傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在数字信号处理中，Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中，我们往往
只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么，为什么还要引进Z变换呢？
Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？傅里叶变换的物理意义非常清晰：将
通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的
条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里
叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S 平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也
改革开放以来人们在思想观念方面 的新的变化及其意义 摘要：随着改革开放三十多年的进行和发展，人们的思想观念发生了新的变化。与社会主义市场经济相适应的自主意识、创新意识、开放意识与先进的思想文化意识，促进社会生产力发展的效率观念、效益观念、法制观念等文明进步的社会观念逐渐深入人心。这些变化是全方位的，既有政治的、经济的，同时还有文化等方面的。这既有好的一面也有坏的一面，我们应充分地利用改革开放为我们带来的机遇，大力建设社会主义现代化国家。 关键词：改革开放思想观念新的变化自主意识创新意识开放意识思想文化意识社会观念全方位 正文：改革开放30年来，在中国共产党的领导下，我国经历了波澜壮阔的思想解放过程。它以1978年底开展的“真理标准问题讨论”为起点，主要针对“两个凡是”、姓“社”姓“资”、姓“公”姓“私”等问题和困惑，以马克思主义的“实践标准”、生产力标准和人民利益标准（后两个标准被邓小平概括为“三个有利于标准”）为主要理论武器，使广大党员、干部和群众的思想观念发生了巨大的历史进步，形成了包括邓小平理论、“三个代表”重要思想以及科学发展观在内的中国特色社会主义理论体系。这种思想的大解放，既是党和人民长期实践经验的结晶和升华（包括对外国经验的借鉴），又促进了中国改革开放和社会主义现代化事业的大发展。 一、改革开放以来不同领域中人们思想观念的重大变化 （一）政治领域，科学、民主、法治观念逐步得以树立。 1、从迷信个人到追求真理。通过思想解放，人们逐步摆脱了个人崇拜，从盲从走向理性，树立了勇于探索、追求真理的科学观念。 2、从官本位到以人为本。改革开放后，经过30年民主政治建设，如今，人们已经习惯独立地思考、判断和决策，自主意识越来越强，人们把民主自由作为最重要权利来行使，并学会用法律武器维护自身的权益。 3、从人治到法治。十一届三中全会后我国不断加快法治建设，人们学法、懂法、守法、护法成为社会的风尚，法治观念深入人心，依靠法律来维护自己的合法权益成为自觉行为。人们的行为准则从按领导要求办事、按经验习俗和道德约束办事彻底转变为依法办事。 （二）经济领域，开放、竞争、效益观念逐步得以树立。 1、从封闭到开放。改革开放的影响反映到人们的思想观念里就是开放意识日益增强。 2、从计划到市场。十一届三中全会后，党以社会主义市场经济体制为改革目标并初步建立。它带给人们最大的变化就是竞争。从市场竞争、人才竞争、政策环境竞争、再到如今就业的竞争、岗位的竞争，可以说，竞争的观念如影随形。 3、从低效到高效。改革开放后，人们开始认识到企业要获利就须提高劳动生产率、降低成本、节约劳动时间。同样，个人要增加收入，也须珍惜时间，在既定的时间内，创造出比别人更多的价值。随着竞争的激烈，人们越来越认识到“时间就是金钱，效益就是生命”。 （三）文化领域，自信、包容、多元观念逐步得以树立。 1、从排斥到包容。改革开放后，人们独立思考的能力得到解放，文化自觉意识加强。重新认识到中华文化一脉相承的源远流长，五千年文明是现代文明的坚实基础和深厚渊源。
