最小二乘法原理
1. 介绍部分
最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。
最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。
1.1 数理统计和最小二乘法
物理量总是不能被精确测定。总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。
我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。
最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。
物理量的值的唯一统计估计称为点估计。无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。
1.2 线性代数和最小二乘法
（nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解）
现有线性方程组
A X= L （1-1）
X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。该方程组有唯一非零解仅当
L ≠ 0 （非齐次方程组），（1-2a）
r (A) = X的维数，（1-2b）
r ([A:L]) = r (A)。 （1-2c ）
当没有多余等式时，准则（1-2b ）意味着A 是方阵且非奇异，它的逆矩阵是存在的，这样方程组的解就表达成
X = A 1
- L （1-3）
当存在多余等式时，A 将不是方阵，但是A T
A 是方阵且非奇异，这样方程组的解就表达成
X = (A T
A)
1
- A T
L 。 （1-4）
L 的元素对应于物理量观测值，基于上述数学讨论，如果没有多余观测量（即没有多余的等式），则未知量将只有唯一的非零解。如果存在多余观测量，它们之间将互相不一致，因为观测存在误差。这样（1-2c ）准则就无法满足，也就不存在唯一解。我们只能对结果做一个唯一的估计。从而引入了最小二乘准则。
因为观测误差的存在，使得方程组（1-1）左右矛盾，为此引入一个向量来抵消这个矛盾，从而使方程组成立。于是有
A X - L = V （1-5）
V 称为残差向量。引入^
X 作为X 的最优估值，这样最小二乘准则表达为
=--=)()(^
^
^
^L X A L X A V V T
T
min （1-6）
估值^
X 称为最小二乘估值。由式（1-4）可得
L A A A X T T 1^
)(-=， （1-7）
观测误差或残差的最优估值由下式得出
L X A V -=^
^ 。 （1-8）
这些估值称为简单最小二乘估值，或者称为等权最小二乘估值。
组成L 的物理量观测值不总是等精度的（比如采用了不同的观测仪器或者不同的观测条件），因此我们给每个观测量分配一个已知的权重，由这些元素构成的矩阵称为权阵P 。这样，先前的最小二乘准则调整为
=^
^
V P V T
min 。 （1-9）
未知量估值调整为
PL A PA A X T T 1^
)(-= (1-10)
如果P作为观测值的估量协方差阵的逆阵，那么最小二乘估计就是最小方差估计；如果观测误差是正态分布，那么最小二乘方差估计就是最大似然估计。
考虑更一般的情形，此时观测量未知参数的非线性方程相关
-
)
F=
((1-11)
V
L
X
或者，观测量与未知参数的方程非线性相关
L
X
+V
F(1-12)
)
,
(=
1.3 数字计算机和最小二乘法
从实际出发，矩阵求逆以及矩阵乘法都要求海量的计算步骤。在大型快速计算机发明以前，除非绝对必要，一般是不会去做这样的尝试。然而测量网坐标的最小二乘估计就是这样的必要情况。以前的大地测量学家在简化步骤创新方法上做出很多努力，计算机发明之后这项工作显得没原来那么重要了。然而计算机也不能同时计算多达数千个方程，因此，如今大地测量学家把精力放在改进算法上，以便将一个大问题拆分成许多小问题，再逐一解决。
1.4 高斯和最小二乘法
以下是对高斯一段引文的翻译
“如果用于轨道计算的天文观测值和其他量是完全正确的，则轨道要素也是严格准确的，而无论是从三个或者四个观测值上推导出来（到目前为止轨道运动确实按照开普勒定律在进行），因此，如果使用其他观测值，则轨道要素可能被确定但不准确。但是，因为我们的所有测量值和观测值都只是真值的近似，那么依赖于它们的所有计算也一定是正确的，关于具体现象的所有计算的最高目标一定是近似与真值的，只要接近到可实用的程度。但这只能通过将多于确定未知量所必要的观测量进行适当组合来完成。这个问题只有当轨道的大概知识已经获得的情况下才能处理，这个大概的知识之后将得到改正以便以尽可能最精确的方式满足所有的观测值。”
从这段写于150年前的话可以总结出以下观点
a、数学模型可能不完整，
b、物理测量值存在矛盾，
c、从矛盾的物理测量值出发进行计算就是为了估计出真值，
d、多余测量值将会减小测量值矛盾的影响，
e、在最终估值前需要使用大概的初值，
f、通过一种方法最小化测量值之间的矛盾值，从而改正初值（高斯所指的最小二乘法）。
2. 统计学定义和概念
2.1 统计学术语
统计学，统计量，变量，连续变量，离散变量，常量。
一般的测量结果都是连续变量，计算结果是离散变量。
随机变量，包含一个值域（跟普通变量相同）和一个概率函数。
总体（population），个体（individual），样本，随机样本（通常样本指的都是随机样本）。样本空间，样本点和事件在使用中分别代替总体，个体和随机样本。
分组（class），分组界限，组距，组频率，相对频率。
*没有哪一个关于概率的定义是被所有统计学家所接受的。经典的定义是，等可能取自总体
Pr(A等于所有落入A的个体占总体的分数。这是一个间接定的一个个体落入组A的概率)
义，因为等可能实际上就是等概率，因此是用概率自己定义了自己。有两种办法来解决这个
Pr(A为从总体中选择一个个体，在n 问题，但都不是完全令人满意的。第一种，定义概率)
次（当n趋于无穷）选择中，个体落入组A的相对频率。第二种，接受“概率”是一个不可定义的概念，仍然称适用于概率的规定为公理。
2.2 频率函数（概率密度函数）
累积频率函数（分布函数，累积分布函数，累积概率函数），频率分布（p26）。
频率分布的两个重要特点：集中趋向，离中趋势（离散度）。
频率分布两个次重要特点：偏斜度，峰度。
集中趋向的度量方法包括：算术平均值，中位数，众数（mode），几何平均数以及调和平均数。
离散度的度量方法包括：标准差，平均偏差以及极差（range）。
期望值及其相关性质。
n 阶原点矩，以及n 阶平均值矩（我们习惯称为n 阶中心矩）的期望，其中二阶中心矩称为方差。
随机变量X 矩量母函数（moment generating function ）定义
dx x e e E t M tx tx )(][)(??∞
∞
-== ， （2-10a ）
一个分布的任何矩都可以直接从矩量母函数中推导出来，例如，一阶原点矩μ
)0()(]['
0M dt
t dM x E t ==
==μ ， （2-10b ）
又如，方差（二阶中心矩）2
σ
2'''222)]0([)0(][M M x E -=-=μσ ， （2-10c ）
2.3 多元随机变量频率函数（联合密度函数）
引入随机变量向量
?????
