B 的仰角a 是25°25′。
已知山坡的倾斜角β是17°38′，求井架的高BC 。
6、在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.01cm 2）：（1）已知 45,33,28===B cm c cm a ；（2）已知cm a C A 36,5.66,8.32=== ；（3）已知三边的长分别为cm c cm b cm a 71,61,54===。
7、证明三角形的面积公式AC B a S sin sin sin 212=8、有一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长分别是50m ，60m ，70m ，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01m 2）。
9、货轮在海上以35n mile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148°的方向航行。
1.2解三角形应用1
b2 + c2 − a2 2 2 2 2．余弦定理： a = b + c − 2bc cos A, ⇔ cos A = 2bc
c2 + a2 − b2 b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B, ⇔ cos B = 2ca
a2 + b2 − c2 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ， ⇔ cos C = 2ab
分析：已知两角一边， 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
如下图， 两点都在河的对岸（ 例2:如下图，A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 如下图 两点都在河的对岸 不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。 设计一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例 的方法 的方法， 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 到对岸两点的距离， 点C到对岸两点的距离，再测出∠a的大小，借助 到对岸两点的距离 再测出∠ 的大小， 于余弦定理可以计算出A 两点间的距离。 于余弦定理可以计算出 、B两点间的距离。 两点间的距离
1.2应用举例（1）
棉湖中学
林松彬
2011.9.5
复习 请回答下列问题： 请回答下列问题：
（1）解三角形的主要理论依据是什么？ 解三角形的主要理论依据是什么？ （2）关于解三角形，应该掌握哪几种类型？ 关于解三角形，应该掌握哪几种类型？
一、复习引入： 复习引入：
a b c 1．正弦定理： sin A = sin B = sin C = 2R
P13 们往往将实际问题转化为 数学模型加以解决，解三角形的模型主要应 用于以下问题，求解高度，距离，长度，夹 角等，将这些条件都转化为三角形的边和角
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(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
b c b sin C (2)根据正弦定理， ,c , sin B sin C sin B 1 1 2 sin C sin A S bc sin A b , 2 2 sin B A 180 ( B C ) 180 (62.7 65.8 ) 51.5 , 1 sin 65.8 sin 51.5 2 2 S 3.16 4 . 0 ( cm ). 2 sin 62.7
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型
推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
想一想
A
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ D G
C H
E B
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
例9 在ABC中，求证： a b sin A sin B （ 1 ） 2 ； 2 c sin C （2）a 2 b 2 c 2 2(bc cos A ca cos B ab cos C ).
2 2 2 2
例10
在锐角ABC中，求证：
sin A sin B sin C cos A cos B cos C
A
a sin AC sin( )
D G
C H
E
B
a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
例4 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( ) 27.3 cos 501' sin 54 40' sin( 54 40' 501' ) 177 (m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC AC sin ACB 55sin ACB AB sin ABC sin ABC 55sin 75 55sin 75 65.7(m) sin(180 51 75 ) sin 54
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向 上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25° 的方向上，仰角8°，求此山的高度CD. 解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=25°15°=10°. 根据正弦定理，
BC AB sin A sin C
（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
（3）根据余弦定理的推论，得 c a b 38.7 41.4 27.3 cos B 0.7679 2ca 2 38.7 41.4 2 2 sin B 1 cos B 1 0.7697 0.6384
2 2 2 2 2 2
1 应用S ca sin B, 得 2 1 S 38.7 41.4 0.6384 511.4(cm2 ). 2
例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区 域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三 条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少 （精确到0.1cm² ）? 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角
形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
抽象概括 示意图
数学模型 推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
2 2
10 A 50 40
BC 28
∴我舰的追击速度为14海里/小时，
B
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
B 38
故我舰航行的方向为北偏东 50 38 12
总 结
实际问题
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行 67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东 32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航 行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行， 需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到 0.01n mile）? 解：在⊿ABC中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝ 137°，根据余弦定理，
c 2 a 2 b 2 127 2 682 882 cos B 0.7532, 2ca 2 127 68 sin B 1 0.7532 2 0.6578. 1 应用S ca sin B, 得 2 1 2 S 127 68 0.6578 2840.38(m ). 2 答：这个区域的面积是 2840.38m 2 .
1.2.1 应用举例
基础知识复习 1、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
2、余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
最大角度
C A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行 113.15n mile.
例7 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积 S(精确到0.1cm² ) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
1 解： (1)应用S ca sin B, 得 2 1 S 23.5 14.8 sin 148.5 90.9(cm2 ) 2
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向 上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25° 的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.
分析：要测出高CD,只 要测出高所在的直角 三角形的另一条直角 边或斜边的长。根据 已知条件，可以计算 出BC的长。
AC AB 2 BC 2 2 AB BC cos ABC 67.52 54.02 2 67.5 54.0 cos137 113.15
根据正弦定理， BC AC sin CAB sin ABC BC sin ABC sin CAB AC 54.0 sin 137 113.15 0.3255,
答：A,B两点间的距离为65.7米。
变式练习 1：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏 东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？
2 a km
练习2.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 20 12 2 12 20 ( ) 2 784