伟大的历史转折改革开放 1978年12月，党召开了十一届三中全会。它是我党历史上具有深远意义的伟大转折：第一，十一届三中全会是一次拨乱反正的会议。具体表现在它重新确立了马克思主义实事求是的思想路线，抛弃了"阶级斗争为纲"这个不适用于当下社会主义社会的口号，决定把全党工作的重点转移到社会主义现代化建设上来。第二，十一届三中全会是一次开创未来的会议。全会明确指出党在新时期的历史任务是把中国建设成为社会主义现代化强国，揭开了社会主义改革开放的序幕。第三，以十一届三中全会为起点，中国人民进入了改革开放和社会主义现代化建设的新时期。从十一届三中全会开始，以邓小平为核心的党中央逐步开辟了一条建设中国特色社会主义道路，30多年来，中国人民沿着这条道路取得了举世瞩目的建设成就。会议揭开了中国社会主义改革开放的序幕。1978年12月中国开始走上改革开放的道路。 改革开放的试验省-广东 文革后的中国经济已经处于崩溃边缘，国家财政赤字严重。经济上，至1978年为止，尽管中国的国民生产总值达3624亿元，比1965年的1716亿元[1]翻了一倍多，年均递增率达6.8%，并建立起了一个独立的、门类齐全的工业体系。但是人民依然贫苦，技术比较落后，并且经过文革后，中共出现一定程度的执政危机和信任危机。邓小平第三度上台，尝试对当时国内的经济体制进行全方位的改革，并试图将中国的经济体制从计划经济体制转移到市场经济上，邓小平的复出及其改革尝试得到了民众的热烈拥护 计划经济曾一度被认为是社会主义、共产主义的经济标志之一，自1950年代以来中国的计划经济虽然曾一 改革开放 度为中国早期的经济恢复和初步发展做出了巨大贡献，但随着时间的推进其弊端日渐明显：1、对国内经济的控制达到惊人的程度，政府企业职责不分，无视价值规律与市场调节的作用；一切以计划为纲，无法适应消费群体的需要，制约商品经济的发展，成为中国经济发展的最大瓶颈。2、生产商品的数量都在计划之中，购买商品还需要相应的商品票（如购买粮食就需要有相应的粮票），造成消费者即使有钱也难以买到需要的商品。3、工农业生产与商品经营均为强制性的生产资料公有制，个人不得持有私有财产，一切劳动成就都会被均分，这导致生产者没有兴趣扩大生产，很大程度上丧失了劳动积极性。只知道依靠"大锅饭"过生活，丧失了发展经济的动力 为尽快提升经济发展速度，邓小平与党内的开明派开始逐一解决这些问题，并试图改变人民心目中对共产党和社会主义根深蒂固的形象，这场改革运动的目的是以维持社会主义制度为前提，改变生产中不适应生产发展的管理体制和政策，并建立社会主义下的市场经济。这场改革的经济方面在农村取得了率先突破，并随之迅速在全国各经济领域内推行改革。 改革开放是邓小平理论的重要组成部分，中国社会主义建设的一项根本方针。改革，包括经济体制改革，即把高度集中的计划经济体制改革成为社会主义市场经济体制；政治体制改革，包括发展民主，加强法制，实现政企分开、精简机构，完善民主监督制度，维护安定团结。开放，主要指对外开放，在广泛意义上还包括对内开放。改革开放是中国共产党在社会主义初级阶段基本路线的基本点之一，是中国走向富强的必经之路。对中国的经济发展有着巨大影响。 党的17大报告指出，改革开放是党在新的时代条件下带领人民进行的新的伟大革命，目的就是要解放和发展社会生产力，实现国家现代化，让中国人民富裕起来，振兴伟大的中华民族；就是要推动中国社会主义制度自我完善和发展，赋予社会主义新的生机活力，建设和发展中国特色社会主义；就是要在引领当代中国发展进步中加强和改进党的建设，保持和发展
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译
名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于
评分＿＿＿＿＿＿ 日期＿＿＿＿＿＿湘潭大学通识教育课程 专题论文 课程名称：古代汉语知识 论文题目：汉字的演变及其意义 学号： 2011700226 姓名：尹学威 学院：材料与光电物理学院 班级： 11级材料科学与工程二班 日期： 2013年5月14日