????????=n x x x X 21
多元随机变量频率函数定义
)()(00210dX X X X P dx dx dx X r n +≤≤=???? ， （2-11）
其中
??????
?????????=002010n x x x X ， ?????????????=n dx dx dx dX 21 各个不等式同时成立。
多元变量累积频率函数（联合累积分布函数）定义
n x x dx dx dx X X n
?????=??∞
-∞
-210
10)()(?φ 。 （2-12）
)(0
X X P r ≤= 引入随机变量的统计独立。
多元随机变量函数的期望，以及多元随机变量分布的均值都与一元情况类似。 引入协方差阵
∑
X
（也称方差-协方差阵），包括方差2
i σ及协方差ij σ的定义和计算方法。
引入相关系数j
i ij
ij σσσρ= ，若i x 与j x 统计独立，则它们的相关系数ij ρ为0，因此协方差
和相关系数是用来衡量两个随机变量是统计独立还是相关的。
2.4 协方差律
假定随机变量Y 与随机变量X 线性相关，即
CX Y =
则有
X Y CU U = ，
∑∑
=Y
X
T
C C 。 上式即称为协方差律，或者协方差传播律。 如果Y 与X 非线性相关，即
)(X F Y =
将其运用泰勒级数展开，使原函数线性化，依然可以得到上述结论，只是此时的系数C 应该变成
X X
F
C ??=
。
2.5 点估计
引入统计量（期望，方差）。
引入总体统计量（用希腊字母表示），样本统计量（用拉丁字母表示）。
统计估计是统计学方法的一个分支，通过从总体中所取样本的认识来推及总体的性质。 引入估计量（即点估计量），用样本统计量（即估计量）的值去推导总体统计量的值。 最常用的估计量是样本均值∑=
i i x n x 1 和样本方差22
)(11∑--=i
i
x x n s 。 样本统计量本身也是随机变量，存在一个对应的分布（称样本分布），因此从同一个总体中
取出的不同样本的统计量的值通常是不等的。
样本均值的期望等于总体均值μ，样本均值的方差等于n
2
σ。
样本方差的期望等于2
σ，即等于总体的方差。
引入无偏估计量，表示该估计量的样本分布的均值等于它所估计的总体统计量，因此样本均值和样本方差都是无偏估计量。 引入最小方差估计量和最大似然估计量。
2.6 区间估计和假设检验
区间估计，若
αε=≤≤)(21e e P r
称区间[]21,e e 为ε的%100α置信区间，表示有%100α的时候可以认为ε落在[]21,e e 内是正确的。
假设检验，即先对总体做出某种假设，然后通过样本值来检验，以决定接受或者拒绝该假设。 引入显著性水平α，即犯第一类错误（假设正确但是被拒绝）的概率。
引入检验功效)-1(β，其中β是指犯第二类错误（假设错误但是被接受）的概率。 //小结三种统计估计，点估计不需要假定总体分布，区间估计和假设检验则需要假定或者确定总体分布。
3. 统计分布函数
引入一元随机变量，多元随机变量。
特殊的分布：正态分布（normal ），卡方分布（chi-square ），t 分布，F 分布。
3.1 正态分布
3.1.1 正态分布函数
累积分布函数，概率分布函数（略）。
3.1.2 矩量母函数
]2
exp[)(2
2t b at t M += （推导过程关键令bt b a x y --=） 由前章知
a M ==)0('μ
22'''2)]0([)0(b M M =-=σ
（文章缺失了P30-31）
)1,0(n 分布的图像的一些特征：
1）关于纵轴0=x 对称， 2）在0=x 处取得最大值π
21
， 3）x 轴是水平渐近线， 4）拐点在σ±=x 处。
3.1.5 关于正态分布的计算
引入正态分布计算表
使用)1,0(n 分布的表解来查找结果的基本公式
)(
)Pr(σ
u
c N c x -=≤
)(
)(
)Pr(1221σ
σ
u
c N u
c N c x c ---=≤≤
3.1.6 多元随机变量正态分布
m 维多元随机变量正态概率密度函数
]2
)
()(exp[)(1
∑----
=X T U X U X C X ?
其中X 是随机变量向量，U 是相应的均值向量，
∑
X
是协方差阵。
常数
2
/2
/11
)2(])[det(m X C π∑-=
3.2 卡方分布
3.2.1 分布函数
引入伽马函数
dy e y y -∞
-?=Γ0
1)(αα
其中0>α。
当1=α时，1)1(=Γ，当1>α时，!1-)1()1()(）（αααα=
-Γ-=Γ。 上式令β/x y =，且0>β，则有
dx x x
β
ββ
αα1
)exp()
()(1
-=Γ-∞
?
从而
dx x x )exp()(111
β
βααα-Γ=-∞
?
上式满足累积分布函数的要求，对应的概率密度函数（p.d.f ）为
)0();exp()(1)(1
∞<<-Γ=
-x x x x β
βα?αα
0= 其它
上式即为关于参数α和β的伽马分布的概率密度函数。 当2
υ
α=，且2=β，其中υ是正整数，此时该伽马分布就称为卡方分布，它的概率密度函
数为
)0();2
exp(2)2
(1)()12
(2
∞<<-Γ=
-x x
x
x υ
υ
υ
?
