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点的极坐标与直角坐标的互化

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极坐标方程直角坐标方程互化公式

极坐标方程直角坐标方程互化公式

极坐标方程直角坐标方程互化公式极坐标方程和直角坐标方程是描述平面上的点的两种不同的数学表示方法。

极坐标方程使用极径和极角来表示点的位置，而直角坐标方程使用x坐标和y坐标来表示点的位置。

这两种表示方法之间存在着一种互化关系，可以通过一些公式进行相互转换。

我们来看一下如何将极坐标方程转换为直角坐标方程。

给定一个极坐标方程r = f(θ)，其中r是极径，θ是极角，我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这里的cos(θ)和sin(θ)分别表示角度θ的余弦和正弦值。

通过这两个公式，我们可以根据给定的极坐标方程计算出对应的直角坐标系下的x和y坐标。

例如，对于极坐标方程r = 2，我们可以将其转换为直角坐标方程：x = 2 * cos(θ)y = 2 * sin(θ)当θ取不同的值时，我们可以计算出对应的x和y坐标。

这样，我们就可以得到一系列点的坐标，从而绘制出它们在直角坐标系下的图形。

接下来，我们来看一下如何将直角坐标方程转换为极坐标方程。

给定一个直角坐标方程y = f(x)，我们可以使用以下公式将其转换为极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示求平方根，arctan表示反正切函数。

通过这两个公式，我们可以根据给定的直角坐标方程计算出对应的极坐标系下的极径和极角。

例如，对于直角坐标方程y = x，我们可以将其转换为极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)同样地，当给定不同的x和y值时，我们可以计算出对应的极径和极角。

这样，我们就可以得到一系列点的极坐标，从而绘制出它们在极坐标系下的图形。

极坐标方程和直角坐标方程的互化公式为我们在研究平面上的点和图形时提供了便利。

通过这些公式，我们可以将一个问题从一个坐标系转换到另一个坐标系，从而更加方便地进行分析和计算。

总结起来，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式为：极坐标方程转直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)直角坐标方程转极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)通过这些公式，我们可以在不同的坐标系下描述和分析平面上的点和图形，为我们的研究和计算提供了便利。

极坐标与直角坐标的互化

极坐标与直角坐标的互化
二、极坐标系
§2. 2 点的极坐标与直角坐标的互化
一、知识回顾、引入新课
（一）知识回顾
1.什么是极坐标系（如图所示）及其四要素
①极点； ②极轴；
●
01
x
③长度单位； 极坐标系
④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。
2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应
的限制条件 M (, ) 限制条件 0,0 2
x
分别将直角坐标（ 3，3），（ 2， 2
3），（ 7 ,0）
代入公式得各点的极坐标分别为 (2
3,
),
(4,
4
2
), (
7
,0).
6 32
因为直角坐标（0， 5 ）在y轴负半轴上，所以可取 3
3Hale Waihona Puke 2注意：当直角坐标落在y轴上时，极角 的取值。
例3 在极坐标系中，已知两 点A（5，2 ），B（2，7 ），
3.极坐标与直角坐标的区别 主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的，
而极坐标有无数种。
(二)引入新课
平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用
极坐标表示，那么这两种坐标之间有什么关系呢？
二、新课讲授
1. 极坐标与直角坐标的互化
M (, )
如图1，设点 M 是平面内任意一点，
它的直角坐标是(x, y)，若把直角坐标系的
3
6
求A, B两点间的距离.
分析：在直角坐标系中，我们有两点距离公式
若已知平面内任意两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
则 A, B间的距离为 AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
解：由极坐标化成直角坐标的公式

极坐标系与直角坐标的互化 课件

极坐标系与直角坐标的互化 课件
极坐标和直角坐标的互化
点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两
种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1，
tan θ＝xy＝－ 33，
且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，
故点的极坐标为1，116π. (3)由 ρ＝ x2＋y2＝ 6，且角 θ 的终边经过点(0，－ 6)，当 θ∈[0,2π)时，θ＝32π，
故点的极坐标为
6，32π.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时，一般取 ρ≥0，θ∈[0,2π)，即 θ 取最小正角，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，必须根据角 θ 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 θ 的值．
2．已知点的直角坐标分别为 A(3，－ 3)，B0， 35，C(－2,2 3)，求它们的极坐标， 其中极角 θ∈[0,2π)． 解析：根据 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)，
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ3＝1， y＝ρsin θ＝2sinπ3＝ 3， ∴点的极坐标2，π3化为直角坐标为(1， 3)． (2)∵x＝ρcos θ＝4cos－π2＝0， y＝ρsin θ＝4sin－π2＝－4， ∴点的极坐标4，－π2化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5， y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5， ∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．

