南京市高三综合复习数学试题( 解析版 )

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）部编版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为，M 为C 上一点，若的中点为，且的周长为，则C 的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知集合，若，则可以是（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知点是圆上的动点，以为圆心的圆经过点，且与圆相交于两点.则点到直线的距离为（ ）A．B ．C ．D ．不是定值第(5)题在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出以下4个命题：（1）若，则；（2）若，则一定为直角三角形；（3）若，，，则外接圆半径为；（4）若，则一定是等边三角形.则其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第(6)题《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一､六在后，二､七在前，三､八在左，四､九在右，五､十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a ，b ，则满足的概率为（ ）A．B ．C ．D ．第(7)题平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．曲线的一支第(8)题已知某几何体的三视图如下所示，现有如下说法：①该几何体的最长棱长为；②该几何体的体积为2；③该几何体的表面积为，则其中所有正确说法的序号是（）A．③B．①②C．①③D．①②③二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，，且，则（）A．B．C．D．第(2)题等差数列与的前项和分别是与，且，则（）A．B．C．的最大值是17D．最小值是7第(3)题已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数且中所有项的系数和为则_____________.第(2)题设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范围为________．第(3)题若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数(1)若时，求证：在上有唯一极值点.(2)若，不等式恒成立，求的取值集合.第(2)题李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60名成年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为.经常喝酒不经常喝酒患糖尿病4没患糖尿病6(1)写出本研究的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝酒习惯有关联？(2)从该地任选一人，表示事件“选到的人经常喝酒”，表示事件“选到的人患糖尿病”，把与的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为.（ⅰ）利用该调查数据求的值；（ⅱ）证明：.参考公式及数表：，0.150.10.050.010.0050.0012.072 2.7063.841 6.6357.87910.828第(3)题某服装公司经过多年的发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店.该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到各个门店销售.该公司为了了解2022年春季新款服装在某个片区的销售情况，市场部随机调查了该片区6个销售门店当年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号123456年销售额283330404522(1)请用平均数，中位数分别估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额；(2)从以上6个门店中随机抽取2个，求恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元的概率.第(4)题已知是等比数列，.数列满足，且是等差数列.（1）求数列和的通项公式：（2）求数列的前项和.第(5)题点在双曲线上，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.。

D24 【提示】△S DFC ＝ △S ABC ＝ ×( ×22)＝ ，E 到面 DFC 的距离 h 等于 AD ＝ ． V E －DFC ＝ ×△S DFC ×h ＝ 3 24 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx ＋ )－cos ωx (ω＞0)．若函数 f(x)的图象关于直线 x ＝2π 对称，且在区间[－ ， ]上是单调 【答案】{ ， ， }．【提示】f(x)＝sin(ωx － )，因为 f(x)的图象关于直线 x ＝2π 对称，所以 f (2π)＝±1，则 2πω－ ＝k π＋ ，所以 ω＝ ＋ ，k ∈Z ．因为函数 f(x)在区间[－ ， ]上是单调函数，所以周期 T ≥2[ ―(― )]，当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x － )，x ∈[－ ， ]时， x － ∈[－ ，－ ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上为增函数；当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x － )，x ∈[－ ， ]时， x － ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上为增函数；当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x － )，x ∈[－ ， ]时， x － ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上为增函数；当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x － )，x ∈[－ ， ]时， x － ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上不是单调综上：ω∈{ ， ， }．高三数学综合题一、填空题△1．如图正 ABC 的边长为 2，CD 是 AB 边上的高，E ，F 分别为边 AC 与 BC 的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折，使平面 ADC ⊥平面 DCB ，则棱锥 E － D FC 的体积为 ．AAEEDCC3【答案】 ．BFBF1 1 3 3 1 1 4 4 4 42 21 3 ．【说明】平面图象的翻折，多面体的体积计算．π π π6 4 4函数，则 ω 的取值集合为 ．1 5 43 6 3π6π π k 16 2 2 3π π π π4 4 4 42π 1 5 4 11即 ω ≥π，解得 0＜ω≤2，所以 ω＝3或 ω＝6或 ω＝3或 ω＝ 6 ．1 1 π π π 1 π π π π π3 3 64 4 3 6 4 12 4 45 5 π π π 5 π 3π π6 6 6 4 4 6 6 8 24 π π4 44 4 π π π 4 π π π3 3 64 4 3 6 2 6 π π4 411 11 π π π 11 π 5π 7π π π6 6 6 4 4 6 6 8 24 4 4函数；1 5 43 6 3【说明】考查两角和差公式及三角函数的图象与性质．