人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习word版本

学科：数学教学内容：平行四边形的识别【学习目标】1．利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法．2．能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题．【基础知识概述】1．平行四边形的识别方法：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意：①识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；②“平行且相等”用符号表示．2．平行四边形识别方法的选择：3．平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．4．平行四边形作图：(1)常见的平行四边形的作图：①已知两邻边和夹角作平行四边形．②已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形．③已知一边和两条对角线作平行四边形．④已知两邻边和一条对角线作平行四边形．⑤已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形．(2)完成图形的关键步骤：①先由条件作出它们能确定的三角形．②然后再将三角形补成平行四边形．注意：①作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么．②四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法．【例题精讲】例1 如图12-1-14所示，已知中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AF 与EB 交于G ，CE 与DF 交于H ，试说明四边形EGFH 为平行四边形．分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到及中点，易知四边形AFCE 和EBFD 都是平行四边形，从而GE ∥FH ，GF ∥EH ，如若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化．解：在中，BC // AD ，已知E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以FC // AE ，BF // ED ，所以四边形AFCE 、EBFD 都是平行四边形．所以AF ∥EC ，BE ∥FD ．即GF ∥EH ，GE ∥FH ．所以四边形EGFH 为平行四边形．说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法．例2如图12-1-15，，以AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和△ACQ，试说明四边形BPDQ是平行四边形．解：∵，∴AB∥CD，∠1＝∠2．∵△ACP和△ACQ是正三角形，∴PA＝QC，∠PAC＝∠QCA＝60°，∴PA∥QC，∴四边形PCQA是平行四边形，∴PQ与AC平分．∵AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分，∴四边形BPDQ是平行四边形．思考：能否通过两组对边分别相等得到结论．提示：能．易证△PAB与△QCD重合，∴PB＝QD，同理PD＝QB．∴四边形BPDQ是平行四边形．注意：合理选择平行四边形的识别方法．例3已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．A．①和②B．①、③和④C．②和③D．②、③和④解：用逐个筛选法．关于①，由于AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果AD＝BC及DB＝BD，一般不能得到△ABD与△CDB重合，或者△ABD与△CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由．关于②，由AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果∠BAD＝∠BCD，再用BD＝DB，可得△ABD与△CDB重合，于是AB＝DC，DC//AB，故得．关于③，由AB∥CD知，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，若AO＝OC，则△AOB与△COD重合，于是AB＝DC，即DC//AB，故得．关于④，由∠DBA＝∠CAB，知OA＝OB，又AB∥CD知∠DBA＝∠BDC，同理也会有OC＝OD，但OA不一定等于OC，如12-1-16就是一个反例．综上所述，知②③正确，应选C．例4如图12-1-17，在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AC＝CH，AC与GH相交于点O，试说明(1)EG∥FH；(2)GH、EF互相平分．分析：(1)要证EG∥FH，需证∠GEO＝∠HFO，要证∠GEO＝∠HFO，需证∠AEG＝∠CFH，故先证△AGE与△CHF完全重合．(2)要证GH、CF互相平分，需证四边形GFHE是平行四边形．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．∵AF＝CE，∴AE＝CF．∵AG＝GH，∴△AGE与△CHF重合．(2)连结GF、EH，∵GE平行且等于FH，∴四边形GFHE是平行四边形，GH、EF互相平分．注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补，线段相等或倍分，两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．【中考考点】本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题．【命题方向】本节多以填空题、证明题、综合题形式出现．【常见错误分析】错误：对角线平分的四边形是平行四边形．误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分，应该改为“对角线互相平分”．正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【学习方法指导】平行四边形的特征与识别表，对应记忆更有利于理解和区分．【同步达纲练习】一、填空题1．四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是_________．2．中，AB ＝2，BC ＝3，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF ＝_________．3．一个四边形的边长依次是a 、b 、c 、d ，且bd 2ac 2d c b a 2222+=+++，则这个四边形是_________．4．把边长为4cm 、5cm 、6cm ，两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成_________种不同的四边形，其中有_________个平行四边形．5．在中，如果∠A 的余角比∠B 的补角大10°，那么∠A ＝_________，∠B ＝_________．6．分别过△ABC的顶点作它的对边的平行线，围成△A′B′C′，已知△A′B′C′的周长为4 cm，则△ABC的周长为_________．二、选择题7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD8．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( )．A．一组对角相等B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分D．一对邻角和为180°三、解答题9．在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH交于O，试说明GH、EF互相平分．10．画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm，8 cm，一边长为7cm．11．如图12-1-19，在中，E是AB上一点，F是CD上一点，且∠ADE＝∠CBF，四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由．12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试说明AB＝DE＋DF．13．如图12-1-20，在中，∠BAD和∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F，且分别交DC、BA的延长线于G、H，除外，指出图中其余的平行四边形．并说明理由．14．如图12-1-21，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．15．如图12-1-22，已知四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD ，EF ⊥AB 于点F ，E 、D 、A 在一条直线上，那么有AE 21DF ．请你说明理由．参考答案【同步达纲练习】一、1．平行四边形2．13．平行四边形4．6，35．40°；140°6．2 cm二、7．C 8．C三、9．略．10．略．11．提示：证△ADE与△CFB重合，可得DE＝BF，AE＝CF．∵ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，∴BE＝DF，∴四边形BFDE也是平行四边形．12．由已知四边形AEDF 为平行四边形，△EBD 为等腰三角形，则DF ＝AE ，DE ＝BE ，所以AB ＝AE ＋BE ＝DE ＋DF ．13．四边形AHCG ，解答略．14．提示：分别过A 、B 、C 、D 作BD 、AC 的平行线，得即为所求．如图12-1-23．15．提示：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以BC // AD ．又因为BD ∥CE ，所以四边形EDBC 是平行四边形，可得BC ＝DE ，根据等量代换有AD ＝DE ．因为EF ⊥AB 于点F ，E 、D 、A 在同一直线上，所以在直角三角形AFE 中有AE 21DF ． 专项训练二 概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题 9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

