3.2 圆的对称性(2)垂径定理的应用

圆的对称性----垂弪定理的应用【教学目标】：1、巩固垂径定理。

2、应用垂径定理解决实际问题。

3、培养学生协作能力、探索能力、解决实际问题的能力。

4、对学生进行爱国主义教育。

【教学重点】：垂径定理的应用【教学难点】：用垂径定理解决实际问题【教学过程】：一、情景导入：今天我们想用学过的知识解决实际问题，大家有兴趣吗？有信心吗？（学生异口同声：有!显然很兴奋。

这节课气氛不会差。

）出示大屏幕：播放童谣《小放牛》（在第一张幻灯片中插入超链接）：赵州桥来什么人修？玉石栏杆什么人留？什么人骑驴桥上过？什么人推车压了一道沟？”“赵州桥来鲁班修；玉石栏杆圣人留；张国老骑驴桥上过；柴王爷推车压了一道沟。

”在听音乐的同时介绍《赵州桥的传说》.设计意图：创造一种意境，利用声画效果结合学生感兴趣的话题自然地引入课题。

二、问题提出：当我们踏入河北石家庄的赵县，一阵悠扬的童谣《小放牛》会给我们带进有着古老传说的赵州桥。

1400年前，为隋代李春所建。

跨度（弧对弦长）：37.4m，拱高（弧中点到弦的距离）：7.2m，桥拱的半径是多少？设计意图：通过实例，培养学生的实际建模能力。

弘扬祖国古老文化，进行爱国主义教育。

三、问题解决：1、首先复习垂弪定理的内容。

引导学生用垂弪定理解题。

2、学生进行讨论，小组间进行。

教师教师巡视并适时指点，对表现好的给以热情鼓励，表现差的温馨提示。

3、教师演示模型并讲解。

4、公布解题过程，让学生对照突出其成就感。

设计意图：让学生充分发挥自己能力，协作解决一些力所能及的问题。

体会垂径定理的重要性。

四、问题引申：若有一条宽16m、高4m的货船，能否从桥下顺利通过？设计意图：给学生一个更大的思考空间，深刻体会数学应用的重要性。

五、问题探索与解决：1、小组间讨论：船会怎样走才能顺利过桥。

请画出示意图。

教师用模型展示。

2、在什么情况下轮船才能顺利过桥。

3、教师演示模型并讲解。

4、公布解题过程，让学生对照突出其成就感。

2、内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线直径所在的直线都是它的对称轴;垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等;相关概念：弦心距：圆心到弦的距离垂线段OE;应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE;3、垂径定理常见的五种基本图形4、垂径定理的两种变形图基本题型一、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=10米,净高CD=7米,则此圆的半径OA=A5 B7 C375D377图1练习1、已知：在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求圆的半径.练习2、如图,在⊙O 中,AB 是弦,C 为的中点,若32=BC ,O 到AB 的距离为1.求⊙O 的半径.练习3、如图,一个圆弧形桥拱,其跨度AB 为10米,拱高CD 为1米.求桥拱的半径.二、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图2所示,则这个小孔的直径AB mm ．练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB 是 cm.DCO AB图3BA8mm图2三、求弦心距例3.如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .1求证：四边形OEHF 是正方形. 2若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.练习3.如图4,O 的半径为5,弦8AB =,OC AB ⊥于C ,则OC 的长等于 ．四、求拱高例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示,已知AB =16m,半径 OA =10m,高度CD 为_____m ．五、求角度例5.如图6,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠AOC =60º,则∠B = ．六、探究线段的最小值例6.如图7,⊙O 的半径OA =10cm,弦AB =16cm,P 为AB 上一动点,则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．七、其他题型例7、如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求CD 的长.B DCE O图4 COABD CAO图5CODA B图6C OABP图7例8、在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB ∥CD,求：AB 与CD 之间的距离.例9、如图所示,P 为弦AB 上一点,CP ⊥OP 交⊙O 于点C,AB ＝8,AP:PB ＝1:3,求PC 的长;例10、如图所示,在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E,求AB 和AD 的长;例11、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D,求证：AD=21BF. 例12、已知：如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是CABD EOABDEFC弦,于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.例13、某机械传动装置在静止状态时,如图所示,连杆PB 与点B 运动所形成的圆O 交于点A,测得PA ＝4cm,AB ＝5cm,⊙O 半径为4.5cm,求点P 到圆心O 的距离;。

圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。

专题02 垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543符号语言：⎩⎨⎧⊥AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BD AD BC AC BE AE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。

圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（ ）．　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔 〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。