2tanA ＋1 2tanA ＋1▲ 2 2(2tanA ＋1) 2 2(2tanA ＋1)2 2(2tanA ＋1) 4．在平面直角坐标系 xOy 中，M 为圆 C ：(x －a)2＋(y －1)2＝ 上任意一点，N 为直线 l ：ax ＋y ＋3＝0 上任意一点，所以 MC ≤|MN － |，即|MN － |≥ ，解得 MN ≥ ，a 2＋1 3 a 2＋1 3 3a 2＋4 【说明】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，求解时先要能根据两圆的位置关系，确定MN ≥ ，由于 M ，N 两点均是任意的，于是只要保证 MN 的最小值不小于 即可．因为 OP ⊥PM ，所以 OP · PM ＝0，可得 x 02＋y 02－3x 0－ty 0＝0 ①△3．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a 不是最大边，已知 a 2－b 2＝2bcsinA ，则 tanA －9tanB 的最小值为________．【答案】－2．【提示】由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bccosA 及 a 2－b 2＝2bcsinA ，得 c 2－2bccosA ＝2bcsinA ，即 c －2b cosA ＝2b sinA ，再由正弦定理，得 sinC －2sinBcosA ＝2sinBsinA ，即 sin(A ＋B)－2sinBcosA ＝2sinBsinA ，即 sinAcosB －cosAsinB ＝2sinAsinB ，所以 tanA －tanB ＝2tanAtanB ．tanA 9tanA所以 tanB ＝ ，所以 tanA －9tanB ＝tanA －1 9＝ (2tanA ＋1)＋ －5≥21 9(2tanA ＋1)× －5＝－2．1 9（当且仅当 (2tanA ＋1)＝ ，即 tanA ＝1 时取“＝”）．【说明】本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换及基本不等式．169若以 M 为圆心，MN 为半径的圆与圆 C 至多有一个公共点，则正数 a 的最小值为_________________．【答案】2 2【提示】因为圆 M 与圆 C 至多有一个公共点，4 4 4 83 3 3 3又 MN 的最小值为 a 2＋4 4 48－，所以有 － ≥ ，解得 a ≥2 2，所以正数 a 的最小值为 2 2．838 35．在平面直角坐标系 xOy 中，M 为直线 x ＝3 上一动点，以 M 为圆心的圆记为圆 M ，若圆 M 截 x 轴所得的弦长恒为 4．过点 O 作圆 M 的一条切线，切点为 P ，则点 P 到直线 2x ＋y －10＝0 距离的最大值为_______________．【答案】3 5【提示】设 M (3，t)，P(x 0，y 0)，→→又圆 M 截 x 轴所得的弦长为 4，所以 4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t)2，整理得 x 02＋y 02－6x 0－2ty 0＋5＝0 ②由①②得 x 02＋y 02＝5，即点 P 在圆 x 2＋y 2＝5 上，5 2【答案】( 6，1)．【提示】设 AB 中点 P ，由中点弦问题可知 k AB •k OP ＝－m ，k AB ＝－1，k OP ＝m ，联立直线 l 与直线 OP 可得 P( ，m －1 m －1 m －1 得 m ∈(0， )．离心率 e ＝ 1－m ∈( ，1)．－S*8．已知函数 f(x)＝(x －2)3，数列{a }是公差不为 0 的等差数列，若∑f(a )＝0，则数列{a }的前 11 项和 Sf( f( f(a 1)＋f(a 11)＞0，则∑f(a )＞0；同理，若 a ＜2，则∑f(a )＜0，所以 a ＝2．所以 S4【说明】本题应该是通过①，②联立方程组，把 P 的坐标用 t 表示出来，从而可以建立 P 到直线 2x ＋y －10＝0 距离关于 t 的函数，再求函数的最大值即可．但是实际操作时，要注意观察，把①，②联立方程组后很容易 消去 t ，得到 x 0，y 0 之间的关系，也即得到点 P 所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数，再从数到形之间的转换．6．数列{a n }中，a n ＝2n －1，现将{a n }中的项依原顺序按第 k 组有 2k 项的要求进行分组：（1，3），（5，7，9，11），（13，15，17，19，21，23），…，则第 n 组中各数的和为．【答案】4n 3【提示】设数列{a n }前 n 项和为 S n ，则 S n ＝n 2，因为 2＋4＋…＋2n ＝n ( n ＋1)＝n 2＋n ，2＋4＋…＋2( n －1)＝n ( n －1)＝n 2－n ．所以第 n 组中各数的和＝S n 22－n＝( n 2＋n )2－(n 2－n )2＝4n 3．【说明】考查等差数列前 n 项和．7．已知椭圆 C ：mx 2＋y 2＝1 (0＜m ＜1)，直线 l ：y ＝x ＋1，若椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 ．31 m －1m 1 m)，由点 P 在椭圆内 m ( )2＋()2＜1，1 63 3【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系．n i n1111为 ．i =1【答案】22【提示】f(x)＝(x －2)3 为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则 f(2＋x)＋f(2－x)＝0．设数列{a n }公差为 d ，若 a 6＞2，则 f(a 6)＞0， a 5)＋f(a 7)＝f(a 6－d )＋f(a 6＋d )＞f(2－d )＋f(2＋d )＝0，即 f(a 5)＋f(a 7)＞0，同理， a4)＋f(a 8)＞0，…，11 11i6i611＝11a 6＝22．i =1 i =1【说明】考查函数的性质及等差数列的运算．*9．在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点（不包括端→ → → 1 3点），若 AC ＝λAM ＋μ AN ，则λ＋μ的最小值为．27【答案】：【提示】：以 AB 为 x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系，D M C1设 B(2，0)，C(1，t)，M (2，t)，N (x 0，y 0)，Nt因为 N 在线段 BC 上，所以 y 0＝1－2(x 0－2)，即 y 0＝t(2－x 0)，AB⎩1－|x －2|，1＜x ≤3． 【答案】( ，8－2 15)⊂因为 f (a －2)＞f (0)＝a －2，故此时有[f (a －2)，＋∞) ⊂ [a －2，＋∞)，即 NM，不合题意． *12．已知函数 f(x)＝－xlnx ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数 g (x)＝|e －a |＋ ，当 x ∈[0，ln3]时，函数 g (x)的最大x 2 因为 AC ＝λAM ＋μ AN ，所以 1＝λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，2 值 M 与最小值 m 的差为 ，则 a 的值为．