第2章2.1.2第一课时知能优化训练

1．下列有四种说法，其中正确的说法是________． ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列．解析：题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确． 答案：①②④2．(2011年徐州高二检测)已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，则0.96是该数列的第________项．解析：由nn ＋1＝0.96，得n ＝0.96n ＋0.96，即0.04n ＝0.96，解得n ＝24.答案：243．已知数列{a n }满足a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________. 解析：∵a 2009＝a 503×4－3＝1， a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0. 答案：1 04．观察下面数的特点，用适当的数字填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)( )，4,9，( )，25,36，( )，….a n ＝________________________________________________________________________；(2)2,1，( )，12，….a n ＝________________.解析：(1)因为4＝22,9＝32,25＝52,36＝62，故数列中缺少的部分为1,16,49，数列的通项公式为a n ＝n 2；(2)因为2＝21，1＝22，12＝24，故所缺少的部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .答案：(1)1 16 49 n 2 (2)23 2n一、填空题1．下列说法中，正确的有________． ①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列③数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1k④数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }解析：①中，{1,3,5,7}表示集合，所以①不正确；数列中的各项是有次序的，所以②不正确；④中，数列应记为{2n－2}，所以④不正确；很明显③正确．答案：③2．观察数列各项的特点，用适当的数填空．1，2，________，2，5，________，7，…，则它的一个通项公式为________．解析：数列的已知项中含有根号，所以尝试着把各项写成根式的形式：1，2，________，4，5，________，7，…可观察出需填的两项分别是3，6，通项公式为a n＝n.答案：36a n＝n3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于________．解析：从第三项起，每一项都等于前连续两项的和，所以x＝5＋8＝13.答案：134．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n－1)，…，则9是这个数列的第________项．解析：数列可写为3，3×3，3×5，3×7，3×9，…，3(2n－1)，…∴a n＝3(2n－1)，令3(2n－1)＝9，∴n＝14.答案：145．数列{a n}中，已知a n＝(－1)n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________.解析：∵a n＝(－1)n＋a，∴a1＝(－1)1＋a＝a－1，a4＝(－1)4＋a＝a＋1，a2＝(－1)2＋a＝a＋1，∴a－1＋a＋1＝3(a＋1)，∴a＝－3，∴a n＝(－1)n－3，∴a100＝(－1)100－3＝－2.答案：－26．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第____项．答案：107．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析：从(1)～(5)可以发现，第n个图形应有n个分支，每个分支有n个点，它们有一个公共点．(1)中有12－(1－1)个点，(2)中有22－(2－1)个点，(3)中有32－(3－1)个点，(4)中有42－(4－1)个点，(5)中有52－(5－1)个点．故第n个图中有n2－(n－1)个点，即n2－n＋1个点．答案：n2－n＋18．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9解析：由数表知表中各行的第一个数依次为20,21,22,23，…，∴前8行数的个数共有28－1＝255个，故第9行中的第4个数是259. 答案：2599．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析：∵a p ＋a q ＝a p ＋q (p ，q ∈N *)，∴a 36＝a 18＋18＝2a 18＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4a 1＋8a 4＝4a 1＋16a 2＝4a 1＋32a 1＝36a 1＝369＝4.答案：4二、解答题10．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)12，45，910，1617，…； (2)1，12，3，14，…；(3)a ，b ，a ，b ，…； (4)7,77,777,7777，…；(5)0，22－25，32－310，42－417，….解：(1)注意到各项分子全部为平方数，分母为相应的平方数加1，因而有a n ＝n2n 2＋1.(2)注意到各项当n 为奇数时a n ＝n ，当n 为偶数时a n ＝1n (或a n ＝n －1)，因而有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)1n (n 为偶数)(或a n ＝n (－1)n －1)． (3)注意到各项当n 为奇数时a n ＝a ，当n 为偶数时a n ＝b ，因而有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数)b (n 为偶数)⎝⎛⎭⎫或a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1a －b 2.(4)把各项除以7，得1,11,111,1111，…，再乘9得9,99,999,9999….因而有a n ＝79(10n－1)．(5)各项分子为n 2－n ，分母为n 2＋1，因而有a n ＝n 2－n n 2＋1.11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， (1)若a n ＝9900，问a n 是第几项？ (2)56和28是否是这个数列中的项？ 解：(1)令(n ＋1)(n ＋2)＝9900， 解得n ＝98或n ＝－101(舍)． 即9900为数列{a n }中第98项．(2)令(n ＋1)(n ＋2)＝56，解得n ＝6或n ＝－9(舍)． 令(n ＋1)(n ＋2)＝28，无正整数解．∴56是这个数列{a n}中的项，28不是这个数列中的项．12．设函数f(x)＝log2x－log x4(0＜x＜1)，数列{a n}的通项a n满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{a n}有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．解：(1)由已知，得log22a n－log2a n4＝2n，即a n－2a n＝2n，解得a2n－2na n－2＝0，a n＝n±n2＋2.又0＜x＜1，∴0＜2a n＜1，故a n＜0(n∈N*)．∴a n＝n－n2＋2(n∈N*)．(2)∵a n＋1a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋2n－n2＋2＝n＋n2＋2n＋1＋(n＋1)2＋2＜1，又a n＜0，∴a n＋1＞a n(n∈N*)，即a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n＋1＜….∴数列的最小项为第1项a1＝1－ 3.。

