2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第3章 3.1 3.1.3 两个向量的数量积 Word版含答案

3.2.5 距离(选学)学习目标：1.掌握向量长度计算公式．(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短． (2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 3．直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离． 思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？ [提示][基础自测]1．思考辨析(1)可以用|AB →|2＝AB →·AB →，求空间两点A 、B 的距离．( )(2)设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到α的距离为d ＝|AB →·n ||n |.( )(3)若直线l 与平面α平行，直线l 上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l 与平面α的距离．( )[提示] (1)√ (2)√(3)× 直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A.534 B ．532 C.532 D ．132 C [∵M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴|MC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532.]3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )【导学号：33242317】A ．10B ．3 C.83D ．103D [AP →＝(－1，－2,4)，d ＝|AP →·n ||n |＝103.][合 作 探 究·攻 重 难]如图3-2-44所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．图3-2-44(1)求MN 的长．(2)a 为何值时，MN 的长最小？[思路探究] 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解． [解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，F (1,1,0)，C (0,0,1)．因为CM ＝BN ＝a (0<a <2)，且四边形ABCD ，ABEF 为正方形，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，22a －1，所以|MN →|＝a 2－2a ＋1. (2)由(1)知MN ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，所以，当a ＝22时，MN ＝22.即当a ＝22时，MN 的长最小，最小值为22.1．如图3-2-45所示，在120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．图3-2-45[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，又∵二面角α-AB -β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝60°，∴|CD |2＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋BD →·AB →) ＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD ＝12.[1．如何理解与认识点到直线的距离？[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2．如何用向量法求点到直线的距离？[提示] 设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点，向量P A →在向量s 上的射影的大小为|P A →·s 0|，则点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中s 0＝s |s|.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝1，AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，求点B 到直线A 1C 1的距离．【导学号：33242318】[思路探究] 建立坐标系，利用向量法求解．[解] 以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(4,0,1)，C 1(0,3,1)，所以直线A 1C 1的方向向量为A 1C 1→＝(－4,3,0)，而BC 1→＝(0,3,1)，所以点B 到直线A 1C 1的距离 d ＝|BC 1→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·A 1C 1→|A 1C 1→|2＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝135.，3，2)，(－1，3，0)，而的距离为如图3-2-46所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求点A到平面A 1BD 的距离．图3-2-46[思路探究] 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求。

目录✧ 1.1.1基本计数原理学案✧ 1.1.2基本计数原理的应用学案✧ 1.2.1.1排列及排列数公式学案✧ 1.2.1.2排列的综合应用学案✧ 1.2.2.1组合及组合数公式学案✧ 1.2.2.2组合的综合应用学案✧ 1.3.1二项式定理学案✧ 1.3.2杨辉三角学案✧第1章计数原理章末分层突破学案✧ 2.1.1离散型随机变量学案✧ 2.1.2离散型随机变量的分布列学案✧ 2.1.3超几何分布学案✧ 2.2.1条件概率学案✧ 2.2.2事件的独立性学案✧ 2.2.3独立重复试验与二项分布学案✧ 2.3.1离散型随机变量的数学期望学案✧ 2.3.2离散型随机变量的方差学案✧ 2.4正态分布学案✧第2章概率章末分层突破学案✧ 3.1独立性检验学案✧ 3.2回归分析学案✧统计案例章末分层突破学案基本计数原理1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 分类加法计数原理阅读教材P3中间部分，完成下列问题.做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种.( )【解析】(1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的.(2)√在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事.(3)√由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式.(4)√根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2 分步乘法计数原理阅读教材P3后半部分内容，完成下列问题.做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个.( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种.( )【解析】(1)√因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同.(2)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成.(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值.(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准.(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类.【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法.共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种.(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路[再练一题]1.(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.【导学号：62980000】【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种.故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种.【答案】(1)C (2)15分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理.【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码.1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.[再练一题]2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式.由分步乘法计数原理，得2×3＝6种.[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成.而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”.探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成.只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事.探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法.故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐.利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法.由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐.两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步”.【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成.[再练一题]3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法.(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法.[构建·体系]1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )【导学号：62980001】A.7B.12C.64D.81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法.故选B.【答案】 B2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A.1＋1＋1＝3B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24D.以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法.【答案】 B3.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数.【答案】20 104.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条.【答案】125.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息.(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法.(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图1­1­1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图1­1­1A.6条B.5条C.9条D.4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条.【答案】 B2.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A.96种B.24种C.120种D.12种【解析】 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种.