人教版八年级下册数学平行四边形知识点归纳及练习在平行四边形中，有以下几个定理和性质：1.四边形的内角和等于360°，外角和等于360°。

2.多边形的内角和等于(n-2)180°，外角和等于360°。

3.平行四边形的性质有：两组对边分别平行，两组对边分别相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，邻角互补。

4.判断平行四边形的方法：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分。

5.矩形是一种具有平行四边形所有通性的四边形，其四个角都是直角，对角线相等。

6.判断矩形的方法：平行四边形加一个直角，三个角都是直角，对角线相等的平行四边形。

7.菱形也是一种具有平行四边形所有通性的四边形，其四个边都相等，对角线垂直且平分对角。

8.判断菱形的方法：平行四边形加一组邻边等，四个边都相等，对角线垂直的平行四边形。

9.正方形是一种具有平行四边形所有通性的矩形，其四个边都相等，四个角都是直角，对角线相等且垂直且平分对角。

10.判断正方形的方法：平行四边形加一组邻边等和一个直角，菱形加一个直角，矩形加一组邻边等。

11.等腰梯形的性质有：两底平行，两腰相等，同一底上的底角相等，对角线相等。

12.判断等腰梯形的方法：两底平行且相等，同一底上的底角相等，对角线相等。

2) 四边形ABCD是等腰梯形，因为它是梯形且底角相等。

3) 四边形ABCD是等腰梯形，因为它是梯形且对角线相等。

1) 四边形ABCD是等腰梯形，因为它是梯形且两腰相等。

证明：由梯形的定义可知AD∥BC，又因为AC=BD，所以四边形ABCD是等腰梯形。

14.在三角形中，连接两个中点的线段叫做中位线。

根据中位线定理，中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

15.在梯形中，连接两个非平行边中点的线段叫做中位线。

根据梯形中位线定理，中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半。

平行四边形复习
C
D
A
O
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方
形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：
1．S 菱形 =2
1
ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =2
1
（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：
※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2
)3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
平行四边形
矩形
菱形正
方
形。

