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常见的二次曲面

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常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。

常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形

双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：

x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2

y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线

高等数学常用二次曲面图形.ppt

高等数学常用二次曲面图形.ppt

围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：

河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形

河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。

几种常见的二次曲面

几种常见的二次曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.

第五节常见的二次曲面及其方程

第五节常见的二次曲面及其方程

(2) y12 b2 , 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行.
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.

x a

z c

0
,
y b

x a

z c

0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.

x a

z c

0
,

x a

z c

0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
双叶双曲面
o
y
x
二、小结

c
2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2

第八节二次曲面

第八节二次曲面
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a

高等数学-几种常见的二次曲面

高等数学-几种常见的二次曲面

母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:

3.3常见二次曲面

3.3常见二次曲面

解 设动点为P(x,y,z),所求的轨迹为S,由题意可得
x 12 y2 z2 1 x 4 ,
2
化简得
x2 y2 z2 1
433
,
故动点的轨迹S为一椭球面．
例2 已知椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆 x2 y2 1 ,与 9 16
点P0(1, 2, 23),求这个椭球面的方程．
和短轴,而 a,b, c 依次称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．
(3) 范围及有界性
由曲面的方程出发,讨论x,y,z的取值范围,若均有界,则曲面
为有界曲面,否则为无界曲面.
从椭球面的方程可以看出,对于椭球面上任何一点,均有
x a, y b, z c
,
因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部,此长方体由6 个平面：
椭球面的参数方程
ìïïïïíïïïïî
x= y= z=
a sin j b sin j cosj ,
cos q, sin q,
( 0 ＃j p , 0 ＃q 2p ).
(3.3-6)
由(3.3-6)消去参数 θ 和 即得椭球面的标准方程(3.3-1)．
例1 设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x=4的距离的一 半,试求此动点的轨迹．
x a , y b , z c
围成,这6个平面都与椭球面相切,切点就是椭球面的6个 顶点．由此可知,椭球面是一个有界曲面.
3) 椭球面的图形(形状)
(1) 平行截割法 为了解曲面的大致形状,考虑曲面与一族平行平面的交线,
这些交线都是平面曲线.如果知道了这些平面曲线的形状和变 化趋势,那么曲面的大致形状也就知道了.这种方法称为平行截 割法或等值线法．

常见的九种二次曲面方程

常见的九种二次曲面方程

常见的九种二次曲面方程二次曲面方程是解析几何的重点内容，它被广泛涉及于数学、物理、工程、计算机等多个学科中。

本文将介绍九种常见的二次曲面方程，以帮助读者更好的理解和应用。

一、圆锥面方程圆锥面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为锥面三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度，这种圆锥面称为椭圆锥面。

当a=b时，圆锥面变成圆锥面；当a=b=c时，称为圆锥体。

二、双曲面方程双曲面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度，这种双曲面称为双曲抛物面或椭圆双曲面。

当a=b时，双曲面变成双曲抛物面；当a=b=c时，称为双曲球面。

三、抛物面方程抛物面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 z=ax^2+by^2+c，这种抛物面被称为旋转抛物面。

四、球面方程球面方程可以表示为 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)是球中心坐标，r是球半径。

球面是最常见的几何形体，可以在多个方面得到应用。

五、椭球面方程椭球面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为椭圆三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度。

与圆锥体类似，当a=b=c时，椭球面变成球面。

六、单叶双曲面方程单叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。

单叶双曲面只有一个部分，并非所有双曲面都是单叶的。

七、双叶双曲面方程双叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=-1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。

几种常见的二次曲面

几种常见的二次曲面
2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。
) x
z
o y
x
x2
2020年5月13日星期三
) y x
z
o
x
y
y x1
6
) x z
z
x2 y2 4
o y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、锥面
z
椭圆锥面：
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：
x2 y2 z2 a2 b2 a2 1
④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 a2
y2 c2
z2 c2
1
2020年5月13日星期三
17
六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
x
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
2020年5月13日星期三
18
o y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 k
叫做柱面。
动直线L叫做柱面的母线，
L
定曲线C叫做柱面的准线。
2020年5月13日星期三
C
3
1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy 面上的曲线
F(x, y)
例1、 x y 表示R怎样的曲面？
解： 母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
点M到 z 轴的距离
d x y y , 将z z1,
y x y 代入 f ( y, z) 得 f ( x y , z)
z

7.常见的二次曲面

7.常见的二次曲面
z
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o

二次曲面类型

二次曲面类型

二次曲面类型
二次曲面是三维欧氏空间中，由三元二次方程所表示的曲面。

其一般方程为\(Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz=D\)。

二次曲面有很多类型，常见的包括：
1.平面：所有平面的方程都可以写成\(Ax+By+Cz=D\)的形式，其中\(A,B,C,D\)是常数。

2.球面：球面的方程可以写成\(x^2+y^2+z^2=R^2\)的形式，其中\(R\)是球的半径。

3.椭球面：椭球面的方程可以写成\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y ^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)的形式，其中\(a,b,c\)是椭球的半轴长度。

4.抛物面：抛物面的方程可以写成\(x^2+y^2=2az\)或\(x^2+z^ 2=2ay\)的形式，其中\(a\)是抛物面的开口大小。

5.双曲面：双曲面的方程可以写成\(x^2+y^2-z^2=1\)或\(\fra c{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的形式，其中\(a,b\)是双曲面的半轴长度。

高等数学7.9 二次曲面

高等数学7.9 二次曲面
x2 y2 2 1, a2 b 2 2 2 (c z1 ) (c z12 ) 2 c c2 z z1.
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
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(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
第八节 常见的二次曲面
一、椭球面
三、双叶双曲面 五、椭圆抛物面
二、单叶双曲面
四、二次锥面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面. 截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然
后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法
称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
用Oxz坐标面截 所给曲面的截痕也为 双曲线，其方程为
x2 z2 2 2 1, a c y 0.
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
z=|h|(|h|>c)不相交. 因此椭球面介于 c z c 的范围内.
2
2
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 z 2 2 2 1, a c y 0. 用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 z 2 h2 2 2 1 2 , a c b y h. 当h=±b时，截痕缩为一点：当|h|>b时，无截痕.
y y x x 0, 0, 和 2p 2q 2q 2p z 0. z 0.
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
2 x2 y 1, 2 ph 2qh z h.
当h>0时，是实轴与x轴平行的双曲线；
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
不论z=h为何值
总有截痕曲线存在，
且当|h|越大时，截
痕椭圆的长、短轴
越大.
用Oyz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz坐标面的平面x=h截所给曲面，得截
痕为
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a xh
用y=h的平面截所给曲面的截痕为：
2 x2 z2 h 2 2 1 2 , c b a y h.
当|h|<b时，截痕为双曲线，它的实轴平行于x轴， 虚轴平行于z轴; 当|h|>b时,截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于x轴；
当|h|=b时，截痕为两条直线.
三、双叶双曲面
因此，椭球面介于 b y b .
用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆
y2 z2 1, 2 2 b c x 0. 用平行于Oyz面的
平面x=h截所给曲面，
截痕为椭圆
2 y2 z2 h 2 2 1 2 , b c a x h. 当h=±a时，截痕缩为一点：当|h|>a时，无截痕.