【答案】 A3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )【导学号：62980002】A.53种B.35种 C.8种 D.15种 【解析】 每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法.【答案】 B4.如果x ，y ∈N ，且1≤x ≤3，x ＋y <7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A.15B.12C.5D.4 【解析】 利用分类加法计数原理.当x ＝1时，y ＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x ＝2时，y ＝0,1,2,3,4，有5个；当x ＝3时，y ＝0,1,2,3，有4个.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个.【答案】 A5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax ＋By ＝0的系数A ，B 的值，则形成的不同直线有( )A.18条B.20条C.25条D.10条【解析】 第一步，取A 的值，有5种取法；第二步，取B 的值，有4种取法，其中当A ＝1，B ＝2时与A ＝2，B ＝4时是相同的方程；当A ＝2，B ＝1时与A ＝4，B ＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条.【答案】 A二、填空题6.椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________.【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个.【答案】207.某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种).【答案】428.如图1­1­2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________.图1­1­2【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种).(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种).10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理.有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.[能力提升]1.一植物园参观路径如图1­1­3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图1­1­3A.6种B.8种C.36种D.48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线.【答案】 D2.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )【导学号：62980003】A.180种B.360种C.720种D.960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种.【答案】 D3.直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示________条不同的直线.【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线.【答案】224.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种.由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点.(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点.(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点.基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点)2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P4～P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242.(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项.由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).【答案】363.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________.【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案.【答案】184.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个.【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解.(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[再练一题]1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).组数问题用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；。

1.3.2 杨辉三角1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.[基础·初探]教材整理1 杨辉三角阅读教材P 29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .1.如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________.13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9图1-3-1【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1.【答案】2n－12.如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 112 1133 11464 1……图1-3-2【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C13n＝2C14n，即3n！13！(n－13)！＝2n！14！(n－14)！，解得n＝34.【答案】34教材整理2二项式系数的性质阅读教材P29后半部分，完成下列问题.1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T n2＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T n＋12与Tn＋12＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n.1.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________.【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n＝8.【答案】82.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.【导学号：62980026】【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.【答案】 53.(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________.【解析】 因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.【答案】 1－3102[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为S n ，求S 19的值.图1-3-3【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：[再练一题]1.如图1-3-4所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.图1-3-4【解析】 由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22. 【答案】 46 n 2－n ＋22求展开式的系数和设(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017·x 2 017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值.【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172. (3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ).∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.[再练一题]2.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到.探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论.。

第2课时组合的综合应用1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.3.掌握解决组合问题的常见的方法.(难点)[基础·初探]教材整理组合的实际应用阅读教材P19～P21，完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题.(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论：根据计算结果写出方案个数.1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种.【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C310＝10×9×83×2×1＝120(种).【答案】1202.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种.【解析】甲选修2门，有C24＝6(种)不同方案.乙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案.丙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种).【答案】 963.从0,1, 2，π2， 3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成______条平行于x 轴的直线.【解析】 要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可.故有C 15＝5条满足条件.【答案】 54.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种. 【导学号：62980019】【解析】 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C 27＋C 37＋C 47＋C 57＝112种分配方案.【答案】 112[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题.【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法.共有C13C49＝378种不同的选法.解答简单的组合问题的思考方法1.弄清要做的这件事是什么事.2.选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3.结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.[再练一题]1.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C24种方法，即C26＋C24＝21(种).有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种).∴不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种.或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴不同的取法有5 984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种.