一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质：1（）两组对边分别平行；??DC）两组对边分别相等；（2??O是平行四边形?四边形ABCD）两组对角分别相等；（3??（）对角线互相平分；4?AB?.）邻角互补（5?2.平行四边形的判定：DCOAB . 矩形的性质：3.1;（）具有平行四边形的所有通性?CDCD??ABCD因为四边形是矩形;（）四个角都是直角2??O （3）对角线相等.?ABAB是轴对称图形，它有两条对称轴． (4) 矩形的判定：4 有一个角是直角的平行四边形；(1) (2)有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；(3)是矩形. ?四边形ABCD(4)对角线相等且互相平分的四边形．两对角线相交成60°时得等边三角形。

5. 菱形的性质：D1有通性；（）具有平行四边形的所??是菱形ABCD?因为）四个边都相等；2（?OCA?（角.3）对角线垂直且平分对?6. 菱形的判定：BD?一组邻边等?（1）平行四边形??四边形ABCD是菱形.）四个边都相等2（?O?CA边形3）对角线垂直的平行四（?菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；B菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。

菱形的面积等于两对角线长积的一半。

正方形的性质：7.CDCD1）具有平行四边形的所有通性；（???四边形ABCD是正方形O角都是直角；2）四个边都相等，四个（??（.3）对角线相等垂直且平分对角?BABA正方形的判定：8.一个直角?1（）平行四边形?一组邻边等??一个直角?（2）菱形??对角线相等）菱形?（3?. ABCD是正方形?四边形?一组邻边等矩形?（4）??对角线互相垂直?（5）矩形?．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三9. 1 遍的一半。

直角三角形斜边上的中线等于由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：2．斜边的一半。

(完整word版)初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题,平行四边形知识点一、四边形相关1 、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于( n2) ? 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为 n，那么多边形的对角线条数为n(n3) 。

2二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．D C 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．O 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．〔 1〕角：平行四边形的对角相等，邻角互补；A B 〔 2〕边：平行四边形两组对边分别平行且相等；〔 3〕对角线：平行四边形的对角线互相平分；〔 4〕面积：①S底高= ah；②平行四边形的对角线将四边形分成 4 个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形D C⑤方法 4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形O1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

A B2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形〔对边中点连线所在直线， 2 条〕．3.矩形的判定：满足以下条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．4.矩形的面积①设矩形 ABCD的两邻边长分别为a,b ，那么 S 矩形 =ab．四、菱形1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

平行四边形复习一基本概念：四边形，四边形的角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二定理：中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.练习：一、填空：（每小题2分，共24分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。

