二次曲面拟合法

2019年软 件2019, V ol. 40, No. 1作者简介: 杨姗(1992-)，女，大学本科，主要研究方向为大地测量；杨德宏(1965-)，男，副教授，主要研究方向为测量数据处理与大地测量。

基于二次曲面拟合法确定区域似大地水准面杨 姗，杨德宏（昆明理工大学，云南 昆明 650093）摘 要: 采用GPS 测量方法获得大地高，取代传统的水准测量来确定区域似大地水准面精化的方法。

在如何确定区域似大地水准面方面，通过对某一区域似大地水准面精化计算，得到计算结果残差与中误差计算等，采用计算机编程实现了该区域大地水准面精化。

计算结果表明二次曲面拟合法可以较好解决小区域似大地水准面精化，在该区域内任一GPS 测量点，依据其三维坐标就可以得到这个点位的正常高。

关键词: 最小二乘法；二次曲面拟合；正常高；大地高中图分类号: P258 文献标识码: A DOI ：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.01.028本文著录格式：杨姗，杨德宏. 基于二次曲面拟合法确定区域似大地水准面[J]. 软件，2019，40（1）：135-137Determination of Regional Geoids Based on Quadratic Fitting MethodYANG Shan, YANG De-hong(Kunming University of Science and Technology , 650093)【Abstract 】: GPS measurements are used to obtain geodetic heights, replacing traditional leveling measurements to determine areas of geoid-like refinement. In terms of how to determine the regional geoid level, the calculation results of residual and medium error calculations are obtained by refining the geodetic surface of a certain area, and the geoid refinement of the area is realized by computer programming. The calculation results show that the quadric surface fitting method can better solve the refinement of the small area like the geoid. In any GPS measurement point in this area, the normal height of this point can be obtained according to its three-dimensional coordinates. 【Key words 】: Least squares; Quadric surface fitting; Normal high; Earth height0 引言传统的几何水准测量方法虽然测量精度很高，但是对于经济正在转型的中国来说实施起来并不是快速高效的。

使用二次曲面拟合来计算点云曲率的基本步骤下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!使用二次曲面拟合来计算点云曲率的基本步骤在三维点云数据处理中，计算曲率是评估表面形状和特征的重要步骤之一。

高程异常二次曲面拟合的改进算法作者：杨恪余代俊黄强来源：《科技风》2018年第27期摘要：传统的物理大地测量方法一般采用“移除-恢复”二次曲面法内插出任意点的高程异常，但其精度存在着比较大的限制，转换正常高的有时会出现30mm以上的偏差。

为了提高传统方法求解的高程异常精度，本文在传统二次曲面拟合建模过程中新增一个距离因子，即带余项的二次曲面拟合。

分别应用两种模型对同一地区GPS高程点转换正常高，传统的二次曲面解算的高程异常偏差平均值约为14mm，而带余项的二次曲面解算的高程异常偏差约为9mm。

改进后的带余项的二次曲面拟合法相对传统方法可以提高求解高程异常精度，精度提升在35.5%左右。

关键词：高程异常；移除_恢复；重力场模型；二次曲面拟合；带余项的二次曲面拟合测绘工程领域尤其是大地测量方向的研究人员通常采用物理大地测量方法来解高程异常。

该方法的核心是基于重力场模型的“移除_恢复”二次曲面拟合法，先把高程异常中的重力场模型高程异常部分移除，接着对剩余的高程异常进行二次曲面拟合，然后在各个内插点上把移除的重力场模型高程异常恢复。

虽然二次曲面拟合法对似大地水准面与WGS84椭球面的差值进行建模在一定程度上可以有效地求解出GPS观测点的正常高，但是以往采用这种方法的算例中有些正常高转换的精度偏差达到20-30mm[1]将这种精度下的正常高直接应用于一些精度要求较高的大地测量或者工程测量中。

在整个传统的物理大地测量方法中，虽然重力场模型几乎可以覆盖全球，并且重力场模型数据也可以很方便的获取，每个地区点的重力异常与当地的实际的重力异常往往存在着系统偏差，这些偏差跟当地的地下密度不均、地形数据等因素的干扰都有着密不可分的关系。

[2]本研究把可能的重力异常偏差在相对较小的范围内随地点变动的因素考虑进去，并且把该因素的作用量化地反映在“移除_恢复”拟合法过程中的二次曲面拟合环节，从而提出了带余项二次曲面拟合方法。