汉字的演变及其意义 汉字，又称中文字、中国字、国字，是汉字文化圈广泛使用的一种文字，属于表意文字。汉字是世界上最古老的文字之一，由上古时代的华夏族人所发明创制，后来有作改进。汉字的确切历史可追溯到约公元前1300年商朝的甲骨文，然后是金文、六国古文，再到秦朝的小篆，发展到汉朝时才被取名为“汉字”，唐代时汉字楷化为今日所用的手写字体标准，即楷书。它与世界上任何一个民族的文字一样，是记录语言和传达语言的书写符号，是人们交流思想的辅助工具。汉字是迄今为止连续使用时间最长的主要文字，也是上古时期各大文字体系中唯一传承至今的文字，有学者认为汉字是维系中国南北长期处于统一状态的关键元素之一，亦有学者将汉字列为中国第五大发明。中国历代皆以汉字为主要官方文字。汉字形体的演变体现了汉字体系的发展变化，不同时代的文字资料中，同一个字的形体都发生了变化，有的甚至变得面目全非。然而，汉字形体的演变一直受到两条规律的约制，一个是简易律，另一个是区别律。 简易律是对汉字形体进行简化。是指将原来结构繁复的字变为相对简单、易写易认的字。即由图绘变为线条、由象形变为不象形、由较繁复的符号变为较简单的符号。它是汉字发展演变的主流。因为人们发明创造文字的目的，就是为了生活实际的使用。 在汉字形体的简化过程中，最重大的变革有两次：一是秦始皇统一六国，命李斯等人作小篆，废弃六国异文，这是中国文字发展史上的第一次规范化运动，也是第一次由政府主持的文字简化运动。二是在汉字完成了隶变之后。隶变是古汉字演变为现代汉字的关键，同时也是汉字的又一次大规模的简化过程。 简化可分为三种情况。1、将原来形体复杂的图形文字线条化、符号化，降低了写实性，增强了抽象性，便于书写。这种简化方式常用在古文字里。一些描绘事物实体形状的字，本来就象那个客体对象的形状，如马、羊、鱼、雀等字，后来也都线条化了，成为纯粹的文字符号了。又如年字，甲骨文从禾人声，象人抱禾回家，正是丰收之象，因而有年成、成熟的意思。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？ 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区
改革开放的历史意义主要体现在以下几个方面： 一、开启了当代中国历史新时期，实现了由计划经济向社会主义市场经济的历史性转变 改革开放是社会主义制度的自我完善和发展。一是坚持解放思想，以实践是检验真理的唯一标准，实现了国家工作重点转移，开启了改革开放历史新时期。二是坚持改革的社会主义方向，实现了社会主义基本经济制度与市场机制的有效结合，初步建立了社会主义市场经济体制。 二、促进了生产力大解放、大发展，实现了由温饱不足向总体小康的历史性转变 改革开放作为一场新的伟大革命，目的就是要解放和发展社会生产力、完善和发展社会主义制度、保持和发展党的先进性，使国家更加富强、人民更加幸福。改革开放是强国之路，是我们党、我们国家发展进步的力量源泉，改革开放极大地促进了社会生产力的大解放大发展。 三、推进了制度建设和创新，实现了由高度集权向民主法治的历史性转变 改革开放对于当代中国来说，是一个伟大的实践探索，也是一次深刻的社会变革，通过政治体制改革，各项民主制度不断完善，新型的社会主义民主制度在改革开放中得到进一步巩固和发展，坚定不移地走中
国特色社会主义政治发展道路已成为全国上下共识，我国已进入民主法治的历史新时期。 四、激发了全社会的创造活力，实现了由传统社会向现代社会的历史性转变 改革开放30年的实践历程，是全社会创造活力不断增强的过程。一是建设社会主义和谐社会的实践不断激发社会活力。二是通过理论和实践创新，找到了一条适合中国国情的正确发展道路。 五、扩大了对外交往与合作，实现了由封闭半封闭向全方位多层次宽领域对外开放的历史性转变 党的十一届三中会会以来，改革开放不断深化，改革与开放相互促进，相得益彰，有力地推动了我国社会主义市场体制和现代化建设的进程。我们党把对外开放确立为必须长期坚持的一项基本国策，在更大范围和更深程度上参与国际竞争与合作。 六、推动了发展方式的战略调整，实现了由传统经济增长方式向科学发展方式的历史性转变 改革开放使我国的生产力得到了大解放大发展，国际竞争力得到了大提升，人民生活得到了大改善。进入21世纪，顺应新的发展趋势，解决新的问题，客观上要求我们必须转变经济发展方式。科学发展观，
研究生课程论文（作业）封面 （ 2014 至 2015 学年度第 1 学期） 课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日 成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周 评阅日期：年月日 东北农业大学研究生部制
积分变换在工程上的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处， 在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥
??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥
最新词典中意义有变化的成语 ——一条留言引发的思考！这些成语它变了 昨天的每日一题里考到了一个成语“上行下效”，原句如下：“高尚的道德能够产生强大的感召力，领导干部作为人民的公仆，应当也必须是道德的楷模，这样才能上行下效，促进社会和谐发展。”很多同学质疑这句话里“上行下效“的使用不正确。 特别提示同学们，第七版词典已将「上行下效」为贬义词的注释删除。「上行下效」不再是贬义词，而是中性词，意为“是上面的人怎么做，下面的人就学着怎么干。”所以例句中“上行下效”的使用正确。 在此提示大家：成语备考中要以最新版《现代汉语词典》为准，关注最新成语意思的变化哟！这类成语很多，比如成语「呼之欲出」，原意为“形容画像非常逼真，也形容文学作品的人物描写十分生动“，在《现代汉语词典》（第6版）中新增含义“指某事即将揭晓或出现”，在考试中容易出错，一定要加倍注意！ 下面是第6版《现代汉语词典》一些更新了的成语： 一、扩大局部意义的成语 【感同身受】原指心里很感激，就象自己亲身领受到一样。现在多比喻虽未亲身经历，却如同亲身经历过一般。 【美轮美奂】原本多形容建筑物雄伟壮观、富丽堂皇。现在也用来形容装饰、布置等美好漂亮。 【空穴来风】原义为有了洞穴才有风进来（语出宋玉《风赋》），比喻消息和传说不是完全没有根据的，现多用来比喻消息和传说毫无根据。 【急风暴雨】急剧而猛烈的风雨，多用来比喻声势浩大的革命运动或激烈的斗争。 【居高临下】处在高处，俯视下面。形容处于有利的地位或傲视他人。 【绠短汲深】比喻能力薄弱，任务重大，难以胜任（多用作谦辞）。 【七窍生烟】形容气愤、焦急或干渴之极，好像耳目口鼻都冒火。 【石破天惊】形容事情或文章议论新奇惊人。 【行云流水】漂浮的云，流动的水，形容诗文、书画、歌唱等自然流畅。 【百废俱兴】各种被废置的或该办未办的事业都兴办起来。 【投桃报李】泛指相互赠答，友好往来。 【无可厚非】不可过分指摘，表示虽有缺点，但是可以理解或原谅。 【吴牛喘月】比喻疑心遇到不利的情况而害怕。 【对簿公堂】第5版只有“对簿”词条，解释为“受审问”，第6版删“对簿”，增“对簿公堂”，解释为：动词，在官府公堂上受审问，后来指在法庭上对质或上法庭打官司（相对成语词典新补充的）。 【置若罔闻】放在一边儿不管，好像没听见一样，形容不重视，不关心。
改革开放的历史意义 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
改革开放的历史意义2 今年是伟大的改革开放30周年，全党、全国人民都在隆重准备三十周年的纪念活动。改革开放的一个重要意义和独特价值在于因解放了思想而改革开放、并且在改革开放进程中实现了思想的解放，纪念改革开放30周年就是要总结这一宝贵经验、深化改革开放以进一步推进中国特色社会主义伟大事业。 一、改革开放是决定当代中国命运的关键抉择、是新的伟大革命 新时期最鲜明的特点就是改革开放。改革开放，是我们党在中国社会主义建设的关键时期的伟大抉择，是我们党在新的时代条件下带领人民进行的新的伟大革命，是决定中国命运的关键一招。从1978年我们党召开了开启改革开放历史新时期、具有重大历史意义的十一届三中全会以来，我们党领导全国人民以一往无前的进取精神和波澜壮阔的创新实践谱写了中华民族自强不息、顽强奋进新的壮丽史诗，这场历史上从未有过的大改革大开放极大地调动了亿万人民的积极性，使我国成功实现了从高度集中的计划经济体制到充满活力的社会主义市场经济体制、从封闭半封闭到全方位开放的伟大历史转折。今天，中国人民的面貌、社会主义中国的面貌、中国共产党的面貌发生了历史性变化，一个面向现代化、面向世界、面向未来的社会主义中国巍然屹立在世界东方。事实雄辩地证明：改革开放是决定当代中国命运的关键抉择，是发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的必由之路；改革开放是发展中国特色社会主义的强大动力，只有社会主义才能救中国，只有改革开放才能发展中国、发展社会主义、发展马克思主义。 二、改革开放的伟大意义在于解放了思想、实现了思想的解放