2、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。

3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。

4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。

5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。

6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。

学科：数学教学内容：平行四边形的特征【学习目标】1．探索并掌握平行四边形的特征．2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．【基础知识概述】1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD．(3)平行四边形定义的作用：①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．2．平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段．③互相平分指两条线段有公共的中点．3．平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠==(对角线互相平分)，(对角相等)，(对边相等)，(对边平行)，是平行四边形，则如果四边形DO BO CO AO D B C A ADBC CD AB AD//BC CD //AB ABCD 4．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置． 5．平行四边形的面积：(1)如图12-1-2①，．也就是 (a 是平行四边形任何一边长，h 必须是a 边与其对边的距离)．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC ，则．注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．【例题精讲】例1 如图12-1-3，已知的对角线相交于点O ，过O 作直线交AB 于E ，交CD 于F ，可得OE ＝OF ．为什么？分析：要得到OE ＝OF ，可先证得它们所在△AEO 与△CFO(△BEO 与△DFO)重合． 解：在中，∵AB ∥CD ，OD ＝OB ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴将△BOE 绕点O 旋转180度后与△DOF 重合．∴OE＝OF．注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．例2(1)在中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．(2)已知的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A ︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．(2)由于在中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC ＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k ＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．例3如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB 的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB 的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？提示：周长为80．设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，∴x＝8，∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．∴周长＝2(24＋16)＝80．例4 如图12-1-5，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，再由垂直得到角为90°即可．解：在中，∵∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°．∴∠A＝180°－∠B＝60°．∴∠C＝60°．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠ADE＝∠FDC＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．注意：在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解．【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行．【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及．【常见错误分析】例7如图12-1-7，中，AC和BD交于O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么？错解：∵，∴OA＝OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AOE＝∠COF．又∠1＝∠2，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．误区分析：错误出于∠AOE＝∠COF这一步骤，原因在于默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实E，O，F三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误．正解：解法一：∵，∴AD∥BC，∴∠3＝∠4．又OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．解法二：∵AD ∥BC ，OE ⊥AD ∴OE ⊥BC ．又OF ⊥BC ， ∴直线OE 与OF 重合， 即E ，O ，F 三点共线， ∴∠1＝∠2．又∵OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°， ∴△AOE 旋转180°后与△COF 重合， ∴OE ＝OF ．此命题可推广如下： 已知中，AC 和BD 交于O ，过点O 作直线EF 交AD 于F ，交BC 于F ，则OE ＝OF ．求解(略)．这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立．【学习方法指导】1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．【同步达纲练习】 一、填空题1．若一个平行四边形相邻的两内角之比为2︰3，则此平行四边形四个内角的度数分别为____________．2．在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为____________． 3．在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________． 4．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x 的取值范围为____________．5．中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．6．平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．7．已知等腰△ABC 的一腰AB ＝9 cm ，过底边上任一点P 作两腰平行线分别交AB 于M ，交AC 于N ，则AN 十PN ＝____________．8．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．9．平行四边形邻边长是 4 cm 和8cm ，一边上的高是 5 cm ，则另一边上的高是____________．10．如图12-1-8，中，E 是AD 的中点，BD 与EC 相交于F ，若2S EFD =∆，则BFC S ∆＝____________．11．已知P 为内一点，，则PCD PAB S S ∆∆+＝____________．12．已知的对角线相交于点O ，它的周长为10 cm ，△BCO 的周长比△AOB 的周长多2cm ，则AB ＝____________．二、解答题13．已知，如图12-1-9，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，EF ∥AC 交BC 于F ，则BE ＝FC ，为什么？14．如图12-1-10，中，E ，F 是对角线BD 上两点，且BE ＝FD ，连结AE ，FC ，则AE ＝FC ，试说明理由．15．如图12-1-11，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，求的面积．16．如图12-1-12，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明PD＋PF＋PE＝AB．17．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角是135°，求此平行四边形的各角的度数．三、思考题18．如图12-1-13，EF过对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，求四边形EFCD的周长．19．以平行四边形ABCD两邻边BC、CD为边向外作正△BCP和正△CDQ，则△APQ 为正三角形，请说明理由．参考答案【同步达纲练习】 一、1．72°，108°，72°，108° 2．6，8，6，8 3．2cm 21 4．10<x<22 5．7cm ，3 cm 6．5，2 7．9 cm 8．12或189．cm 25 10．8 11．50 12．1.5cm 二、13．提示：由△BED 是等腰三角形得到BE ＝ED ，由四边形DEFC 是平行四边形得到ED ＝FC 即可．14．提示：通过△ABE 与△DCF 重合可以得出．15．2cm 30．16．延长FP 交AB 于G ，延长DP 交BC 于H ，四边形AGPD ，EBHD 为平行四边形，PD ＝AG ，PH ＝BE ，△GEP ，△PHF 为等边三角形，PE ＝EG ，PH ＝PF ＝BE ，PD ＋PF ＋PE ＝AG ＋GE ＋EB ＝AB ．17．45°，135°，45°，135°． 三、18．OE ＝OF ＝1.5，AE ＝CF ，DE ＝BF ，ED ＋CF ＝BF ＋FC ＝5，CD ＝AB ＝4，四边形EFCD 的周长为2×1.5＋5＋4＝12．19．提示：证明△ABP 、△QDA 、△QCP 三个三角形重合，可得出AP ＝AQ ＝PQ 即可．。

学科：数学教学内容：平行四边形的特征与识别方法一．主要内容1．平行四边形的定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形ABCD，记作：ABCD ，其中AB与DC、AD与BC是两组对边；AB与BC是邻边；∠A与∠C、∠B与∠D是两组对角；∠A与∠B是邻角。

