材料力学 第八章叠加法求变形(345)

材料力学公式汇总一、轴向拉压。

1. 轴力计算。

- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。

- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。

- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。

- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。

1. 扭矩计算。

- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。

1. 剪力和弯矩计算。

- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。

- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。

1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。

材料力学基础公式一、轴向拉压。

1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（轴力等于截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)（A为横截面面积）3. 变形 - 轴向变形（Δ L）- 胡克定律：Δ L=(NL)/(EA)（L为杆件原长，E为弹性模量）- 线应变：varepsilon=(Δ L)/(L)，且σ = Evarepsilon二、扭转。

1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（扭矩等于截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线为正）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)（ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 在圆轴表面：τ_max=(T)/(W_t)（W_t为抗扭截面系数）3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（G为剪切弹性模量）三、弯曲内力。

1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：- 剪力V=∑ F_y（截面一侧y方向外力的代数和）- 弯矩M=∑ M_z（截面一侧对z轴外力矩的代数和）- 剪力图和弯矩图：- 集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力大小），弯矩图有折角。

- 集中力偶作用处，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶大小），剪力图无变化。

2. 弯曲正应力（σ）- σ=(My)/(I_z)（y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对z轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z为抗弯截面系数）3. 弯曲切应力（τ）- 对于矩形截面：τ=(VQ)/(Ib)（Q为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 对于圆形截面：τ=(4V)/(3A)（A为圆形截面面积）四、梁的变形。

1. 挠曲线近似微分方程。

- EIfrac{d^2y}{dx^2} = M(x)（y为挠度，x为梁轴线坐标）2. 用叠加法求梁的变形。

第一章测试1.强度问题为构件抵抗破坏的能力。

A:对B:错答案:A2.材料力学的基本任务为强度、刚度和稳定性。

A:对B:错答案:A3.杆件的四种基本变形为轴向受拉、轴向受压、扭转和弯曲。

A:对B:错答案:B4.外力作用在杆件轴线上时发生轴向拉压变形。

A:对B:错答案:A5.材料力学的研究对象为？A:质点系B:可变形固体C:刚体D:质点答案:B6.在荷载作用下，构件应不至于破坏（断裂或失效），即具有抵抗破坏的能力。

这一问题属于？A:刚度问题B:稳定性问题C:强度问题答案:C7.在荷载作用下，构件所产生的变形应不超过工程上允许的范围，即具有抵抗变形的能力。

这一问题属于？A:稳定性问题B:强度问题C:刚度问题答案:C8.承受荷载作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡。

这一问题属于？A:强度问题B:刚度问题C:稳定性问题答案:C9.构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的什么有关？A:力学性能B:受力状态C:构件体系特点答案:A10.材料力学的基本任务为？A:刚度问题B:强度问题C:稳定性问题答案:ABC第二章测试1.杆件轴力图的绘制方法可采用截面法，截面法步骤可分为一截二代三平衡，其中平衡方程中力的正负号与轴力正负号规定准则一致。

A:错B:对答案:A2.轴力图可以清晰展示轴力沿着杆件各个横截面内力的分布规律。

A:对B:错答案:A3.弹性模量的单位为帕A:错B:对答案:B4.拉压超静定问题求解过程中需补充变形协调方程。

A:对B:错答案:A5.静定结构构件体系在温度作用下也会产生温度内力和应力。

A:错B:对答案:A6.轴向拉压变形时，哪个截面上的切应力最大。

A:60度斜截面上B:横截面C:30度斜截面上D:45度斜截面上答案:D7.屈服阶段的强度指标为?A:屈服应力B:比例极限C:强度极限D:弹性极限答案:A8.轴向拉压变形会在横截面上产生何种应力分量？A:正应力B:切应力C:全应力答案:A9.轴向拉压变形时，斜截面应力分量包含有？A:正应力B:切应力答案:AB10.低碳钢单轴拉伸时，应力应变关系曲线的弹性阶段包含？A:颈缩阶段B:强化阶段C:非比例阶段D:线性比例阶段答案:CD第三章测试1.薄壁圆筒扭转时横截面形状与大小均发生变化A:错B:对答案:A2.圆轴扭转时，圆周线大小、形状和间距均保持不变。

材料力学叠加法材料力学叠加法是材料力学中常用的一种分析方法，它通过对不同加载条件下材料的应力和应变进行分析，来求解复杂加载条件下材料的力学性能。

在工程实践中，材料力学叠加法被广泛应用于材料的强度分析、断裂力学、疲劳分析等领域。

本文将对材料力学叠加法的基本原理、应用范围和实际案例进行介绍，希望能够为相关领域的研究和工程实践提供一定的参考。

材料力学叠加法的基本原理是基于线性弹性理论的。

在材料受到多种加载条件时，可以将每种加载条件下的应力和应变分解为各个分量的叠加，然后将各个分量的叠加结果相加得到最终的应力和应变。

这种叠加原理适用于线性弹性材料，在弹性极限内可以得到较为准确的结果。

叠加法的基本原理是通过对应力和应变的叠加来求解复杂加载条件下的力学性能，其核心思想是分解和叠加。

材料力学叠加法的应用范围非常广泛，包括静载、动载、疲劳加载等多种加载条件。

在静载条件下，叠加法可以用于分析材料的强度和刚度，对结构的安全性和稳定性进行评估。

在动载条件下，叠加法可以用于分析材料的动态响应，对结构的振动特性和动态稳定性进行评估。

在疲劳加载条件下，叠加法可以用于分析材料的疲劳寿命和疲劳断裂行为，对结构的疲劳安全性进行评估。

总之，材料力学叠加法在工程实践中有着广泛的应用价值。

下面通过一个实际案例来说明材料力学叠加法的应用。

假设一个工程结构在使用过程中同时受到静载和动载的作用，需要对其进行强度和稳定性分析。

首先，可以将静载和动载分别作用下的应力和应变进行分析，得到各自的叠加结果。

然后，将两种加载条件下的叠加结果相加，得到最终的应力和应变分布。

通过对最终的应力和应变分布进行分析，可以评估结构在静载和动载作用下的强度和稳定性，为结构的设计和改进提供依据。

综上所述，材料力学叠加法是一种常用的分析方法，其基本原理是通过对应力和应变的叠加来求解复杂加载条件下的力学性能。

叠加法的应用范围非常广泛，包括静载、动载、疲劳加载等多种加载条件。