古典概型2

古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。

强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。

一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。

做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。

专题2：古典概型与独立事件【知识要点】1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性．3．古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.4．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．()(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.()(5)从1，2，3，4，5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.()【题型讲练】题型一基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求两数之一是2的概率；④在线段[0，5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．32．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？题型二古典概型的求法1．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．12B．13C．14D．162．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．453．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．4．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_______．6．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是_______．6．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，记编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记编号为n，求n<m＋2的概率．题型三古典概型与统计的综合应用1．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．10．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率．题型四相互独立事件的概率1．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率() A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生2．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5763．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14．现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．。

古典概型【典型例题】例1、本班数学兴趣小组有5名男同学，3名女同学。

求下列事件的概率。

(1)8人排成一队，其中甲必须站在排头的概率?(2)8人排成一队，其中甲不能站在排头与排尾的概率?(3)8人排成一队，其中任何两名女同学都不能相邻的概率?分析：此题是关于古典概型中的排列问题。

所有基本事件的总数是8人，全排列，即n=A 88；而某事件包含的基本事件总数也是排列问题，它是三种情形下的各自排法的总数。

(1)题m=77A n=88AP(A)=8877A A =81 (2)题中的m 是在(1)的基础上加深一步，可分两种方法来求。

第一种解法：8人全排列中扣除甲站在排头与排尾的情况，即m=88A -277A 。

第二种解法：甲在中间6个空位中任选一个，其余7人全排列。

即m=16A 77A 。

两种解法所得甲不能站在排头与非尾的概率都是P(B)= 43。

(3)题中m 的求法，应利用插空法分两步来求得。

首先是把5个男生排成—排有55A 种，这时有6个间隙，再把3个女生插入这6个间隙里有36A 种，即m=55A ·36A 。

所以可得任何两名女同学都不能相邻的概率 P(C)=883655·A A A = 145。

例2、甲、乙两人参加普法知识竟赛答题，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，两人依次各抽一道，试求：(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?分析：此题是关于古典概型中的组合问题。

(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果是16C 个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是14C 个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的结果是16C 14C 个，即m=16C 14C 。

又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 19C 个，即n=110C 19C 。

所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是P(A)=191101416C C C C =。

(2)此题有两种解法：解法一：用直接法，甲、乙两人中至少有一人抽到选择题可分为三类情形，甲抽到乙没抽到，乙抽到甲没抽到，或甲、乙都抽到，即m=216C 14C +16C 15C ，而n=110C 19C 。