二次根式的意义

二次根式的意义及有意义的条件二次根式起源于解二次方程，是代数学中的一个重要概念。

它的意义主要涉及到数学、物理、工程和经济等领域。

在不同的领域中，二次根式有不同的应用，但存在的基本条件是二次根式下的被开方数必须为一个非负实数。

首先，二次根式的意义在于解决一些实际问题，特别是与平方根相关的问题。

在物理领域中，二次根式广泛用于测量和计算运动、力量、能量等方面。

例如，在自由落体运动中，我们可以使用二次根式来计算距离、时间、速度和加速度。

在工程中，二次根式可以用来描述一些物理量的变化规律，例如电流、电压、功率等。

此外，在经济学中，二次根式可以用来解决一些与利润、成本、收入等相关的问题。

其次，二次根式的意义在于解决一些几何问题。

在几何学中，二次根式可以用来计算线段、三角形、圆等几何图形的性质和特征。

例如，我们可以使用二次根式来计算三角形的各个边长、角度和面积。

在解决几何问题时，二次根式的意义更加显著，它可以帮助我们更好地理解和应用几何学的原理和方法。

此外，二次根式还具有一些重要的数学性质和运算规律。

例如，二次根式满足加法、减法、乘法和除法的运算规律。

通过对二次根式的运算，我们可以解决一些复杂的问题，例如求解方程、求极限、计算曲线的长度等。

此外，通过对二次根式的性质进行研究，我们可以得到一些重要的数学结论，例如二次根式的序列、级数和连续分数的性质等。

最后，二次根式的意义在于培养人们的抽象思维和问题解决能力。

二次根式作为代数学最基本的概念之一，它涉及到数学的推理、证明和计算等方面。

通过学习和应用二次根式，人们可以培养自己在数学和其他学科中的抽象思维和问题解决能力。

同时，二次根式还可以帮助人们发展数学直觉和推理能力，提高数学素养和数学能力。

综上所述，二次根式的意义涉及到数学、物理、工程和经济等各个领域。

无论是在解决实际问题、几何问题，还是在培养人们的抽象思维和问题解决能力方面，二次根式都扮演着重要的角色。

因此，了解二次根式的意义和应用，有助于我们更好地理解和应用数学的原理和方法。

二次根式定义及性质教学内容:并利用它们进行计算和化简•2. 重点：—「汕「•厂—，厂—5及其运用.3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°),= α⅛≥0) 解决具体问题知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质1.&≥Q(a≥0)；(石)=Λ (d ≥ 0)=IaI= <3.2.a (a ≥0) -a (a <0)；4. 积的算术平方根的性质:5. 商的算术平方根的性质:λj'.∕∙,- -ΛJ I -■", ' -■；知识点三：代数式S形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression).1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:(X >0)、1匚、=、二、U J i(X ≥0,y ≥ °)∙思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ∙∖厂”；第二，被开方数是正数或例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义?思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ?义.1解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j1当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义?1解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数•••当X 取任意实数时，二次根式' ■'在实数范围内都有意义(2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1•当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义•解：二次根式有:匸、C i(X ≥ 0,y ≥ 0);才能有意J∙. (X >0)、 不是二次根式的有:举一反三【变式1】计算:(x≥0); 1【变式2】当X是多少时，•一在实数范围内有意义?1思路点拨：要使J一上- -；+•■ + I在实数范围内有意义，___ 丄必须同时满足中的2x+3 ≥0和T十〕中的x+1 ≠ 0.2x+3≥0解：依题意，得〔兀+1至°3由①得：X ≥ -.由②得：X ≠ -13 丄当X≥-1且x≠ -1时，，l' ' + , 一在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质例1、计算:(厕(b ≥0)思路点拨：我们可以直接利用「〔(a≥0)的结论解题.(6「厂-解：⑴因为x ≥0,所以x+1 >0⑶ T a 2+2a+仁(a+1)22 2 2 2⑷∙ 4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) 又∙∙∙ (2x-3)2≥ 0例2、化简:(1)若=a ,则a 可以是什么数?