0= 其它
其中的υ称为自由度。
上述的服从卡方分布的连续随机变量缩写为)(2υχ。
3.2.2 矩量母函数
公式（推导过程略）
2
)21(1
)(υ
t t M -=
则有
υμ==)0('M
υσ2)]0([)0(2'''2=-=M M
3.2.3 卡方分布的图像
性质：
a ）0=x 时，值为0，
b ）最大值在区间∞< c ）x 轴正方向是一条渐近线， d ）在最大值每边各有有一个拐点。 3.2.4 关于卡方分布的计算 引入卡方分布计算表。 基本公式 )0(;)2 exp(2)2 (1)Pr(20 )12 (2 2∞<<-Γ=≤? -x dx x x x P P χυ υ υ χ )Pr()Pr()Pr(2 2221 221P P P P x x x χχχχ≤-≤=≤≤ 3.3 t 分布（学生氏分布） 3.3.1 分布函数 令随机变量ω服从标准正态分布)1,0(n ，以及随机变量ν服从卡方分布)(2v χ，规定它们是相互独立的，则它们的联合概率密度函数为 ? ?????∞<<∞<<∞-Γ-=-νωννυ ωπ νω?υ υ 0-)2exp(2)2 (1 ) 2exp(21),() 12 (2 2， 0= 其它 令 2 /1) /(υνω = t 引入变形等式 ?? ???==u u t νυω 引入雅各比式 2/12/12/1)(1)(2 ) (υ υυνω νωu u t u u u t t J ==????????=- 则新的概率密度函数为 2 /12)12 (2 /2/1) )](1(2exp[2)2 ()2(1),(),(υ υυ πνω??υ υu t u u J u t +-Γ= =- ? ?????∞<<∞<<∞-u t 0 0= 其它 将上式中的u 积分掉，可得 )(,) 1(1 )2 ()(] 2/)1[()(2 /)1(22/1∞<<-∞+Γ+Γ= +t t t υυ πυυ? 前提是令 2 /1) /(υνω = t 可知t 分布是由自由度υ唯一确定的。 3.3.2 t 分布的图像 性质： 1）)(t ?在区间∞<<∞t -上有值， 2）)(t ?在0=t 处取得最大值， 3）t 轴是它的水平渐近线， 4）在最大值两侧分别有一个拐点。 3.3.3 关于t 分布的计算 引入t 分布计算表 基本公式 dt t t x P t P ?∞ -=≤)()Pr(? 3.4 F 分布 3.4.1 分布函数 设有两个随机变量u 和ν均服从卡方分布，自由度分别是1υ和2υ。则它们的联合概率分布函数为 2/)() 12 )( 12 ( 2 /)(2 1 21212)2 ( )2 ( 1 ),(νυυυυυυν?+---+ΓΓ= u e u u ? ?? ???∞<<∞<<ν00u 0= 其它 令 2 1 //υνυu f = 引入变形等式 ?? ? ??==z u u νυνυ21// 引入雅各比式 2 1212 11 )(0)(υυυυυυννz f z z z u f f u J ==????????= 则新的概率密度函数为 2121)12()12(212 /)(2 1 )]1(2exp[)(2)2 ( )2 ( 1 )det(),(),(2 1 2 1υυυυυυυυν??υυυυz f z z zf J u z f +-ΓΓ= =--+ 将z 积分掉就能得到f 的边缘概率密度函数 )0(,) /1() 2 ( )2 ( )/](2/)[()(2 /)(211 2/2 1 2 /21212111∞<<+ΓΓ+Γ= +-f f f f υυυυυυυυυυυυ? 0= 其它 随机变量2 1 //υνυu f = 服从F 分布，简写为),(21υυF 。 值得注意的是 ),() ,(112121υυυυP P F F -= 3.4.2 F 分布的图像 性质类似于卡方分布。 3.4.3 关于F 分布的计算 引入F 分布计算表 基本公式 ?=≤P F P df f F x 0 )()Pr(? )Pr()Pr()Pr(1221P P P P F x F x F x F ≤-≤=≤≤ ),() ,(112121υυυυP P F F -= 4. 随机变量函数的分布 统计量是含有一个或多个随机变量的函数，这些随机变量的参数都是已知的，前文提到的样本均值和样本方差都是统计量。 4.1 标准化的正态随机变量分布 给定随机样本1X ，2X ……n X ，这里的i X 相互独立，且),(2 σμn X d i →，则有 )1,0(n X d →-σ μ 4.2 样本均值的分布 给定随机样本1X ，2X ……n X ，这里的i X 相互独立，且),(2 σμn X d i →，则有 ), (2 n n X d σμ→ 用矩量母函数证明。 4.3 标准正态化样本均值的分布 给定样本均值), (2 n n X d σμ→，则有 )1,0(/n n X d →-σμ 4.4 标准正态化随机变量平方的分布 给定),(2 σμn X d →，则有 )1()( 22 χσ μ d X →- 用累积密度函数证明，附带证明出2 /1)2 1 (π=Γ。 4.5 若干卡方随机变量和的分布 给定随机样本1y ，2y ……n y ，i y 相互独立，且服从)(2 i d i y υχ→，则有 )(212 1n d n i y υυυχ???++?→?∑ 用矩量母函数进行证明。 4.6 若干标准正态化随机变量和的分布（p71） 给定随机样本1x ，2x ……n x ，i x 相互独立，且服从),(2 σμn x d i →，则有 )()( 22 1 n x d n i χσ μ ?→?-∑ 4.7 样本方差函数的分布 给定样本方差∑--=n i n x x s 1 22 1)(，其中),(2 σμn x d i →，则有 ()()()1121 2 2 2 -?→?-=-∑ n x x s n d n i χσσ 证明的关键 ()()()2 2 222 1 2 1σμσσμ-+-=-∑x n s n x n i 然后运用矩量母函数。 4.8 正态化样本均值比值的分布 已知 a) ??? ? ???→?n n x d 2,σμ, b) ()1,0/n n x d ?→?-σμ, c) ()()1122 2-?→?-n s n d χσ. 则有 ()1/-?→?-n t n s x d μ 4.9 来自同一总体的两个样本方差比值的分布 已知 a) ()()111 22 211-?→?-n s n d χσ b) ()()112 22 222-?→?-n s n d χσ 则有 ()1,12122 21--?→?n n F s s d 4.10 多元随机变量标准二次型的分布 已知二次型1 1 1??-?∑ m T m m X m T X X ，其中X 是一个由m 个零均值正态分布的随机变量组成的向量， m m X ?∑ 是方差协方差阵。 则有 ()m X X d m T m m X m T 21 1 1χ?→???-?∑ （该证明过程有待琢磨） 4.11 随机变量函数分布总结 见表中（略） 5 单变量区间估计和假设检验 5.1 介绍 （前章回顾） 关于区间估计，通常需要做估计的统计量是包含在关于它的（有时还包括其它一些）统计量的函数中，不过其它的统计量的值都是可以计算出来的，因此可以通过对不等式的运算得到关于要求统计量的估计区间。 关于假设检验，引入“零假设”和“备择假设”的概念，置信区间用以确定零假设是否应该被拒绝，如果假设被拒绝，那么α就称为该检验的显著性水平；如果假设未被拒绝，那么就不能对该假设，假设检验以及显著性水平做出申明。 5.2 单一测量值i X 的检验（关于均值μ和方差2 σ） 已知单一测量值i X ，且()2 ,σμn X d i ?→?，当ασ μ=?? ? ??≤-≤-c X c i Pr 时，则i X 的置信 区间为 []σμσμc X c i +≤≤- 这个置信区间用来检验假设 H i X X H =:0 5.3 均值μ的检验（关于一个观测值i X 和方差2 σ） 考虑一个观测值i X ，且()2 ,σμn X d i ?→?，当ασ μ=?? ? ??≤-≤-c X c i Pr 时，则μ的置信区间为 []σμσc X c X i i +≤≤- 这个置信区间用来检验假设 H H μμ=:0 5.4 均值μ的检验（关于一个样本均值X 和方差n /2 σ） 当 ασμ=??? ? ??≤-≤-c n X c /Pr 则μ的置信区间为 ()()????? ?+≤≤-2/12/1n c X n c X σμσ 这个置信区间用来检验假设 H H μμ=:0 5.5 样本均值X 的检验（关于均值μ和方差n /2 σ） 当 ασμ=??? ? ??≤-≤-c n X c /Pr 则X 的置信区间为 ()()? ?? ?? ?+≤≤-2/12/1n c X n c σμσμ 这个置信区间用来检验假设 H X X H =:0 5.6 均值μ的检验（关于一个样本均值X 和方差2 s ） 当 αμ=??? ? ??≤-≤-P P t n s X t /Pr 则μ的置信区间为 ()()? ?? ?? ?+≤≤-2/12/1n t X n t X P P σμσ 这个置信区间用来检验假设 H H μμ=:0 5.7 样本均值X 的检验（关于均值μ和样本方差2 s ） 当 αμ=??? ? ??≤-≤-P P t n s X t /Pr 则X 的置信区间为 ()()????? ?+≤≤-2/12/1n t X n t P P σμσμ 这个置信区间用来检验假设 H X X H =:0 5.8 方差2 σ的检验（关于均值μ和若干测量值1X ,2X ,……n X ） 当 αχσμχ=??? ? ??