08等腰三角形2

9.3等腰三角形（2）
课题：等腰三角形
教学目标
1、了解等边三角形的定义；
2、能利用等腰三角形的性质得到等边三角边的性质并能利用
它解决简单实际问题；
3、进一步熟练掌握利用等腰三角形的两个性质解决实际问题教学重点
能利用等腰三角形的性质得到等边三角边的性质并能利用它解决简单实际问题。

教学难点
用写因为所以的方法写出几何问题的解题过程。

教学过程
一）揭示教学目标（学习目标）
二）指导学生自学
自学提示
学生自学课本P83-P84的内容，思考下列问题：（5分钟）：
1、怎样的三角形称为等边三角形？
2、等边三角形有什么相关的性质？你能用数学推理的方法的方法写出这个性质的推理过程吗？
3、结合P84例二想一想，你能用“∵∴”的方法来写出这个题并说出每一步的根据吗？
三）学生练习
学生动手用“∵∴”的方法写自学提示2的问题。

四）点拔、矫正、指导运用。

1、出示多媒体课件用等角对等边得出等边三角形的性质；
2、围绕自学提纲和学生练习情况进行矫正，培养学生动手能力和运用所学知识解决问题的能力。

五）课堂练习
p86习题3、4
六）课堂小结
由学生自己总结。

等腰三角形的性质教学目标1、经历观察、实验、操作等活动，发现、归纳等腰三角形“等边对等角”、“等腰三角形三线合一”的重要性质；2、会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理；3、能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力．4、经历探究等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力，体会实验归纳和逻辑推理这两种方法的研究与区别．从而进一步把数和形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学重点：等腰三角形的性质以及运用；教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用．教学手段：多媒体辅助教学．一．复习三角形按边分类：不等边三角形三角形腰和底不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形二．新授等腰三角形是我们大家都很熟悉的图形，在我们身边的建筑物中运用得很多，如画面上房屋（课件）中多次运用到了等腰三角形，它不但能使房屋更加的稳固还能使之看起来更加的美观，但是我们知道等腰三角形它都有哪些什么性质吗？性质1：等腰三角形的两个底角相等 A这个性质的运用如：如图△ABC中在已知AB=AC，求证：∠B=∠C解：在△ABC中∵∴∵AB=AC B C∴△ABC是等腰三角形∠B∠B∠B ∠C分别是此等腰三角形的两个底角∴∠B=∠C说明：因为∠B ∠C分别是AC AB所对的角所以又有等边对等角即：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）请你思考：如果我们过点A 作∠A的平分线交BC于D那么AD与BC还有什么关系呢？答：AD垂直平分BC解：∵AB=AC，∴AD是BC点的距离相等到的点在线段的垂直平分线上）从而得到一条推论：性质2 等到腰三角形顶角的平分线底边上 B D C的中能线底边上的高相重合即“三线合一”试一试填空：如图：根据等腰三角形性质定理的推论1．在△ABC中，AB=AC时，1）∵AD ⊥BC∴∠ 1 = ∠ 2 ，BD = DC2）∵AD是中线，∴AD ⊥AC ，∠ 1 =∠ 33）∵AD是角平分线， C ∴AD ⊥BC ，BD = DC D2．已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100o，屋椽AB=AC ，过屋顶A的立柱AD⊥BC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、B∠CAD的度数。