∴不同的取法有2 100种.(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴不同的取法有2 555种.(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴不同的取法有6 090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.3.分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.[再练一题]2.“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法.根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法.法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法.(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法.所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个).法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种.故这12个点能构成三角形的个数为C312－C34＝216个.1.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.2.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.[再练一题]3.四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】 如图所示，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法，含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有3C 35＋3＝33种.[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】 共有C 24＝4×32＝6(个)不同结果. 完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘.探究2 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】 共有A 24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除.探究3 完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类：0在个位，则百位与十位共A 24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C 12C 13C 13＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A 24＋C 12C 13C 13＝30(种)不同的结果.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【精彩点拨】 (1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表.。

§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x 24－y 216＝1的焦点坐标为________． 【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.【答案】 x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________解惑：________________________________________________疑问2：________________________________________________解惑：________________________________________________疑问3：________________________________________________解惑：________________________________________________[小组合作型])．①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|－|PF2|＝2的点P的轨迹为双曲线；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线．【自主解答】①2＜2，故点P的轨迹是双曲线的一支；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P的轨迹不存在；④点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离为(－3－1)2＋(－1－2)2＝5＜8，故点P的轨迹是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】②④如图3-3-1，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．图3-3-1(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．[再练一题]1．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得25 a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：[再练一题]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4b 2＝124a 2－8b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝4.故所求双曲线的标准方程是x 28－y 24＝1. (2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎨⎧a ＝2525a 2－4b 2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.12：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝2 2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∵22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．1．本题易忽略|MC1|－|MC2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．[再练一题]3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x 24－y 212＝1(x ＞2)．[探究共研型]探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，故|MF1|－|MF2|＝－2a，综上得|MF1|－|MF2|＝±2a，这是与椭圆不同的地方．探究1双曲线的标准方程xa2－yb2＝1(a＞0，b＞0)和ya2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)有何异同点？【提示】相同点：它们的形状、大小都相同，都有a＞0，b＞0和c2＝a2＋b2.不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？【提示】设双曲线与椭圆x27＋y36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A(±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】y24－x25＝1[再练一题]4．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】设双曲线的方程为x216－k－y24＋k＝1(－4＜k＜16)．将点(32，2)代入得k＝4，所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝1[构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.() 【解析】(1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”．(2)x2a2－y2b2＝1中，a＜0，b＜0也可以．(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系不确定．【答案】(1)×(2)×(3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为()A.2B．2 2 C. 4 D．8 【解析】c2＝a2＋b2＝9＋7＝16，∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12ab C ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF 1|－|PF 2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2. 【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x 216－y 29＝1. 【答案】 x 216－b 29＝15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8；(2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上．【解】(1)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．∵2a＝8,2c＝12，∴a＝4，c＝6，∴b2＝62－42＝20.∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1.∵c＝6，∴b2＝c2－a2＝6－a2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为x25－y2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点)2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点)3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说，由p 可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．(2)若p⇒q，但q⇒/p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇒/q，称p是q的必要不充分条件．思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？[提示]不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．2．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q 的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？[提示]是．因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．[基础自测]1．思考辨析(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的必要不充分条件．()[提示](1)√(2)√(3)√2．“x>0”是“3x2＞0”成立的()【导学号：33242048】A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出3x2＞0，而3x2＞0⇔|x|＞0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.]3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由a－c>b－d变形为a－b＞c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，∴a－c＞b－d⇒a＞b.而a>b并不能推出a－c＞b－d.所以a>b是a－c>b－d的必要不充分条件．故选B.]4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的()【导学号：33242049】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.由q⇒p成立，而由p⇒/q成立．][合作探究·攻重难]A．充分不必要条件B．