二次曲面函数拟合在实际问题中，经常需要通过数据来拟合一个曲面函数，以便更好地理解问题。

例如，在工程和科学领域中，这种拟合技术常常用于研究材料的力学性质、优化机器的性能以及诊断疾病等方面。

在拟合曲面函数的过程中，二次曲面函数拟合是一种简单而常用的方法。

二次曲面函数的形式是：$f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f$其中，$a,b,c,d,e,f$是拟合参数，需要通过某种算法来求解。

在二次曲面函数拟合中，通常采用最小二乘法来求解这些参数。

最小二乘法是一种数学优化方法，其目的是通过在所有可能的参数值中找到最小的误差平方和。

在二次曲面函数拟合中，误差是指拟合曲面和实际数据之间的差异。

具体而言，假设有$m$个数据点$(x_i,y_i,z_i)$，这些数据点可以表示为一个矩阵$A$和一个向量$z$：$A=\begin{pmatrix}x_1^2 & x_1y_1& y_1^2 & x_1 & y_1 &1\\x_2^2 & x_2y_2&y_2^2 & x_2 & y_2 &1\\\vdots & \vdots &\vdots & \vdots& \vdots&\vdots \\x_m^2 &x_my_m& y_m^2 & x_m & y_m &1\end{pmatrix}$$z=\begin{pmatrix}z_1 \\ z_2\\ \vdots \\ z_m \end{pmatrix}$则二次曲面函数拟合的目标是最小化$||Az-z||_2^2$，其中$||\cdot||_2$表示欧几里得范数。

因此，可以通过求解下式来得到拟合参数：$(A^TA)^{-1}A^Tz$其中，$(A^TA)^{-1}$表示$(A^TA)$的逆矩阵。

在实际应用中，可以利用计算机程序来实现二次曲面函数拟合。

反求建模中常见二次曲面拟合方法
田怀文;郭仕章
【期刊名称】《西南交通大学学报》
【年(卷),期】2007(042)005
【摘要】针对机械零件反求建模过程中常见二次曲面的表面重建问题,提出了曲面拟合分步计算法.该算法根据数字化离散点的三维坐标及各点的法矢量,利用零件表面的几何特征建立拟合计算目标函数,把二次曲面拟合问题转化为线性最小二乘计算问题;通过拟合计算提取曲面的几何参数,为建立机械零件实体及特征模型打下基础.
【总页数】5页(P553-557)
【作者】田怀文;郭仕章
【作者单位】西南交通大学机械工程学院,四川,成都,610031;西南交通大学机械工程学院,四川,成都,610031
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.人际沟通中常见的问题及解决方法较大标准较小全屏阅读分享到：更多 QQ
空间豆瓣搜狐微博网易微博百度搜藏谷歌书签人际沟通中常见的问题及解决方法 [J], 也可亚江买买提
2.浅析二次函数中常见的解题方法 [J], 宋艳林;
3.基于二次曲面拟合的机械模型交互式分割方法 [J], 吴仲琦; 郭建伟; 肖俊; 曾祥永;
王颖; 严冬明
4.利用离散平稳小波变换改进NURBS二次曲面拟合方法 [J], 田小强; 孔令富; 孔德明; 崔永强
5.例说数学建模教学中常见的数据预处理方法 [J], 李巧玲;张汉儒
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

工业测量中标准二次曲面的一种拟合方法
梁爽;李明;杨恢;赵幸福
【期刊名称】《组合机床与自动化加工技术》
【年(卷),期】2012(000)005
【摘要】针对标准二次曲面拟合算法目标方程复杂,拟合初值不易获取的情况,提出了工业测量领域工件表面标准二次曲面的一种拟合方法.该方法对工件表面常见标准二次曲面进行了重新参数化后得出较为简便的目标函数,采用数值迭代优化进行拟合.针对拟合初值的获取,由于工件的表面往往有多个平面,先对待拟合标准二次曲面周围的平面进行测量拟合,然后利用平面与待拟合标准二次曲面间的位置约束关系来得出拟合初值.仿真实验表明,这种方法可以得出正确拟合结果并具有良好的稳定性.
【总页数】5页(P49-53)
【作者】梁爽;李明;杨恢;赵幸福
【作者单位】上海大学机电工程及自动化学院,上海 200072;上海大学机电工程及自动化学院,上海 200072;上海大学机电工程及自动化学院,上海 200072;上海大学机电工程及自动化学院,上海 200072
【正文语种】中文
【中图分类】TH165;TP391
【相关文献】
1.二次曲面模型在库区GPS拟合高程测量中的应用 [J], 邓小川;郑先东
2.二次曲面的标准方程化为参数方程的一种简便方法 [J], 王贵军
3.基于二次曲面的拟合推估法在GPS高程测量中的应用 [J], 王增利;黄腾;邓标
4.基于二次曲面的Shepard方法在GPS高程拟合中的应用 [J], 黄勇军
5.工业测量中一种二次曲面的拟合方法 [J], 王解先
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二次曲线拟合方法
二次曲线拟合是一种数据拟合方法，用于寻找数据点最佳的二次函数曲线来拟合这些数据点。