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 (4)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (5)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点，作90DME ∠=︒，使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ，CB 于点D ，E ．(1)如图1，当点D 在线段AC 上时，线段MD 与线段ME 的数量关系是___________；(2)如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，用等式表示线段CD ，CE 和BC 之间的数量关系并加以证明．【变式训练】1．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是边BC 的中点．(1)如图，若点E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE DF ⊥，求证：BE AF =，并说明理由；(2)在（1）的条件下，AB AC a ==，求AE AF +的值．2．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边,AC BC 上，连接,PD PE ，若PD PE ⊥．(1)求证：PD PE =；(2)若点D ，E 分别在边,AC CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，PBE △是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出PEB ∠的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．(1)若90EOF ∠=︒，两边分别交,AC BC 于E ，F 两点．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．【变式训练】1．如图，ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD AB CB ==，且90ABC ∠=︒，E 为DB 延长线上一点，2DAB EAC ∠=∠．(1)若20∠=︒EAC ，求CBE ∠的度数；(2)求证：AE EC ⊥；(3)若BE a =，AE b =，CE c =，求ABC 的面积（用含a ，b ，c 的式子表示）．(1)如图1，若ACD ∠与BAC ∠互余，则DCB ∠=__________(【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC ≌△△点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 的延长线上，试探究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD CD ⊥于D ．已知13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．2．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠，点A 为OM 上一点，过点A 作AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，易证AOC ∆≌BOC ∆，则AC BC =．其分析过程如下：在AOC ∆和BOC ∆中，OP 平分MON AOC BOC∠⇒∠=∠90OC OC AC OP OCA OCB =⊥⇒∠=∠=︒，⇒AOC ∆≌BOC ∆（___________）在括号内填写全等判定方法字母简称AC BC ⇒=（___________）在括号内填写理由依据【问题探究】如图2，ABC ∆中，90AB AC BAC CD =∠=︒，，平分ACB BE CD ∠⊥，，垂足E 在CD 的延长线上．证明：2CD BE =；【拓展延伸】。