⑶ L >a ,贝U a 可以是什么数? 思路点拨：思路点拨：因为(1)9=32, ⑵(-4)2=42,⑶25=52,⑷(-3)2=32,所以都可运用 J 「二-「』—山去化简.解：⑴丄I=W =3 ；(Nt 广=4;⑶】F =QI =5;⑷厂T =厂=3.⑴上1;⑵' 「思路点拨: (1)因为 X ≥ 0 ,所以 X+1 > 0 ；2 2(3)a +2a+1=(a+1) ≥0；(2)a 2≥ 0;2 2 2 2(4)4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) ≥ 0•所以上面的4题都可以运用= a (a ≥0)的重要结论解题.+ 2α + l=a 2+2a+1; ,?并根据这一性质回答下列问题.(2) ∙∙∙ a 2≥ 0,又••• (a+1)2≥0,∙∙∙ a 2+2a+1 ≥0, 2∙ 4x -12x+9 ≥2=4x -12x+9.例3、填空：当a ≥ 0时,;当a v 0时,=-a ,贝U a 可以是什么数?(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据⑴、(2)可知-I a I ,而I df大于a ,只有什么时候才能保证呢？解：⑴因为 扮= L ：,所以 a ≥ 0;类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式J 一匚：『的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同例 2、(1)已知 y=-∙j2-： + 勺了一 F +5 ,求「"的值.(2)若 C- - +=0,求 丁宀、严的值.j _ 2 解：⑴由—— F -- -可得「 J」,.l _|(2) . V -： '.. r .■. _ J- [-<-_■ 、■一• 一 一U..√^+T = O J 二 0 ..Λ +1 = 0,⅛ — 1 = 0,p . a = - ↑f b-l：.β≡+⅛≡ = (-l)w +l≡=2.例3、在实数范围内分解因式:23(I)X -5； (2)x -2x ；解:⑴原式一；•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使 ()2”中的数是正数,(2)因为 丄-一，，所以a ≤ 0; (3)因为当a ≥ 0时,要使 1∕" ', J ,即使a > a 所以a 不存在；当要使 \ - '■ I -,即使-a > a ,即 a v 0；综上,a v 0.解：将x=-4代入二次根式，得因为，当a ≤ 0时,那么-a ≥ 0.a v 0 时,= （M）（"）■⑵原式= XCX3-2）= ⅛i-（T2）i; =X（X+Λ∕2）（X-T2）.学习成果测评基础达标一、选择题1•下列式子中，不是二次根式的是（）3. （福建省福州市）若代数式K-1在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）A . x> 0B . x≥0 C. X ≠ 0 D. x≥0 且X ≠ 15 . a≥0 时,二、'一::、A.—,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）B .C '丿十■'M 1.宀■'■.. <D . V-J ' _ 寸 JN表示的数可能是（）A .J- B. j I112•已知一个正方形的面积是 5 ,那么它的边长是（）B. LJ-IC. 1 D .以上皆不对”1的值是（）C . 4:D.以上都不对4.6.（辽宁省大连市）如图，数轴上点、填空题1. ___________________________ 若亦二 4，贝y X =.2•若血+3有意义，则Q 的取值范围是 __________________⑶（斯+3龍）（2筋-痂）=O10.（内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A 、B 两点之间表示整数的点有A B-< -- '_-^^3 y∕δ三、解答题1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:个.9.计算:底面边长应是多少? 能力提升一、选择题2. （山西省临汾市）若■■■ --f∙'--：■,则』与3的大小关系是（）B .汽〕3.下列计算正确的是（）二、填空题Z-I1.若二 ，则」2. 若■■是一个正整数，则正整数 m 的最小值是3.已知实数「三、解答题1.当X 是多少时， 二+x 2在实数范围内有意义?2•某工厂要制作一批体积为 Im 3的产品包装盒，其高为 0.2m ,按设计需要，？底面应做成正方形试问C . 2D .无数4.(福建省厦门市) 3 √5 5-<—<A. L LJ F 列四个结论中，正确的是5 √5 3 _ <——<-B.→ LJC. D.⑴二• 1 ,1.使式子有意义的未知数B . 1A .B .C .D .在数轴上的对应点如图所示，则2•若T ■一 " +^- ■有意义，求4•已知' .l^ ",求 x+y 的值.综合探究1.（福建省南安市）观察分析下列数据，寻找规律： 0，匚「，3，2匸，，3、，，，那么 第10个数据应是 ____________ .两种解答中， _______ 的解答是错误的，错误的原因是 _____________4. 