锐角三角比讲义

【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

锐角的三角比知识讲解【学习目标】1. 结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2. 会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3. 理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律” •【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtAABC 中，ZC = 90° , ZA 所对的边BC 记为a,叫做ZA 的对边，也叫做ZB 的邻 边，ZB 所对的边AC 记为b,叫做ZB 的对边，也是ZA 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c,叫做斜边.要点诠释：(1) 正眩、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是 两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.(2) sinA, cosA, tanA, cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成血•上，砂・上,• Ji , 不能理解成sin 与ZA, cos 与ZA, tan 与Z/\, cot 与ZA 的乘枳•书写时习惯上省略ZA 的角的记号“Z” ,但对三个大写字母表示成的角(如ZAEF),其正切应写成“tanZAEF” ,不能写 成"tanAEF v ；另外，3*曲•、(cocQ 3、、(cot A)2常写成taQ 3-锐角A 的对边与斜边的比叫做ZA 的正弦，记作sinA,即 sin A =ZA 的对边斜边 锐角A 的邻边与斜边的比叫做ZA 的余弦，记作cosA,即 cos A =锐角A 的对边与邻边的比叫做ZA 的正切，记作tanA,即 tan A =厶啲对边 乙4的邻边锐角A 的邻边与对边的比叫做ZA 的余切，记作cot.A,即 cot A =ZA 的邻边乙4的对边同理sin B =cos 8 =ZB 的邻边斜边ZB 的对边上励勺邻边b C lZB 的邻边ZB 的对边a ~h上4的邻边斜边Z 躺对边 斜边(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形屮而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知：要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:I锐角。

一、锐角三角比的意义1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC bAA BC a===锐角的邻边锐角的对边．3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A．cosA AC bAAB c===锐角的邻边斜边．锐角的三角比知识结构模块一：锐角的三角比知识精讲知识精讲5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．二、特殊锐角的三角比的值αtanαcotαsinαcosα30°333123245°11222260°3333212定义表达式取值范围相互关系正切tanAAA∠=∠的对边的邻边tanaAb=tanbBa=tan0A>（A∠为锐角）1tancotAA=余切cotAAA∠=∠的邻边的对边cotbAa=cotaBb=cot0A>（A∠为锐角）正弦sinAA∠=的对边斜边sinaAc=sinbBc=0sin1A<<（A∠为锐角）()sin cos90A A=︒-∠()cos sin90A A=︒-∠余弦cosAA∠=的邻边斜边cosbAc=cosaBc=0cos1A<<（A∠为锐角）2/ 16ACBD【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦 B ．余弦 C ．正切 D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin 2A =，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα例题解析4 / 16仰角 视线水平线俯角铅垂线【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：202(3)cot 30tan 4531ππ-+-︒-︒++．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．模块二：解直角三角形知识精讲A北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面例题解析6/ 16ABC DAB9米传送带A BCDE FG HABCDAB C北北花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为______米．【例12】（2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为______米．【例13】（2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°．那么大厦AB的高度为______米．（保留根号）【例14】（2014学年·闸北区二模·第6题）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1 : 0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【例15】（2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是______海里．【例16】（2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC∆中，90CAB∠=︒，3sin5C=，AC = 6，BD平分CBA∠交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan DBA∠的值．ABCD EAB CDEABCD EF【例17】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，甲的速度是乙的10倍，甲到达点目的地C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例18】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==，25sin 5B ∠=，D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例19】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =．求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．【例20】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长；O CBADF EG8 / 16OPQ北ABCDPA B CD（2）求tan BDG ∠的值．【例21】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例22】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例23】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例24】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．CA BED【例25】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例26】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）ABDCEF2.92.93.8ABCDEFO图1图210/ 16【习题1】 （2014学年·普陀区二模·第12题）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______米．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 （2014学年·松江区二模·第17题）如图，当小明沿坡度1:3i =的坡面由A 到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC =_________米．（结果可以用根号表示）【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 （2015学年·浦东新区二模·第19题）计算：112112(cos60)3232--+︒+-+．【习题4】 （2015学年·闸北区二模·第19题）计算：()121cos451201532tan 60-︒-+-++︒．【习题5】 （2015学年·奉贤区二模·第17题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，如果AD = BC ，那么cot CAB ∠的值是______．随堂检测ABCABD C12 / 16ABCDEABCDNM【习题6】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别和AB 、BC 交于点E 和点D ，已知BD : CD =2:3．（1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值．（结果保留根号）【习题7】 （2015学年·杨浦区二模·第21题）已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点M 、N 分别是边AC 、AB 的中点，点D 是线段BM 的中点．（1）求证：CN CDAB MB=； （2）求NCD ∠的余切值．【习题8】 （2015学年·奉贤区二模·第21题）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB = 4，AD 是BAC ∠的角平分线，过点D 作DE ⊥AD ，垂足为点D ，交AB 于点E ，且14BE AB =． （1）求线段BD 的长； （2）求ADC ∠的正切值．A BCDE【习题9】 （2014学年·杨浦区二模·第21题）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观察站，A 在B 的正东方向，A 与B 相距2千米．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后到达点C 处，此时，从B 点测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（注：答案均保留根号）ABCP北l14 / 16【作业1】 （2015学年·奉贤区二模·第14题）小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那么这辆汽车到楼底的距离是______米．【作业2】 （2014学年·奉贤区二模·第16题）小明乘滑草车沿坡比为1 : 2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为______米．【作业3】 （2015学年·杨浦区二模·第14题）某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅垂方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度1:i m =，那么m =______．【作业4】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第19题）计算：()12121sin 45()12(31)cot 302-︒+--⋅-+︒．【作业5】 （2015学年·杨浦区二模·第19题）计算：011(32)()6cos303273--++︒--．课后作业【作业6】 （2015学年·静安区二模·第21题）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，CA ⊥AB ，5cos 5ABC ∠=，BC = 5，AD = 2． 求：（1）AC 的长；（2）ADB ∠的正切值．【作业7】 （2015学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，BC = 8，5sin 5A ∠=，BD 是AC 边上的中线． 求：（1）ABC ∆的面积； （2）ABD ∠的余切值．【作业8】 （2014学年·奉贤区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 6，BC = 4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ．（1）求D ∠的正弦值；（2）求点C 到直线DE 的距离．A CBDABCDCBAED【作业9】（2014学年·金山区二模·第21题）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发分别沿AP、BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．北A BP16/ 16。