→ → → 1t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt(2－x 0)，因为 t ≠0，1所以 1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－(1－2λ)所以 3λ＋4μ＝4，这里 λ，μ 均为正数，1 3 1 3 4μ 9λ所以 4(λ＋μ)＝(3λ＋4μ)(λ＋μ)＝3＋12＋ λ ＋ μ ≥15＋2 36＝27，1 3 27 4μ 9λ 4 2所以λ＋μ≥ 4 ，(当且仅当 λ ＝ μ ，即 λ＝9，μ＝3时取等号)1 3 27所以λ＋μ的最小值为 4 ．【说明】本题考查平面向量的线性运算，基底法与坐标法，基本不等式求最值．⎧1－x 2， －1＜x ≤1，10．已知函数 f(x)是以 4 为周期的函数，且当－1＜x ≤3 时，f(x)＝⎨ 若函数 y ＝f(x)－m |x|恰有10 个不同零点，则实数 m 的取值范围为 ．16【提示】作出函数 f(x)与 y ＝m |x|的图象．【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置关系．*11．已知 a ＞0，函数 f (x)＝(a ＋1)x 2－x ＋sinx ＋a －2，x ∈R ．记函数 f(x)的值域为 M ，函数 f (f (x))的值域为 N ，若M ⊆N ，则 a 的最大值是_________．【答案】2【提示】f ′(x)＝2(a ＋1)x －1＋cosx ，[f ′(x)]′＝2(a ＋1)－sinx ＞0 恒成立，于是 f ′(x)单调递增，又 f ′(0)＝0，所以当 x ＜0 时，f ′(x)＜0；当 x ＞0 时，f ′(x)＞0；即 f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以 f (x)的最小值为 f (0)＝a －2，于是 f (x)值域为[a －2，＋∞)．若 a －2≤0，则 f (f (x))的值域为[f (0)，＋∞)，即[a －2，＋∞)，此时 M ⊆N 成立； 若 a －2＞0，则 f (f (x))的值域为[f (a －2)，＋∞)，≠≠因此 0＜a ≤2，所以 a 的最大值是 2．【说明】这里需要注意的是遇到 f (f (x))的问题，要能分级处理，即先研究内层函数 f (x)，再把内层函数 f (x)看作一个整体，然后研究 f (f (x))，另外本题还要注意简单的分类讨论．a 22325【答案】【提示】由 f '(x)＝－(lnx ＋1)＋a ≥0 在(0，e)上恒成立，即 a ≥lnx ＋1，得 a ≥2．当 2≤a ＜3，g (x)＝⎧a －e ＋a ，0≤x ＜lna ，2 ⎨ ⎩ e －a ＋ 2，lna ≤x ≤ln3，－g (lna)＝a －1＝ ，解得 a ＝ ；当 a ≥3，g (x)＝a －e x ＋ ，g (x)在[0，ln3]上递减，所以 M －m ＝g (0)－g (ln3)＝2≠ ，舍去．因此，共有 7 个基本事件，故 P(A)＝ ．10 （2）若 B －C ＝ ，求 sinB 的值．BB B xx 2 a 2g (x)在[0，lna]上递减，[lna ，ln3]上递增，且 g (0)≥g (ln3)，所以 M －m ＝g (0)3 5 a2 2 2 232【说明】考查用导数研究函数的性质，分段函数的最值．对 a 进行分类讨论，研究 g (x)的单调性与最值． 二、解答题1．某银行柜台有从左到右编号依次为 1，2，3，4，5，6 的六个服务窗口，其中 1，2，3，4，5 号服务窗口办理 A类业务，6 号服务窗口办理 B 类业务．（1）每天 12：00 至 14：00，由于需要办理 A 类业务的顾客较少，现从 1，2，3，4，5 号服务窗口中随机选择 2 个窗口暂停服务，求“1 号窗口或 2 号窗口暂停服务”的概率；（2）经统计，在 6 号窗口办理 B 类业务的等候人数及相应概率如下：排队人数概 率0.110.1620.330.340.14 人及 4 人以上0.04求至少 2 人排队等侯的概率． 解：（1）由题意，有如下基本事件（ (i ，j)表示第 i ，j 号窗口暂停服务）：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)， (2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)， 因此，共有 10 个基本事件．记事件 A “1 号窗口或 2 号窗口暂停服务”，事件 A 包括： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，3)，(2，4)，(2，5)，7107答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为 ．（2）记事件“6 号窗口办理 B 类业务的等候人数为 k ”记为 B k ，（k ∈N ）， 则事件 B k 两两互斥．记事件“至少 2 人排队等侯”为 B ，则事件－“排队等侯人数为 0 或 1”，所以 P(－)＝P(B 0)＋P(B 1) ＝0.1＋0.16＝0.26，所以 P(B)＝1－P(－)＝1－0.26＝0.74．答：至少 2 人排队等侯的概率为 0.74．【说明】考查古典概型及互斥事件发生的概率．→ → 2△2． ABC 中，AB ·AC ＝7△S ABC （S △ABC 表示△ABC 的面积）（1）若 BC ＝△2，求 ABC 外接圆的半径；π4→ → 1解：（1）AB ·AC ＝AB ·AC ·cosA ，△S ABC ＝2AB ·AC ·sinA ，即：cosA ＝ sinA ，又因为 cos 2A ＋sin 2A ＝1，A ∈(0，π)解得：sinA ＝ ，cosA ＝ ．设△ABC 外接圆的半径为 R ，则 2R ＝ BC sinA 7 2 7 所以 R ＝ ，即△2ABC 外接圆的半径为 ．所以 sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sinA ＝ ，cos(B ＋C)＝cos(π－A)＝－cosA ＝－ ，则 cos2B ＝cos[(B ＋C)＋(B －C)]＝cos[(B ＋C)＋ ]＝cos(B ＋C)cos －sin(B ＋C)sin＝－ 2 2 7 2 10 2 10 2 51－cos2B 5 9又 cos2B ＝1－2sin 2B ，所以 sin 2B ＝ ＝ ＝ ，又因为 B ∈(0，π)，所以 sinB ＞0，所以 sinB ＝ ．解：（1）在△OAB 中，因为 OA ＝3，OB ＝3 3，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．所以 OM ＝ 7，所以 cos ∠A O M ＝ ＝ ，在△O AN 中，sin ∠O N A ＝sin(∠A ＋∠A ON )＝ sin(∠A O M ＋90°)＝cos ∠A OM ＝ ．sin30° sin ∠ON A 2 7 2 4 2OA ·OM 2 x 2－3x ＋9→ → 2 2 1因为AB ·AC ＝7△S ABC ，所以 AB ·AC ·cosA ＝7×2AB ·AC ·sinA ，177 2 210 102 102＝ ＝ ，1055 2 7 7（2）因为 A ＋B ＋C ＝π，7 2 210 10π4π π4 42 4× － × ＝－ ．41＋2 2 103 1010【说明】考查平面向量数量积、三角形面积公式、同角三角函数关系、正弦定理、两角和差公式及二倍角公式等．3．如图所示，某公路 AB 一侧有一块空地△OAB ，其中 OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中 M ，N 都在边 AB 上（M ，N 不与 A ，B 重合，M 在 A ，N 之间），且∠MON ＝30°． （1）若 M 在距离 A 点 2 km 处，求点 M ，N 之间的距离；（△2）为节省投入资金，人工湖 OMN 的面积要尽可能小．试确定 M 的O位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．