≤??? ??-≤∑212221Pr P n i P X 则2 σ的置信区间为 ()()????? ? ????? ?-≤≤-∑∑2 1 22 2 12 1 2P n i P n i X X χ μσχμ 这个置信区间用来检验假设 H H 220:σσ= 5.9 方差2σ的检验（关于样本方差2 s ） 当 ()αχσχ=??? ? ??≤-≤222221 1Pr P P s n 则2 σ的置信区间为 ()()??? ?????-≤≤-2 22221211P P s n s n χσχ 这个置信区间用来检验假设 H H 220:σσ= 5.10 样本方差2s 的检验（关于方差2 σ） 当 ()αχσχ=??? ? ??≤-≤222221 1Pr P P s n 第14章整式的乘法与因式分解复习 专题 汾水中学刘凤至一、内容和内容解析 1．内容 对本章学过的内容进行梳理、总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 2．内容解析 本章主要学习了整式的乘除法和因式分解．整式乘除法是整式四则运算的重要组成部分．在学习整式乘除法的运算中主要研究了幂的运算性质、整式乘除法和乘法公式，其中幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，乘法公式是整式乘法的特殊情形，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题．整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分，能熟练地进行单项式除以单项式、多项式除以单项式．在学习了整式乘法的基础上又学习了因式分解，感受因式分解与整式乘法之间的内在联系．在综合运用知识解决实际问题中，将知识进行转化，把复杂问题简单化，将实际问题转化为数学模型，运用数学思想方法解决问题，感受数学思想方法的作用是必要的，也是重要的． 二、学习目标： 1. 经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系． 2. 掌握整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想． 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能 灵活的运用运算律与乘法公式简化运算。 4.理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法进行因式分解．教学重点及难点： 教学重点：整式的乘除法和因式分解，特别是作为乘、除运算基础的幂的运算． 教学难点：乘法公式的灵活运用以及运用公式法分解因式．三、知识结构与梳理 幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法 (3)幂的乘方(4)积的乘方 整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式 (3)多项式乘多项式 (4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式 乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式 因式分解：(1)提公因式法(2)公式法 四、教学问题诊断分析 在幂的运算性质中，幂的运算抽象程度比较高，不易理解，学生在接受起来有难度，尤其是在学习完四种运算后，部分学生会将几种运算混淆。区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂的乘法的性质，幂的乘方、积的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；而同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．在运用提公因式法分解因式时，学生遇到的困难是公因式选取不准确，在分解因式时没 第2课时 多个有理数相乘的法则 1．下列说法中正确的是( ) A ．几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负 B ．几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个 C ．几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负 D ．几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负 2．已知abc >0，a >c ，ac <0，下列结论正确的是( ) A ．a <0，b <0，c >0 B ．a >0，b >0，c <0 C ．a >0，b <0，c <0 D ．a <0，b >0，c >0 3．观察下面的解题过程，并根据解题过程直接写出下列各式的结果． (－10)×1 3×0.1×6 ＝－10×1 3×0.1×6 ＝－2. (1)(－10)×? ????－1 3×0.1×6＝ ； (2)(－10)×? ????－1 3×(－0.1)×6＝ ； (3)(－10)×? ????－1 3×(－0.1)×(－6)＝ . 4．计算： (1)(－4)×5×(－0.25)； (2)? ????－3 8×(－16)×(＋0.5)×(－4)； (3)(＋2)×(－8.5)×(－100)×0×(＋90)； (4)－3 8×5 12×? ????－11 15. 5．[2017·城关区校级期中]计算： (1)－0.75×(－0.4 )×123； (2)0.6×? ????－34×? ????－56×? ?? ??－223. 6．计算： (1)(1－2)×(2－3)×(3－4)×(4－5)×…×(99－100)； (2)? ????12 018－1×? ????12 017－1×? ????12 016－1×…×? ????11 001－1×? ?? ??11 000－1. 7．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开 始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报? ????11＋1，第2位同学报? ?? ??12＋1，第3位同学报? ?? ??13＋1……这样得到的20个数的积为 . 参考答案 第2课时 多个有理数相乘的法则 【分层作业】 1．B 2.C 3.(1)2 (2)－2 (3)2 4．(1)5 (2)－12 (3)0 (4)16 5．(1)12 (2)－1 6.(1)－1 (2)－9992 018 7.21 课题：《整式的乘法》小结与复习（1） 学习目标： 1、理解幂的运算性质、单项式乘法、多项式乘法法则。 2、掌握整式的乘法运算。 重点：掌握整式式的乘法法则并加以运用. 难点：理解整式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算。 教学过程： 一、本章知识结构：（出示ppt课件） 用ppt课件，师生共同回忆本章的知识结构，提醒学生注意以下几个问题： 1、同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，运算时要注意区分. 2、多项式与多项式相乘注意不要漏乘. 3、运用乘法公式进行运算，要把握公式的特征，灵活选用公式. 二、整式乘法的注要内容：（出示ppt课件） 1. 幂的运算性质： （1）同底数幂乘法的运算性质：a m · a n=a m+n（m、n都是正整数） 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 （2）幂的乘方运算法则：(a m)n=a mn（m，n都是正整数） 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘方法则：(ab)n= a n b n（n为正整数）． 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） 2、整式乘法： （1）单项式乘以单项式 法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。 (2) 单项式乘以多项式 法则：单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 (3) 多项式乘以多项式 法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 三、基础训练：（出示ppt课件） 1、判断下列各式是否正确。 (1) a3·a3=2a3(2) b4+b4=b8 (3) m2+m2=2m2 (4) (-x) 3·(-x) 2·(-x)=x6 (5) (a4) 4=a4+4=a8(6) [(b2) 3] 4=b2×3×4=b24 (7) (-x2) 2n-1=x4n-2(8) (a4) m=(a m) 4=(a2m) 2 2. 判断下列说法是否正确： （1）单项式乘以单项式，结果一定是单项式（） （2）两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（） （3）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（） 【巩固练习】 一.