2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷1 (含答案解析)

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（文科）（一）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|−4<x<2}，则A∩B=()A. B={x|−2≤x<2}B. B={x|−4<x≤2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {−2,−1,0，1}2.已知复数z满足(1+i)2⋅z=1−i，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,y)，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+2b⃗ |=()A. √5B. 5√2C. 5D. 44.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是()A. x甲>x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. x甲>x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x甲<x乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. x甲<x乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M与ON所成角的余弦值为()A. √55B. √105C. √1515D. 2√5156.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：(1)教语文的没有分配到一中，(2)教语文的不是小孟，(3)教英语的没有分配到三中， (4)小刘分配到一中． (5)小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁？分到哪所学校？( )A. 小刘三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小刘二中7. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A. a ⊥α，b//β，α⊥βB. a ⊥α，b ⊥β，α//βC. a ⊂α，b ⊥β，α//βD. a ⊂α，b//β，α⊥β8. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数，且f(−4)=0，则使得xf(x)>0成立的x 的取值范围是( )A. (−4,4)B. (−4,0)∪(0,4)C. (0,4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(4,+∞)9. 棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为( )A. 92B. 9√22C. 3√2D. 310. 已知直线y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的单调递增区间为( )A. [kπ−π6,kπ+5π6],k ∈Z B. [kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z C. [kπ−5π6,kπ+11π6],k ∈Z D. [kπ−5π6,kπ+11π12],k ∈Z11. 若函数f(x)={log 2x,x >0−2x −a,x ≤0有且只有一个零点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(0,+∞)B. (−∞,−1)∪[0，+∞)C. [−1,0)D. [0,+∞)12. 设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|=2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. 34C. 57D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z =x +3y 的最大值是______．14. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 3(x +1),x ≥0g(x),x <0，则g[f(−8)]=______．15. 已知长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为______．16. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n =a n 2+2a n ，n ∈N ∗.设b n =(−1)n ⋅a n a n+1，T n为数列{b n }的前n 项和，则T 2n =______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =2bcosC +csinB ．(Ⅰ)求tan B ；(Ⅱ)若C =π4，△ABC 的面积为6，求BC ．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x(单位：吨，100≤x ≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． (1)将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； (2)根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；(3)根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小(保留到小数点后一位)．19.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=3CD=3，PA=PD=BC=2，∠ABC=90°，且PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求点D到平面PBC的距离．20. 椭圆W ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为√32，左、右顶点分别为A ，B.过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1． (1)求椭圆W 的标准方程；(2)经过点P(1,0)的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D(不与点A 、B 重合)，直线CB 与直线x =4相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线．21. 已知函数f(x)=axe x ，g(x)=x 2+2x +b ，若曲线y =f(x)与曲线y =g(x)都过点P(1,c).且在点P 处有相同的切线l ． (Ⅰ)求切线l 的方程；(Ⅱ)若关于x 的不等式k[ef(x)]≥g(x)对任意x ∈[−1,+∞)恒成立，求实数k 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8−√22t y =√22t(t 为参数)．(1)求C 1和C 2的普通方程；(2)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23.已知函数f(x)=|ax+1|+|x−1|．(Ⅰ)若a=2，解关于x的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x>0时，f(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={x ∈Z|x 2≤4}={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−2,−1,0，1}， 故选：D ．先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由(1+i)2⋅z =1−i ，得z =1−i(1+i)2=1−i 2i=(1−i)(−i)−2i 2=−12−12i ，则z −=−12+12i ，∴复数z −在复平面内对应的点的坐标为(−12,12)，位于第二象限． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z −的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,y)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ， 则有a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y =−2，即b ⃗ =(1,−2)， 则a ⃗ +2b ⃗ =(4,−3)，故|a ⃗ +2b ⃗ |=√16+9=5； 故选：C ．