第7章 拉普拉斯变换 令狐采学 拉普拉斯(Laplace)变换是阐发和求解常系数线性微分方程的一种简便的办法，并且在自动控制系统的阐发和综合中也起着重要的作用．本章将简明地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用． 7.1拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 是很庞杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N ， 然后通过查经常使用对数表和否决数表，就可算得原来要求的数 N ． 这是一种把庞杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法． 7.1.1 拉氏变换的基本概念 界说 设函数)(t f 那时0≥t 有界说，若广义积分dt e t f pt ?∞ +-0)(在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作)(P F ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()(（71） 称（71）式为函数)(t f 的拉氏变换式，用记号)()]([P F t f L =暗示．函数)(P F 称为)(t f 的拉氏变换(Laplace) (或称为)(t f 的象函数)．函数)(t f 称为)(P F 的拉氏逆变换（或称为)(P F 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=． 关于拉氏变换的界说，在这里做两点说明： (1) 在界说中，只要求)(t f 在0≥t 时有界说．为了研究拉氏变换性质的便利，以后总假定在0 傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 历史选修1：历史上重大改革回眸古代改革题目训练（内容 影响类） 1. 材料：“管仲相齐，以“法者天下之至道也，圣君之实用也”为指导思想...把国都划分为六个工商乡和十五个士乡，共二十一个乡。十五个士乡是齐国的主要兵源。齐桓公自己管理五个乡，上卿国子和高子各管五个乡，于是全国形成统一的整体。规定国都中五家为一轨，每轨设一轨长。十轨为一里，每里设里有司。四里为一连，每连设一连长。十连为一乡，每乡设一乡良人，主管乡的军令。战时组成军队，每户出一人，一轨五人，五人为一....二千人为一旅，由乡良人带领，闲时务农，战时出征，这种寓兵于农的政策。根据土地的好坏不同，以征收多少不等的赋税。这样使赋税负担趋于合理，提高了人民的生产积极性。又规定国家铸造钱币，发展渔业、盐业，鼓励与境外的贸易，齐国经济开始繁荣起来。 摘编自卢泰然《管仲治理齐国的道和术》(1)根据材料，概括指出管仲改革的主要内容。(6分) (2)根据材料并结合所学知识，简析管仲改革的历史影响。(9分)参考答案 （1）行政方面，划分和整顿行政区划及机构;军事方面，层层编伍，寓兵于农;经济方面，实行“相地而衰征”的土地税收政策，统一货币，发展渔盐之利。 (2)影响: 1.促使齐国经济繁荣，为齐桓公称霸诸侯奠定坚实基础; 2.加速井田制的瓦解，有利于封建土地私有制的发展; 3.其重法的思想为战国法家所继承发展。 2. 材料:魏文侯当政时(公元前445年一前396年)，李悝为相行变法。 主要内容有:李悝用人只问才能，不问身份，看谁对国家有功劳，就给谁禄位。.....李悝主张派官员督责农民加紧生产，增产者赏，减产者罚。为此必须杂 1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？ 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 改革开放的历史意义与评价 摘要：中国现在的国际角色,和半个世纪前不可同日而语。中国经济的改革开放,使得这个世界上人口最多的国家以前所未有的速度,在经济、政治、外 交和军事等各方面重新融入国际社会。 关键字:改革开放，中国,意义，评价。 正文: 我国的改革开放已走过了近30年的历程。30年来，我国的经济社会发展取得了举世瞩目的巨大成就，同时中国改革攻坚任重道远。一方面我们面临着前所未有的机遇，另一方面又面临着改革攻坚的深层次矛盾的挑战。改革是探索和破旧立新的过程，由此引起的议论和争论在所难免。