《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。

以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。

需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。

二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。

30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。

45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。

60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。

三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。

比如，测量物体的高度。

如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。

假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。

再比如，测量河流的宽度。

我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。

四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。

2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。

《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。

正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。

例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。

二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。

1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。

所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。

2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。

则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。

3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。

所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。

三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。

例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。

则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。

再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。

第六讲 锐角的三角比知识要点：（一）锐角的三角比的定义：在Rt △ABC 中，若∠C =90o ，AB 称作斜边，AC 、BC 称作直角边.其中与∠A 相对的直角边称为∠A 的对边，与∠A 相邻的直角边称为∠A 的邻边. ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c .邻边b对边aA①我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ）.记作tan A .tan A ＝ba=∠∠的邻边的对边A A②我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切(cotangent).记作cot A .cot A ＝的邻边的对边∠∠A A =ba③我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）.记作A sin .caA A A =∠∠=斜边的对边sin④我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）.记作A cos .cA A A bcos =∠∠=斜边的邻边（二）特殊角三角比的值：22sin cos 1,tan cot 1αααα+==（三）解直角三角形的定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 1.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=45o ，设BC=a ,根据含45°角的直角三角形三边长之间的关系，求45°角的正切、余切、正弦、余弦值. 解：1, 1,22,222.在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.解：作PQ ⊥x 轴于点Q ，则∠OQP =900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ =3,QP =4.则OP =5.∴tan α=43=PQ OQ ,sin α=45=PQ OP ,cos α=35=OQ OP . 3.计算：222sin 60cos60tan 604cos45--o oo o解：原式()2231222342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯3122322322-==--322=+ 4.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，3sin 4=A .求：（1）AB 的长 ；（2）sin B 的值.解：（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵sin =BC A AB ∴sin =BC AB A 又36,sin ,4==BC A ∴6834==AB(2)由勾股定理，得27=AC ∴277sin ===AC B AB 5. 如图，已知在∆ABC 中，点D 是BC 边上一点，⊥DA AB ，12=AC ， 7=BD ，9=CD . （1）求证：∆ACD ∽∆BCA ；（2）求tan ∠CAD 的值．解：（1）证明：∵7BD =，9CD =，∴16BC =，∵12AC =，∴34CD AC =，34AC BC =，∴CD ACAC BC=，∵C C ∠=∠，∴ACD ∆∽BCA ∆.（2）∵ACD ∆∽BCA ∆，∴CAD B ∠=∠，34AD CD AB AC ==， ∵DA AB ⊥，∴3tan 4AD B AB ==，∴3tan 4CAD ∠=.6.已知：ABC ∆中，090=∠C ，030=∠A ，求015tan 的值。

锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边；cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A •不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略Ca b c∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、2（）常写成、、、cot A2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值锐角cot30°45° 1 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴ 222213512AC AB BC --=．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==，12cot 5AC A BC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==，5cot 12BC B AC ==． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C =90°，若a=3，b=4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA =35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．Ca bc类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°；(2)tan30sin30cot45tan60••°°°°； (3)11(13)|1sin30|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】(1)原式11121222 =-⨯+=；(2)原式311326 13⨯==⨯；(3)原式115 11212222 =--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)已知求锐角．【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=． 5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

a cAB Cb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比内容分析知识结构模块一：锐角的三角比的意义知识精讲a cAB Cb3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ． cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例1】在ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 2AB ，则cos A 的值为______． 【难度】★ 【答案】55． 【解析】根据勾股定理，可得225AC AB BC AB =+=，根据三角比的定义，则有5cos 55AB AB A AC AB===． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α的值是______． 【难度】★★【答案】12．【解析】设这个点是()21B ，，作BC x ⊥轴交x 轴于点C ，则有21OC BC ==，，故1tan 2BC OC α==． 【总结】考查“数形结合”，平面直角坐标系中点坐标转化为长度，同时可简单认识斜率与x 轴夹角的关系．例题解析xyAO（2，1） CBABCD【例3】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥，垂足为D ，则tan BCD ∠的值是______．【难度】★★【答案】34【解析】“子母三角形”中，易得BCD A ∠=∠，则有63tan tan 84BC BCD A AC ∠====．【总结】考查“子母三角形”，通过等角的转化进行求解．【例4】ABC ∆中，已知90C ∠=︒，2sin 3A =，求cos A 、tan A 的值． 【难度】★★ 【答案】5cos 3A =，25tan 5A =． 【解析】根据锐角三角比的概念，2sin 3BC A AB ==，设2BC a =，则3AB a =，勾股定理得：225AC AB BC a =−=，则55cos 33AC a A AB a ===，225tan 55BC a A AC a===． 【总结】考查锐角三角比的概念，初步建立锐角三角比相互关联的概念．【例5】如图，ABC ∆的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为______． 【难度】★★★ 【答案】255．【解析】连结BD ，易得90BDA ∠=︒，由图可知10222AB BD CD AD ====，，，则有2225cos 510AD A AB ===． 【总结】格点可类似于在平面直角坐标系中，作高进行转化计算即可．ABCDP Oy xN M Q【例6】在平面直角坐标系中，过点P （0，2）作直线l ：12y x b =+（b 为常数，且b < 2）的垂线，垂足为Q ，则tan OPQ ∠=______．【难度】★★★【答案】12．【解析】设直线l 与x 轴、y 轴交点分别为M 、N ，则有()()200M b N b −，，，，由等角的余角相等，可得OPQ NMO ∠=∠．则有1tan tan 22b ON OPQ NMO OM b ∠=∠===−． 【总结】考查直线的斜率等于其与x 轴夹角的正切值．1、特殊锐角的三角比的值αtan α cot α sin α cos α30°333123245° 1 1 22 22 60°33332122、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）α tan α cot α sin α cos α15°23−23+624− 624+ 75°23+ 23−624+ 624− 3、通过观察上面的表格，可以总结出：当090α︒<<︒，α的正弦值随着角度的增大而增大，α的余弦值随着角度的增大而减小；α的正切值随着角度的增大而增大，α的余切值随着角度的增大而减小．模块二：特殊锐角的三角比的值知识精讲【例7】已知，在ABC ∆中，2sin 2A =，tan 3B =，则C ∠=______． 【难度】★★ 【答案】75︒ 【解析】由2sin 2A =，可得45A ∠=︒，由tan 3B =，可得60B ∠=︒，根据三角形内角和为180︒，可得：18075C A B ∠=︒−∠−∠=︒．【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．【例8】在ABC ∆中，90C ∠=︒，已知23a =，c = 4，求B ∠． 【难度】★★ 【答案】30︒．【解析】根据锐角三角比的概念，可得233sin 42a A c ===，即得60A ∠=︒，根据直角三角 形两锐角互余，可得：9030B A ∠=︒−∠=︒．