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得a ⃗ ⋅b ⃗ =2+y =0，解可得y 的值，即可得b ⃗ 的坐标，进而计算可得向量(a ⃗ +2b ⃗ )的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲得分为： 18，26，28，28，31，33，且集中在18～33内；乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在12～32内； 所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定； 应选甲参加比赛． 故选：B ．根据茎叶图中数据的分布情况知，甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定． 本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D(0,0，0)，O(1,1，0)，B 1(2,2，2)，M(1,0，2)，N(0,2，1)， ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√5×√3=√1515． 故选：C ．建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．本题考查空间角的求法，一般的，如果给的条件便于建系，求角的问题利用坐标法比较简单．同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能，.属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C ．由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力，属于基础题． 根据题意分别画出错误选项的反例图形即可． 【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．8.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,+∞)上是增函数， ∴函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数， 又f(−4)=0，∴f(4)=0，由xf(x)>0，得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，∴x >4或x <−4．∴x 的取值范围是(−∞,−4)∪(4,+∞)． 故选：D ．由奇函数的图象关于原点对称及f(x)在(0,+∞)为增函数，可得函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数，结合f(−4)=f(4)=0，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体， 其截面是一个梯形，上底长为√12+12=√2，下底边长为√22+22=2√2， 高为：(√22)=3√22，故截面的面积S =12(√2+2√2)×3√22=92，故选：A ．由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.【答案】B【解析】解：∵y =−2与函数f(x)=2sin(ωx −π3)，(其中w >0)的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T =2，即2πω=2，得ω=2， 则f(x)=2sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ， 故选：B ．根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和ω，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．11.【答案】B【解析】解：当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，所以要使函数f(x)={log 2x,x >0−2x −a,x ≤0有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，当x ≤0时，0<2x ≤1，∴−1≤−2x <0，∴−1−a ≤−2x −a <−a ， 所以−a ≤0或−1−a >0， 即a ≥0或a <−1， 故选：B ．当x >0时，因为log 21=0，所以有一个零点，所以要使函数f(x)有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f(x)没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a 的取值范围即可． 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．12.【答案】C【解析】解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|=2c ，则|PF 1|=2a −2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34(2a −2c)=32(a −c)， 则|QF 2|=2a −32(a −c)⋅a 2+32， 在等腰△PF 1F 2中，可得cos∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|a−c2c．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，得a−c2c +94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c =0，∴5a =7c ，∴e =ca =57． 故选：C ．由题意画出图形，由|PF 2|=2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|=2a −2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos∠PF 1F 2.在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠QF 1F 2，利用cos∠PF 1F 2+cos∠QF 1F 2=0，化简求得5a =7c ，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A(2,2)， 由z =x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z =2+3×2=8， 故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，设x <0，则−x >0， 则f(−x)=log 3(−x +1)， 又由函数为R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−log 3(−x +1)， 即g(x)=−log 3(−x +1)，有由函数为奇函数，则f(−8)=−f(8)=−2， g[f(−8)]=g(−2)=−log 3[−(−2)+1]=−1； 故答案为：−1．根据题意，由函数的奇偶性计算可得g(x)的解析式以及f(−8)的值，进而有g[f(−8)]=g(−2)，代入g(x)的解析式，计算即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的应用，注意求出函数g(x)的解析式．15.【答案】4π【解析】解：长方形ABCD 中，AB =1，∠ABD =60°，可得BD =2，AD =√3，作AE ⊥BD 于E ，可得AE ⋅BD =AB ⋅AD ，所以AE =√32，BE=√AB2−AE2=√1−34=12，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊆面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以AE⊥面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r=12BD=1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1=O1B−BE=1−12=12，所以OO1//AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E=OF，EF=OO1，则OA=OC=OB=OD=R，在△AFO中，OA2=AF2+OF2=(AE−EF)2+EO12即R2=(√32−OO1)2+14；①在△BOO1中：OB2=OO12+EO12，即R2=OO12+14；②由①②可得R2=1，OO1=0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S=4πR2=4π，故答案为：4π．