可以说改革开放是把双刃剑。 自十一届三中全会以来启动的改革开放,为我国近百年来前所未有的大发展、大繁荣奠定了体制基础。以建立市场经济体制基本框架和形成开放型经济为标志，经济体制改革在多方面取得重要进展。市场化改革和对外开放形成的体制性释放效应极大地促进了国民经济的发展。评价我国改革开放的标准有很多,但最客观和最有说服力的标准是邓小平同志提出的“三个有利于”，这是历史唯物主义的标准，也反映了我国改革开放的初衷。经过近３０年的改革开放，我国已成为世界上经济发展速度最快的国家之一，经济总量在世界上的排位由第十位上升到目前的第四位，可以说大大解放和发展了社会主义的生产力。由于我国综合国力的提高，一些专家认为,中国应当成为当前国际关系中塑造的重要因素。改革开放也迅速提高了人民的生活水平。我国迅速解决了1３亿人的温饱问题，在反贫困中取得的成绩得到国际社会的广泛赞誉。 改革开放对现代中国的历史意义? 第一,国际地位提升。 毫无疑问，中国现在的国际角色，和半个世纪前不可同日而语。五十多年前它是国际共产主义阵营一员，三十多年前它加入了联合国,七八年邓小平启动了中国经济的改革开放,使得这个世界上人口最多的国家以前所未有的速度，在经济、政治、外交和军事等各方面重新融入国际社会。过去十年到十五年,中国国际地位的提升，比以往任何时候都显著。其主要原因，是出口产业的壮大推动了贸易的扩张。中国作为一个负责任的发展中国家对全世界的发展中国家起一个带头作用,为促进建立一种可持续发展、公平、崭新的世界经济秩序而努力。 第二，经济大革命。 一是经济保持了稳定高速增长。30年来,在党中央的正确领导下，既把改革开放推进到新的阶段，又有效治理了通货膨胀,克服了亚洲金融危机和世界经济不景气的影响，遏制了通货紧缩的趋势,避免了经济增长的大起大落,保持了持续快速健康发展。二是经济实力明显增强。中国国家统计局公布的２00６年GDP 初步核实数据显示,中国20０6年的GDP达到人民币21.０87万亿元,约合2.7０万亿美元，与德国２006年的2.30万亿欧元（约合2.８6万亿美元）GDP仅一步之遥。分析人士指出，按照目前中德国的国内生产总值(GＤＰ）增长速度，20０７年中国ＧDP有可能会超过德国,仅次于美国和日本,跃居世界第三。三是增长质量和效益不断提高。在中央以提高经济效益为中心、推进经济增长方式由粗放型向集约型转变的战略思想指导下，企业的技术水平、生产和管理的现代化程度明显提高。四是实施西部大开发战略取得重要进展,区域经济开始趋向协调发 图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所 示： （//实数DFT将时域内的N个点变换为频域中两组各N/2+1个点（分别对应实部和虚部）） 计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N 的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。 下面展示了一副图像的二维FFT变换： 频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。 将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。 上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心 （//MATLAB中实现函数fftshift）。这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。 行N/2和列N/2将频域分成四块。对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反（//共轭？），这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。 为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。图像傅里叶变换的物理意义
人教版历史选修1：历史上重大改革回
傅里叶变化的物理意义
改革开放的历史意义与评价
图像傅立叶变换的原理和物理意义
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