若:--一时，试化简八 ’厂一 U T -'.5. 在实数范围内分解下列因式（1）「- ; （2）打-：：.二次根式定义及性质测试题、复习1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：(1) 4; (2) 0.16; (3)旦. (1) 225; (2) 0.0001;163•先化简再求值：当a=9时，求a+J —「的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式 =a+ * '' =a+(1-a)=1 ；=a+ 厂T3.（北京市海淀区）已知实数X , y 满足∣Λ-5∣÷λj7+4 = 030082.（江苏省苏州市）等式）中的括号应填入 ______________=a+(a-1)=2a-1=17 .乙的解答为：原式,求代数式 的值.初二数学（下）知识改变命运创造未来258二、二次根式的意义1.二次根式的意义代数式________________ 叫做二次根式，读作 ________________ ,其中 __________ 是被开方数.通常把形如__________________ 的式子也叫做二次根式.2 •二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是______________________________ .3. 例题例题1下列各式是二次根式吗？√2、总、口、√齐、jb(b<o)、√b r^τac.例题2设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义？(1) ∙∙.2x" ；(2) ^-X ; (3) ] - ; (4) ...1 X2.4 •练习(一)设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义?(1) (3) ∙. χ2 -2x 1 .、二次根式的性质性质性质2:性质性质4:例题3求下列二次根式的值:(1):(3 7)2;• X2 -2x 1 ,其中X = - 3 .2、选择题 (1)、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则 J (b T)2 - J (aT)2 =(A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b∙∙ ∙ _______ a0 b(2) 、化简√(^√2^)2的结果是()A 、1-.2B 、、2-1C 、_ ( 2 -1)D 、_ (1- 2) (3) 、如果茫丄=,那么X 的取值范围是() J X-2 Y X-2A 、1 ≤ X ≤ 2B 、1v X ≤ 2C 、X ≥ 2D 、X >2例题4化简二次根式(1),72 ；(2),12a 3 ；(3)∙.18X 2 x _0 ；I® °)例题5设a 、b 、C 分别是三角形三边的长，化简:.(a _ b c)2C - a)2练习(二)：1、化简下列二次根式 (1)32 ；(2) '.. 27X 2(X -0)；(3)；，243(n-0);最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1） ______________________________________________ ; （2） ____________________________________________________ . 例题6判断下列二次根式是不是最简二次根式:；（2）、、42a ；（ 3） 、24X 3 ；（4） . 3 a 2 2a 1 （a _ -1）例题7将下列二次根式化成最简二次根式:（1） ,4x 3y 2 y 0 ； （ 2） . a 2-b 2 ][abab _ - 0 ； （3） . m n m n 02、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：I . ab,2c2y, . 4a 2 4a 1, . a 2 b 2（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式:（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：侑,再（b >0）,J a3（χT （x 一 y g y f 爲（p ®°）3、同类二次根式几个二次根式化成 ________________________ 后，如果 _________________ 相同,那么这几个二次根式叫做同 类二次根式.u 2「v 2 , ,a 2b-a 2 c a 0 ,（1例题8下列二次根式中，哪些是同类二次根式?例题9合并下列各式中的同类二次根式：_ 1 _ IL（I）2 2 —3 ÷—2 3 ；2 34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：A. （32,750,2』丄；B. j4χ3,2ι∕2X, J8χ2（X ≥0 ）;（2）合并下列各式中的同类二次根式:A. 3 .5 5 -4 .5;212,2一4,(2) 3 xy _ a . Xy b XyB. 2需+4拓-6禹+丄Vb.2。