A M N B在△O AM 中，由余弦定理得 OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cosA ＝7，OA 2＋OM 2－AM 2 2 72OA ·OM72 77MN OM 7 1 7在△OMN 中，由 ＝ ，得 MN ＝ × ＝ ．7（2）解法 1：设 AM ＝x ，0＜x ＜3．在△O AM 中，由余弦定理得 OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cosA ＝x 2－3x ＋9，OA 2＋OM 2－AM 2 6－x所以 OM ＝ x 2－3x ＋9，所以 cos ∠A O M ＝ ＝ ，在△O AN 中，sin ∠O N A ＝sin(∠A ＋∠A ON )＝ sin(∠A O M ＋90°)6－x＝cos ∠A O M ＝ ．2 x 2－3x ＋9sin ∠OAB sin ∠ON A2 6－x所以 △S OMN ＝ OM ·ON ·sin ∠MON ＝ · x 2－3x ＋9·· ＝ ，0＜x ＜3．令 6－x ＝t ，则 x ＝6－t ，3＜t ＜6，则 △S OMN ＝ ＝ (t －9＋ )≥ 3 3 ·(2 t · －9)＝．，即 t ＝3 3，x ＝6－3 3时等号成立，△S OMN 的最小值为 4解法 2：设∠A OM ＝θ，0＜θ＜sin ∠OAB sin ∠O MA π 2sin(θ＋ )sin ∠OAB sin ∠ON A π 2cos θ 2sin(θ＋ )所以 △S OMN ＝ OM ·ON ·sin ∠MON ＝ · · · 2sin(θ＋ )π 8sin θcos θ＋8 3cos 2θ 4sin2θ＋4 3cos2θ＋4 3 16sin(θ＋ )cos θ ＝ ，0＜θ＜ ． 8sin(2θ＋ )＋4 3 所以应设计∠A OM ＝ ，可使△12OMN的面积最小，最小面积是 km 2．＝ ，即 θ＝ 4 x ＋1：ON OA由 ＝ ，得 ON ＝3 6－x3 3 3 x 2－3x ＋9 · ＝ ．2 x 2－3x ＋91 1 3 3 x 2－3x ＋9 12 2 6－x23 3(x 2－3x ＋9)4(6－x)3 3(t 2－9t ＋27) 3 3 27 4t4 t427 27(2－ 3)t 427 27(2－ 3)当且仅当 t ＝ t ．所以 M 的位置为距离 A 点 6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－ 3)4km 2．π3OM OA 3 3在△O AM 中，由 ＝ ，得 OM ＝ ．3ON OA 3 3 3 3在△O AN 中，由 ＝ ，得 ON ＝ ＝ ．21 1 3 3 3 3 12 2 π 2cos θ 23＝＝272727π π π27(2－ 3) 当 2θ＋3 2 12时，S △OMN 的最小值为 ．π27(2－ 3)4【说明】考查以解三角形为背景的数学建模应用，灵活选择自变量建立目标函数求解最值．4．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售 Q （万件）与广告费4x ＋1x （万元）之间的函数关系为 Q ＝ （x ≥0）．已知生产此产品的年固定投入为 4.5万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 32 万元，且能全部销售完．若每件销售价定为“平均每件生产成本的 150%” 与“年平均每件所占广告费的 25%”之和．解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q＋4.5）万元，7每件销售价为 ×150%＋ ×25%．∴年销售收入为( ×150%＋ ×25%)·Q ＝(32Q ＋ )＋ x ． ∴年利润 W ＝ (32Q ＋ )＋ x －(32Q ＋ )－x ＝ (32Q ＋ )－ x ＝16Q ＋ － x＝16· ＋ － x ，(x ≥0) ．（2）令 x ＋1＝t （t ≥1），则 W ＝16· ＋ － (t －1)＝64－ ＋3－ t ＝67－3( ＋ )．∵t ≥1，∴ ＋ ≥2当且仅当 ＝ ，即 t ＝8 时，W 有最大值 55，此时 x ＝7．解：（1）由焦点 F(－1，0)知 c ＝1，又 －c ＝3，所以 a 2＝4，从而 b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆 M 的方程为 ＋ ＝1．⎪⎩ 4 ＋ ＝1， 所以 x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ ．＝2|k||(x 1＋x 2)＋2|＝2|k|| ＋2|＝2|k||3＋4k 2|＝ ．a |k|· 当且仅当 ＝4|k|，即 k ＝± 时取等号．（2）是否存在与点 A 不同的定点 B ，使得对任意过点 A 的动直线 l 都满足 ＝ ？若存在，求出定点 B 的坐32Q ＋4.5 xQ Q32Q ＋4.5 x 3 9 1Q Q 2 2 43 9 1 9 1 9 3 9 32 2 4 2 2 2 4 4 44x ＋1 9 3x ＋1 4 44t －3 9 3 48 3 16 t t 4 4 t 4 t 416 tt 416 t t ·4＝4，即 W ≤55，16 tt 4即当年广告费为 7 万元时，企业利润最大，最大值为 55 万元． 【说明】函数应用题，基本不等式求最值．x 2 y 25．已知椭圆 M ： 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别为 A ，B ，一个焦点为 F(－1，0)，点 F 到相应准线的距离为 3．经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C ，D 两点．（1）求椭圆 M 的方程； （△2）记 ABD 与△ABC 的面积分别为 S 1 和 S 2，求|S 1－S 2|的最大值．a 2 cx 2 y 24 3（2）若直线 l 的斜率不存在，l 的方程为 x ＝－1，此时 S 1＝S 2，|S 1－S 2|＝0；若直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y ＝k(x ＋1)，k ≠0，C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)．⎧⎪y ＝k(x ＋1)，联立⎨x 2 y 2 消去 y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，3－8k 2 4k 2－12 3＋4k 2 3＋4k 21此时|S 1－S 2|＝2×AB ×||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2|＝2|k(x 1＋1)＋k(x 2＋1)|－8k 2 6 12|k| 3＋4k 2因为 k ≠0，所以|S 1－S 2|＝ 3|k|12＋4|k|≤2 12 12＝ ＝ 3，3 4 3 4|k|3 3|k| 2所以|S 1－S 2|的最大值为 3．【说明】考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，最值问题等．突出基本量运算、用基本不等式求最值等方法．x 2 y 26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)内一点 A(0，1)的动直线 l 与椭圆相交于 M ，N两点，当 l 平行于 x 轴和垂直于 x 轴时，l 被椭圆 C 所截得的线段长均为 2 2．（1）求椭圆 C 的方程；AM BMAN BNy所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1．(1＋k 2)x 12－2kx 1＋1AM BM |x |（1）判断函数 y ＝f (x)在(0， )内零点的个数，并说明理由；解：（1）函数 y ＝f (x)在(0, )上的零点的个数为 1，（2）设存在与点 A 不同的定点 B 满足 ＝．