古典概型(2)

第4课时 古典概型(2)|知识技能1. 进一步掌握古典概型的概率计算公式．2. 会求“不放回抽取”“有放回抽取”古典概型的概率． 思想方法通过对古典概型问题的探究，熟练掌握列举法、列表法、树状图法等计算样本点的方法，体会数学知识与现实世界的联系，增强逻辑分析能力．核心素养1. 通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养．2. 在用古典概型的概率公式计算概率的过程中，发展数学运算素养．重点：古典概型概率公式的运用． 难点：准确找出所有的样本点．问题导引1. 古典概型的两个特征是什么？古典概型的概率计算公式是什么？2. “从盒子中一次取出两个球，观察这两个球的颜色”与“从盒子中取出一个球放回，再取出一个球，观察这两个球的颜色”是一回事吗？即时体验1. 计算样本点个数的方法有列举法、列表法、树状图法.2. 从1, 2, 3, 4这四个数字中，任取两个数字，取出数字之和为偶数的概率是13. 3. 袋中装有红色球、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，所有的样本点个数是8.提示 从装有红、白两球的袋中有放回地取出1个球，所有取法如下：共有8个样本点．[1] 通过本例较复杂概率的计算，进一步巩固古典概型概率公式的运用.一、数学运用同时抛掷两枚骰子，观察向上的点数，求：(1) 点数之和为7的概率；(2) 出现两个1点的概率；(3) 点数之和能被5整除的概率．[1](见学生用书课堂本P123)[处理建议]先利用“有序实数对”列出所有的样本点，然后从中找到所求各事件包含的样本点，从而根据古典概型算出各事件发生的概率．[规范板书]解第一枚骰子向上的点数有6种可能的结果，对每一种结果，第二枚又都有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36种不同的可能结果．样本点(1, 2)表示“第一枚骰子向上的点数为1，第二枚骰子向上的点数为2”(其他类推)，则样本空间Ω＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)，(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)，(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)，(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)，(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)，(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}．如图，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个．(例1)(1) 设事件A＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和为7”，从图中可以看出，A＝{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}，由古典概型可知P(A)＝636＝16.(2) 设事件B＝“同时抛掷两枚骰子，出现两个1点”，从图中可以看出，B＝{(1, 1)}，由古典概型可知P(B)＝1 36.(3) 设事件C＝“同时抛掷两枚骰子，点数之和能被5整除”，从图中可以看出，C＝{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}，由古典概型可知P(C)＝736.[题后反思](1)在抛掷两枚骰子的问题中，样本空间总数为36，可以借助坐标系(或表格)来计算所求事件包含的样本点个数，这样更直观，不易出错；(2)本题是两个点数之和，也可以变成两个点数之积、两个点数之差，使问题的背景类似，但对不同问题要作不同分析．在两个袋内，分别装着写有0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，求：(1)两张卡片上数字之和等于7的概率；(2)两张卡片上数字之积能被3整除的概率．[规范板书]解(1) 试验结果如表所示：等于7”含有4个样本点，所以所求事件的概率为436＝19.(2) 试验结果如表所示：能被3整除”含有20个样本点，所以所求事件的概率为2036＝59.[2] 较复杂概型的计算．[3] 了解不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.用3种不同的颜色给下图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1) 3个矩形颜色都相同的概率；(2) 3个矩形颜色都不相同的概率．[2](见学生用书课堂本P123)[处理建议]考虑画树状图，不重不漏地列出所有可能的情况．[规范板书]解假设三种颜色分别为黑、白、灰，画图列出各种情况如下，则样本空间中共包含27个样本点．(1) 设事件A ＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A 包含的样本点有1×3＝3个，故P (A )＝327＝19.(2) 设事件B ＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B 包含的样本点有2×3＝6个，故P (B )＝627＝29.因此，3个矩形颜色都相同的概率为19， 3个矩形颜色都不同的概率为29. [题后反思] 题目条件中的“随机”的意思是每个小矩形被涂三种颜色中的任意一种颜色的可能性是相同的．本题亦可以用列举法来表示，记三种不同的颜色分别为1, 2, 3，样本点(1, 1, 2)表示“第一个矩形涂1号色，第二个矩形涂1号色，第三个矩形涂2号色”(其他类推)．甲、乙、丙3人站成一排合影留念，求甲、乙两人恰好相邻的概率．[规范板书] 解 甲、乙、丙3人站成一排，样本空间为Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}， 共有6个样本点，这6个样本点都是等可能的．设事件A ＝“甲、乙两人相邻”，则A ＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，根据古典概型可知P (A )＝46＝23，即甲、乙两人恰好相邻的概率为23.[题后反思]列举样本点时，要按照顺序列出，确保不重不漏.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2) 小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．