二次根式的意义和计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。

本文将探讨二次根式的意义和计算方法，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、二次根式的意义二次根式是指形如√x的表达式，其中x是一个非负实数。

二次根式可以表示一个数的平方根，即求解方程x² = a的解x。

例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4等等。

二次根式的意义可以从几何角度解释。

对于一个非负实数a，√a表示一个正实数x，使得x² = a。

换句话说，√a表示一个边长为a的正方形的边长。

例如，√4表示一个边长为4的正方形的边长为2。

二、二次根式的计算方法1. 化简二次根式有时，我们需要将二次根式化简为最简形式。

化简二次根式的方法是将根号内的数分解成其素因数的乘积，并将能开方的素数提取出来。

例如，√12可以化简为2√3。

2. 加减二次根式加减二次根式的计算方法是先将根式中的数分解为素因数的乘积，然后分别合并同类项，并按照规定的格式进行运算。

例如，√2 + √3可以合并为√2 + √3。

3. 乘除二次根式乘除二次根式的计算方法是利用二次根式的性质，将根号内的数分解为素因数的乘积，并按照规定的格式进行运算。

例如，√2 × √3可以计算为√6。

三、二次根式的应用二次根式在代数、几何、物理等领域具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 代数方程二次根式在代数方程中经常出现。

例如，在求解一元二次方程时，常常需要用到二次根式的计算方法。

2. 几何问题二次根式可以用于几何问题的计算。

例如，在求解三角形的边长、面积等问题时，经常需要用到二次根式。

3. 物理问题二次根式在物理学中有着重要的意义。

例如，在计算物体自由落体运动的时间、速度等问题时，经常需要用到二次根式的计算。

四、总结二次根式是数学中一个重要的概念，它可以表示一个数的平方根。

二次根式的意义可以从几何角度解释，它表示了正方形的边长。

二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。

第七讲二次根式的意义与性质一、内容提要数的开方与二次根式包括平方根、立方根、算术平方根、二次根式及实数、无理数的概念和相关性质．１、平方根的定义与性质：定义：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.2、算术平方根的定义与性质:定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根（0的算术平方根是0）.性质:双重非负性——被开方数非负、算术平方根非负.3、立方根的定义与性质:定义:如果x3=a，那么x叫做a的立方根.性质:一个正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,一个负数的立方根是一个负数；.4、二次根式的定义与性质:定义:形如“ a （a≥0）”的式子叫做二次根式.性质:（1）（ a ）2=a（a≥0）；（2）a2 =│a│；（3）ab = a × b （a≥0，b≥0）；（4）ab=ab（a≥0，b>0）.二、赛题精讲【例1】已知y=1-x2+x2-1+2x+1，其中x、y为有理数,求（ 2 ）x+y的值.【例2】若一个正数的两个平方根是3x-1和-2x+2，求这个正数.【例3】已知A=m-nm+n+1 是m+n+1的算术平方根,B=m-2nm+2n 是m+2n的立方根,求B-2A的值. 【例4】若a、b满足3 a +5│b│=7，s=2 a -3│b│，求s的取值范围. 【例5】若实数x、y、z满足x +y-1 +z-2 =12（x+y+z），求代数式（x-yz）3的值.【例6】（1）证明: 2 是无理数.（2）已知a、b均为正有理数, a 、 b 均为无理数,求证: a + b 是无理数.【例7】已知7 =a，70 =b，用含a、b的代数式表示 4.9 .【例8】已知9+13 与9-13 的小数部分分别是a和b，求ab-3a+4b+8的值.【例9】比较大小（1）13-2与42（2）4- 2 与1+ 2（3）a+1a+2与a+2a+3（4）14 -13 与13 -12三、热身演练1、已知x=（-2a4+a-aaa--+-333）2005,求x的个位数字.2、若实数x、y、m满足关系式:3x+5y-2-m +2x+3y-m=x-199+y ·199-x-y ，试确定m的值.3、已知x、y是实数,且y<x-1 +1-x +1，化简1y-1y2-2y+1 .4、已知x +y-1 +z-2 =14（x+y+z+9），求x、y、z的值.5、化简（1）356356-++（2）56145614--+6、化简x-y x-y -x+y x+y ÷（x xy+y ＋y xy-x -x+yxy）7、已知实数2+12-1的整数部分是m,小数部分是n,求m+n m-n 的值.8、化简求值32,32-=+=--+++b a aba b ab bab ab a 其中9、把代数式aa ---11)1(根号外的因式移入根号内,求化简的结果.10、证明: 3 是无理数.11、已知 a （ a + b ）=3 b （23 a +4 b ），且ab ≠0，求a-5b+aba+b+ab 的值.12、已知3413+=x ，试求x 4-6x 3-2x 2+18x+23x 2-8x+15 的值.13、化简（1）3+210+14+15+21（2）1+23+5(1+3)(3+5)。

