初一数学展开与折叠及三视图

专题15 展开图与折叠、三视图压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一正方体相对两面上的字】 (1)【考点二含图案的正方体的展开图】 (2)【考点三由展开图计算几何体的表面积或体积】 (3)【考点四判断简单组合体的三视图】 (4)【考点五画小立方块堆砌图形的三视图】 (5)【考点六求小立方块堆砌图形的表面积】 (6)【考点七已知三视图求最多或最少的小立方块的个数】 (8)【考点八已知三视图求侧面积或表面积或体积】 (8)【过关检测】 (10)【典型例题】【考点一正方体相对两面上的字】例题：（2023秋·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是．【变式训练】1．（2023秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数2．（2023秋·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）正方体六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，三个同学从不同的角度观察的结果如图所示，若记2的对面的数字为m，6的对面的数字为n，那么的值为．2m n【考点二含图案的正方体的展开图】例题：（2023秋·广东深圳·七年级校联考期中）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2023秋·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图所示的正方体的展开图是（）A．B．C．D．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（）A．B．C．D．【考点三由展开图计算几何体的表面积或体积】例题：（2023秋·辽宁·七年级统考阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：(1)该长方体盒子的长______cm，宽______cm，高______cm；(2)求这个包装盒的表面积和体积．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图是一个食品包装盒的展开图（图中的六边形的六条边相等）．(1)请写出这个包装盒的立体图形的名称；(2)请根据图中所标的尺寸，求这个立体图形的侧面积．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【考点四判断简单组合体的三视图】例题：（2023秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）如图中几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）桌面上放着长方体和圆柱体各1个，按下图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．2．（2022秋·陕西·九年级校考期中）下图是一个拱形积木玩具，其主视图是（）A．B．C．D．【考点五画小立方块堆砌图形的三视图】例题：（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请画出该几何体的三视图．【变式训练】1．（2020秋·福建漳州·七年级校联考期中）下图是由6个相同的小正方块搭成的几何体(1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体的三视图．(2)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放，要保持俯视图和左视图都不变，则最多可以添放____个小正方体．2．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市光明中学校考阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为2cm的小正方体堆成一个几何体；如图所示：(1)请画出这个几何体从三个方向看的图形；(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆；(3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体．【考点六求小立方块堆砌图形的表面积】例题：（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为1m．(1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影）(2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少．【变式训练】1．（2022秋·山西太原·七年级校考阶段练习）如图是由若干个棱长为1cm的小正方体组成的几何体．(1)该几何体的体积等于______，表面积等于______．(2)从左面，上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状．2．（2022春·九年级单元测试）如图1，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体，并放在墙角．（注：图3、图4、图5每一个小方格的边长为1cm）(1)该几何体主视图如图3所示，请在图4方格纸中画出它的俯视图；(2)若将其外面涂一层漆，则其涂漆面积为________2cm．（正方体的棱长为1cm）(3)用一些小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图2所示，这样的几何体有几种？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？并在图5方格纸中画出需要最多小立方块的几何体的左视图．【考点七已知三视图求最多或最少的小立方块的个数】例题：（2023·四川成都·统考中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．【变式训练】1．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是块．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知一个由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则该几何体最多可以有个小正方体．【考点八已知三视图求侧面积或表面积或体积】例题：（2022春·九年级单元测试）如图是某几何体的三视图．(1)说出这个几何体的名称；(2)画出它的立体图形和表面展开图；(3)根据有关数据计算几何体的表面积和体积．【变式训练】1．（2023秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．(1)在图②的横线上填写出两种视图的名称；(2)根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（结果保留一位小数，π取3.14）2．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知如图为一几何体从三个方向看到的形状图：(1)写出这个几何体的名称；(2)任意画出它的一种表面展开图；(3)根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（）A．设B．福C．中D．国2．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）将如图立方体盒子展开，以下各示意图中有可能是它的展开图的是（）A．B．C．D．3．（2022秋·广东佛山·九年级校考期末）如图几何体的左视图是()A．B．C．D．4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如-=（）图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有a个，最多有b个，b aA．2B．3C．4D．5二、填空题5．（2022秋·云南·九年级校联考期中）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可得该几何体的体积为．（结果保留π）6．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知正方体的表面展开图如图所示，若相对面上标有的两个数+-的值为．互为相反数，则x y z7．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样一个几何体至少需要小正方体木块的个数为．8．（2023秋·山西太原·七年级开学考试）如图，这是一个长方体的表面展开图．（单位：cm）（1）这个长方体的表面有个完全相同的长方形．三、解答题9．（2023秋·陕西西安·七年级统考阶段练习）母亲节小林给妈妈买了一个圆柱形的茶杯，展开图的数据如图所示（结果保留π，单位：厘米）．(1)小林的妈妈想给茶杯做一个布套（包住侧面），问至少用多少平方厘米的布料（不考虑接缝）？(2)问这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？10．（2023秋·福建三明·七年级三明市列东中学校考阶段练习）如图所示，在平整的地而上，有若干个完全相同的棱长为2cm正方体堆成的一个几何体．(1)这个几何体由个正方体组成．(2)如果在这个几何体的表面(露出的部分)喷上黄色的漆，求这个几何体喷漆的面积．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图；(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．12．（2023春·九年级单元测试）如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称：；(2)画出它的一种表面展开图；(3)求这个几何体的侧面积．13．（2023秋·福建三明·七年级三明市列东中学校考阶段练习）如图是某几何体从三个方向看到的形状：(1)这个几何体的名称是(2)这个几何体的顶点数、面数分别是，(3)若从正面看的宽为8cm，长为15cm，从左面看的宽为6cm，从上面看直角三角形的斜边为10cm，则这个几何体中所有棱长的和是；表面积是14．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，(1)请在方格中画出该几何体的主视图和俯视图．（用阴影部分表示）(2)若现在你手头还有一些相同的小立方块，如果保持主视图和俯视图不变，则在左图中可以再添加______个小立方块．(3)若小立方块的棱长为1，则所搭成的几何体表面积为______．。

