视图投影立体图形的展开图

立体图形三视图及展开图一、知识点(一)三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察，角度不同，看到的风景就会不同。

比如：我们可以从正面看、上面看、左面看，看到的图形分别称为正视图、俯视图和左视图，并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的。

对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积(二)正方体的展开图展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等，我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面(三)长方体的展开图：观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即S上＝S下＝长×宽，S左＝S右＝宽×高，S前＝S后＝长×高。

(四)判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断。

二、题型(一)展开图与对立面【例1.1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________。

【答案】后面、上面、左面【解析】易知“你”、“程”相对，“前”、“锦”相对，“祝”、“似”相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面。

【例1.2】一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下。

现在每方格内都填上相应的数字。

已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是___________。

【答案】3、1、2【解析】面上的数是“0”，与“B”相对的面上的数是“2”，与“C"相对的面上的数是“1”。

三视图和展开图的认识1.定义：三视图是指一个物体在三个不同方向上的投影，包括正视图、俯视图和侧视图。

2.作用：通过三视图可以全面了解物体的形状和结构，是工程制图和建筑设计中必不可少的一部分。

3.绘制方法：(1)正视图：物体正面朝向观察者，投影在水平面上。

(2)俯视图：物体上方朝向观察者，投影在垂直于水平面的竖直面上。

(3)侧视图：物体左侧或右侧朝向观察者，投影在垂直于水平面和俯视图所在平面的斜面上。

4.定义：展开图是将一个立体图形展开成平面图形，以便于观察和计算。

(1)矩形展开图：最常见的展开图类型，适用于各种矩形容器、包装盒等。

(2)圆形展开图：适用于圆形或近似圆形的物体，如圆筒、圆盘等。

(3)三角形展开图：适用于三角形的物体，如三角尺、三角形的包装盒等。

(4)其他多边形展开图：适用于各种多边形的物体，如六边形、八边形等。

5.绘制方法：(1)矩形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个长方形或正方形。

(2)圆形展开图：将立体图形的侧面沿着直径展开，得到一个扇形。

(3)三角形展开图：将立体图形的侧面沿着高展开，得到一个三角形。

(4)其他多边形展开图：根据立体图形的形状和结构，选择合适的方法将其展开。

三、三视图与展开图的相互关系1.展开图可以转化为三视图：通过观察展开图，可以确定物体的正视图、俯视图和侧视图。

2.三视图可以转化为展开图：根据三视图，可以绘制出物体的展开图。

3.展开图中的信息可用于三视图的绘制：展开图中的边长、角度等信息可以用于确定三视图中的尺寸和形状。

四、实际应用1.工程制图：在建筑设计、机械设计等领域，三视图和展开图是表达物体形状和结构的重要手段。

2.制造业：在制造过程中，通过三视图和展开图可以方便地切割、加工和组装物体。

3.教育：在三视图和展开图的教学中，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

4.日常生活中：展开图在包装、折叠等方面有广泛应用，如纸箱、衣物等。

五、注意事项1.准确绘制：在绘制三视图和展开图时，要注意尺寸、形状和位置的准确性。

第26讲三视图与展开图1．三视图2.立体图形的展开与折叠1．(2017·衢州)如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是( )第1题图第2题图2．(2017·丽水)如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是()A．俯视图与主视图相同B．左视图与主视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同3．(2017·宁波)如图所示的几何体的俯视图为()4．(2017·金华)一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是()A．球B．圆柱C．圆锥D．立方体【问题】如图，下列四个几何体是水平放置．(1)这四个几何体中，主视图与其他三个不相同的是________；(2)图(1)的直三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为4，则此直三棱柱的侧面展开图的面积________；(3)图(2)的圆柱，底面半径为2，高为4，则此圆柱左视图的面积________；(4)通过(1)(2)(3)的解答，请你联想三视图和立体图形展开图的相关知识、方法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理简单几何体的三视图、展开图．类型一判断(画)几何体的三视图例1下列几何体中，俯视图相同的是()A．①②B．①③C．②③D．②④【解后感悟】掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案．1．(1)(2016·湖州)由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()(2)(2017·黔西南州)下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有()A．1个B．2个C．3个D．4个(3)(2017·台州)如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是()类型二由三视图判断原几何体的形状例2(2016·黄石)某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是()A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球【解后感悟】由三视图确定几何体，往往需要把三个视图组合起来、空间想象综合考虑；掌握常见几何体的三视图是解题的关键．2．(1)(2015·桂林)下列四个物体的俯视图与如图给出视图一致的是()(2)(2017·嘉兴模拟)如图是某个几何体的三视图，该几何体是()A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱(3)(2015·随州)如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是cm3.类型三立体图形的展开与折叠例3如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()【解后感悟】常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．3．(1)(2017·漳州模拟)如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是()(2)(2015·广州)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是()(3)如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是()A．0 B．1 C. 2 D.3(4)(2016·十堰)如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为()A．10cm B．15cm C．103cm D．202cm类型四几何体的综合运用例4学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：(1)当桌子上放有x(个)碟子时，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)；(2)分别从三个方向上看，其三视图如上图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．【解后感悟】从问题中获取信息(读表)，找出碟子个数与碟子高度之间的关系式是解此题的关键．4．(1)(2017·湖州)如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是()A．200cm2B．600cm2C．100πcm2D．200πcm2(2)如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.【课本改变题】教材母题－－浙教版九下第76页例题如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是()A．18 3 B．54 3 C．108 3 D．216 3 【方法与对策】由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图形的转化．【分不清三视图中的实线与虚线】一个空心的圆柱如图所示，那么它的主视图是()参考答案第26讲三视图与展开图【考题体验】1．D 2.B 3.D 4.B【知识引擎】【解析】(1)图(1)的主视图为长方形；图(2)的主视图为长方形；图(3)的主视图为长方形；图(4)的主视图为三角形．故主视图与其他三个不相同的是图(4)．(2)侧面展开图是矩形，侧面积为6×4＝24.(3)左视图的面积为4×4＝16.(4)画三视图，根据三视图描述简单几何体，直棱柱，圆锥侧面展开图等【例题精析】例1②③的俯视图都是圆，有圆心，故选C.例2∵如图所示几何体的主视图和左视图分别是长方形和圆，∴该几何体可能是圆柱体．故选C.例3B例4(1)2＋1.5(x－1)＝(1.5x＋0.5)cm(2)由三视图可知共有12个碟子，∴叠成一摞的高度＝1.5×12＋0.5＝18.5(cm)．【变式拓展】1．(1)A(2)D(3)A 2.(1)C(2)D(3)24 3．(1)A(2)A(3)B(4)D 4.(1)D(2)20 【热点题型】【分析与解】由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积＝6×34×62×2＝108 3.故选C.【错误警示】A。