点的极坐标与直角坐标的互化

点的极坐标与直角坐标的互化

点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化，是将极坐标和直角坐标进行转换的一种运算方式。

两者的转换有以下两种情形：
1. 极坐标到直角坐标的转换
给定某点的极坐标(r,θ)，其直角坐标依据以下公式计算：
x=r·cosθ
y=r·sinθ
2. 直角坐标到极坐标的转换
给定某点的直角坐标(x,y)，其直角坐标依据以下公式计算：
r=√(x^2＋y^2)
θ=tan^-1(y/x)
上述就是极坐标与直角坐标的互化的简单介绍，因为极坐标和直角坐标之间的转换是日常用到的，如果一个点的坐标出现任何一种情况，可以根据上述的公式将其转换为另一种类型的坐标。

- 1 -。

1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化(北师大版)

1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化(北师大版)
3 2
2
, (−1, 3), -
3
,0
2
3 2
,2
, (0, −4).
-19-
-2-
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
点的极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的条件.
如图所示,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点
作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中
,
= −1,
= 3.
故点 A 的直角坐标为(-1, 3).
答案:(-1, 3)
-5-
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 3】 点 P 的直角坐标为( 6, 2), 化成极径是正值,
极角在 0 到 2π 之间的极坐标为
S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGYANLIAN
题型二
题型二
中点问题
【例 2】 在极坐标系中,已知两点
则的中点的极坐标为
= 2cos
= 2sin
π
=
3
π
=
3
1,
3,
π
2,
3
和 2
5π
3,
6
,
(0≤θ<2π).
解析:∵点 P 的极坐标为
∴
Z 知识梳理 D典例透析
π
2,
3

点的极坐标与直角坐标的互化

点的极坐标与直角坐标的互化

解： x cos 4cos 4 4cos( )
1 4cos 4 2； 3 2 4 y sin 4sin 4sin( ) 3 3
4sin
3

3

3
4
3
2
2 3
点M的直角坐标为（-2,-2 3）.
点的极坐标与直角 坐标的互化
y
M
主讲：张艳琴
单位：石泉中学
o
N
x
微回顾
1、极坐标系的组成有： 极点、 角的正方向、 极轴、
单位长度；
M
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2、点M的极坐标( , )中， = OM , xOM .
微前提
如图，建立一个平面直角坐标系，
y
（1）原点作为极点；
（2）x轴的正半轴作为极轴； （3）两种坐标系中单位长度相同.
微例题
题型二：直角坐标化为极坐标
例2、将点M ( 3, 1)的直角坐标化为极坐标。
2 2 解： 2 =x2 y 2 =（- 3） （-1） 4，
2.
y 1 3 ， tan = 点M 在第三象限， 3 3 x 7 = + = . 6 6 7 点M 的极坐标是（2， ） . 6
o
x
微推导
如图，设点 M是平面内
y
M
的任意一点，它的直角
坐标是 ,极坐标 （x, y）

是 . （ ,）
x cos = sin y
o

y
x
N
x
x cos y sin
2 x2 y 2 y （x 0） tan x

点的极坐标与直角坐标的互化课件


y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
① ②
①＋②并化简得 ρ2＝12， 由于 ρ>0，解得 ρ＝2 3， 再代入①得 cos(θ－π4)＝0， ∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， ∴θ＝34π＋kπ，k∈Z， 由于 0≤θ<2π，令 k＝0,1 分别得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2 3，34π)或(2 3，74π)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于△ABC 为等边三角形，
故有|BC|＝|AC|＝|AB|.
∴(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2
＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2