选择题 1．如果单项式223a b x y --与3581 3 a b a b x y ++是同类项，那么这两个单项式的积是( )． A.10 4 x y - B.6 4 x y - C.25 4 x y - D.5 2 x y - 2．下列各题中，计算正确的是( )． A.( )() 2 3 3266m n m n --= B.()()3 3 2299m n mn m n --=- C .()() 2 3 2 298 m n mn m n --=- D.()()3 23321818m n m n ??--=-???? 3. 如果2 x 与－22 y 的和为m ，1＋2 y 与－2 2x 的差为n ，那么24m n -化简后为( ) A.2 2 684x y --- B.22 1084x y -- C.2 2 684x y --+ D.2 2 1084x y -+ 4. 如图，用代数式表示阴影部分面积为( )． A. ab B. ac bc + C.()ac b c c +- D.()()a c b c -- 5．结果是3 1216x x -+的式子是( )． A .(x ＋4)( x ＋2)2 B .(x ＋4)( ) 2 2x x -+ C .(x －4)() 2 2x x ++ D .(x ＋4)()2 2x - 6. 已知：222 440,23a b a b --=+=，则2 122 a b b +的值为（ ） A.－1 B.0 C.1 2 D.1 二.填空题 7. 已知20m n +=，则3 3 2()48m mn m n n +++-＝___________. 8. 已知关于x 的代数式(31)(3)x k x -+-的运算结果中不含常数项，则k ＝_____. 9. 3 2 2 3 2 2 (4235)(233)--+-+x x y xy y x xy y 之积中含32 x y 项的系数为 . 整式的乘法练习题 (一)填空 1．a8=(-a5)______．2．a15=( )5．3．3m2·2m3=______．4．(x+a)(x+a)=______．5．a3·(-a)5·(-3a)2·(-7ab3)=______．6．(-a2b)3·(-ab2)=______．7．(2x)2·x4=( )2．8．24a2b3=6a2·______．9．[(a m)n]p=______．10．(-mn)2(-m2n)3=______．11．多项式的积(3x4-2x3+x2-8x+7)(2x3+5x2+6x-3)中x3项的系数是______． 12．m是x的六次多项式，n是x的四次多项式，则2m-n是x的______次多项式． 14．(3x2)3-7x3[x3-x(4x2+1)]=______．15．｛[(-1)4]m}n=______．16．-｛-[-(-a2)3]4}2=______． 17．一长方体的高是(a+2)厘米，底面积是(a2+a-6)厘米2，则它的体积是______．18．若10m=a，10n=b，那么10m+n=______． 19．3(a-b)2[9(a-b)n+2](b-a)5=______(a-b)n+9． 20．已知3x·(x n+5)=3x n+1-8，那么x=______．21．若a2n-1·a2n+1=a12，则n=______．22．(8a3)m÷[(4a2)n·2a]=______．23．若a＜0，n为奇数，则(a n)5______0．24．(x-x2-1)(x2-x+1)n(x-x2-1)2n=______． 25．(4+2x-3y2)·(5x+y2-4xy)·(xy-3x2+2y4)的最高次项是______． 26．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0， 则x3n+1y3n+1z4n-1的值(n为自然数)等于______． (二)选择 27．下列计算最后一步的依据是[ ] 5a2x4·(-4a3x) =[5×(-4)]·a2·a3·x4·x (乘法交换律) =-20(a2a3)·(x4x) (乘法结合律) =-20a5x5．( ) A．乘法意义；B．乘方定义；C．同底数幂相乘法则；D．幂的乘方法则．28．下列计算正确的是[ ] A．9a3·2a2=18a5；B．2x5·3x4=5x9；C．3x3·4x3=12x3；D．3y3·5y3=15y9．29．(y m)3·y n的运算结果是[ ] B．y3m+n；C．y3(m+n)；D．y3mn． 30．下列计算错误的是[ ] A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4；B．(m-2)(m+3)=m2+m-6； C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20；D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18． 31．计算-a2b2·(-ab3)2所得的结果是 [ ] A．a4b8；B．-a4b8；C．a4b7；D．-a3b8． 32．下列计算中错误的是[ ] A．[(a+b)2]3=(a+b)6；B．[(x+y)2n]5=(x+y)2n+5； C．[(x+y)m]n=(x+y)mn；D．[(x+y)m+1]n=(x+y)mn+n． 33．(-2x3y4)3的值是[ ] A．-6x6y7；B．-8x27y64；C．-8x9y12；D．-6xy10．34．下列计算正确的是[ ] A．(a3)n+1=a3n+1；B．(-a2)3a6=a12；C．a8m·a8m=2a16m；D．(-m)(-m)4=-m5．35．(a-b)2n·(b-a)·(a-b)m-1的结果是[ ] 2n+m2n+m2n+m 第九讲 整式的乘法专题复习 一、知识要点： 同底数幂的乘法性质：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表达：a m ·a n =a m+n （m ，n 都是正整数）．三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如a m ·a n ·a p =a m+n+p （m ，n ，p 都是正整数）． 幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表达：（a m ）n =a mn （m ，n 都 是正整数）．运用这个性质时，要与同底数幂的乘法区别开来，不能混淆．性质对形如[(a m )n ] p 仍适用．底数a 可以是一个数，也可以是一个整式．性质也可逆向运用：a mn =（a m ） n 积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘．用式 子表达：（ab ）n =a n b n ．（n 是正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。性质 也可逆向运用：a n b n =（ab ）n ． 单项式乘法法则：两个单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，其乘积分别是积的系数和同底数幂，只在一个单项式中含有字母，连同其指数写在积中，作为积的一个因式． 单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。 多项式与多项式相乘法则：多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。 乘法公式： 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 二、基础练习： 1、化简(-x)3 ·(-x)2 的结果正确的是( ) A.-x 6 B.x 6 C.x 5 D.-x 5 2、下列运算中，正确的有( )(正确的请填序号，错误的请改正) A.x 2 ·x 3 =x 6 B.(a b)3 =a 3b 3 C.3a +2a =5a 2 D.(a -1)2 =a 2 -1 E.x 2 ·x 3 =x 6 F. x 2+x 2=2x 4 G.(-2x)2=-4x 2 H.(-2x 2)(-3x 3)=6x 5 I.(-a )2 =a 2 B. J.(-a)3 =a 3 K.2 a -=-a 2 L.3 a -=a 3 M.(- a )·(-a )2 =a 3 N.(- a )2 ·(-a )2 =a 4 O.(- a )3 ·(-a )2 =-a 5 P.(- a )3 ·(-a )3 =a 6 3、计算：4x 2 ·(-2xy)= ，(-2 1x 3y)2 = ，a 3·a 2b= ，9xy ·(-31x 2y)= ， 八年级14.1整式的乘法知识点总结 【知识点一】整式的混合运算 例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-?? 例题二、计算：3 222132213??? ??-???? ??-+xy y y x 例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++ 【知识点二】利用幂的运算法则解决问题 例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。 例题二、解方程：486331222=-++x x 例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324?