[3](见学生用书课堂本P124)[处理建议]认真分析题意，弄清是何种抽样方式，再看是否符合等可能性，最后运用古典概型的概率公式计算．(1) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A＝“每一次选1题(不放回)，所选的题不是同一种题型”，则A＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(A)＝1220＝35.(2) 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B＝“每一次选1题(有放回)，所选的题不是同一种题型”，则B＝{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}，包含12个样本点，所以P(B)＝12 25.[题后反思](1)“不放回抽取”的特点是元素不能重复，“有放回抽取”的特点是元素允许重复．一定要认真审题，弄清题目是有放回抽取还是不放回抽取．抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同．(2)关于不放回抽取，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其计算概率的结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．[4] 对抛掷骰子试验，通过不同的角度巩固对古典概型概率公式的运用.现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品．(1) 若有放回地取件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2) 若从中一次取3件，求3件都是正品的概率．[处理建议](1)为有放回抽样，(2)为不放回抽样．[规范板书]解(1) 有放回地抽取3次，按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x, y, z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种，即样本空间共有样本点103个．设事件A＝“连续3次取出的都是正品”，易知A包含的样本点共有8×8×8＝83个，因此，P(A)＝83103＝0.512.(2) (方法一)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，则基本事件不同．按抽取顺序记录(x, y, z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的样本点共有10×9×8＝720个．设事件B＝“3件都是正品”，则B包含的样本点共有8×7×6＝336个，所以P(B)＝336720≈0.467.(方法二)可以看作不放回地3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x, y, z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120，按同样的方法，事件B包含的样本点个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.*抛掷两枚骰子，得两个点数，大数减小数的差为d, 是否有一个差比其他差更可能出现？[4][处理建议]用列表法直观地列出各个差出现的样本点．[规范板书]解抛掷两枚骰子，一共有36种可能的点数，即36个样本点，样本空间可表示为Ω＝{(i, j)|i＝1, …，6; j＝1, …，6}．下表给出大数减小数的差d＝k(k＝0, 1, 2, …，5)时事件所包含的样本点及其个数．P(d＝0)＝636＝16，P(d＝1)＝1036＝518，P(d＝2)＝836＝29，P(d＝3)＝636＝16，P(d＝4)＝436＝19，P(d＝5)＝236＝118.其中d＝1出现的概率最大，d＝5出现的概率最小．[题后反思]运用古典概型解决问题，首先要先判断试验是否为古典概型．对于比较复杂的问题可以考虑用列表法或树状图法直观观察．二、课堂练习1. 根据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的．如果允许生育二胎，那么某一育龄妇女两胎(不考虑双胞胎或多胞胎的情况)均是女孩的概率是14.提示两胎的情况共有4种，故两胎均是女孩的概率为1 4.2. 从集合A＝{1, 3, 5, 7, 9}和集合B＝{2, 4, 6, 8}中各取一个数，这两个数之和能被3整除的概率为(D)A. 13 B.110C. 320 D.7203. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)A. 16 B.14C. 13 D.12提示设两位男同学分别为A, B，两位女同学分别为a, b，用树状图表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24个样本点，其中事件“两位女同学相邻”的样本点(画“√”的情况)共有12个，故所求概率为1224＝12.4. 分别在集合A＝{1, 2, 3, 4}和集合B＝{5, 6, 7, 8}中各取一个数．(1) 求其和为偶数的概率；(2) 求其积为偶数的概率．解因为对于A中数的每一种取法，对应对B中的数都有4种取法，故样本空间中的样本点的个数为4×4＝16，并且所有这些取法都是等可能的．(1) 若和为偶数，则所取两数必须都是奇数或都是偶数，故事件“其和为偶数”＝{(1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8)}，包含8个样本点，所求概率为816＝1 2.(2) 若积为偶数，则只要其中有一个数是偶数即可，故事件“其积为偶数”＝{(1, 6), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}，包含12个样本点，故所求概率为1216＝34.三、课堂小结1. 古典概型的特征：一是样本点的有限性；二是样本点的等可能性．2. 解决古典概型问题的操作步骤：(1) 明确样本空间；(2) 明确所有样本点是否是等可能发生的；(3) 确定所有样本点的个数n；(4) 确定事件A包含样本点的个数m；(5) 计算事件A的概率m n.3. 求样本空间中样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数m，常用列举法、列表法、树状图法．4. 注意不同抽样方法(不放回、放回)对样本空间及随机事件发生的概率的影响.。