初中数学知识归纳三视与展开的绘制在初中数学中，我们经常会涉及到三维图形的绘制和展开。

绘制三维图形是为了更好地理解其形状和结构，展开则是将三维图形展平成二维图形，便于计算和分析。

本文将介绍初中数学中关于三视图和展开图的知识与技巧。

一、三视图的概念与表示方法三视图是指从不同方向观察一个三维图形得到的三个二维图形，分别是俯视图、前视图和侧视图。

它们分别对应于图形在顶视平面、前视平面和侧视平面上的投影。

1. 俯视图俯视图是从图形的上方观察得到的二维图形，表示图形在顶视平面上的投影。

俯视图中，我们只能看到图形的上下边和侧面，看不到前后面。

俯视图通常用字母A表示。

2. 前视图前视图是从图形的正对面观察得到的二维图形，表示图形在前视平面上的投影。

前视图中，我们可以看到图形的前后面和侧面，看不到上下边。

前视图通常用字母B表示。

3. 侧视图侧视图是从图形的侧面观察得到的二维图形，表示图形在侧视平面上的投影。

侧视图中，我们可以看到图形的侧面和一部分前后面，看不到上下边。

侧视图通常用字母C表示。

二、三视图的绘制方法在初中数学中，我们通常采用投影法来绘制三视图。

具体步骤如下：1. 绘制俯视图根据图形在顶视平面上的投影，绘制俯视图。

首先，确定俯视图的比例尺。

然后，根据图形的上下边和侧面，在纸上适当位置绘制出俯视图的形状和尺寸。

2. 绘制前视图根据图形在前视平面上的投影，绘制前视图。

首先，确定前视图的比例尺。

然后，根据图形的前后面和侧面，在纸上适当位置绘制出前视图的形状和尺寸。

3. 绘制侧视图根据图形在侧视平面上的投影，绘制侧视图。

首先，确定侧视图的比例尺。

然后，根据图形的侧面和一部分前后面，在纸上适当位置绘制出侧视图的形状和尺寸。

绘制完三个视图后，我们可以通过相互比对三个视图的形状和尺寸，来进一步了解图形的结构和特征。

三、三维图形的展开图展开是将三维图形按照一定规律展平成二维图形，便于计算和分析。

展开图可以帮助我们更直观地认识图形的面积、周长等属性。