由长方形中AB=1，∠ABD=60°，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面ABD⊥平面BCD可得AE⊥面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．16.【答案】8n(n+1)【解析】解：数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n满足4S n=a n2+2a n，n∈N∗．可得n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，n≥2时，4S n−1=a n−12+2a n−1，又4S n=a n2+2a n，相减可得4a n=a n2+2a n−a n−12−2a n−1，化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，由a n>0，可得a n−a n−1=2，则a n=2+2(n−1)=2n，b n=(−1)n⋅a n a n+1=(−1)n⋅4n(n+1)，可得T2n=4[−1×2+2×3−3×4+4×5−5×6+6×7−⋯−(2n−1)(2n)+(2n)(2n+1)]=4(2×2+2×4+2×6+⋯+2×2n)=8×12n(2+2n)=8n(n+1)．故答案为：8n(n +1)．由数列的递推式：n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵2a =2bcosC +csinB ，利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ， 又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ， 化为：2cosBsinC =sinCsinB ，∵sinB ≠0，∴2cosB =sinB ，∴tanB =2．(Ⅱ)∵tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =5，cosB =5．∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC=√5√22+√5×√22=3√1010． ∴a sinA =bsinB，可得：a =b2√5×3√1010=3√2b4．又12absin π4=6，可得b =12√2a．∴a =3√24×12√2a，解得a =3√2．【解析】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由2a =2bcosC +csinB ，利用正弦定理可得：2sinA =2sinBcosC +sinCsinB ，又sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC ，化简即可得出．(Ⅱ)由tanB =2，B ∈(0,π)，可得sinB =√5，cosB =√5sinA =sin(B +C)，由正弦定理：asinA =bsinB ，可得：a =3√2b4.又12absin π4=6，可得b =12√2a.即可得出a ．18.【答案】解：(1)当x ∈[100,130)时，T =0.8x −39；…(1分)当x ∈[130,150]时，T =0.5×130=65，…(2分) 所以，T ={0.8x −39,100≤x <13065,130≤x ≤150…(3分)(2)根据频率分布直方图及(Ⅰ)知，当x ∈[100,130)时，由T =0.8x −39≥57，得120≤x <130，…(4分)当x∈[130,150]时，由T=65≥57，…(5分)所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120,150]的频率为(0.030+0.025+0.015)×10=0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；…(7分) (3)估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为x−=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5(吨)；…(9分)由频率分布直方图易知，由于x∈[100,120)时，对应的频率为(0.01+0.02)×10=0.3<0.5，而x∈[100,130)时，对应的频率为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6>0.5，…(10分)因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120,130)，于是估计中位数应为120+(0.5−0.1−0.2)÷0.03≈126.7(吨).…(12分)【解析】(1)计算x∈[100,130)和x∈[130,150]时T的值，用分段函数表示T的解析式；(2)计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；(3)利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.【答案】解：(1)取AD、BC的中点分别为M、E，连结PM，PE，ME，∵AB//CD，AB=3CD=3，∴四边形ABCD为梯形，又∵M、E为AD、BC的中点，∴ME为梯形的中位线，∴ME//AB，又∵∠ABC=90°，∴ME⊥BC，∵PB =PC ，E 为BC 的中点 ∴PE ⊥BC ，又∵PE ∩ME =E ，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ， ∴BC ⊥平面PME ，又∵PM ⊂平面PME ，故PM ⊥BC ， 由PA =PD ，M 为AD 中点，∴PM ⊥AD ，又∵AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， ∴PM ⊥平面ABCD ，由PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)由(1)及题意知，PM 为三棱锥P −BCD 的高，AD =2√2，ME =2，PM =√2，故PE =√6， ∵S △PBC =12BC ×PE =12×2×√6=√6，且S △BCD =12BC ×CD =12×2×1=1，设点D 到平面PBC 的距离为h ，∴由等体积法知：V P−BCD =V D−BCP =13S △BCD ×PM =13S △PBC ×ℎ=13×1×√2=13×√6×ℎ， 解得ℎ=√33，所以点D 到平面PBC 的距离为√33．【解析】(1)取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，由已知可证ME ⊥BC ，PE ⊥BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面PME ，利用线面垂直的性质可证PM ⊥BC ，又PM ⊥AD ，可证PM ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)由(1)及题意知PM 为三棱锥P −BCD 的高，设点D 到平面PBC 的距离为h ，利用等体积法，三角形的面积公式可求h 的值，即可得解．本题考查线面垂直、面面垂直，掌握线面垂直、面面垂直的判定方法和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据条件e =ca =√32，所以c 2=34a 2，b 2=14a 2，且2b 2a=1，解得a 2=4，b 2=1，故椭圆W 的标准方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为x =1， 代入椭圆W 的方程，得C(1,√32)，D(1,−√32)，易得CB 的方程为y =−√32(x −2)，则M(4,−√3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−√3)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√32) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A ，D ，M 三点共线； 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， 由题意，得△>0恒成立，故x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1，直线CB 的方程为y =y 1x 1−2(x −2)，令x =4，得M(4,2y 1x 1−2)，又因为A(−2,0)，D(x 2,y 2)，则直线AD ，AM 的斜率分别为k AD =y 2x 2+2，k AM =y13(x 1−2)，所以k AD −k AM =y 2x2+2−y13(x 1−2)=3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)3(x 1−2)(x 2+2)上式中的分子 3y 2(x 1−2)−y 1(x 2+2)=3k(x 2−1)(x 1−2)−k(x 1−1)(x 2+2) =2kx 1x 2−5k(x 1+x 2)+8k =2k ×4k 2−44k 2+1−5k ×8k 24k 2+1+8k =0，所以k AD −k AM =0． 