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

1．(2010年高考广东卷)若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数2．(2010年高考陕西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．93．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3)4．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．1．使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(13，＋∞) D ．(－13，＋∞) 2．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象可能是( ) 4．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x<1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．1<a <2C ．a >1D ．a ∈R5．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( )A.12B ．2C ．4 D.146．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a ＞0B ．A ＜1C ．0＜a ＜1D ．a ≠17．方程4x ＋1－4＝0的解是x ＝________.8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b ＝________.9．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．10．函数y ＝(12)|x |的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？11．若关于x 的方程a x ＝3m －2(a ＞0且a ≠1)有负根，求实数m 的取值范围．12．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x 的值域．。

1．下列数列：(1)0,0,0,0；(2)0,1,2,3,4；(3)1,3,5,7,9；(4)0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：(1)(2)(3)是等差数列，(4)只能说明前4项成等差数列．答案：32．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于______．解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°.答案：60°3．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为____．解析：a 4－a 2＝2d ＝(－2)－2＝－4，∴d ＝－2.答案：－24．(2011年泰州调研)等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值分别是________．解析：设公差为d ，∴d ＝a ＋3－(a ＋1)＝2，∴a ＋b －b ＝a ＝2，b ＝7.答案：2,7一、填空题1．已知等差数列{a n }的前三项依次为2a －1，a ＋1,2a ＋3，则实数a 的值为________． 解析：∵等差数列{a n }的前三项依次为2a －1，a ＋1,2a ＋3，∴a ＋1－(2a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，∴a ＝0.答案：02．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd .答案：cd3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______． 解析：a ，b 的等差中项为a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝ 3.答案： 34．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝________.解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7. 答案：75．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________.解析：设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，∴a 2－a 1＝d 1，y －x ＝4d 1，∴a 2－a 1＝14(y －x )， 同理b 3－b 2＝15y －x )， ∴a 2－a 1b 3－b 2＝14(y －x )15(y －x )＝54. 答案：546．已知四个数m ，x ，n,2x (x ≠0)成等差数列，则m n＝______. 解析：∵m ，x ，n,2x 成等差数列．∴n ＝32x ，∴m ＝12x ，∴m n ＝13答案：137．设x 是a 与b 的等差中项，且x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 之间的关系是__________________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2x a 2－b 2＝2x 2， 消去x 即可得：a ＝－b 或a ＝3b .答案：a ＝－b 或a ＝3b8．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b a 2＋c 2＝2b 2，消去b ，知(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而2a ＝2b ，∴a ＝b ，即a ＝b ＝c .答案：a ＝b ＝c9．(2011年盐城高二检测)已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有________个．解析：由已知2b ＝a ＋c ，而ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝(2b )2－4ac ＝4(b 2－ac )，＝4[(a ＋c )24－ac ]＝(a －c )2≥0.∴y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案：1或2二、解答题10．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．p，q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？解：设数列{a n}是等差数列，则a n＋1－a n＝p(n＋1)2＋q(n＋1)－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，则有2p＝0，即p＝0，所以p＝0，q∈R时，数列{a n}是等差数列．11．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为多少？解：由log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，得2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)．∴(2x－1)2＝2·(2x＋11)，化简，得(2x)2－4·2x－21＝0.解得2x＝7或2x＝－3(舍去)，故x＝log27.12．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．解：显然a－4＜a＋2，①若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.②若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.③若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.。