一般地，二次曲线的方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是需要确定的参数。

二次曲线拟合的方法通常有两种：最小二乘法和最大似然估计。

最小二乘法是通过最小化数据点与拟合曲线之间的垂直距离的平方和来确定参数a、b和c的值。

这可以通过求解一个线性
方程组来实现，该方程组的系数矩阵是由数据点的x和x^2构
成的。

最大似然估计是一种统计学方法，假设数据点之间存在正态分布的误差。

通过最大化数据点出现的概率来确定参数a、b和
c的值。

这可以通过求解一个非线性方程组来实现，该方程组
的目标函数是似然函数的对数。

在进行二次曲线拟合时，还可以使用其他方法来提高拟合的准确性，如加权最小二乘法、包络法、局部二次曲线拟合等。

需要注意的是，二次曲线拟合可能会存在过度拟合或欠拟合的问题，需要根据实际情况选择适当的拟合程度。

似水无痕一、二次曲面移动拟合法内插DEM的原理DEM内插就是根据参考点上的高程求出其他待定点上的高程,在数学上属于插值问题。

任意一种内插方法都是基于邻近数据点之间存在很大的相关性,从而由邻近点的数据内插出待定点上的数据。

移动曲面拟合法内插,是以每一待定点为中心,定义一个局部函数去拟合周围的数据点。

该方法十分灵活,一般情况精度较高,计算相对简单,不需很大计算机内存,其过程如下:(1)根据实际内插要求,解算待定点P的平面坐标( xP , yp )。

(2)为了选取邻近的数据点,以待定点P为圆心,以R为半径作圆(如图1所示) ,凡落在圆内的数据点即被选用。

在二次曲面内插时,考虑到计算方便,将坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp )由于二次曲面系数个数为6,要求选用的数据点个数n > 6。