【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．【例9】在ABC ∆中，三边之比::1:3:2a b c =，则sin tan A A +=______． 【难度】★★ 【答案】1323+． 【解析】由::1:3:2a b c =，可设a k =，则3b k =，2c k =，则有22224a b k c +==， 即得90C ∠=︒，则有1sin 2a A c ==，3tan 3a Ab ==． 【总结】考查锐角三角比的基本概念，部分图形中可以先通过勾股定理的逆定理证明图形是直角三角形再来进行应用．例题解析【例10】在ABC ∆中，若()23sin 3tan 02A B+=，则ABC ∆属于哪种三角形？【难度】★★ 【答案】等边三角形． 【解析】由)23sin 3tan 02A B+=，可得3sin 0A =3tan 0B =，由此可得 60A B ∠=∠=︒，即得ABC ∆是等边三角形．【总结】考查特殊锐角三角比结合非负数相加和为0的知识，求对应角度大小的知识．【例11】()11tan 453182sin 458sin 60cos 45π−︒⎛⎫−︒−+ ⎪︒−︒⎝⎭．【难度】★★【答案】2237−． 【解析】原式21322832=+−+− 227232=+2237=−．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比以及有理数的有关计算，可直接用来计算，注意运算顺序．【例12】已知公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=−．求：sin 75°、cos 75°的值． 【难度】★★★ 【答案】62sin 75+︒=62cos75−︒= 【解析】令45α=︒，=30β︒，根据上述公式，即可得()232162sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin302+︒=︒+︒=︒︒+︒︒==； ()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222−︒=︒+︒=︒︒−︒︒=−=． 【总结】考查特殊角的锐角三角比的值结合公式的理解应用．【例13】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BC = 1．过点C 作1CC AB ⊥于1C ， 过点1C 作12C C AB ⊥于2C ，过点2C 作23C C AB ⊥于3C ，…，按这样的规律继续，则n AC 的长为（ ）A ．32n⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．132n +⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()132nn +D ．()132n n+【难度】★★★ 【答案】D【解析】由图可得3AC =，则有132AC AC =，2132AC AC =…由此可得32nn AC AC⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，即得()133322n nn nAC +⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．【总结】考查特殊角30︒角在直角三角形中的边角关系，通过找规律解决问题．1、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式取值范围 相互关系 正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan aA b=tan bB a=tan 0A >（A ∠为锐角） 1tan cot A A = sin tan cos AA A =cos cot sin AA A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a= cot a B b=cot 0A >（A ∠为锐角） 正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin b B c =0sin 1A <<（A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒−∠()cos sin 90A A =︒−∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c= cos a B c=0cos 1A <<（A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比的关系及运用知识精讲ABC【例14】在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列四个等式：①sin cos A B =；②cos cos A B =；③1tan tan B A =；④tan tan A B =．其中一定成立的是______．（填序号） 【难度】★ 【答案】①③．【解析】根据锐角三角比的概念，则有sin a A c =，cos a B c =，①一定成立；cos b A c=，cos aB c =，②不一定成立；tan a A b =，tan bB a=，③一定成立，④不一定成立． 【总结】考查直角三角形中锐角三角比的相互关系．【例15】已知α是锐角，化简：2cos 2cos 1αα−+． 【难度】★ 【答案】1cos α−．【解析】α是锐角，则有0cos 1α<<，原式()2cos 1cos 11cos ααα=−=−=−．【总结】考查锐角三角比的取值范围．【例16】求值：cos 40cos 48sin 42sin 50︒︒+−︒︒．【难度】★ 【答案】1．【解析】原式cos50cos 48cos 481cos50︒=︒+−︒=︒．【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例17】化简：2222sin 1sin 2sin 88sin 89︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒． 【难度】★★【答案】892．22sin cos 1A A +=例题解析【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，()2222sin cos sin sin 901αααα+=+︒−=，原式()()22222sin 1sin 89sin 2sin 88sin 45=︒+︒+︒+︒++︒…2289112=+++=⎝⎭…． 【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．【例18】化简：2222tan sin tan sin αααα−．【难度】★★ 【答案】1．