边、角、对角线是平行四边形的基本元素。

ADB C2．平行四边形的特征①平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

这是它的本质特征。

由它的本质特征决定了平行四边形的边、角、对角线的特征。

②平行四边形的两组对边分别平行且相等③平行四边形的两组对角分别相等④平行四边形的两条对角线互相平分3．平行四边形的识别方法方法1．用定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法2．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形方法3．对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法5．两组对边分别相等的四边形是平行四边形二．讲一讲例1．ABCD中，∠A比∠B小200，求ABCD的四个角的度数。

分析：由于平行四边形的对角相等，邻角互补，因此只要给定一个角（内角、外角）或给出了两个角的数量关系（两邻角之比为2：3、两对角之和为140度等），就可以求平行四边形的四个角。

解：由于四边形ABCD是平行四边形，则∠A=∠C、∠B=∠D，AD//BC，由两直线平行，同旁内角互补可知∠A+∠B=1800。

又∠A比∠B小200，即∠B-∠A=200，解这两个方程得：∠A=800∠B=1000，则ABCD的四个角分别是800 ，1000，800 ，1000例2．如图ABCD的对角线交于一点O，且AD≠CD，过O点作OM⊥AC，交AD于点M。

如果△CDM的周长为a,求ABCD的周长。

OAB C DM分析：ABCD的周长=2（AD+DC）=2（AM+MD+DC），又MC+MD+DC=a,因此只需要证明AM=MC，利用垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等即可。

平行四边形复习1 •四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360 °;(2)四边形的外角和等于360° .2.多边形的内角和与外角和定理：(1)n边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2)任意多边形的外角和等于360° .3 •平行四边形的性质:因为ABCD是平行四边形⑴两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;⑶两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.4.平行四边形的判定:(1) 两组对边分别平行(2) 两组对边分别相等(3) 两组对角分别相等ABCD是平行四边形(4) 一组对边平行且相等(5) 对角线互相平分5.矩形的性质:(1)具有平行四边形的所有通性; 因为ABCD是矩形(2四个角都是直角；(3)对角线相等.D C6.矩形的判定：(1)平行四边形一个直角(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.(3)对角线相等的平行四边形D C两条对称轴练习:、填空：（每小题2分，共24分） 1、对角线 ________ 平行四边形是矩形2、如图⑴已知 0是口ABCD 的对角线交点，AC = 24, BD = 38, AD = 14,那么△ OBC 的周长等A (3)D•/ ABCD 是梯形且 AD// BC••• AC =BD/ ••• ABCD 四边形是等腰梯形 B CA14.三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且 等于它的一半. B C15.梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半. B D C C^\BA B 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方 形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线 定理：中心对称的有关定理 ※「关于中心对称的两个图形是全等形 • 探2•关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 探3•如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 三公式: 1 • S 菱形=1 ab=ch. （a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长 22. S 平行四边形=ah. a 为平行四边形的边， h 为a 上的高） ,h 为c 边上的高） 13. S 梯形=一 （a+b ） h=Lh. （a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高 2 四常识： 丄为梯形的中位线） ※一若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是:2•规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似” n (n 3)2 3•如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系 4・常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形;仅是中心对称图形的有：平行四边形 ;是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆注意：线段有⑷3、 在平行四边形 ABCD 中，/ C = / B+ / D,则/ A = _____ ，/ D = _______ 。

希望教育 八年级下册平行四边形知识与习题1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫. 5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（6. 矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形.7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ A BCD 1234AB CDABDOCCDBAOABDOCA DBCA DBCAD B COAD B CO8．菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ CDAB （1） A BCD O（2）（3）10．正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.(3)∵ABCD 是矩形 又∵AD=AB∴四边形ABCD 是正方形11．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（12．等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒四边形ABCD 是等腰梯形 (3)∵ABCD 是梯形且AD ∥BC ∵AC=BD ∴ABCD 四边形是等腰梯形CDBAOA BC D OABC DOCD AB14．三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15．梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 练习：一、填空：（每小题2分，共24分）1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。