的值。 【知识点三】整式除法的运用 例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=?? ? ??-÷，求n,m,p 的值。 例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2 234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式 【知识点四】整式化简求值 例题一、先化简，再求值： ()() ()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x 例题二、先化简，再求值： ()()()?? ? ??--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x . 【知识点五】开放探求题 例题一、若多项式()()4 3 2 2+ - + +x x n mx x展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()b x a x+ +3 2，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为10 11 62- +x x；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10 9 22+ -x x。 （1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。 例题三、若x是整数，求证 1 21 22 3 + -+ -- x x x x x是整数。 二、填空题： 22 2 2 5 3 单项式与单项式相乘 、选择题 1. 计算x 2 y 2( xy 3)2的结果是() 1 4. 计算 2xy ( -x 2y 2z) ( 3x 3y 3)的结果是() 2 A. 3x 6y 6z B. 3x 6y 6z C. 3x 5y 5z D. 3x 5y 5z 5. 计算(a 2b)3 2a 2b ( 3a 2b)2 的结果为() A. 17a 6b 3 B. 18a 6b 3 C. 17a 6b 3 D. 18a 6b 3 6. x 的m 次方的5倍与x 2的7倍的积为() A. 12x 2m B. 35x 2m C. 35x m 2 D. m 2 12x 7. ( 2x 3y 4)3 ( x 2 yc)2 等于( ) A. 8x 13y 14c 2 B. C 13 14 8x y c 2 C. 8x 36 24 2 y c D. c 36 24 2 8x y c 3 m 1 m n 8. x y x 2n 2 y 9 9 x y ， 则4m 3n () A. 8 B. 9 C. 10 D. 无法确定 9. 计算(3x 2) ( 2x 3m y n )( y m )的结果是() 3 4m mn 11 2m 2 m 3m 2 m n 11 5m n .3x y B. x y C. 2x y D. (x y) 3 3 10. 下列计算错误的是() A. (a 2)3 ( a 3)2 a 12 B. ( ab 2)2 ( a 2b 3) a 4b 7 C. (2xy n ) ( 3x n y)2 18x 2n 1 y n 2 D. ( xy 2)( yz 2)( zx 2) x 3 y 3z 3 A A. x 5y 10 B. x 4y 8 C. x 5y 8 D. x 6 12 y 2. A. 3. 1 2 3 (x y) 2 3 6 3 x y 16 (2.5 103)3 12 2 (-x 2y)2 ( 4 x 2y)计算结果为 B. 0 C. x 6y 3 D. 5x 6y 3 12 A. 6 1013 B. 0.8 102)2计算结果是 6 1013 C. 2 1013 D. 14 10 第2课时多个有理数的乘法 【知识与技能】 1.探索多个有理数相乘时积的符号的确定方法. 2.通过对问题的变式探索,培养学生观察、猜测、验证、归纳的能力. 【过程与方法】 引入多个有理数的乘法的概念,并通过各种师生活动加深学生对“几个有理数相乘时积的运算符号的确定”的理解;使学生在有理数乘法运算的过程中,提高计算能力. 【情感态度】 通过有理数乘法的学习,让学生在学习的过程中通过观察、比较、思考等体验数学的创新思维和发散思维,学会与人交流,培养实事求是的科学态度,使学生养成认真、细致的计算习惯. 【教学重点】 重点是应用乘法法则正确地进行几个有理数乘运计算. 【教学难点】 难点是多个有理数相乘时积的符号的确定. 一、情境导入,初步认识 【情境】实物投影,并呈现问题：判断下列各式积的符号并指出算式中负数的个数： (1)-2×3×4×5×6; (2)2×(-3)×4×(-5)×6×7×8×9×(-10); (3)(-2)×(-3)×4×5×6×7; (4)-2×3×4×5×(-6)×7×8×(-9)×(-10). 思考几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系？ 【教学说明】学生独立思考后,小组讨论,教师注意引导学生正确理解乘法运算的实际意义,通过观察、归纳得出有理数的乘法法则.情境中（1）负号,有一个负数;（2）负号,有三个负数;（3）正号,有两个负数;（4）正号,有四个负数.几个不等于0的因数相乘,当负因数有奇数个时,积的符号为负;当负因数有偶数个时,积的符号为正. 【教学说明】通过现实情景再现,让学生体会数学知识与实际意义的联系.学生通过前面的情景引入,在老师的引导下,通过自己的观察,归纳出结论,进而体验到成功的喜悦,同时,也激发了学生学习的兴趣. 二、思考探究,获取新知 几个有理数相乘的法则 14.1.4整式的乘法 教案 教学目标 1.知识与技能： （一）掌握单项式乘法的法则，会进行单项式的乘法运算； （二）掌握单项式与多项式的乘法法则，能熟练地进行有关计算； （三）掌握多项式的乘法法则，能熟练地进行多项式的乘法； （四）通过整式乘法中运算的转化体会数形结合，换元等数学方法和“转换”的数学思想. 2.过程与方法：通过讲练结合的方式，在复习单项式和多项式概念的基础上逐步讲解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种整式乘法运算. 3.情感态度与价值观：营造积极活泼的课堂气氛，引导学生思考，并逐步学以致用. 教学重点 单项式乘多项式及多项式乘法中不要出现漏乘，多乘现象. 符号问题. 教学难点 单项式乘法法则，单项式与多项式乘法法则，多项式的乘法法则，特殊二项式乘法公式的应用. 教学方法 讲练结合、引导探究. 教具学具 黑板. 教学过程 知识点1：单项式的乘法法则. 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 21x 2y·4xy 2=(2 1×4)·x 2+1y 1+2=2x 3y 3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用 所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点2：单项式与多项式相乘的乘法法则. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=a m+a n+a p. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流 下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？ (1)3a(b-c+a)=3a b-c+a (2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨(1)(2)不正确，(3)正确. (1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘. (2)题错在没有将-2x中的负号乘进去. 知识点3：多项式相乘的乘法法则. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=a m+bm+a n+bn. 计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 典例剖析 1化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 (分析)本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x3)·x2=-x5；②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项. 2下列运算中，正确的是( ) 整式的乘法复习专题一(幂的运算) 知识点一：同底幂的乘法和除法 a m ?a n =a m+n ； a m ÷a n =a m-n 延伸：a m ?a n ?a p =a m+n+p 逆用：a m+n =a m ?a n ；a m-n =a m ÷a n 底数互为相反数的转化：1 21 222)(;)(---=-=-n n n n a a a a 针对性练习： 1. 102·107= ； a·a 3·a 4= ； x n+1·x n-1=_____； 52()()x x -÷-=______；10234 x x x x ÷÷÷ =______. 