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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
(一)隐函数的导数
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如:
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数:由含x,y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如:
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数:
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系.其中函数x(t),y(t)可导,且
x (t)0, ,则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数.
解:由于y=arcsinx,x(-1,1) 为x=siny,y (-/2, /2) 的反函数,且当y (-/2, /2)时,
(siny)=cosy>0. 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解:
y
arcsin
x
3
2x4
,求 y .
1
3
x
1 4
1 x2 2