所以A ，D ，M 三点共线．【解析】(1)由条件得ca=√32，2b 2a=1，求出a 2，b 2即可；(2)分斜率是否存在讨论，①当直线CD 的斜率k 不存在时，求出A ，M ，C ，D 坐标，用向量法易证A ，D ，M 三点共线．②当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消去y ，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0.将k AM ，k AD 表示为含有k 的算式，可以证k AM ，k AD 相等．故A ，D ，M 三点共线．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD 斜率是否存在讨论，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵f′(x)=ae x (x +1)，g′(x)=2x +2，由已知可得{f′(1)=g′(1)f(1)=g(1)=c，即{2ae =4ae =3+b =2，解得a =2e ，b =−1，c =2， ∴切线的斜率g′(1)=4，∴切线l的方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0，(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2xe x−1，g(x)=x2+2x−1，设ℎ(x)=k[ef(x)]−g(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，即ℎ(x)≥0，对任意x∈[−1,+∞)恒成立，从而ℎ(x)min≥0，∴ℎ′(x)=2k(x+1)e x−2(x+1)=2(x+1)(ke x−1)，①当k≤0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−1,+∞)上单调递减，又ℎ(1)=2ke−2<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，②当k>0时，ℎ′(x)=0，解得x1=−1，x2=−lnk，(i)当−lnk<−1时，即k>e时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，又ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2ke +2=2(e−k)e<0，显然ℎ(x)≥0不恒成立，(ii)当−lnk=−1时，即k=e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(−1)=−2ke +2=2(e−k)e=0，即ℎ(x)≥0恒成立，(iii)当−lnk>−1时，即0<k<0时，当x∈[−1,−lnk)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(−lnk,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(−lnk)=2−lnk−(ln2k−2lnk−1)=1−ln2k≥0，解得1e≤k≤e，∴1e≤k<e，综上所述得1e≤k≤e．【解析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(Ⅱ)构造函数ℎ(x)=2kxe x−(x2+2x−1)，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解(1)曲线C1的普通方程为：(x−2)2+y2=4；曲线C2的普通方程为：x+y−8=0．(2)设过原点的直线的极坐标方程为θ=β(0≤β<π,β≠3π4,ρ∈R)；由(x−2)2+y2=4得x2+y2−4x=0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ 在曲线C 1中，|OM|=4cosβ．由x +y −8=0得曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−8=0， 所以而O 到直线与曲线C 2的交点N 的距离为|ON|=8sinβ+cosβ， 因此|ON||OM|=8sinβ+cosβ4cosβ=2sinβcosβ+cos 2β=√2sin(2β+π4)+1，即|ON||OM|的最小值√2+1=4(√2−1)．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9， 解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)； (Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立， 即为1<f(x)min ，当a =0时，f(x)=|x −1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a <0，即−a >0时，f(x)=|ax +1|+|x −1|=−a|x +1a |+|x −1|=(−a −1)|x +1a|+(|x −1|+|x +1a|)，当−a −1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a |>1不恒成立；当a >0，x >0时，f(x)=ax +1+|x −1的最小值为f(1)=a +1|>1恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,+∞)．【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

黑龙江省大庆市2020年高考数学一模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2017高一上·金山期中) 若全集U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合A=________．2. （1分） (2020高二下·顺德期中) 已知i是虚数单位，则复数对应的点在第________象限.3. （1分） (2019高一上·雅安月考) 函数的定义域为 ________.4. （1分）(2017·泰州模拟) 某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为________．5. （1分）(2019·长春模拟) 某中学高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为的样本进行某项研究，则应从高二年级学生中抽取学生________人.6. （1分）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________ 。

7. （1分） (2018高一下·唐山期末) 鞋柜内散放着两双不同的鞋，随手取出两只，恰是同一双的概率是________．8. （1分）(2017·郴州模拟) 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B 两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．9. （1分） (2019高三上·宝坻期中) 已知数列首项为，且，则为________.10. （1分）(2018·重庆模拟) 设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为________．11. （1分）已知向量满足的夹角为，则 =________.12. （1分）已知sin(x+)=，则sin(x-)+sin2(-x)的值是________13. （1分）(2017·泉州模拟) 关于x的方程kx2﹣2lnx﹣k=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是________．14. （1分）(2016·潍坊模拟) 已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=，则min{h（0），h（1）}的取值范围为________．二、二.