比一比姓名一、解答题1. 把如图所示的几何体进行分类，并说明理由．2. 把图所示几何体的标号写在相应的横线上．长方体；棱柱；圆柱；球体；锥体；圆锥．3. 下列物体的形状对应哪些立体图形，把相应的物体与立体图形用线连接起来．4. 如图所示，上面是一些具体的实物，下面是一些立体图形，试找出与上面的实物相类似的立体图形5. 指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球体．6. 说出图中的图形是由哪些平面图形组成的．7. 观察下图，回答下列问题：(1) 图①是由几个面组成的？这些面有什么特征？(2) 图②是由几个面组成的？这些面有什么特征？(3) 图①中共形成了多少条线？这些线都是直的吗？图②呢？(4) 图①和图②中各有几个顶点？8. 观察生活中如图所示的物体，根据所呈现的形状，指出它们分别所属的立体图形．9. 如图所示，分别指出下列几何体各有多少个面？面与面相交形成的线各有多少条？线与线相交形成的点各有多少个？10. 观察图，回答下列问题：(1) 图①是由几个面组成的？这些面有什么特征？(2) 图②是由几个面组成的？这些面有什么特征？(3) 图①中共形成了多少条线？这些线都是直的吗？图②呢？(4) 图①和图②中各有几个顶点？11. 如图所示，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形？12. 从正面看某几何体，观察到的图形是长方形，请你举出两种具有这种特征的几何体．13. 如图所示是某些立体图形的展开图，分别指出这些立体图形的名称．14. 如图是一个食品包装盒的侧面展开图．(1) 请写出这个包装盒的多面体形状的名称；(2) 请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（侧面积与两个底面体之和）．15. 一个几何体的形状图如图所示，你能画出这个几何体吗？16. 如图是一个食品包装盒的展开图．(1) 请写出这个包装盒的多面体形状的名称；(2) 请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．17. 如图，四边形ABCD，将其绕CD所在直线旋转一周得到一个几何体，请画出这个几何体的从正面、左面、上面看到的形状图．18. 画出如图几何体的主视图、左视图、俯视图．19. 设计一种裁剪方法，使图能折叠成3个无盖的正方体．20. 如图所示，如果一只蚂蚁要从圆锥上的点B出发，沿侧面爬到AC的中点D，请你画出这条线段的最短路径的示意图．21. 如图，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出主视图和左视图．22. 如图所示是从上面看到的由几个小正方体搭成的几何体的形状图，数字表示处于该位置的小正方体的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．23. 如图所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母．(1) 如果A面在几何体的底部，上面的是哪一面？(2) 若F面在前面，从左看是B面，上面是哪一面？(3) 若从右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？24. 画出如图所示立方图形从上面、左面、正面看到的形状图．25.(1) 如图所示的几何图形叫做；(2) 画出该图形从上面看到的平面图形；(3) 画出该图形的平面展开图．26. 如图所示，用1，2，3，4标出的4个正方形，以及由字母标出的8个正方形中任意一个，一共用5个连在一起的正方形折成一个无盖方盒，共有几种不同的方法？请分别用数字与字母写出来．27. 画出如图所示立体图形的三视图．28. 写出下列立体图形的名称．29. 绘制下面几何体从正面、左面、上面看到的形状图．30. 如图是一个棱柱形状的食品包装盒的表面展开图．(1) 请写出这个包装盒形状的名称．(2) 根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的表面积．答案第一部分1. (1) 如果按柱体、锥体、球来划分：（2）（3）（5）（6）是柱体；（1）是球；（4）是锥体．如果按组成几何体的面是平面或曲面来划分：（1）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲面；（2）（3）（5）是一类，它们是由平面组成的．