极坐标与直角坐标互化

O
M (ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点 ，但却有 给定平面上一点M， 给定平面上一点
极角有无数个 无数个极坐标与之对应。原因在于： 无数个极坐标与之对应。原因在于： 个极坐标与之对应 。 [3]极坐标 ( ρ, θ )与 (ρ, θ + 2kπ )( k ∈ Z ) 表示同一个点。 极坐标 表示同一个点。 [4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外 平面内的 如果限定 ＞ ＜ 那么除极点外,平面内的 如果限定 那么除极点外 一一对应 . 点和极坐标就可以 了
2 2
3 ρ = 1 + 3 = 2 tanθ = （ ） = 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 极坐标与直角坐标的互化关系式 设点M的直角坐标是 设点 的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
互化公式的三个前提条件： 互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 轴的正半轴重合 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同 两种坐标系的单位长度相同.
课堂练习 1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。 、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A (3, ) 6
π
B (2, ) 2
π
C (1,− ) 2
π
3 π D( , ) 2 4
3π E (2, ) 4
将点M 的直角坐标化成极坐标. 例2. 将点 (− 3, −1) 的直角坐标化成极坐标
解: ρ = (− 3) + − 1 = 2 （ ）
2 2
3 −1 tanθ = = − 3 3 7π 因为点在第三象限, 因为点在第三象限 所以 θ = 6 7π 因此, 因此 点M的极坐标为(2, ) 的极坐标为 6

极坐标和直角坐标系的互化公式

极坐标和直角坐标系的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是一种描述点的位置的系统。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系使用平面上的两个垂直轴表示点的位置，而极坐标系使用极径和极角来表示点的位置。

本文将介绍极坐标和直角坐标系之间的互化公式。

2. 极坐标系和直角坐标系简介2.1 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来表示点的位置的坐标系。

极径（r）表示点到极点（如原点）的距离，而极角（θ）表示点与特定轴（如x轴）之间的夹角。

通常，极径为非负数，极角可以使用度数或弧度进行表示。

2.2 直角坐标系直角坐标系是一种使用平面上的两个垂直轴来表示点的位置的坐标系。

通常，水平轴表示为x轴，垂直轴表示为y轴。

一个点在直角坐标系下的位置由该点与x轴和y轴之间的水平和垂直距离确定。

3. 极坐标系转换为直角坐标系极坐标系可以通过以下公式转换为直角坐标系：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别是点在直角坐标系下的坐标，r是极径，θ是极角。

4. 直角坐标系转换为极坐标系直角坐标系可以通过以下公式转换为极坐标系：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = atan2(y, x)其中，r是点到原点的距离，θ是点与x轴之间的夹角，atan2(y, x)是一个函数，表示点(x, y)与x轴正向的夹角。

需要注意的是，atan2函数可以得到完整的360度范围内的夹角。

5. 示例5.1 极坐标转换为直角坐标假设我们有一个点P，其极坐标为(r = 2, θ = π/4)。

我们可以使用公式：•x = 2 * cos(π/4) = √2•y = 2 * sin(π/4) = √2因此，点P在直角坐标系下的坐标为(x = √2, y = √2)。

5.2 直角坐标转换为极坐标假设我们有一个点Q，其直角坐标为(x = -3, y = 3)。

我们可以使用公式：•r = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3√2•θ = atan2(3, -3)根据实际计算结果，我们可以得到θ的值为π/4 + π = 5π/4。

1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化

第04课时1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化 学习目标1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化学习过程一、学前准备情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 11～P 11，找出疑惑之处） 直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθρsin cos ==y x{xyy x =+=θρtan 222说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

3、互化公式的三个前提条件（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同.◆应用示例例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。

（教材P 11例3） 解：例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标（教材P 11例4） 解：◆反馈练习1．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈三、总结提升 ◆本节小结1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ． 一般 D ．较差课后作业1.若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，ABO S ∆=___________。