解答题： (共12题；共105分)15. （10分）(2020·新课标Ⅱ·理) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.16. （10分）(2016·普兰店模拟) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1 ，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．17. （10分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18. （10分）(2019·黄冈模拟) 已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，若，，成等比数列，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过该椭圆的右焦点作倾角为的直线与椭圆交于M，N两点，求的内切圆的半径．19. （10分）已知函数 .（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明 .20. （5分） (2019高二上·株洲月考) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an= (3n+Sn)对一切正整数n 成立（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设，求数列的前n项和Bn；21. （10分）如图，AB切O于点D，直线AD交O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（1）证明：CBD=DBA；（2）若AD=3DC，BC=，求O的直径．22. （5分）(2013·江苏理) 已知矩阵A= ，B= ，求矩阵A﹣1B．23. （10分）(2019·葫芦岛模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心，为半径的圆，直线的参数方程为（1）求与的直角坐标系方程；（2）若直线与圆交于、两点，求的面积.24. （5分）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．25. （10分） (2017高二下·赣州期中) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．（1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（2）当 = 时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．26. （10分）(2020·嘉兴模拟) 已知数列的前项和为，且．公比大于的等比数列的首项为，且．（1）求和的通项公式；（2）若，求证：，．参考答案一、一.填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、二.解答题： (共12题；共105分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、。

2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜log216}，集合B＝{x|2x﹣2＞0}，则集合A∩B真子集个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或B．或C．或D．5或5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的充分条件是（）A．m，n与平面α所成角相等B．m∥α，n∥αC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n D．m∥α，α∩β＝n7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜24B．﹣24＜a＜7C．a＜﹣1或a＞24D．a＜﹣24或a＞7 8．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[401，731]的人数为（）A．10B．11C．12D．139．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c11．（5分）已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠F AB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝a x+1+1，（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为．14．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，，，则该四面体体积的最大值为，该四面体外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为．三．解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）17．（12分）已知数列{a n}满足，a1＝1，a2＝4且a n+2﹣4a n+1+3a n＝0（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1﹣a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，分别是AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面P AB；（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面P AB所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），焦点为F．线段AB的中点为M（3，y0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．四、请考生在第22～23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a 的取值范围．。

大庆实验中学2020届高三五月第一次模拟考试 数学（文）参考答案13、5- 14、2ln 2 15、1616、12,4π 17、解（1）存在点M 为AD 中点，使得平面PCM ⊥平面ABCD ，证明如下：取AD 中点为M ，连接,PM MC ，PAD ∆Q 为等边三角形，M 为AD 中点，PM AD∴⊥；又Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，PM AD ⊥， ∴PM ⊥平面ABCD ，又PM ⊂Q 平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面ABCD .（2）不妨设2AD x =，故可得AB BCMC MD x ====， 由（1）可知PMC ∆为直角三角形，且PM AD ==，MC x=，故可得2PC x =；在PCD ∆中，因为2,2,PC x PD AD x CD ====，则222324PC PD CD cos CPD PC PD +-∠==⨯，则sin CPD ∠=故可得其面积212S sin CPD PC PD x =⨯∠⨯⨯==4x =； 故可得()12242ABCD PM S x x x ===+⨯= 又由（1）可知，PM ⊥平面ABCD ，故112433P ABCD ABCD V S PM -=⨯=⨯⨯=.故四棱锥P ABCD -的体积为BCD18.解析：（1）cos 10ADB ∠=-Q ∴1027)102(1sin 2=-=∠ADB . 由4π=∠CAD ，所以4π-∠=∠ADB C . sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∴=∠-=∠⋅-∠⋅41021025=⨯+⨯=. （2）在ACD ∆中，由ADC AC C AD ∠=sin sin ，得2210275427sin sin =⨯=∠⋅=ADC C AC AD ， ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB=+-⋅∠22525(37=+-⨯⨯=AB ∴=19.