2. (1) ④⑦；④⑦⑧；⑤⑨；⑩；①③；①3. 如图所示．4. (1) 西瓜−−（2）球；饮料瓶−−（1）圆柱；工具书−−（4）长方体．5. (1) ①②⑤⑦⑧是柱体；④⑥是锥体；③是球体．6. (1) 图①是由一个圆和一个长方形组成的；图②是由五个圆组成的；图③是由两个直角三角形和一个圆组成的．7. (1) 图①是由6个面组成的，这些面都是平的．7. (2) 图②是由2个面组成的，1个平的面和1个曲的面．7. (3) 图①中共形成了12条线，这些线都是直的；图②中有1条线，是曲线．7. (4) 图①中有8个顶点；图②中只有1个顶点．8. (1) 图①是圆柱；图②是圆锥；图③是圆柱、圆锥的组合体；图④是球体．9. (1) 第一个几何体中有4个面，6条线，4个顶点；第二个几何体中有6个面，12条线，8个顶点．10. (1) 图①是由6个面组成的，这些面都是平的．10. (2) 图②是由2个面组成的，1个平的面和1个曲的面．10. (3) 图①中共形成了12条线，这些线都是直的；图②中形成了1条线，是曲线．10. (4) 图①中有8个顶点；图②中只有1个顶点．11. (1) 从正面看该立体图形得到三角形，从左面看该立体图形得到长方形，从上面看该立体图形得到长方形．12. (1) 圆柱，长方体（答案不唯一）．13. (1) ①五棱锥；②四棱柱（或长方体）；③圆柱．14. (1) 这个多面体是六棱柱14. (2) 侧面积为6ab；全面积为6ab+33b215. (1)16. (1) 这个包装盒是六棱柱．16. (2) 侧面积为6mn．17. (1) 如图所示．18. (1)19. (1) 如图所示（同一标记为一组）．20. (1) 如图所示，沿着圆锥顶点A和点B的连线将圆锥侧面剪开并展开得到一个扇形，连接BD，则线段BD即为蚂蚁所爬线路的最短路径．21. (1) 如图：22. (1) 如图所示．23. (1) F面．23. (2) E面或C面．23. (3) A面或F面．24. (1) 如图所示．25. (1) 长方体（或四棱柱）25. (2)25. (3)26. (1) 共有六种方法：分别是1,2,3,4,A，1,2,3,4,B，1,2,3,4,C，1,2,3,4,D，1,2,3,4,E，1,2,3,4,G．27. (1) 如图所示．28. (1) （1）正方体（四棱柱）；（2）长方体（四棱柱）；（3）圆柱；（4）圆锥29. (1)30. (1) 三棱柱30. (2) 因为AB=5，AC=3，BC=4，DF=6，所以AD=AC=MN=3，BE=BC=HN=4，AG=BH=EN=DF=6，所以表面积为：×3×4=18+30+24+12=84．3×6+5×6+4×6+2×12。

第二十九章投影与视图
知识点1投影
1．平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影．
2．中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
3．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影．
知识点2三视图
三视图主视图在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图.左视图在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.俯视图在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图.
三视图的画法(1)主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图高平齐,左视图与俯视图的宽相等:
(2)在画图时,看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线.
附：常见几何体的三视图
续表
知识点3立体图形的展开和折叠
1．常见几何体的展开图：
(1)正方体的展开图：
①“1－4－1”型
②“2－3－1”型
③“2－2－2”及“3－3”型
(2)圆柱、圆锥、三棱柱的展开图：
2．立体图形上两点之间的最短距离的求法：
将立体图形展开转化为平面图形或将曲面转化为平面图形，然后运用“两点之
间，线段最短”结合勾股定理求解．
蚂蚁要吃到蜂蜜的最短路线长是圆柱的侧面展开图中线段AB的长度．。