函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞 〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数； 〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕， 又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了 问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。

1．考察下述自然界的一些自发变化，可发现它们有一些共同的特点。

下列说法不．正确的是( )A ．都有一定的方向性，按某一物理量标度由高到低自发进行B ．都可以用来做功，自发过程一旦发生后体系做功的本领就会降低C ．有一定的进行限度，自发过程总是单向地趋向于非平衡状态D ．有一定的数据差来判断自发变化能否发生解析：选C 。

自发过程是不借助外力，就能发生的过程。

由图知，都是从高―→低的过程，且都对外界做功，变化过程中产生了一些数据差，可以判断过程是否自发进行，故A 、B 、D 正确。

2．将等物质的量的F 2和ClF 混合，在密闭容器中发生反应：F 2(g)＋ClF(g) ClF 3(g) ΔH <0。

下列叙述正确的是(双选)( )A ．恒温恒容时，当ClF 转化40%时，容器内的压强为初始时的0.8B ．若c (F 2)∶c (ClF)∶c (ClF 3)＝1∶1∶1，则反应一定达到平衡状态C ．达到平衡后，若增大容器体积，则正反应速率减小，逆反应速率增大，平衡左移D ．平衡后再降低温度，保持恒容，达到新的平衡，则混合气体的平均摩尔质量增大 解析：选AD 。

设F 2和ClF 的物质的量均为1 mol ，F 2(g)＋ClF(g) ClF 3(g)开始(mol) 1 1 0反应(mol) 0.4 0.4 0.4平衡(mol) 0.6 0.6 0.4P 末P 初＝n 末n 初＝0.6＋0.6＋0.41＋1＝0.8，A 项正确； 不同条件下的平衡，转化率不同，反应物与产物的比例不同，故B 项错；增大体积，正、逆反应速率都减小，C 项错；降温，平衡向正反应方向移动，D 项对。

3．(2011年潍坊模拟)下列说法正确的是( )A ．放热反应的焓变小于零，熵变大于零B ．放热及熵增加的反应，一定能自发进行C ．放热反应的焓变大于零，熵变小于零D ．放热及熵减小的反应，一定能自发进行解析：选B 。

放热反应的焓变一定小于零，但熵变不一定大于零，也不一定小于零，A 、C 错误；由ΔG ＝ΔH －T ΔS 可推知，当ΔH <0、ΔS >0时，反应一定能自发进行，B 正确，D 错误。