【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，则有22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=，原式2242222222sin sin sin sin cos 1sin sin cos 1cos sin sin cos αααααααααααα⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例19】已知：sin cos m αα+=，sin cos n αα−=，则m ，n 之间的关系是（ ）A ．m = nB ．m = 2n + 1C ．222m n =−D ．212m n =−【难度】★★ 【答案】C【解析】由sin cos sin cos m n αααα+=⎧⎨−=⎩，可得sin 2cos 2m n m nαα+⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，由22sin cos 1αα+=，即为22122m n m n +−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：222m n +=，故选C ．【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例20】已知方程()24210x m x m −++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．【难度】★★ 【答案】3m =【解析】根据一元二次方程的韦达定理，可得方程两根满足()1221142m m x x +++==，124mx x ⋅=，方程两根恰是直角三角形两锐角的余弦，则()22212121221x x x x x x +=+−=，即212124m m +⎛⎫−⨯= ⎪⎝⎭，整理得23m =，所以3m = 当3m =时，原方程为：242(31)30x x −+=，解得：12312x x ==，满足题意； 当3m =−时，原方程为：242(31)30x x +=，解得：12312x x ==，不满足题意，所以m 3【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用，本题也可直接通过因式分解法解方程得出答案．【例21】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+−=，求α的度数． 【难度】★★ 【答案】30α=︒．【解析】根据锐角三角比的相互关系，则有22sin cos 1αα+=，故22cos 1sin αα=−，原方程即为()221sin 7sin 50αα−+−=，整理得22sin 7sin 30αα−+=，解得1sin 2α=或sin 3α=，α为锐角，则0sin 1α<<，可得1sin 2α=，30α=︒． 【总结】考查一元二次方程与锐角三角比知识的结合应用，把相关量当作整体未知量即可．11 / 21【例22】Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = a ，AC = b ，AB = c ．利用锐角三角比的定义证明： （1）22sin cos 1A A +=； （2）tan tan 1A B =；（3）sin tan cos A A A=；（4）sin cos 1A A +>． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】根据锐角三角比的定义，则有sin BC a A AB c ==，cos AC b A AB c ==，sin AC bB AB c==，tan BC a A AC b ==，tan AC bB BC a==，直角三角形满足勾股定理，即有222a b c +=由此可证得：（1）2222222sin cos 1a b a b A A c c c +⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）tan tan 1a bA B b a=⋅=； （3）sin tan cos aA a c A b A bc ===；（4）sin cos 1a b a b A A c c c++=+=>． 【总结】考查利用锐角三角比的定义证明锐角三角比之间的相互关系和转化．【例23】如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边上的高为h ，求证：222111a b h +=． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：设直角三角形斜边为c ，根据勾股定理则有222a b c +=，由面积法，即可得ab ch =，平方得：()2222222a b c h a b h ==+，求倒得()2222211a b a b h=+，两边同乘()22a b +， 整理即得：222111a b h +=． 【总结】考查“子母三角形”中相关量之间的关系和转化．12 / 21【例24】已知α为锐角，且()12sin cos sin cos 13αααα+−=，求以tan α、cot α为两个根的一元二次方程．【难度】★★★【答案】2210x x −+=或24940x x −+=．【解析】()()()22222sin cos sin cos sin cos 1sin cos αααααααα=+−−=−−， 又()12sin cos sin cos 13αααα+−=，则()()211sin cos sin cos 13αααα−−+−=， 整理，得：()()1sin cos sin cos 03αααα⎡⎤−−−=⎢⎥⎣⎦，得：sin cos 0αα−=或1sin cos 3αα−=，由此进行以下分类讨论：（1）sin cos 0αα−=，此时可得sin cos αα=，则有tan cot 1αα==，根据一元二次方程的韦 达定理，tan cot 2αα+=，tan cot 1αα⋅=，则以tan α、cot α为两根的一元二次方程是2210x x −+=；（2）1sin cos 3αα−=，由已知等式可得82sin cos 9αα=，则()222817sin cos sin cos 2sin cos 199αααααα+=++=+=，α为锐角，则有17sin cos 0αα+>=，得171sin 171cos αα⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，则171sin 9176tan cos 171ααα++===−，171cos 9176cot sin 171ααα−−===+，根据一元二次方程的韦达定理，9tan cot 4αα+=，tan cot 1αα⋅=，则以tan α、cot α为两根的一元二次方程是24940x x −+=．【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．13 / 21【习题1】ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，已知b = 5，c = 13，则sin A =______，cos A =______，tan A =______．【难度】★【答案】1213，513，125【解析】根据勾股定理，可得2212a c b =−=，根据三角比的定义，则有12sin 13a A c ==，5cos 13b A c ==，12tan 5a Ab ==． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【习题2】如图，点A 为α∠边上的任意一点，作AC BC ⊥于点C ，CD AB ⊥于点D ，下列用 线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADACD ．CDAC【难度】★ 【答案】C【解析】90B BAC ACD BAC ∠+∠=∠+∠=︒，可得B ACD α∠=∠=，则cos cos CDACD ACα=∠=，可知C 错误．【总结】本题考查“子母三角形”，进行等角转化，把握相应的锐角三角比定义即可．【习题3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC ∠的正切值是______．【难度】★【答案】12．【解析】连结AC ，在格点中可得2AC =，22AB =，10BC =，根据勾股定理逆定理，则有90BAC ∠=︒，21tan 222AC BAC AB ∠===． 【总结】考查格点三角形，主要要找准直角．随堂检测A BCDA BC14 / 21【习题4】若(22sin 212cos 0αβ+−=，求α、β的值（α、β都是锐角）．【难度】★★【答案】45α=︒，60β=︒【解析】由(22sin 212cos 0αβ+−=，可得2sin 2012cos 0αβ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，得2sin 1cos 2αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，α、β都 是锐角，由此可得45α=︒，60β=︒．【总结】考查非负数相加和为0，则每个式子都为0，结合特殊角的锐角三角比求角的大小．【习题5】()2tan 45cos 451sin 45cot 60tan 30cot 30sin 60︒−︒−−︒+︒︒︒︒．【难度】★★ 【答案】0． 【解析】原式()2331cos 45332=−−︒⨯2221133=−++0=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序．【习题6】化简：tan1tan 2tan88tan89︒︒︒︒．【难度】★★ 【答案】1．【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，()tan cot tan tan 901αααα⋅=⋅︒−=， 原式()()tan1tan89tan 2tan88tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒…1111=⨯⨯⨯=…【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．15 / 21【习题7】求值：222222tan 602cos45tan 45cot 30sin 27sin 63cos 27cos 63︒+︒︒+−︒+︒︒+︒． 【难度】★★ 21．【解析】原式2223213211++=−(324=−21=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序，同时注意好锐角三角比之间的一些相互关系的应用．【习题8】等腰三角形底边长为8 cm ，面积为852，求底角的正切值． 【难度】★★ 5． 【解析】作底边上的高，可得高长228525S h cm a ⨯===，根据等腰三角形的性质，底边上的高平分底边，即可得底角正切值为2551822h a ==⨯． 【总结】考查利用等腰三角形的性质求解等腰三角形中相关锐角三角比，通过作高将角放到直角三角形中．【习题9】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2ABC mS ∆=，且两直角边长满足条件3a + 2b = m ．当m取最小值时，求ABC ∆中最小内角的正切值．【难度】★★★【答案】23．【解析】2ABC m S ∆=，即得ab m =，由3a + 2b = m 得32m a b −=，则有32m aa m −⋅=，即关于 实数a 的方程2320a ma m −+=有实数根，则有2240m m ∆=−≥，由0m >可得24m ≥， 即min 24m =，此时方程解为4a =，代入得6b =，由此可得ABC ∆最小内角正切值即为4263a b ==． 【总结】通过转化把问题变作一元二次方程根的问题，关键在于对m 取最小值这一关键条件的把握．16 / 21【习题10】已知a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，关于x 的一元二次方程 ()()221210a x bx c x −+++=有两个相等的实数根，且3c = a + 3b ．（1）判断ABC ∆的形状；（2）求sin A 、sin B ．【难度】★★★【答案】（1）直角三角形；（2）3sin 5A =，4sin 5B =． 【解析】（1）将一元二次方程整理成一般形式，即为()()220c a x bx c a −+++=，方程有两个 相等的实数根，则有()()()2240b c a c a ∆=−−+=，由此得222c a b =+，即ABC ∆为直角三角形；（2）由已知3c = a + 3b ，可得13c b a −=，根据勾股定理，()()222c b c b c b a −=+−=，由此可得3c b a +=，由此则有53c a =，43b a =，由此可得3sin 5a A c ==，4sin 5b B c ==．【总结】考查一元二次方程知识与锐角三角比知识的结合应用，根据题目条件得出等量关系解决问题．17 / 21【作业1】Rt ABC ∆中，已知90A ∠=︒，AB = 2，AC = 4，则tan B =______，cos C =______，sin B =______．【难度】★ 【答案】2，255，255． 【解析】根据勾股定理，可得2225BC AB AC =+=，根据锐角三角比的定义，则有4tan 22AC B AB ===，425cos 525AC C BC ===，25sin 5AC B BC ==． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A ．13B ．3C ．24D ．22【难度】★ 【答案】D【解析】根据勾股定理，可得()2222322AC AB BC BC BC BC =−=−=，根据锐角三角比的定义，则有22tan 22AC BCB BC BC===． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【作业3】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角A 的各三角比的值（ ）A ．都扩大到原来的2倍B ．都缩小为原来的一半C ．没有变化D ．不能确定【难度】★ 【答案】C【解析】锐角三角比的大小只与角本身的大小有关，与夹这个角的边的大小无关． 【总结】考查一个固定角的锐角三角比只与这个角本身大小有关．课后作业18 / 21【作业4】212016cot 30232cos 45−⎛⎫−︒− ⎪−︒⎝⎭．【难度】★★ 23−． 