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(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
(2)x＝2cos 23π＝－1，y＝2sin 23π＝ 3， ∴点(2，23π)的直角坐标为(－1， 3)，是第二象限内的点． (3)x＝2cos(－3π)＝1，y＝2sin(－π3)＝－ 3， ∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－ 3)，是第四象限内的点． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限 内的点.
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(4，23π)； (4)(4，－1π2)．
【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
【自主解答】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1. ∴点的极坐标(2，6π)化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3. ∴点的极坐标(3，2π)化为直角坐标为(0,3)．
S△ABC＝12|AC| BC| ＝12|AC|2＝12×8＝4.
法二 设点 C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)， ∵|AB|＝2|OA|＝4，∠C＝2π， |AC|＝|BC|， ∴|AC|＝|BC|＝2 2，
ρ2＋22－2×2ρcosθ－π4＝8， ① 即
ρ2＋22－2×2ρcosθ－54π＝8， ②
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系．
课标解读
2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别．
3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
1．互化的前提条件
图 1－2－4 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图 1－2－4 所示．
∴直角坐标 P(－1，－ 3)化为极坐标为(2，43π).
本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以 及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点 C 的坐 标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关 键．本题运用了坐标平面内两点间的距离公式：
(1)如果已知点的直角坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么|AB|＝ x1－x22＋y1－y22； (2)如果已知点的极坐标 A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，那么|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
1．点 A 的极坐标是(2，76π)，则点 A 的直角坐标为( C )
A．(－1，－ 3)
B．(－ 3，1)
C．(－ 3，－1)D．(来自3，－1)2．(2013·周口质检)点 M 的直角坐标为(0，2π)，则点 M
的极坐标可以为( C )
A．(π2，0)
B．(0，π2)
C．(π2，2π)
D．(π2，－π2)
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
(3)∵x＝ρcos θ＝4cos23π＝－2， y＝ρsin θ＝4sin23π＝2 3. ∴点的极坐标(4，23π)化为直角坐标为(－2,2 3)．
(4)∵cos1π2＝
1＋2cosπ6＝
1＋ 2
3 2＝
6＋ 4
2，
sin1π2＝
1－2cosπ6＝
1－ 2
3 2＝
6－ 4
2，
∴x＝ρcos θ＝4cos(－1π2)＝4cos1π2＝ 6＋ 2，
【解】 法一 利用坐标转化． 对于点 A(2，4π)，直角坐标为( 2， 2)，点 B(2，54π)的 直角坐标为(－ 2，－ 2)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)， 由题意得 AC⊥BC，
且|AC|＝|BC|，∴A→C ·B→C ＝0，
即(x－ 2，y－ 2)·(x＋ 2，y＋ 2)＝0， ∴(x－ 2)(x＋ 2)＋(y－ 2)(y＋ 2)＝0， ∴x2＋y2＝4. ①
分别将下列点的直角坐标化为极坐标，(ρ＞0，θ∈R) (1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)．
【解】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝xy＝－ 3，θ∈R，由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π＋2kπ，(k∈Z)． ∴点(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π＋2kπ)，(k∈Z)．
(2)ρ＝ － 32＋－12＝2， tan θ＝－－13＝ 33，θ∈[0,2π)， ∵点(－ 3，－1)在第三象限，∴θ＝76π， ∴直角坐标(－ 3，－1)化为极坐标为(2，76π)．
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 ρ ＝ x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tan θ＝xy (x≠0)求 θ 时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ＋2kπ，k∈Z 即可．
又|AC|2＝|BC|2，于是 (x－ 2)2＋(y－ 2)2＝(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2， 即 y＝－x，代入①得 x2＝2， 解得 x＝± 2， ∴xy＝ ＝－2 2 或xy＝ ＝－2，2， ∴点 C 的直角坐标为( 2，－ 2)或(－ 2， 2)． ∴ρ＝ 2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝74π或34π， ∴点 C 的极坐标为(2，34π)或(2，74π)．
①＋②化简得 ρ2＝4，由 ρ＞0 得 ρ＝2，代入①得 cos(θ －π4)＝0，
∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， 即 θ＝34π＋kπ，k∈Z， 又 0≤θ＜2π，令 k＝0,1， 得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2，34π)或(2，74π)， S△ABC＝12|AC||BC|＝12|AC|2＝12×8＝4.
3．极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．将直角坐标P(－1，－ 3)化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
【解】 ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，tan θ＝－－13＝ 3， 由于点 P(－1，－ 3)在第三象限，所以 θ＝43π，
分 别 将 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 (ρ ＞ 0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)．
【思路探究】 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
taρn＝θ―＝―xyx2→＋x≠y20
【自主解答】 (1)∵ρ＝ －12＋12＝ 2， tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， ∵点(－1,1)在第二象限，∴θ＝34π， ∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为( 2，34π)．