AN BN |t ＋ 2|| 2＋1| 下面证明对任意斜率存在且不为 0 的动直线 l 都满足AM BM ＝ ．2联立⎨x y 2 消去 y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0， ⎪⎩ 4 2所以 x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ ．1＋k 2|x 1| |x 1| BMx 12＋(y 1－2)2 AN 1＋k 2|x 2| |x 2| BN x 22＋(y 2－2)2x 12＋(kx 1－1)2(1＋k 2)x 12－2kx 1＋1AN BN |x 2| (1＋k 2)x 22－2kx 2＋1 因为 2kx 1x 2－(x 1＋x 2)＝2k × －2 －＝0，所以 ＝ ． 所以存在与点 A 不同的定点 B(0，2)，使得对任意过点 A 的动直线 l 都满足 ＝．标；若不存在，请说明理由．解：（1）当 l 垂直于 x 轴时，2b ＝2 2，从而 b ＝ 2．2 1当 l 平行于 x 轴时，点( 2，1)在椭圆 C 上，所以a 2＋2＝1，解得 a ＝2．x 2 y 24 2AM BMAN BN当 l 平行于 x 轴时，AM ＝AN ，所以 BM ＝BN ，从而点 B 在 y 轴上，设 B(0，t)； 当 l 垂直于 x 轴时，不妨设 M (0， 2)，N (0，－ 2)．AM BM |t － 2| | 2－1| 由 ＝ 可得 ＝ ，解得 t ＝1（舍去）或 t ＝2，即 B(0，2)．AN BN设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．⎧⎪y ＝kx ＋1，＋ ＝1，－4k －2 1＋2k 2 1＋2k 2AM 因为 ＝ ＝ ， ＝＝ ＝，x 22＋(kx 2－1)2(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1要证 ＝ ，只要证 1 ＝ ，只要证 x 12[(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1)]＝x 22[(1＋k 2)x 12－2kx 1＋1)]，即证 2kx 12x 2－2kx 22x 1＋x 22－x 12＝0，即证(x 1－x 2)[2kx 1x 2－(x 1＋x 2)]＝0．－4k AM BM1＋2k 2 1＋2k 2AN BNAM BMAN BN【说明】考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定点的探求等．突出基本量运算、代数式恒等变形、由特殊到一般等方法．7. 已知函数 f (x)＝e x sinx －cosx ，g (x)＝xcosx － 2e x ，其中 e 是自然对数的底数.π2π π（2）任意 x 1∈[0，2]，存在 x 2∈[0，2]，使得不等式 f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，试求实数 m 的取值范围；（3）若 x ＞－1，求证：f (x)－g (x)＞0.π2理由如下：因为 x ∈(0， )，所以 f ′(x)＞0.所以函数 f (x)在(0， )上是单调递增函数.因为 f (0)＝－1＜0，f ( )＝e 2＞0， 函数 y ＝f (x)在(0， )上的零点的个数为 1.当 x ∈[0， ]时，f ′(x)＝e x sinx ＋e x cosx ＋sinx ＞0，故 f(x)在区间[0， ]上单调递增，所以 g ′(x)＜0，故 g (x)在区间[0， ]上单调递减.又因为 cosx －sinx ＝ 2sin( －x)≤ 2，当 x ＝2k π－ 时，k ∈Z 时取“＝”.x ＋1 sinx ＋ 2x+1 sinx ＋ 2令 h (x)＝ ，则 h ′(x)＝， 即 ≥1，当 x ＝0 时，取“＝”.所以 cosx －sinx ≤ 2，即≤1，当 x ＝2k π－ 时，k ∈Z 时取“＝”. x+1 sinx ＋ 2因为 f (x)＝e x sinx －cosx ，所以 f ′(x)＝e x sinx ＋e x cosx ＋sinx .π2π2π π 2根据函数零点存在性定理得π2（2）因为不等式 f (x 1)＋g (x 2)≥m 等价于 f (x 1)≥m －g (x 2)，π π所以任意 x 1∈[0，2]，存在 x 2∈[0，2]，使得不等式 f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，等价于f (x)min ≥(m －g (x))min ，即 f (x)min ≥m －g (x)max .π π2 2所以 x ＝0 时，f (x)取得最小值－1，又 g ′(x)=cosx －xsinx － 2e x ，由于 0≤cosx ≤1，xsinx ≥0， 2e x ≥ 2，π2因此，x ＝0 时，g (x)取得最大值－ 2.所以 m ≤－ 2－1.（3）当 x ＞－1 时，要证 f (x)－g (x)＞0，只要证 f (x)＞g (x)，只要证 e x sinx －cosx ＞xcosx － 2e x ，只要证 e x sinx ＋ 2e x ＞cosx ＋xcosx ，e x cosx由于 sinx ＋ 2＞0，1＋x ＞0 只要证 ＞ .e x cosx下面证明 x ＞－1 时，不等式 ＞ 成立.e x xe xx ＋1 (x ＋1)2当 x ∈(－1,0)时，h ′(x)＜0，h (x)是单调递减；当 x ∈(0，＋∞)时，h ′(x)＞0，h (x)是单调递增.所以当且仅当 x ＝0 时，h (x)取得极小值也就是最小值为 1，e xx ＋1π π4 4cosx πsinx ＋ 2 4 e x cosx所以 ＞ .②当 x ∈[ ，e]时，求函数 g (x)的最小值．2m ＋1当 0＜x ＜ 时，g′(x)＜0；当 x ＞ 时，g′(x)＞0；因此 g (x)在 (0， )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增，②（i ）当 a ≤ 时，g (x)＝xlnx －x ＋x －a ＝xlnx －a ，因为 x ∈[ ，e]，g′(x)＝1＋lnx ≥0 恒成立，所以 g (x)在[ ，e]上单调递增，所以此时 g (x)的最小值为 g ( )＝－ －a ．因为 x ∈[ ，e]，g′(x)＝lnx －1≤0 恒成立，所以 g (x)在[ ，e]上单调递减，所以此时 g (x)的最小值为 g (e)＝a －e ．（iii ）当 ＜a ＜e 时，若 ≤x ≤a ，则 g (x)＝xlnx －x ＋a －x ＝xlnx －2x ＋a ，由（i ），（ii ）知 g (x)在[ ，a]上单调递减，在[a ，e]上单调递增，综上有：当 a ≤ 时，g (x)的最小值为－ －a ；当 ＜a ＜e 时，g (x)的最小值为 alna －a ；2x ＋1 则当 x ∈(0，1)时，h ′(x)＝＞0，于是 h (x)在(0，1)单调递增， )＝－ ＋综上所述，当 x ＞－1 时，f (x)－g (x)＞0 成立.【说明】考查函数零点问题、函数不等式的转化与证明，转化与化归的思想。