2. x 3·x· =x 5； x 4n ·_____=x 6n ； (－y)2·_____=y 4；÷8 a =3 a ； 3. 若a x =2，a y =3，则a x+y =_____；a x÷y =_____. 4. 已知x m+2=2，x n-2=6，则x m+n =_____. 5. x·____=－x 7； (－a 4)·a 3=____； (－a)4·a 3=____； －a 4·a 2=____； 6. (a －b)·(b －a)2·(b －a)3 = ； 7. 若5x =2，5y =3，则5x+y =_____； 5x+2=_____； 5x+y+1=_____； y x -5= ；1 5-y = . 8. 若x m-2·x 3m =x 6，求m 2-2m+2的值 9. 计算：x 2·2x 5-(-x 3) ·x 4+x 6·(-x) 知识点二：负指数和零指数： p p p a a a ?? ? ??==-11(a≠0)；10=a (a≠0). 针对性练习： 1. 2 2-= ；2 ) 2(--= ；221- -??? ??= ；2 21-?? ? ??= . 2. 0 )2(-= ；0 2= ；0 73-?? ? ??= ；()0 1π-= . 3. 若0 (2)x -=1，则x . 4. 已知2 (1) 1x x +-=，且x 是整数，则x= . 知识点三：幂的乘方和积的乘方 () mn n m a a =；()m m m b a ab =. 逆用：()() m n n m mn a a a ==；()m m m ab b a =? 针对性练习： 1. 221()3ab c -=________,23()n a a ? =_________. 2. 5237()()p q p q ????+?+???? = ,23( )4n n n n a b =. 3. 3() 214()a a a ?=； 221()()n n x y xy -? =__________. 4. 100100 1()(3)3?- =_________； =?2012201388 1-）（_________。 5. 若a 2323=，则a= ；若4312882n ?=，则n=_________. 6. 若2,3n n x y ==，则()n xy =_______，23()n x y =________. 7. 若5x =2，5y =3，则5x+y =____； 52x+2=____； 53x+2y =____;1 25 -x = . 8. 计算8 23 32 ()()[()]p p p -?-?-的结果是( ) 9. 已知55 44 33 2,3,4a b c ===,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a 有理数的乘法练习题 一、判断： （1）同号两数相乘，符号不变。（） （2）两数相乘，积一定大于每一个乘数。（） （3）两个有理数的积，一定等于它们绝对值之积。（） （4）两个数的积为0，这两个数全为0。（） （5）互为相反数的两数相乘，积为负数。（） 二、选择题 1．五个数相乘，积为负数，则其中正因数的个数为（） A．0 B．2 C．4 D．0，2或4 2．x和5x的大小关系是（） A．x<5x B．x>5x C．x=5x D．以上三个结论均有可能3．如果x2y250 +++=，那么(－x)·y=( ) A．100 B．－100 C．50 D．－50 4．两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( ) A．都是正有理数 B．都是负有理数 C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数 D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数 5．a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)× a 1 b ?? + ? ?? 的值为( ) A．0 B．－1 C．1 D．2 6．－2 7 的倒数与绝对值等于 2 21 的数的积为( ) A．1 3 B．－ 1 3 C．± 1 3 D．± 4 147 7．已知a·b·c>0，ac<0，a>c，则下列结论准确的是( ) A．a<0，b<0，c>0 B．a>0，b>0，c<0 C．a>0，b<0，c<0 D．a<0，b>0，c>0 图1-30 8．如图1-30，a、b、c是数轴上的点，则下列结论错误的是( ) A．ac+b<0 B．a+b+c<0 C．abc<0 D．ab+c>0 9．如果三个数的积为正数，和也为正数，那么这三个数不可能是( ) A．三个都为正数 B．三个数都是负数 C．一个是正数，两个是负数 D．不能确定 三、填空 1．(+6)×(－1)= ；(－6)×(－5)×0= 。 2．×(－3)=－21；－71 3 × =0； 1 3 ?? - ? ?? × = 1 3 。 3．绝对值大于3．7且不大于6的所有整数的积为。 4．已知a+b>0,a-b<0,ab<0，则a 0；b 0； ； 5． 1111 2345 ???????? +?-?+?- ? ? ? ? ???????? 的积的符号是；决定这个符号的根据 是；积的结果为。 6．如果a、b、c、d是四个不相等的整数，且a×b×c×d=49，那么a+b+c+d= 。 7．(－17)×43＋(－17)×20－(－17)×163=(－17)×( 十 ＋ ) =(－17)× = 。 8．某地气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低大约6℃，现在地面气温是37℃．则10000米高空气温约为． 四、计算（1） )1 ( )2.8 (- ? -（2）) 80 ( ) 25 .2 (+ ? -（3） （4） 3 1 2 )5.2 (?? ? ? ? ? + ? - （5） ? ? ? ? ? - ? - 7 1 2 )5.1 ( （6） ? ? ? ? ? + ? - 28 17 ) 308 ( 五、用简便方法计算 ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - 7 2 2 1 3 龙文教育教师1对1个性化教案学生姓 名刘皓轩 教师 姓名 薛磊 授课 日期 8月20日 授课 时段 10:00-12:00 课题整式的乘法法则 教学目标1、了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算 2、经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公 式进行简单的运算 3、掌握完全平方公式的推导及其应用．了解完全平方公式的几何解释 教学步骤及教学内容教学过程： 一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解学生掌握情况； 2、捕捉学生的思想动态 二、教学内容 知识点1、单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则．知识点2、平方差公式、完全平方公式 三、教学辅助练习（或探究训练） 四、知识总结 五、知识的延伸和拓展 六、布置作业 教导处签字： 日期：年月日 教学过程中学生易错点归类 作业布置 学习过程评价一、学生对于本次课的评价 O 特别满意O 满意O 一般O 差 二、教师评定 1、学生上次作业评价 O好O较好O 一般O差 2、学生本次上课情况评价 O 好O 较好O 一般O 差 家长 意见 家长签名： 整式的乘法法则 课时一：单项式乘以单项式 一、回顾旧知： 回忆幂的运算性质： a m·a n=a m+n (a m)n=a mn (ab)n=a n b n (m，n都是正整数) 二、创设情境 1.问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间 大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? (3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107 如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？ ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2) =(a·b)·(c5·c2) =abc5+2 =abc7 类似地，请试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c) 得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 三、巩固结论，加强练习： 1.计算： (1)（-5a2b）·（-3a） (2)（2x）3·（-5xy2） 2.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室 的面积有多少平方米? 测试1 整式的乘法 会进行整式的乘法计算． 课堂学习检测 一、填空题 1．（1）单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 ________． （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． （3）多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________． 