二次根式的几何意义二次根式是数学中的一个重要概念，它可以表示为形如√a的形式，其中a是一个非负实数。

二次根式在几何学中有着重要的几何意义，它与图形的边长、面积和体积密切相关。

我们来看二次根式与边长的关系。

假设有一个正方形，边长为a，那么它的面积就是a的平方，即a²。

而如果我们要求这个正方形的边长，就可以使用二次根式。

如果已知正方形的面积为a²，那么它的边长就是√(a²)，即a。

所以，二次根式可以表示正方形的边长。

同样地，对于一个矩形，如果已知矩形的面积为a²，那么它的长度和宽度分别可以表示为√a和√a。

因此，二次根式可以表示矩形的边长。

在三角形中，二次根式也有着重要的几何意义。

例如，如果已知一个等腰直角三角形的面积为a²，那么它的斜边长就是√(a²)，即a。

同样地，二次根式可以表示等腰直角三角形的斜边长。

除了边长，二次根式还与图形的面积和体积有着密切的关系。

对于一个正方形或矩形而言，如果已知它的面积为a²，那么它的面积就是a²。

同样地，对于一个圆的面积为a²，那么它的半径就是√a。

因此，二次根式可以表示图形的面积。

对于一个立方体或球体而言，如果已知它的体积为a³，那么它的边长或半径就可以表示为∛a。

同样地，二次根式可以表示图形的体积。

除了上述几何意义，二次根式还在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常需要计算房间的面积、地板的面积以及墙壁的面积。

这些面积往往可以用二次根式来表示。

在物理学中，二次根式也经常出现。

例如，在力学中，我们需要计算物体的速度、加速度以及位移。

这些物理量与时间的关系往往可以用二次根式来表示。

二次根式在几何学中有着重要的几何意义。

它可以表示图形的边长、面积和体积，方便我们进行计算和分析。

同时，在实际生活和物理学中也有着广泛的应用。

掌握二次根式的几何意义，对于我们理解和应用数学知识都有着重要的帮助。

专题01 二次根式及其性质【考点剖析】1、二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫二次根式.2、二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3、二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①；②；③（2）与要注意区别与联系：①a的取值范围不同，中a≥0，中为任意值；②a≥0时，；a＜0时，无意义，二次根式的定义【典例】例1．下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，故选：B．【点睛】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【巩固练习】1．、、、、中二次根式有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【解析】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．下列各式中①；②；③；④；⑤；是二次根式的有（ ）个．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】解：①、②的被开方数是负数，不是二次根式；③；④符合二次根式的定义；⑤当﹣1＜x＜1时，被开方数是负数，不是二次根式．综上所述，二次根式的个数是2．故选：A．3．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．二次根式有意义的条件【典例】例1．式子中x的取值范围是（ ）A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1【答案】A【解析】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故选：A．【点睛】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解出x的值．此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．例2．若已知a、b为实数，且2b+4，则a+b＝______．【答案】1【解析】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，解得，a＝5，则b＝﹣4，则a+b＝1，故答案为：1．【点睛】根据二次根式中的被开方数必须是非负数解答即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．【巩固练习】1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x B．x C．x D．x≤5【答案】B【解析】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x，故选：B．2．代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）A．x≠3B．x C．x且x≠3D．x且x≠3【答案】C【解析】解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，解得，x且x≠3，故选：C．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x≠1C．x＞1D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】解：由题意得，x≥0，x﹣1＞0，解得，x＞1，故选：C．4．如果y3，那么y x的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±3【答案】B【解析】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，∴y＝3，则y x＝9，9的算术平方根是3．故选：B．5．若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣m|m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017m．化简，得2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：20186．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是____________．【答案】2018【解析】解：∵|2017﹣a|a，∴a﹣2018≥0，故a≥2018，则原式可变为：a﹣2017a，故a﹣2018＝20172，则a﹣20172＝2018．故答案为：2018．二次根式的性质【典例】例1．下列各式中，一定能成立的是（ ）A．B．（）2C．x﹣1D．•【答案】A【解析】解：A、，所以A选项正确；B、（）2当a为负数是不成立，所以B选项错误；C、x﹣1当x＜1时不成立，所以C选项错误；D、•当x＜3时不成立，所以D选项错误．故选：A．例2．实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．例3．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．已知m为实数，化简：解：原式．【答案】见解析【解析】解：不正确，根据题意，m成立，则m为负数，＝m＝m＝（m+1）．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固练习】1．下列各式成立的是（ ）A．2B．（）2＝2C．a D．3【答案】D【解析】解：A、2，故此选项错误；B、（）2＝4，故此选项错误；C、|a|，故此选项错误；D、3，正确．故选：D．2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．8B．﹣8C．2a﹣18D．无法确定【答案】A【解析】解：由题意可知6＜a＜12，∴a﹣5＞0、a﹣13＜0．∴|a﹣5|+|a﹣13|＝a﹣5+13﹣a＝8．故选：A．3．如图所示，实数a、b在数轴上的位置化简的结果是（ ）A．﹣2a B．﹣2b C．0D．2a﹣2b 【答案】A【解析】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a故选：A．4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）A．B．C．D．【答案】C。

