古典概型

古典概型名词解释
嘿，咱今儿就来说说古典概型哈！啥是古典概型呢？就好比你扔个骰子，这骰子有六个面，每个面出现的机会都均等，这就是古典概型的一个例子呀！比如你想扔出个 3，那概率不就是六分之一嘛！
再举个例子，从一副扑克牌里抽一张牌，抽到每张牌的可能性也都一样，这也是古典概型呢！这就好像在一个大宝藏里找宝贝，每个宝贝被找到的几率都相同。

古典概型它有自己的特点呢！首先，试验的所有可能结果只有有限个，就像刚才说的骰子的六个面，扑克牌的那 54 张牌。

然后呢，每个结果出现的可能性相等。

你想想，扔骰子的时候，会出现 1 点和出现 6 点的概率是一样的呀！这多有意思！
咱再打个比方，就好比去参加一个抽奖，箱子里有 10 个球，只有一个球有奖，那你抽到奖的概率不就是十分之一嘛！这也是古典概型呀！
古典概型在生活中的应用可多啦！比如说彩票，那可不就是个典型的古典概型嘛！虽然中奖的概率很低，但总有人抱着希望去尝试呀！还有抽签决定顺序啥的，不也是一样的道理嘛！
哎呀，说了这么多，你是不是对古典概型有点感觉啦？它其实不复杂，就是那些可能性相等的有限结果的事儿嘛！所以呀，以后遇到这种情况，你就知道这是古典概型啦！
总之，古典概型就是这么个简单又有趣的东西，在生活中处处都能看到它的影子呢！。

古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。

所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。

具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。

以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。

古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。

1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。

比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。

比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。

3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。

在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。

按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。

所有的基本事件发生
概率之和为1。

应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。

比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。

总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。

通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。

古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。

古典概型1.基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。

2.基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是互斥的（2）任何事件都可以表示成基本事件的和。

3.定义：等可能性事件(古典概型)：每个基本事件发生的可能性是相等的具有以上两个特征的试验称为古典概型。

4.古典概型的两个共同特点：○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的； ○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。

5.若一个古典概型有 n 个基本事件，则每个基本事件发生的概率古典概型的概率公式：n1、若某个随机事件 A 包含 m 个基本 事件，则事件 A 发生的概率：nm A P )( 即P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A 。

一、概念辨析题例1.判断下列命题正确与否．(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是31； (2)射击运动员向一靶心进行射击．试验的结果为：命中10环，命中9环，……，命中0环，这个试验是古典概型．(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．【思路点拨】根据每一次试验的意义和每个基本事件的含义进行判断. 【解】所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.(2)不是古典概型，因为命中10环，命中9环，…命中0环不是等可能的．(3)摸到红球的概率为94，白球的概率为31，黑球的概率为92． 【方法技巧】弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．二、写出基本事件且求其概率例2 做如下试验：“将一枚均匀硬币抛掷两次”． (1)试用列举法写出该试验所包含的基木事件； (2)事件A “两次都出现正面”包含几个基本事件？(3)事件B “一次出现正面，一次出现反面”含有的基本事件是什么？ (4)计算P(A)和P(B)．【思路点拨】试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”中，由于出现的结果有限，每次只能有一种结果（一枚硬币要么正面朝上，要么反面朝上），且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型．当试验的结果较少时，可用列举法将所有试验结果一一列出，这是最基本、最直观的方法．同样地可把事件A 或事件B 所含的基本事件一一列出．计算古典概型的概率关键是确定m,n.【解】(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”所出现的所有基本事件如下： (正，正)、(正，反)、（反，正）、（反，反）共4种等可能的结果． (2)事件A 包含的基本事件只有一个，即（正，正）．(3)事件B 包含的基本事件有两个，即（正，反）和（反，正）．(4)P(A)=41,P(B)=2142=. 【方法技巧】本题在求试验的基本事件总数时，用枚举法将所有结果一一列举出来、直观而具体，但应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．三、求简单古典概型的概率例3 如图，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．(1)从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少？(2)从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？【思路点拨】该模型为古典概型，基本事件个数是有限的，并且每个基本事件的发生是等可能的．【解】在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．(1)27个小正方体中任意取出1个，共有127C = 27种等可能的结果．因为在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个，所以从这个口袋中任意取出1个小正方体，而这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是271=P .(2)从27个小正方体中，同时任取2个，共有227C 种等可能的结果．在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有)(1811216C C C +种．所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是11740)(2271811216=+=C C C C P . 【方法技巧】（1)计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n;②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式求出概率P.(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质)(1)(A P A P -=进一步求解． 1．（改编题）一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球 （1）共有多少种结果？（2）摸出2个黑球有多少种结果？ （3）求摸出2个黑球的概率？ （4）求摸出一只黑球一只白球的概率？ （5）求摸出至少一只黑球的概率？ 解（1）共有n=种结果（card(Ω)=10） （2）都摸出黑球种结果 （3）记A={两次都摸黑球}，（4）记B={一次摸黑球，一次摸白球}， （5）记C={至少一只黑球}则={两只都是白球}，四、复杂的古典概型的概率的求法例4 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(I,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【思路点拨】因为共有4张牌，基本事件的总数是有限的，而且每张牌被抽到是等可能的，因此是古典概型，另外要注意牌是不放回摸牌，每次摸出的牌不能重复．【解】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，其他用相应的数字表示）为：(2,3),(2,4),(2,4’)，（3,2），（3，4），（3，4’），（4，2），（4，3），（4，4’），（4’，2），（4’，3），(4’，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为32. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2,(4,2),(4,3),(4’,2)，(4’,3)共5种，故甲胜的概率1251=P ,同理乙胜的概率为1252=P .因为P 1= P 2，所以此游戏公平. 【方法技巧】本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2,红桃3,红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4’表示，抽象出基本事件，把复杂事件用简单事件表示，列举出总体I 包含的基本事件的个数n 及事件A 包含的基本事件的个数m ，用公式nmI card A card A P ==)()()(求解．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.古典概型本质上有三种题型：“依次放回取”、“依次不放回取”与“同时取”，列举的手段有：列“树枝图”和列“数对表”，因此学习古典概率时，要抓住题型并把握列举的方法，下面就古典概型的三种基本题型与列举法的具体操作举例说明，供参考。

古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。

每个基本结果出现的可能性相等。

111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。

112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。

12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。

互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。

121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。

122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。

13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。

确定事件 A 包含的基本事件数 m 。

代入公式计算 P(A) 。

132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。

确保对基本事件的界定清晰无误。

14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。

141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。

完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。

15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。

明确性：能够清晰地定义和区分。

151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。

152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。

16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。

抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。

摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。

161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。

古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。

它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。

接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。

三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。

四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。

3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。

例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。

五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。

2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。

3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。

4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。

六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。

2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。