解：245(1516104)7.287 6.63525201926k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯Q∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生155325⨯=人，设为1A ,2A ,3A ，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为1B ,2B所有基本事件有：11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B ,12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A ,共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A ,12(,)B A ,13(,)B A ,21(,)B A ,22(,)B A ,23(,)B A ,12(,)B B 共7种20、解（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得12x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，此时，MN=OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x=-时，可求得四边形OMDN ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k-=+，()228420k m ∆=+->，()12122221m y y k x x m k ∴+=++=+，12212MN x x k=-==+，点O到直线MN 的距离d =由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为2122212OMDN OMNS S MN d k ∆==⨯⨯=+()222121kk+====+.故四边形OMDN.21、解（1）()()sin cos sin cosf x a x ax x a x x x'=+=+当0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos0x x x+>∴当0a>，0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>；当0a<，0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'<∴当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a<时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）由（1）知，当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()max11sin122222f x f a a aπππππ-⎛⎫∴==-==-⎪⎝⎭，解得：2a=()2sin1f x x x∴=-()()2sin cosf x x x x'∴=+()f xQ在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()00110f=-=-<，102fππ⎛⎫=->⎪⎝⎭()110,,02x f xπ⎛⎫∴∃∈=⎪⎝⎭使得()f x∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有1个零点令()sin cosg x x x x=+，,2xππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()cos cos sin2cos sing x x x x x x x x'=+-=-当,2xππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos0x≤，sin0x>，0x>()0g x'∴<()g x∴在,2pp轹÷ê÷÷êøë内单调递减又sin cos102222gππππ⎛⎫=+=>⎪⎝⎭，()sin cos0gπππππ=+=-<,2xππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x=∴当,2x xπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x>，即()0f x'>；当(),x xπ∈时，()0g x<，即()0f x'<()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q ()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点且()00f x >又()2sin 110fπππ=-=-< ()f x ∴在()0,x π上有且仅有1个零点综上所述：()f x 在()0,π上共有2个零点22. 解：（1）由曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x y += 曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=即sin coscos sin266ππρθρθ+=40x +-=（2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=时取“=”） 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-=23. 证明（1）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++ ∴2221114a b c ++1= 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ===“=”。

2020年黑龙江省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

大庆实验中学实验一部2020届高三仿真模拟数学试卷（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共23题，共150分，共3页。

考试时间：120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于” 改成相反方面“小于” . 所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C 【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12 日指数值的统计数据，图中点表示4 月1 日的指数值为201 ．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9 日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9 日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知，不大于100天有6日到11日,共6天，所以A对，不选.最小的一天为10日,所以B对,不选•中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小，D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2 所示的程序框图，若输入的分别为这15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知，它的作用是统计出分数大于或等于110 分的人数n. 所以. 选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图，我们可知概率为两个面积比. 选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度” ，常见的测度有长度、面积、体积等，若题中只有一个变量，可考虑利用长度模型，若题中由两个变量，可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项•10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得•11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f (X)=，若存在X i、X2、…X n满足==••==,贝U X1+X2+…+X n的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10答案】C解析】由函数的解析式可得函数f(x) 的图象关于点(2,0) 对称，结合图象知：X I、X2、…X n满足•••函数f (x)与y= x-1的图象恰有5个交点，且这5个交点关于(2,0)对称, 除去点(2,0) ，故有X1+X2 +…+ X n=X l+X2+X3+X4=8.本题选择C选项.第n卷(共90分)二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 已知函数(为正实数)只有一个零点，则的最小值为【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式. 基本不等式可将积的形式转化为和的形式, 也可将和的形式转化为积的形式, 两种情况下的放缩功能, 可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式, 函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积, 而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为________________ ．