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 (11)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点，作90DME ∠=︒，使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ，CB 于点D ，E ．(1)如图1，当点D 在线段AC 上时，线段MD 与线段ME 的数量关系是___________；(2)如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，用等式表示线段CD ，CE 和BC 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)MD ME =；(2)CE CD BC =+，理由见解析．【分析】（1）连接CM ，由等腰直角三角形的性质可得CM MB =，ACM B ∠=∠，根据90DME ∠=︒可推导CMD BME ∠=∠，进而证明CMD BME △≌△，即可得到线段MD 与线段ME 的数量关系；（2）连接CM ，利用（1）中的证明思路，再次证明CMD BME △≌△，证得CD BE =，即可利用等量代换得到CE CD BC =+．【详解】（1）解：连接CM ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点∴CM AM MB ==，且CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45A B ∠=∠=︒∴45ACM BCM B ∠=∠=︒=∠，90CMB ∠=︒，又∵90DME ∠=︒∴CMB CME DME CME∠-∠=∠-∠∴CMD BME∠=∠∴CMD BME △≌△（ASA ）∴MD ME =．（2）CE CD BC =+，理由如下：连接CM ，由（1）可知：CM BM =，45ACM ABC ∠=∠=︒，CMD BME∠=∠∴135DCM EBM ∠=∠=︒在CMD △和BME 中，CMD BME CM BM DCM EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CMD BME △≌△（ASA ）∴CD BE=∵CE BC BE=+∴CE CD BC =+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是边BC 的中点．(1)如图，若点E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE DF ⊥，求证：BE AF =，并说明理由；(2)在（1）的条件下，AB AC a ==，求AE AF +的值．【答案】(1)证明见解析；(2)a ．【分析】（1）连接AD ，证明()BDE ADF ASA ≌即可得到BE AF =；（2）由（1）可得：BE AF =，进一步得到：AE BE AE AF AB a +=+==．【详解】（1）证明：连接AD ，∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，∵点D 是边BC 的中点，∴45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD BD =，∵DE DF ⊥，∴90EDA ADF Ð+Ð=°，∵90BDE EDA ∠+∠=︒，∴ADF BDE ∠=∠，在BDE △和ADF △中，BDE ADF BD AD B DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．（2）解：由（1）可知：()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =，∵AB AC a ==，∴AE AF AE BE AB a +=+==．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．2．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边,AC BC 上，连接,PD PE ，若PD PE ⊥．(1)求证：PD PE =；(2)若点D ，E 分别在边,AC CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，PBE △是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出PEB ∠的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时PEB ∠的度数为22.5︒或67.5︒或90︒或45︒【分析】（1）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45DCP B ∠=︒=∠，从而得到CP BP =，再由PD PE ⊥，可得DPC EPB ∠=∠，可证得DPC EPB △△≌，即可求证；（2）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45ECP ABC A ACP ∠=︒=∠=∠=∠，从而得到CP AP =，再由∵,PD PE CP AB ⊥⊥，可得APD CPE ∠=∠，可证得APD CPE △≌△，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接PC ，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A B ∠=∠=︒，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP AB ⊥，∴45DCP B ∠=︒=∠，∴CP BP =，∵PD PE ⊥，∴90DPC CPE CPE EPB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DPC EPB ∠=∠，在DPC △和EPB △中，DCP B PC PB DPC EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DPC EPB △△≌，∴PD PE =；（2）解：PD PE =仍成立，理由如下：连接CP ，∵90,C AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，②当BE BP =，点E ③当EP EB =时，则∴180PEB B ∠=︒-∠-④当EP PB =，点∴PEB B ∠=∠=综上所述，PBE △【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在ABC 中，E(1)如图1，若点(2)如图2，BF 为腰(3)如图3，当点【答案】(1)见解析(2)PD PE BF +=，理由见解析(3)143【分析】（1）根据ABP S S =△APC ，即可得证；∵AB AC =，点P ∴ABP S S =△△APC即1122AB DP AC ⋅=∴PD PE =，∵AB AC =，PD ∴=ABP APC ABCS S S + ∴1122AB DP AC ⋅+∴PD PE BF +=，∵AB AC =，PD AB ⊥∴=ABC ABP APCS S S - ∴11=22AC BF AB PD ⋅⋅(1)若90EOF ∠=︒，两边分别交,AC BC 于E ，F 两点．==同理可证：AO CO BO∵AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，∴0,90,45AO CO B AOC FOH BAC BCO ︒︒==∠=∠=∠=∠=，∴.,135COF AOH OCF OAH ︒∠=∠∠=∠=，∴(ASA)COF AOH ≌，∴3,CF AH OF OH ===，∵45,90EOF FOH ︒︒∠=∠=，∴45EOF EOH ︒∠=∠=，又∵,OF OH EO EO ==，∴(SAS)EOF EOH ≌，∴5EF EH ==，∴.2AE EH AH =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF ⊥BC 于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF =CF ，DF =EF ，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ．【变式训练】(1)若20∠=︒EAC ，求CBE ∠(2)求证：AE EC ⊥；(3)若BE a =，AE b =，CE =【答案】(1)20°(2)见解析(3)21122a bc +∴AFB ABC CGB ∠=∠=∠又∵AD AB CB ==，∴45BAC ACB ∠=∠=︒，∵FAB FBA FBA ∠+∠=∠∴FAB CBG CAE ∠=∠=∠∴在BAF △和CBG 中，(1)如图1，若ACD ∠与BAC ∠互余，则DCB ∠=__________(）如图，过A点作AE BC⊥于E点，）②如图，作BG AC ⊥于G ，作DN 垂直于AC 的延长线于N ．则90BGA DNC ∠=∠=︒．∵AB AC =，AC CD =，∴AB CD =，∵ABC 与ACD 的面积相等，∴BG DN =．∴ABG ≌CDN △．∴BAG DCN ∠=∠．180ACD DCN ∠+∠=︒，∴180ACD BAC ∠+∠=︒，综上，ACD ∠与BAC ∠相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC ≌△△【答案】[问题情境]ASA ，全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；[问题探究]延长BE 交CA 延长线于F ，证明CEF ∆≌CEB ASA ∆（），推出FE =ACD ∆≌ABF ASA ∆（），可得结论；[拓展延伸]结论：12BE DF =．过点D 作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，证明方法类似．CD 平分ACB ∠，FCE BCE ∴∠=∠，在CEF ∆和CEB ∆中，90FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，CEF ∴∆≌CEB ASA ∆（），DG AC ，GDB C BHD ∴∠=∠∠，12EDB C ∠=∠ ，12EDB EDC ∴∠=∠=∠BE ED ⊥ ，90BED ∴∠=︒，。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。

本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。

一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。

不妨设∠ABC ＞∠ACB。

由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。

又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。

根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。

而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。

性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。

不妨设∠BAC ＞∠BCA。

由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。

又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。

根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。

而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。

性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。

连接AD，BD与CD。

首先证明AD是三角形ABC的高。

根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。

接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。