必要充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)设向量a ，b 的夹角为θ，则a·b ＝|a |·|b |cos θ，若|a·b |＝|a||b |⇒cos θ＝±1，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，即a ∥b 为真；若a ∥b ，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，|a·b |＝|a||b |，所以“|a·b |＝|a||b |”是“a ∥b ”的充要条件．特别地，当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立．故选C.(2)构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.故选C.(3)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．故选C.[答案] (1)C (2)C (3)C A 1．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.[解](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，但x＋y＝8⇒/x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件.n n{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.【导学号：33242050】[思路探究]充分性：由q＝－1推出{a n}是等比数列；必要性：由{a n}是等比数列推出q＝－1.[证明](1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，当n＝1时也成立．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p，即数列{a n}为等比数列．(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p.∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p . ∴p (p －1)p ＋q＝p ，∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.2．已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB→，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. [证明] ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →，∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →.∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.[探究问题]1．﹁p 是﹁q 的必要不充分条件的等价命题是什么？[提示] q 是p 的必要不充分条件．2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？[提示]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.【导学号：33242051】[思路探究] 解出集合P ，把x ∈P 是x ∈S 的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.。

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标：1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．[自主预习·探新知]1．解析几何研究的主要问题：(1)由曲线求它的方程．(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略．[提示]可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明．[基础自测]1．思考辨析(1)依据一个给定的平面图形，选取的坐标系是唯一的．()(2)求轨迹就是求轨迹方程．()(3)到两坐标轴距离之和为a(a＞0)的点M的轨迹方程为|x|＋|y|＝a.()[提示](1)×不唯一．常以得到的曲线方程最简单为标准．(2)×求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．(3)√2．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2)[答案] B3．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________.【导学号：33242101】y 2＝8x (x ≠0) [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →得2x －y 24＝0即y 2＝8x (x ≠0)．][合 作 探 究·攻 重 难][解] (1)曲线变化情况：∵y 2＝4x ＋4≥0，得x ≥－1，y 可取一切实数，x 逐渐增大时，|y |无限增大．∴曲线在直线x ＝－1的右侧，向上向下无限伸展． (2)对称性：用－y 代y 方程不变，故曲线关于x 轴对称． (3)截距：令y ＝0，得x ＝－1；令x ＝0得y ＝±2， ∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2. (4)画方程的曲线： 列表：1．画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形．[解]到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x≥0，y≥0的图形后，利用对称性完成画图，如图.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.【导学号：33242102】[思路探究]由条件可知动点满足的不变关系已确定，只需坐标化再化简即得方程．[解]如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M||MF|－|MB|＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝18x2.因为曲线在x轴的上方，所以y＞0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝18x2(x≠0)．2．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|P A|.则|8－x|＝2(x－2)2＋(y－0)2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.[1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？[提示] 只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．2．常见的建系原则有哪些？[提示] (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系． (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x 轴建立直角坐标系．3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？[提示] 在第五步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．【导学号：33242103】[思路探究] 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．[解] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， ∵P 为MB 的中点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎨⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1，∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.[当堂达标·固双基]1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是()A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点B[C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．]。

章末分层突破[自我校对]①回归分析②相互独立事件的概率③χ2公式④判断两变量的线性相关回归分析问题建立回归模型的步骤(1)确定研究对象，明确变量x，y.(2)画出变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用回归直线方程y ^＝b^x ＋a ^).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法). (5)得出回归方程.另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值.假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)求出这些数据的线性回归方程；(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？ (4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系. 【精彩点拨】 (1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关； (2)求出a ，b ，写出线性回归方程； (3)回归系数即b 的值，是一个单位变化量； (4)根据线性回归方程可找出其规律. 【规范解答】 (1)数据的散点图如下：(2)用y 表示身高，x 表示年龄， 因为x －＝114×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，y －＝114×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b^＝∑i ＝114x i y i －14x － y －∑i ＝114x 2i －14x－2≈18 993－14×9.5×1321 491－14×9.52≈6.316，a ^＝y －－b x －＝71.998，所以数据的线性回归方程为y ＝6.316x ＋71.998.(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度. (4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等. [再练一题]1.假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗Y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x (2)求Y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗. 【解】 (1)散点图如下.(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系.设回归方程为y ^＝b^x ＋a ^，x ＝30.36，y ＝43.5， ∑i ＝15x 2i ＝5 101.56，∑i ＝15y 2i ＝9 511.43. x y ＝1 320.66，y 2＝1 892.25，x 2＝921.729 6，∑i ＝15x i y i ＝6 746.76.由b^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.29，a^＝y －b ^x ＝43.5－0.29×30.36≈34.70.故所求的线性回归方程为y ^＝34.70＋0.29x . 当x ＝56.7时，y ^＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估计成熟期有效穗约为51.143.独立性检验独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可以通过P (χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2计算χ2的值.(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断.在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？880人. 【精彩点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k 的值.由观测值分析，得出结论.