古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。

强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。

一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。

做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。

教师课时教案备课人授课时间课题 3.2.1 古典概型（二）课标要求进一步加深对古典概型的两个特点的理解教学目标知识目标理解古典概型的定义及概率的计算公式技能目标会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率情感态度价值观体会化归思想，培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生体会概率意义重点利用古典概型求解随机事件的概率.难点分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、导入新课：古典概型的教学让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。

让学生初步会把一些实际问题化为古典概型。

这一节课让学生进一步理解古典概型的定义及概率的计算公式。

二、新课讲解：1、提出问题（1）什么是古典概型？请举例说明.（2）古典概型的两个特点？（2）概率的计算公式？2、例题讲解:例4：假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…，9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型。

事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，即由正确的密码构成。

所以P（“试一次密码就能取到钱”）=100001.12。

古典概型【典型例题】例1、本班数学兴趣小组有5名男同学，3名女同学。

求下列事件的概率。

(1)8人排成一队，其中甲必须站在排头的概率?(2)8人排成一队，其中甲不能站在排头与排尾的概率?(3)8人排成一队，其中任何两名女同学都不能相邻的概率?分析：此题是关于古典概型中的排列问题。

所有基本事件的总数是8人，全排列，即n=A 88；而某事件包含的基本事件总数也是排列问题，它是三种情形下的各自排法的总数。

(1)题m=77A n=88AP(A)=8877A A =81 (2)题中的m 是在(1)的基础上加深一步，可分两种方法来求。

第一种解法：8人全排列中扣除甲站在排头与排尾的情况，即m=88A -277A 。

第二种解法：甲在中间6个空位中任选一个，其余7人全排列。

即m=16A 77A 。

两种解法所得甲不能站在排头与非尾的概率都是P(B)= 43。

(3)题中m 的求法，应利用插空法分两步来求得。

首先是把5个男生排成—排有55A 种，这时有6个间隙，再把3个女生插入这6个间隙里有36A 种，即m=55A ·36A 。

所以可得任何两名女同学都不能相邻的概率 P(C)=883655·A A A = 145。

例2、甲、乙两人参加普法知识竟赛答题，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，两人依次各抽一道，试求：(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?分析：此题是关于古典概型中的组合问题。

(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果是16C 个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是14C 个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的结果是16C 14C 个，即m=16C 14C 。

又甲、乙依次抽一题的可能结果有110C 19C 个，即n=110C 19C 。

所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是P(A)=191101416C C C C =。

(2)此题有两种解法：解法一：用直接法，甲、乙两人中至少有一人抽到选择题可分为三类情形，甲抽到乙没抽到，乙抽到甲没抽到，或甲、乙都抽到，即m=216C 14C +16C 15C ，而n=110C 19C 。

3.2.1（2）古典概型学案
一、学习目标：
（1）复习古典概型的概念与特点与概率计算公式
（2）掌握古典概型的概率计算方法
二、自学过程：
1.基本事件的特点⑴
⑵
2.列举基本事件时按一定规律，使做到“既不重复，也不”
3.古典概率模型的特点⑴
⑵
4.在古典概型中，随机事件的概率公式
5.总结P127例3求概率的方法：①编号②写出所有结果③观察结果，计算。

6.阅读P128例4，从概率角度探讨以下问题：
⑴密码的位数多少和银行卡的安全性有什么关系？
⑵为什么自动取款机不能无限制的让用户试密码？
⑶怎么设置密码更安全？
7.按要求列出P129例5的30种基本事件，并在事件A包含的基本事件下面画横线。

回答：事件A包含的基本事件有多少个？
9.在20瓶饮料中，有两瓶已经过了保质期。

从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率是多少？
10.在夏令营的7名同学中，有3名已经去过北京，从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？（①编号②写出所有结果③观察结果，计算。

）
11.有5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取2本，取出的书恰好都是数学书的概率是多少？（①编号②写出所有结果③观察结果，计算。

）。