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(2)题已知符号函数是上的增函数，，则A．B．C．D．第(3)题复数的共轭复数对应点的坐标为，则的虚部为（）A．B．C．D．第(4)题已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为（）A．B．C．D．第(5)题若变量，满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．第(6)题五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．B．C．D．第(7)题倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点，且以为直径的圆与直线相切，则（）A．4B．C．D．第(8)题函数在上为单调递增函数，则的值可以为（）A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小第(2)题关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极小值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则第(3)题某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（）A．B．C．，D．，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若数列的前n项和，，2，3，…，则满足的n的最大值为___________.第(2)题为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．第(3)题若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，（ⅰ）证明是等差数列；（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？第(2)题已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；第(3)题近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3568亿人民币.与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务评价体系，现从评价系统中随机选出200次成功的交易，并对其评价结果进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品和服务的好评率有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n＝a＋b＋c＋d）第(4)题如图，三棱锥中，，为等边三角形，为上的一个动点.(1)证明：平面平面；(2)当时，求二面角的余弦值.第(5)题已知．（1）若，解不等式；（2）若不等式无解，求实数a的取值范围．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（）A．B．0C．1D．2第(2)题已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题是幂函数，且在上是减函数，则实数（）A．2B．C．4D．2或第(5)题由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题若复数z满足，则（ ）A．B．0C．D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（）A．与椭圆C可能相交B．与椭圆C可能相切C．与椭圆C可能相离D．与椭圆C不可能相切第(2)题在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795 A．甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D ．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数第(3)题已知函数,现将函数的图象沿x 轴向左平移单位后,得到一个偶函数的图象,则（ ）A ．函数的周期为B．函数图象的一个对称中心为C ．当时,函数的最小值为D．函数的极值点为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则____________．第(2)题已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．第(3)题《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.第(2)题已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC 的面积为，求c 的最小值．第(3)题对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“收缩数列”仍是；（3）若且，，求所有满足该条件的.第(4)题已知函数.（其中为自然对数的底数）（1）若恒成立，求的最大值；（2）设，若存在唯一的零点，且对满足条件的不等式恒成立，求实数的取值集合.第(5)题在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．(1)证明：；(2)求的取值范围．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，，，则（）A．B．C．D．第(2)题在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）A．B．C．D．第(3)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（）A．B．C．D．第(4)题如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知,若,则（）A．B．C．D．第(6)题“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（）A．B．C．D．第(2)题若，为正整数且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点M处的切线与在点N处的切线相交于点，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题下表为某商品某年前5个月的平均价格与月份的统计数据：月份代码x12345平均价1716201819格y（元）用方程拟合上述数据，当残差的平方和达到最小值时，______；第(2)题若复数和在复平面中分别对应点Z1，Z2，则这两点的距离为______．第(3)题已知一个圆锥底面积为，体积为，则该圆锥侧面积为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，，．(1)证明：．(2)证明：．第(2)题已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.第(3)题如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为棱，，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求二面角的余弦值．第(4)题某大学2021届毕业生共10000人，该校于6月份发布了2021年度毕业生就业与深造质量报告.如下表所示：东部地区西部地区中部地区总计国有单位142097110743465民营企业1651110813994158深造学习8896936952277总计396027723168M(1)请根据上表求出M与该校2021届学生的就业率（深造学习不属于就业范畴）；(2)该校2022届预计有毕业生12000人，请根据表中数据估计其中有多少人会在民营企业工作；(3)若在前往西部地区工作的人当中随机抽取3人，记其中继续深造学习的人数为X，求X的分布列以及数学期望.第(5)题定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.(1)证明：是倍角三角形；(2)若，当取最大值时，求.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若正数a，b，c满足，则（）A．B．C．D．