最简二次根式的定义。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最简二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数与数论的研究中有着广泛的应用。

简单来说，最简二次根式是指一个形如√a的根式表达式，其中a是一个自然数。

最简二次根式可以被表示为有理数的平方根，并且在根号下的数a是一个最简分数。

最简二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，包括几何、代数、物理等。

在几何中，最简二次根式可以用来表示一些特殊的长度或比例关系。

而在代数中，最简二次根式的性质与运算规则可以帮助我们进行各种复杂的数学计算。

为了更好地理解最简二次根式的定义，我们需要了解一些相关概念，如根式、有理数和最简分数。

根式是指一个形如√a的表达式，其中a可以是任何实数。

有理数是可以写成m/n的数，其中m和n都是整数，且n不能为零。

最简分数是指一个分数，其分子和分母没有公因数，即它不能被更小的整数表示。

通过对最简二次根式的深入研究，我们可以发现它们具有一些独特的性质。

例如，最简二次根式的和、差、积和商仍然是最简二次根式。

这些性质为我们解决一些复杂的问题提供了便利。

在本文的后续部分中，我们将进一步探讨最简二次根式的性质和应用。

首先，我们将介绍最简二次根式的定义和相关概念。

接着，我们将详细讨论最简二次根式的特性和运算规则。

最后，我们将总结本文的主要内容，并展望最简二次根式在未来研究中的应用前景。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分介绍了整篇文章的组织结构和各部分的内容概述，帮助读者更好地理解文章的整体架构和各个部分的作用。

文章结构部分一般包括以下内容：1. 引言部分：简要介绍文章的主题和研究背景，概述文章的目的和意义。

引言部分可以用几句话引起读者的兴趣和关注，概述研究领域中的问题和现状。

2. 正文部分：根据文章大纲中的各个要点进行展开。

每个要点可以单独成为一个小节，在正文中进行详细的叙述和论证。

正文部分应该清晰地叙述问题、提出观点、列举例证，论述论据等。

二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？(1)；(2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质例1、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(b≥0)(6)思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)．举一反三【变式1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)∵a2≥0，∴；(3)∵a2+2a+1=(a+1)2又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2又∵(2x-3)2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.例2、化简:(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；(3)==5；(4)==3.例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．(1)若=a，则a可以是什么数？(2)若=-a，则a可以是什么数？(3)＞a，则a可以是什么数？思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为，所以a≥0；(2)因为，所以a≤0；(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得=.例2、(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求的值．解：(1)由可得，，(2)例3、在实数范围内分解因式：(1)x2-5；(2)x3-2x；解:(1)原式.(2)原式.学习成果测评基础达标一、选择题1.下列式子中，不是二次根式的是( )A．B．C．D．2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )A．5 B．C．D．以上皆不对3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠0D．x≥0且x ≠ 14．的值是( )A．0 B．C．4D．以上都不对5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( ) A．B．C．D．6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是()A．B．C．D．二、填空题1.若，则x = ____________.2.若有意义，则的取值范围是____________.3．-=________．4.=____________.5.=____________.6.若，则____________.7.若，则____________；若，则____________.8.化简：=__________.9. 计算：(1)=_______；(2)=________；(3) =________。