【解析】原式1342322=−−⨯333223=−−=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比结合相关有理数的计算，可直接用来计算，注意运算顺序．【作业5】若sin cos 1a θθ+=，sin cos 1b θθ−=，求证ab = 1． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：sin cos 1a θθ+=，sin cos 1b θθ−=，得2sin cos a bb a a b θθ⎧=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩，22sin cos 1θθ+=，所以2221b a a b a b −⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由此即得：()()224b a a b +−=+，即可得1ab =．【总结】根据22sin cos 1θθ+=变形即可得到求证的结果．【作业6】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，28a b +=，7sin sin 5A B +=，求斜边c 的长． 【难度】★★ 【答案】20．【解析】根据锐角三角比的定义，可得7sin sin 5a b a b A B c c c ++=+==，由28a b +=，代入即可得20c =．【总结】考查对锐角三角比定义的充分利用．【作业7】已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +−−+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．【难度】★★ 【答案】23m =．【解析】根据一元二次方程的韦达定理，则方程两根满足122112m x x m −+=+，12122x x m ⋅=+，19 / 21DCBA(b )(a )CB AFEDBA方程两根恰是一个直角三角形两锐角的正弦，则()22212121221x x x x x x +=+−=， 即2211122122m m m −⎛⎫−⨯= ⎪++⎝⎭，整理得：224230m m −+=，解得：11m =，223m =． 当1m =时，原方程为：2340x x ++=，此时方程无解，舍去；当23m =时，原方程为：22535120x x −+=，解得：124355x x ==，，满足题意．所以，实数m 的值为23．【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．【作业8】已知锐角ABC ∆中，AB = c ，AC = b ，BC = a ，利用锐角三角比的意义证明：cos cos c a B b A =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：如图，作CD AB ⊥交AB 于点D ， 根据锐角三角比的定义，则有cos BD BD B BC a ==，cos AD ADA AC b ==． 由此可得：cos BD a B =，cos AD b A =， 因为AB AD BD =+，所以cos cos c a B b A =+．【总结】考查锐角三角比定义的应用，只需要通过作高把角和线段放到直角三角形中即可进行求解．【作业9】我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值 确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad ）．如图（a ），在ABC ∆中，AB = AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =BCAB ．容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=______；（2）对于0°< A < 180°，sad A 的取值范围是______；（3）如图（b ），已知3sin 5A =，则sad A 的值是（ ）A ．65B ．23C 5D ．105【难度】★★★20 / 21CAOE DB【答案】（1）1；（2）02sadA <<； （3）D【解析】（1）顶角为60︒，即这个等腰三角 形是等边三角形，三边长都相等，由此可知601sad ︒=； （2）根据三角形三边关系，可知02BC AB AC AB <<+=，由此可得02sadA <<； （3）取BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点\D ，作DE AB ⊥交AB 于点E ，连结CE 交AD 于点F ，由90BCA ∠=︒，则有CD DE =，AD 垂直平分CE ，3sin 5BAC ∠=，可设3BC a =，则有5AB a =，4AC a =，4sin 5AC B AB ==，则有5544BD DE CD ==，由3BD CD BC a +==，即得43CD a =，根据勾股定理， 则有224103AD CD AC a =+=，由三角形的面积法，则有CF AD CD AC ⋅=⋅，可得2105AC CD CF a AD ⋅==，则42105CE CF a ==，由此可得：4101054aCE sad BAC AC a ∠==D ． 【总结】新定义题型，抓准题目所提供的基本条件，利用等腰三角形的特殊性质，过程中注意利用面积法等相关几何解题方法．【作业10】在锐角ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ．求证：（1）sin sin sin a b cA B C ==；（2）111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）如图，构造ABC ∆的外接圆O ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结OB 、OC ，过点O 作OE BC ⊥交BC 于点E ，则有12BE CE BC ==，12BOE COE BOC ∠=∠=∠． OA OB OC ==，BAO ABO CAO ACO ∴∠=∠∠=∠，．22BOD BAO COD CAO ∴∠=∠∠=∠，． 22BOD COD BAO CAO ∴∠+∠=∠+∠．即得2BOC BAC ∠=∠．BOE BAC ∴∠=∠．21 / 21 A F C B 根据锐角三角比定义，可得：sin BE BOE BO ∠=， 由此可得：1122sin sin BC b BO BOE BAC ==∠∠，则2sin b r BAC=∠． 同理2sin sin b c r ABC ACB ==∠∠， 即证sin sin sin a b c A B C==． （2）过点A 作AF BC ⊥交BC 于点F ，根据锐角三角比定义，则有sin AF AF B AB c==．sin AF c B ∴=．11sin 22ABC S AF BC ac B ∆∴=⋅=． 同理11sin sin 22ABC S ab C bc BAC ∆==∠， 即证111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===． 【总结】考查利用锐角三角比进行三角形三边关系的关联，通过作高把相应的边角放到直角三角形中表示出来即可．。

锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算 30°、45°、 60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A 所对的边 BC 记为 a ，叫做∠ A 的对边，也叫做∠ B 的邻 边，∠ B 所对的边 AC 记为 b ，叫做∠ B 的对边，也是∠ A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c ，叫做斜边．B 的邻边 a B 的对边 b要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是 两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2) sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号， 是一个整体， 不能写成 ， ，， cot A 不能理解成 sin 与∠ A ，cos 与∠ A ，tan 与∠ A ，cot 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略 ∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外， 、 、 、(cot A )2常写成 、 、 、cot 2 A锐角 锐角 锐角 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的邻边与对边的比叫做∠ 同理 sin BB 的对边斜边 b； ；A 的正弦，记作 A 的余弦，记作 A 的正切，记作 A 的余切，记作 cosBsinA ，cosA ， tanA ，cotA ，B 的邻边斜边即sin AA的对边斜边即 cosAA的邻边即A斜边即 tanA A的对边A 的邻边即 cotAA 的邻边A 的对边 a； ；tanBB 的对边 B 的邻边b；；ca；；bb；；b(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4) 由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠ A<90°间变化时，，，tanA >0 cotA >0.要点二、特殊角的三角函数值304560(1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2) 仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小) 而增大( 或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大( 或减小) 而减小( 或增大) ．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt △ABC中，∠ C=90°．(1) 互余关系：，；tanA=cot(90 °- ∠A)=cotB , tanB=cot(90 °-∠ B)=cotA.(2) 平方关系：；(3) 倒数关系：或；(4) 商的关系：sin A cosA tanA ,cot AcosA sin A要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．答案】 c = 5 ，sinA = 35 cosA 4，5sinB = 4，5cosB = 35类型二、特殊角的三角函数值的计算求下列各式的值：(1)sin30 -2cos60 ° +cot45 °；(2) tan 30° sin 30 °cot 45° tan 60°11；(3) (1 3)0|1 sin30°| 12．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠ A，∠ B的正弦、余弦、正切、余切值．答案与解析】在Rt△ABC中，∠ C＝90∵ AB ＝13，BC＝5．AC AB2BC21325212．BC5，AC12，tanA BC5，cot A AC12sin A cosAAB13AB13AC12BC5AC12BC5tanB AC12cot B BC5sin B cosBAB13，AB13，BC5，AC12【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：变式】在Rt △ABC中，∠C90 °，若a=3，b=4，则c =sinA = ，cosA =，sinB =cosBBA caC b答案与解析】2．111(1) 原式 2 1 ；222311(2) 原式 3 2 1 ；1363． (1)求锐角 ； (2) 已知 求锐角 ．【答案与解析】(1) 先将已知方程变形后再求解．∴锐角 =30°．(2) 先将已知方程因式分解变形．(3)1原式 1 1215 21125 22总结升华】 熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值， 再进行化简．先代入特殊角的三角函数值，举一反三：变式】 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90 °，若∠ A=45°，则 ∠B =答案】类型三 sinA = ， cosA = ∠B =45°，sinA = 2 ，2锐角三角函数之间的关系， sinB =cosB =cosA = 2 ，sinB = 2 ， 22cosB = 22∴锐角 =45总结升华】 要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看 作未知数，解方程求得它的解 ( 值) ，然后再求这个锐角．类型四、 锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示， AB 是⊙ O 的直径，且 AB ＝10， CD 是⊙ O 的弦， AD 与 BC 相交于点 P ，若弦 CD ＝6，试求 cos ∠ APC 的值．答案与解析】 连结 AC ，∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴ ∠ ACP ＝ 90°，又∵ ∠B ＝∠ D ，∠ PAB ＝∠ PCD ， ∴ △ PCD ∽△ PAB ，∴PC CDPA AB ．又∵ CD ＝6， AB ＝10， ∴在 Rt △ PAC 中，PC cos APCPA总结升华】 直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似 三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而PC言的，故可连结 AC ，由 AB 是⊙ O 的直径得∠ ACB ＝90°， cos APC，PC 、PA 均为未知，而已知PAPC CDCD ＝ 6， AB ＝ 10，可考虑利用△ PCD ∽△ PAB 得．PA AB5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 (sad) ．如图 1①，在△ ABC 中， AB ＝AC ，顶角 A 的正底边 BC对记作 sadA ，这时 sadA ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 腰 AB 的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60 °＝ ________ ．(2) 对于 0< A < 180°，∠ A 的正对值 sadA 的取值范围是 ______3(3) 如图 1②，已知 sinA ＝ ，其中∠ A 为锐角，试求 sadA 的值．5CDAB 10答案与解析】(1)1 ；(2)0 < sadA<2；(3) 如图 2 所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由sin A BC 3得BC＝3a，AB 5∴ AC (5a)2(3a)24a ，CD ＝5a-4a ＝a，BD a (3a) 10a ，sadA A BD D 510总结升华】(1) 将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠ A接近0°sadA＝1；(2) 在图①中设想AB＝AC 时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA> 0，当∠ A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA<2；(3) 将∠ A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。