1．演绎推理是( )A ．由部分到整体，由个别到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到特殊的推理D ．一般到一般的推理解析：选C.由演绎推理的定义可知． 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误解析：选A.对于对数函数y ＝log a x ，当a ＞1时为增函数，而当0＜a ＜1时为减函数，所以大前提错误．3．三段论“①船只有准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的小前提是________．解析：由三段论的结论可知小前提应为步骤②.答案：②4．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是__________．解析：由大前提知，log 2x －2≥0，解得x ≥4.答案：y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)5．设f (x )定义如下数表，{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数n 均有x n ＋1＝f (x n )，求：x 2011的值.解：由数表可知x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5，x 5＝f (x 4)＝f (5)＝2，…∴{x n }的周期为4.∴x 2011＝x 3＝4.一、选择题1．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6解析：选A.由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝3－6＝－3，a 5＝－3－3＝－6，a6＝－6－(－3)＝－3，a7＝－3－(－6)＝3，a8＝3－(－3)＝6.显然数列具有周期性，周期为6，所以a33＝a3＝3.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误解析：选D.应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为()解析：选A.三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理()A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误，因为大前提错误解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5．已知p＝a＋1a－2(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，则()A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q解析：选A.p＝(a－2)＋1a－2＋2≥21a－2(a－2)＋2＝4.q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2＜4.∴p≥4＞q，即p＞q.6．用长度分别为2,3,4,5,6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连结，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为()A．8 5 cm2B．610 cm2C．355 cm2D．20 cm2解析：选B.周长一定的三角形越接近正三角形的面积越大．由题意知本题中可构成的三角形中最接近正三角形的是以7,7,6为边长和以8,6,6为边长的三角形，前者面积为610 cm2，后者面积为8 5 cm2，较大的为前者．故选B.二、填空题7．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N*，则a2009＝__________；a2014＝__________.解析：依题意：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.答案：1 08．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，如果x 1＝1，x 2＝a (a ≠0，a ∈R )，当数列{x n }的周期T (T >0)最小时，该数列的前2008项的和为__________．解析：由于是求当数列{x n }的周期最小时，其前2008项之和，故可令T ＝1,2,3，…，寻求最小的T 满足题意即可．①当T ＝1时，则a ＝1，故由x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )可得数列为1,1,0,1,1,0，与周期为1矛盾；②当T ＝2时，由递推式可得数列为1，a ，|a －1|，…，故|a －1|＝1，∵a ∈R 且a ≠0，∴a ＝2，因此数列为1,2,1,1,0,1,1,0，…，与周期为2矛盾；③当T ＝3时，同理可得数列为1，a ，|a －1|，||a －1|－a |，…，故||a －1|－a |＝1，即(|a －1|－a )2＝1，化简得|a －1|＝a －1，∴a ≥1，因此数列可化为1，a ，a －1,1，|2－a |，…，再由a ＝|2－a |解得a ＝1，故原数列可化为1,1,0,1,1,0，…，满足题意．综上可知该数列的最小周期T ＝3.故S 2008＝(1＋1＋0)×20073＋1＝1339. 答案：13399．如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，②于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)解析：由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．答案：③三、解答题10．下面推理错在何处？如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．解：推理规则不对，小前提与大前提不对应，大前提作出的判断是“不买彩票就不能中奖”，小前提应对应为“你没买彩票”，结论“你不可能中奖”．11．当a >0，b >0，a ＋b ＝1时，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明：因为1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14. 所以12(a ＋b )＋ab ＋14≤1， 所以 (a ＋12)(b ＋12)≤1. 从而有2＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， 即(a ＋12)＋(b ＋12)＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， 所以( a ＋12＋ b ＋12)2≤4.所以 a ＋12＋ b ＋12≤2. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 12．写出三角形内角和定理的证明，指出每一步推理的大前提和小前提． 已知△ABC 中，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°.证明：延长BC 得∠ACB 的外角∠ACD ，过点C 在∠ACD 内作CE ∥AB (如图)．所以∠1＝∠B ，∠2＝∠A .又因为∠1＋∠2＋∠ACB ＝180°，所以∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°.第一步的大前提是：若两直线平行，则同位角、内错角相等， 小前提是：CE ∥AB .第二步的大前提是：平角是180°，小前提是：∠1＋∠2＋∠ACB ＝180°.。