2．直接写出结果： （1）5y ·（－4xy 2）＝________；（2）（－x 2y ）3·（－3xy 2z ）＝________； （3）（－2a 2b ）（ab 2－a 2b ＋a 2）＝________； （4）=-?-+-)2 1()864(2 2x x x ________； （5）（3a ＋b ）（a －2b ）＝________；（6）（x ＋5）（x －1）＝________． 二、选择题 3．下列算式中正确的是（ ） A ．3a 3·2a 2＝6a 6 B ．2x 3·4x 5＝8x 8 C ．3x ·3x 4＝9x 4 D ．5y 7·5y 3＝10y 10 4．（－10）·（－0.3×102）·（0.4×105）等于（ ） A ．1.2×108 B ．－0.12×107 C ．1.2×107 D ．－0.12×108 5．下面计算正确的是（ ） A ．（2a ＋b ）（2a －b ）＝2a 2－b 2 B ．（－a －b ）（a ＋b ）＝a 2－b 2 C ．（a －3b ）（3a －b ）＝3a 2－10ab ＋3b 2 D ．（a －b ）（a 2－ab ＋b 2）＝a 3－b 3 6．已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，化简（a －2）（b －2）的结果是（ ） A ．6 B ．2m －8 C ．2m D ．－2m 三、计算题 7．)2 1 ).(43).(32(222z xy z yz x -- 8．[4（a －b ）m － 1]·[－3（a －b ）2m ] 9．2（a 2b 2－ab ＋1）＋3ab （1－ab ） 10．2a 2－a （2a －5b ）－b （5a －b ） 11．－（－x ）2·（－2x 2y ）3＋2x 2（x 6y 3－1） 12．)2 1 4)(221(-+x x 13．（0.1m －0.2n ）（0.3m ＋0.4n ） 14．（x 2＋xy ＋y 2）（x －y ） 整式的乘法 教学目标 1.知识与技能： （一）掌握单项式乘法的法则，会进行单项式的乘法运算； （二）掌握单项式与多项式的乘法法则，能熟练地进行有关计算； （三）掌握多项式的乘法法则，能熟练地进行多项式的乘法； （四）通过整式乘法中运算的转化体会数形结合，换元等数学方法和“转换”的数学思想. 2.过程与方法：通过讲练结合的方式，在复习单项式和多项式概念的基础上逐步讲解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种整式乘法运算. 3.情感态度与价值观：营造积极活泼的课堂气氛，引导学生思考，并逐步学以致用. 教学重点 单项式乘多项式及多项式乘法中不要出现漏乘，多乘现象. 符号问题. 教学难点 单项式乘法法则，单项式与多项式乘法法则，多项式的乘法法则，特殊二项式乘法公式的应用. 教学方法 讲练结合、引导探究. 教具学具 黑板. 教学过程 知识点1：单项式的乘法法则. 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 21x 2y·4xy 2=(2 1×4)·x 2+1y 1+2=2x 3y 3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用 所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点2：单项式与多项式相乘的乘法法则. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=a m+a n+a p. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流 下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？ (1)3a(b-c+a)=3a b-c+a (2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨(1)(2)不正确，(3)正确. (1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘. (2)题错在没有将-2x中的负号乘进去. 知识点3：多项式相乘的乘法法则. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=a m+bm+a n+bn. 计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 典例剖析 1化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 (分析)本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x3)·x2=-x5；②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项. 2下列运算中，正确的是( ) 有理数乘除法 教学目标 1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则； 2．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算； 3．使学生理解有理数倒数的意义； 4．使学生掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算； 教学重点： 有理数乘法的运算．乘法的符号法则和乘法的运算律．有理数除法法则． 教学难点： 积的符号的确定．商的符号的确定． 知识点： 1·有理数乘法的法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，都得0． 2·几个有理数相乘时积的符号法则： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意：第一个因数是负数时，可省略括号． 3·乘法交换律：abc=cab=bca 乘法结合律：a(bc)d=a(bcd)=…… 分配律：a(b+c+d+…+m)=ab+ac+ad+…+am 4·倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数； 倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来. 5·有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数. （两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．） 0除以任何一个不为0的数，都得0． 例题： 8+5×(-4)；? (-3)×(-7)-9×(-6)． (-23)×(-48)×216×0×(-2) (-27)÷3 20÷7÷(-20)÷3 练习题：有理数乘法 1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋2 1） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ） A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 B ．同号两数相乘，符号不变 C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号 D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3．计算（－221）×（－33 1）×（－1）的结果是（ ） A ．－661 B ．－551 C ．－831 D ．56 5 4．如果ab ＝0，那么一定有（ ） A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝0 C ．a ，b 至少有一个为0 D ．a ，b 最多有一个为0 5．下面计算正确的是（ ） A ．－5×（－4）×（－2）×（－2）＝5×4×2×2＝80 B ．12×（－5）＝－50 C ．（－9）×5×（－4）×0＝9×5×4＝180 D ．（－36）×（－1）＝－36 6．（1）（－3）×（－）＝_______； （2）（－521）×（33 1）＝_______； （3）－×＝_______； （4）（＋32）×（－）×0×（－93 1）＝______ 7．绝对值大于1，小于4的所有整数的积是______。 8．绝对值不大于5的所有负整数的积是______。整式的乘法复习专题
七年级数学上册 有理数的乘除法 多个有理数相乘的法则复习练习新人教版
湘教版七年级数学下册教案《整式的乘法》小结与复习(1)
最新24.整式的乘法(提高)巩固练习
整式的乘法练习题
整式的乘法专题复习
整式的乘法知识点总结—
《整式的乘法经典习题--大全※》
七年级数学上册-有理数的乘除1有理数的乘法第2课时多个有理数的乘法教案新版沪科版
整式的乘法教案 (2)
整式的乘法专题复习一
有理数的乘法练习题
整式的乘法法则
整式的乘法同步练习题解析
整式的乘法
有理数乘除法知识点与练习
相关主题
文本预览