当数据点i ( xi , yi )到待定点P ( xP , yp )的距离di = sqr(x i2 - .y i2 ) i < R时,该点即被选用。

若选择的点数不够时,则应增大R的数值,直至数据点的个数n满足要求。

(3)选择二次曲面Z =Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F作为拟合面,则对应点的误差方程为vi = Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F - Z i由n个数据点列出的误差方程为v = MX - ZX = (M T PM) -1M T PZ由于坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp ) ,所以系数F就是待定点的内插高程值ZP二、程序采用平台：,access数据库（存储已知点）数据：10个点程序代码：Imports System.MathPublic Class Form1Dim conn As OleDb.OleDbConnection = New OleDb.OleDbConnectionDim cmd As OleDb.OleDbCommand = New OleDb.OleDbCommandDim adapter As OleDb.OleDbDataAdapter = New OleDb.OleDbDataAdapterDim datareader As OleDb.OleDbDataReader'数据库连接Dim xe As Double, ye As Double, d(9) As Double, X(9) As Double, Y(9) As Double, Z(9, 0) As DoubleDim M(9, 5) As Double, P(9, 9) As DoubleDim Xz(5, 0) As DoublePrivate Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.ClickDim i As Integerxe = 110ye = 110 '待定点坐标DataSet1.Tables.Clear()DataGridView1.Columns.Clear()conn.ConnectionString = "Provider=Microsoft.Jet.OLEDB.4.0;Data Source=" & Application.StartupPath & "\DEM.mdb"mandText = "select 点号,X,Y,Z from DEM "cmd.Connection = connconn.Open()OleDbDataAdapter1.SelectCommand = cmdOleDbDataAdapter1.Fill(DataSet1, "DEM")DataGridView1.DataSource = DataSet1.Tables.Item("DEM")conn.Close()'连接数据库，把数据读到DatagridviewFor i = 0 To 9X(i) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("X").ValueY(i) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("Y").ValueZ(i, 0) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("Z").ValueM(i, 0) = (X(i) - xe) * (X(i) - xe)M(i, 1) = (X(i) - xe) * (Y(i) - ye)M(i, 2) = (Y(i) - ye) * (Y(i) - ye)M(i, 3) = X(i) - xeM(i, 4) = Y(i) - xeM(i, 5) = 1P(i, i) = 1 / Sqrt(Abs((X(i) - xe) * (X(i) - xe) + (Y(i) - ye) * (Y(i) - ye)))Next'对矩阵赋初值End SubPrivate Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.ClickTextBox1.Text = ""Dim i As IntegerXz = JZCF(JZCF(JZCF(NJZ(JZCF(JZCF(DZ(M), P), M)), DZ(M)), P), Z)TextBox1.Text = TextBox1.Text & "待定点的坐标：X=110,Y=110" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "误差方程为：V=AXi^2+BXiYi+CYi^2+DXi+EYi+F-Zi" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "由X=(M(T)PM)'M(T)PZ" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "其中X=(A B C D E F )(T) Z=(Z1 Z2 Z3 ```Zn)(T)" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & " M=(Xi^2 XiYi Yi^2 Xi Yi 1)" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "求得X=（"For i = 0 To 5TextBox1.Text = TextBox1.Text & Format(Xz(i, 0), "0.000") & " "NextTextBox1.Text = TextBox1.Text & ")" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "由于坐标原点移至待定点上，因此待定点的高程Z=F" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "待定点高程Z=" & Format(Xz(5, 0), "0.000")End Sub'~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的逆矩阵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~Public Function NJZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,)Dim BS(,) As Double, NJ(,) As Double, Qz As Double, h As Integer, l As Integer, n As Integern = q.GetUpperBound(0)ReDim BS(n, n)ReDim NJ(n, n)BS = BSJZ(q) '伴随矩阵Qz = HLei(q)If Qz <> 0 ThenFor h = 0 To nFor l = 0 To nNJ(h, l) = (1 / Qz) * BS(h, l) '求解矩阵的逆矩阵NextNextNJZ = NJElseMessageBox.Show("矩阵不可逆")NJZ = NothingEnd IfEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的伴随矩阵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~Public Function BSJZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,) '求解矩阵的伴随矩阵Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, n As Integer, BS(,) As Doublei = 0j = 0k = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim BS(n, n)For i = 0 To nFor j = 0 To nBS(j, i) = YZS(q, i, j)NextBSJZ = BSEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~'求解矩阵的余子式的值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function YZS(ByVal q(,) As Double, ByVal h As Integer, ByVal l As Integer) As Double '求解矩阵的余子式的值Dim i As Integer, j As Integer, x As Integer, y As Integer, n As Integer, YZ(,) As Doublei = 0j = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim YZ(n - 1, n - 1)For i = 0 To nIf i <> h ThenFor j = 0 To nIf j <> l Then '求得h,l位置的余子式YZ(x, y) = q(i, j)y += 1End IfNextx += 1End IfNextYZS = (-1) ^ (h + l + 2) * HLei(YZ) '余子式的值End Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~''求解n阶行列式的值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function HLei(ByVal q(,) As Double) As Double '求解n阶行列式的值Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, n As Integeri = 0j = 0k = 0If q.GetUpperBound(0) > 1 Then '判断是否为2*2矩阵，若不是则继续求其余子式n = q.GetUpperBound(0)Dim p(n - 1, n - 1) As Double '余子式方阵For k = 0 To nDim h As IntegerDim l As Integer '余子式的行列号h = 0For i = 1 To nl = 0For j = 0 To nIf j <> k Then '按第一列展开求余子式p(h, l) = q(i, j)l += 1End IfNexth += 1NextHLei = HLei + (-1) ^ (k + 2) * q(0, k) * HLei(p) '递归方法求行列式的值NextElseHLei = q(0, 0) * q(1, 1) - q(0, 1) * q(1, 0) ' 二阶行列式求值End IfEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的转置~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function DZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,) '求解矩阵的转置Dim i As Integer, j As Integer, n As Integer, m As Integer, DZJZ(,) As Doublei = 0j = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim DZJZ(m, n)For i = 0 To nFor j = 0 To mDZJZ(j, i) = q(i, j)NextNextDZ = DZJZEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~矩阵乘法~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function JZCF(ByVal a(,) As Double, ByVal b(,) As Double) As Double(,) '矩阵乘法Dim ha As Integer, la As Integer, hb As Integer, lb As Integer, c(,) As DoubleDim i As Integer, j As Integer, k As Integerha = a.GetUpperBound(0)la = a.GetUpperBound(1)lb = b.GetUpperBound(1)If la = hb ThenReDim c(ha, lb)For i = 0 To haFor j = 0 To lbFor k = 0 To lac(i, j) = c(i, j) + a(i, k) * b(k, j)NextNextNextJZCF = cElseMessageBox.Show("这两个矩阵不能相乘！")JZCF = NothingEnd IfEnd FunctionEnd Class。