第(2)题设为等差数列，若，则公差（）A．－2B．－1C．1D．2第(3)题已知函数，则函数的大致图象为（）A．B．C．D．第(4)题若为函数（其中）的极小值点，则（）A．B．C．D．第(5)题丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（）A．B．C．D．第(6)题已知与都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，都不是常数函数，现有下列三个结论：①；②的图象关于直线对称；③与在上的单调性可能相同其中正确结论的个数为（）A．B．C．D．第(7)题设，已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为左顶点，B为短轴的一个端点，若，，构成等比数列，则圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，，则（）A．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值第(2)题若，且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（）A．为定值B．O、P、M、N四点一定共圆C．的最小值为D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则______．第(2)题已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．第(3)题已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的渐近线的方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.（1）若，，求，，；（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值.第(2)题设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，.(1)证明：；(2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.第(3)题已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在定义域上无极值，求正整数的最大值.第(4)题已知抛物线与圆一个交点的横坐标，动直线与相切于点，与交于不同的两点，，为坐标原点.（1）求的方程；（2）若，求的值.第(5)题如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（）A．始终有 //平面B．不存在某个位置，使得平面C．三棱锥体积的最大值是D．一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为第(2)题在的展开式中，含的项的系数为（）A．B．280C．560D．第(3)题设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A．-3B．-1C．1D．3第(4)题已知三维数组，，且，则实数（）A．-2B．-9C．D．2第(5)题若x，y满足，则的最大值为（）A．6B．4C．3D．0第(6)题若复数z的共轭复数为，且，则z的虚部为（）A．B．C．D．2第(7)题的值是（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，若，则实数（）A．0B．C．0或D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度C ．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D ．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变第(2)题已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（）A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%第(3)题一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点，，则直线的倾斜角为______．第(2)题已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________．第(3)题已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；(2)记前n周中使用了乙密码的次数为Y，求．第(2)题在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，(为参数，且).（1）设直线与曲线的交点为，求的值；（2）记直线与轴，轴分别交于两点，点在曲线上，求的取值范围.第(3)题2021年，是中国共产党建党百年华诞.为迎接建党100周年，某单位组织全体党员开展“学党史，知党情，感党恩”系列活动.在学党史知识竞赛中，共设置20个小题，每个小题5分.随机对100名党员的成绩进行统计，成绩均在内，现将成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知甲､乙､丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人（包含甲､乙､丙）参加党史知识抢答赛.（1）求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）求第4组选取参加抢答赛的人数；（3）若从参加抢答赛的6人中随机选取两人参加上级部门的党史知识复赛，求甲､乙､丙3人至多有一人被选取的概率.第(4)题在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．(1)求动点M的轨迹方程；(2)当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．第(5)题已知抛物线的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A．70种B．84种C．140种D．35种第(2)题函数在区间的大致图象如图，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．第(3)题在等差数列中，若，则（）A．21B．24C．27D．29第(4)题设，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件第(7)题下列说法错误的是（）A．命题“若则”的逆否命题是“若则”B．命题，使得则均有C．“”是“”的充分不必要条件D．若为假命题，则均为假命题第(8)题已知向量，若，则λ=（）A．-2或B．-2或C．-2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知a，，，，则下列说法正确的是（）A．z的虚部是B．C．D．z对应的点在第二象限第(2)题已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（）A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4第(3)题下列说法正确的有（）A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1C．已知随机变量，若，则D．已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______.第(2)题如图，已知球O的面上四点，DA⊥平面ABC．AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．第(3)题设随机变量，向量与向量的夹角为锐角的概率是0.5，则的值是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.(1)求前4局都不下场的概率；(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.第(2)题小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．(1)求五张卡片上的数字都不相同的概率；(2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．第(3)题已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足．(1)判断点是否在椭圆上，并给出理由；(2)已知与线段相交的直线交椭圆于，（不同于点，）两点，求四边形面积的最大值．第(4)题已知椭圆E：过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．第(5)题如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，分别为的中点．(1)判断与平面的位置关系，并给予证明；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题双曲线的离心率e的可能取值为（）A．B．C．D．3第(2)题如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（）A．平面B．平面平面C．平面D．平面内存在与平行的直线第(3)题甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.A．18B．24C．36D．48第(4)题如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中环的概率为（）A．B．C．D．第(5)题设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．第(6)题在中，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(8)题已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．第(2)题已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（）A．数列有最小项，且有最大项B．使的项共有项C．满足的的值共有个D．使取得最小值的为4第(3)题某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足.下列说法正确的是（）A．该圆台轴截面ABCD的面积为B．该圆台的表面积为C．该圆台的体积为D．该圆台有内切球，且半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.第(2)题已知复数满足，则______第(3)题在锐角△ABC中，，D点在线段BC上，且BD=2DC，，则△ABC的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.方案A：逐个抽血化验；方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）第(2)题如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．(1)证明：平面；(2)若，，且，，求二面角的余弦值．第(3)题已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.(1)求证：；(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.第(4)题某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品”(1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率；(2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望.第(5)题种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天颗某种种子浸泡后的发芽数，如下表：日期3月12日3月13日3月14日3月15日3月16日昼夜温差（）发芽数（颗）(1)从3月12日至3月16日中任选天，记发芽的种子数分别为，，求事件“,均不小于”的概率；(2)请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（2）中的回归方程是否可靠？。

江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（）A．1B．C．0D．第(3)题已知正实数a满足，则（）A．B．C．D．第(4)题若满足，则（）A．B．C．D．第(5)题已知菱形的边长为，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角的平面角的余弦值为，则此时三棱锥的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（）A．B．C．D．第(6)题在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（）A．B．64C．D．80第(7)题三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（）A．B．C．D．第(2)题黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（）A．B．C．在上的投影向量为D．是方程的一个实根第(3)题已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（）A．动点P的轨迹方程为B．△PAB面积的最大值为C．的最大值为5D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集_____．第(2)题已知圆，直线，圆上任意一点到直线的距离小于的概率为__________________第(3)题多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为________________________．（写出所有正确结论的编号）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，函数，(1)求的最小值；(2)若在上为单调增函数，求实数的取值范围；第(2)题在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边上的高.第(3)题已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，证明：.第(4)题某企业为检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本测出它们的长度（单位：），长度的分组区间为、、、，．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)在上述抽取的件产品中任取件，设为长度超过的产品数量，求的分布列和数学期望．(2)从该流水线上任取件产品，设为长度超过的产品数量，求的数学期望和方差．第(5)题已知等差数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求．。