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x 2 y 2 1 , 从 z 轴正向看为顺时针方向. Γ : 从 z 轴正向看为顺时针方向. x y z 2 ,
解 的参数方程为
x cos t , y sin t , z 2 cos t sin t , t : 2 π 0 . z z z 2π I [ ( 2 cos t )( sin t )
L2
性质3 若 L- 是 L 的反向曲线弧, 则
Pdx Qdy
L
L
Pdx Qdy.
第二节 对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的计算方法
定理 设P(x, y), Q(x, y)在有向曲线弧 L 上有定义且
连续，L的参数方程为
x (t ) , y (t ) ,
第二节 对坐标的曲线积分
一、概念与性质
二、计算方法
三、两类曲线积分之间的联系
第二节 对坐标的曲线积分
一、概念与性质
1. 引例—变力沿曲线所作的功
设一个质点在 xOy面内受到力 F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j 的作用，从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点B，其中P(x , y), Q(x , y) 在L上连续，求变力 F 所作的功. O A x
解
(3) 有向折线 L : OA AB . O 1 2 2 (1) 原式 ( 2y x 2 x )d x 4 xx
0
1 0
0
4 ( y 2 y y )d y 5 y dy 1 . (2) 原式 2 y x y 2
2
B(1,1)
1 3 x dx 0 1 4
0
i 1
P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
记作
P( x, y)dx Q( x, y)dy .
L
Γ
P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz
Γ Γ
记作
Γ
P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz.
取定的点. 如果当各小弧段长度的最大值0时，
P( , )x 的极限存在，则称此极限为函数P(x , y) 在
i 1 i i i
n
第二节 对坐标的曲线积分
有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分， 记作 即
P( , )x . P( x, y)dx lim
L 0 i 1 i i i n
A(1,0) x
1.
(3) 原式
OA
2x y dx x dy yx
2
2
AB
2 x yd x x 2 d y
0 dy 1.
0
O1
A(1,0)
x
第二节 对坐标的曲线积分
例4 设在力场 F ( y , x , z ) 作用下, 质点由 A( R, 0, 0)
沿 移动到 B ( R , 0 , 2 π k ), 其中 为 B z
(1) x R cos t , y R sin t , z k t ;
(2) AB .
试求力场对质点所作的功.
B
z
O
解 (1)
W F d s y d x xd y z d z Γ Γ O
A x
{P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt
P( x, y )dx Q( x, y )dy .
L
第二节 对坐标的曲线积分
即两类曲线积分之间的联系是
Pdx Qdy ( P cos Q cos )ds ,
π 2 a sin 2 t 0
第二节 对坐标的曲线积分
2 y 2 x y d x x d y , 其中L为 例3 计算 L
2 2 (1) 抛物线 L : y x , x : 0 1;
B(1,1)
x y2 y x2
2 (2) 抛物线 L : x y , y : 0 1 ;
点对应的参数值分别为和，且设 < . 曲线弧L在点
M ( (t ), (t )) 的切向量为 τ ( (t ), (t )) , 它的指向与参数
t 的增长方向一致， 当 < 时，这个指向就是有向曲 y B 线弧L的方向，称之为有向曲线弧 的切向量． 它的方向余弦为
Mi-1
yi
Mn-1
x
第二节 对坐标的曲线积分
2. 定义 定义 设 L 为 xOy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光
滑曲线弧，P(x , y), Q(x , y) 在 L 上有界. 在 L 上沿 L 的 方向任意插入一点列 M1 , M2 , … , Mn-1 , 把 L 分成 n 个 有向小弧段 M i 1M i (i 1,2,, n; M 0 A, M n B) . 设 xi = xi – xi-1 , yi = yi – yi-1 , (i,i)为 M i 1M i 上任意
0
( 2 2 cos t sin t ) cos t (cos t sin t )(cos t sin t ) ] d t
x
2π
0
x. x 2 π (1 4 cos 2 t ) d ty
y y
第二节 对坐标的曲线积分
三、两类曲线积分之间的联系
x (t ) , 设光滑曲线弧L的参数方程为 其起点和终 y (t ) ,
b a
P[ (t ), (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t ), (t )] (t )
R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt .
第二节 对坐标的曲线积分
y 2 A(1 , 到 B -1) (1 , 1) 的一段 . x y d x , 其中 L 为沿抛物线 y x 从点 例1 计算 L B(1 , 1) A(1 , -1)到 (1x, 为参数 1)的一段 . L : AO OB 取 ,y则 y 解法 1B
第二节 对坐标的曲线积分
3. 性质
性质1 设、为常数，则
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy.
L L L
性质2 若L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2, 则
Pdx Qdy
L
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy.
1
1
1
3
2
5
第二节 第二节 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分
例2 计算 y d x , 其中 L 为 L
2
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的上半圆周 , 方向为逆时针 圆心在原点的 方向 ; 上半圆周 , 方向为逆时针方向;
B –a O (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). A a x
O
L M
A
x
第二节 对坐标的曲线积分
cos
(t ) (t ) (t )
2 2
, cos
(t ) (t ) (t )
2 2
.
于是
[ P( x, y) cos Q( x, y) cos ]ds
L
(t ) (t ) P[ (t ), (t )] Q[ (t ), (t )] dt 2 2 2 2 (t ) (t ) (t ) (t )
L L
其中 ( x, y), ( x, y) 为有向曲线弧L在点(x , y)处的切向量 的方向角． 类似地，空间曲线上的两类曲线积分之间的联系 如下：
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos )ds ,
L L
其中 ( x, y, z), ( x, y, z), ( x, y, z) 为有向曲线弧 在点(x ,y, z) 处的切向量的方向角．
P(i ,i )xi Q(i ,i )yi .
W [ P(i ,i )xi Q(i ,i )yi ] ,
i 1 n
Mi
W lim
0
[ P( , )x Q( , )y ] . O
i 1 i i i i i i
n
xi M2 M1 A=M0
x yd x 1 x2yO dx x yd x 2 Ox L x yd x AOy y ( y )OB dy
L 0
1
4 x 2 x d x . x( x )d x1 4 x xd 4 5 A(1 , -1) 2 y 0d y .A(1 0, -1) 1
AO : yy为参数 x, x : 1 0 ,B(1 , 1) ,则 解法 2 取
2 x, OB : y 0 1 1.. L: x y , y :x :1
例1 计算 L
2 L 为沿抛物线 x , 其中 x yd第二节 x 从点 y 对坐标的曲线积分
B(1 , 1)
O
x x A(1 , -1)
y
B
求解方法还是“分割、近似、求和、取极限”.
第二节 对坐标的曲线积分
常力F使物体作直线运动时所作的功
W | F | | AB | cos F AB .
F
A B 现在力F是变力，运动路径不是直线，而是曲线.
解决方法还是“分割、近似、求和、取极限”. y F(i,i) Wi F (i ,i ) M i 1M i B=Mn