【规范解答】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：n 11＝228，122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝371，n ＋2＝869，n ＝1 240.代入公式χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2(n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2)，得χ21＝1 240×(228×737－132×143)2360×869×371×880≈270.114 3.(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：n 11＝225，122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝381，n ＋2＝859，n ＝1 240. 代入公式，得χ22＝1 240×(225×724－135×156)2360×880×381×859≈240.611 2.(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：n11＝267，122122n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1 240.代入公式，得χ23＝1 240×(267×781－93×99)2360×880×366×874≈486.122 5.由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之.[再练一题]2.某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”.经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A疾病.请用所学知识分析该药品对预防A疾病是否有效.【解】将问题中的数据写成如下2×2列联表：将上述数据代入公式χ2＝11221221n1＋n2＋n＋1n＋2中，计算可得χ2≈0.041 4，因为0.041 4<3.841，故没有充分理由认为该保健药品对预防A疾病有效.转化与化归思想在回归分析中的应用回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题.某商店各个时期的商品流通率Y(%)的商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出证明，流通率Y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元的商品流通率.【规范解答】 设u ＝1x ，则y ＝a ＋bu ，得下表数据：y ^＝－0.187 5＋56.25 u .所以所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.[再练一题]3.在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，Y (单位：mg)表示未转化物质的质量.(1)设Y 的值(精确到0.001)；(2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1).【解】 (1)在y ＝cd x 两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得由公式得a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回归方程为z＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，故c≈49.675，d≈0.801，所以c，d的估计值分别为49.675,0.801.(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg).1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b^x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【解析】由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).【答案】 B2.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2A.成绩 C.智商D.阅读量【解析】 A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160，∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 【答案】 D3.如图3-1是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.图3-1(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2∑i ＝17 (y i －y )2，回归方程y ^＝a^＋b ^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －－b^t . 【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103.a^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.4.某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t . 【解】 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1 (t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y －)∑7i ＝1 (t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.。

第三课 空间向量与立体几何[核心速填]1．几个重要的概念(1)零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量．(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量．(3)相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量．(4)相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．(5)共线向量：空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量．(6)共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．2．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .3．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.4．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a·a②cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|5．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ；l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0；l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0；l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ；α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.6．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小(i)如图3-1①，AB ，CD 是二面角α-l -β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3-1(ⅱ)如图3-1②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．7．用空间向量解决立体几何问题的一般步骤(1)适当地选取基底{a ，b ，c }(或建立空间直角坐标系)．(2)用a ，b ，c 表示相关向量(或求出有关向量的坐标)．(3)通过运算完成证明或计算问题．[体系构建][题型探究]的中点，G 为△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示向量MG →.(2)已知三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．①求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积．②若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标.【导学号：33242327】[解] (1)如图，连接AG 并延长交BC 于点D .∴D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，又∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →，∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13(－2OA →＋OB →＋OC →)．∵M 为OA 的中点，∴AM →＝－12OA →.∴MG →＝AG →－AM →＝13(－2OA →＋OB →＋OC →)＋12OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)①由题意，可得AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12， 所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.②设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－1z ＝－1.所以向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．1．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．[解] 由已知a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝3t －525. 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b ＜0，即3t －525＜0，所以t ＜5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ＜0，使a ＝λb ，即(5,3,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，t ，－25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝λ·(－2)，3＝λt ，1＝λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，所以t ＝－65，故t 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－65∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，5215.P A 的中点，求证：(1)PC ∥平面EBD ；(2)平面PBC ⊥平面FCD .[证明] 如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DA ，DP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设DC ＝a ，PD ＝b ，则D (0,0,0)，C (a,0,0)，B (a ，a,0)，P (0,0，b )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2. (1)DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2，DB →＝(a ，a,0)． 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ DE →·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎨⎧ a 2y ＋b 2z ＝0，ax ＋ay ＝0.令x ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，a b ， 因为PC →·n ＝(a,0，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，a b ＝0，。