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为. 点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3 男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2 名，且甲班至少分配1 名女生，则不同的分配方案种数为 _________________ ．(用数字作答)【答案】1616.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0 , 1 ), 0 n是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t 的取值范围为 ______________ ．【答案】【解析】根据题意得, 是直线OA n 的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：⑴ a> f(X)恒成立？a> f(X)max；⑵ a< f (x)恒成立？a< f (x) min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角所对的边分别为•(1)求角；(2)若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】( 1 )； (2)．【解析】试题分析：(1) 由题意结合余弦定理求得；(2) 利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1) ，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得: (当且仅当时，等号成立) ，即.18. (本小题满分12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为.19.如图，在四棱锥P—ABCDK 平面PADL底面ABCD其中底面ABC［为等腰梯形，AD// BCPA= AB= BC= CD= 2, PD= 2, PAL PD Q为PD的中点.(I)证明：CQ/平面PAB(n)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n).【解析】试题分析：⑴取PA的中点N,由题意证得BN// CQ则CQ/平面PAB⑵利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：(I)证明如图所示，取PA的中点N,连接QNBN 在^ PAD中, PNh NA PQ= QD所以QN/ AD 且QNh AD在厶APD中 , PA^ 2 , PD= 2, PA± PD所以AD== 4,而BC= 2,所以BC= AD又BC// AD,所以QN/ BC 且QNh BC故四边形BCQ为平行四边形，所以BN// CQ又BN?平面PAB且CQ平面PAB 所以CQ/平面PAB(n)如图，取AD的中点M连接BM取BM的中点Q连接BO PO由(1)知PA= AM= PM= 2,所以△ APM为等边三角形，所以POL AM 同理BOL AM.因为平面PADL平面ABCD所以POh BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0) D(0,3,0) A(0 －1,0) B( 0,0) P(0,0 ) C( 2,0)则=(,3,0).因为Q为DP的中点，故Q所以=.设平面AQC的法向量为m= (x , y , z),则可得令y =—，贝U x= 3, z = 5.故平面AQC勺一个法向量为m^ (3，—, 5).设直线PD与平面AQC所成角为0.贝U sin 0 = |cos 〈，n〉| ==.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆勺左，右焦点，分别是椭圆勺上顶点和右顶点，且，离心率.(I)求椭圆的方程；(H)设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值【答案】(I) ； (n).【解析】试题分析：(1) 由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。

大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案一．,,ABCBC BBCDA AD二．13．5 14．12 15．59- 16．22,4e e ⎛⎤⎥⎝⎦17．解：（1）当1n =时，12a = .........................................1分当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦ .........2分()()1110n n n n a a a a --∴+--=0n a > 11n n a a -∴-= .........................................4分{}n a ∴是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列1n a n ∴=+ .........................................6分（2）由（1）的11,2n n n a n b +=+=则 ....................9分()222122412n n nT +-∴==-- .....................12分18解：（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205= 可能取值分别为0，1，2，3， . ............. ....................2分∴30033227(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21133254(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12233236(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0333328(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， .. ................4分则()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （也可写成2(3,)5X B 26()355E X ∴=⨯= .. ................6分X2K ∴的观测值2040(413716) 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．..................10分 ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． ..... .............12分19．解：（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD AB =，∴BC ⊥平面PAB ， ······················································································ 1分又AQ ⊂平面PAB ，∴所以BC ⊥AQ ， ···················································································· 2分Q 为PB 中点，且PAB △为等边三角形，∴PB ⊥AQ ， ······························································································· 3分又PB BC B =I ，∴AQ ⊥平面 PBC . ·················································································· 4分（2）【法一】：（1）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ， ··········· 5分 （2）所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OD OB OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分 所以()()0,2,0,2,0,0,A D -()(()2,2,0,,0,2,0C P B ，则()()()2,2,0,2,0,23,0,2,0AD DP CD ==-=-，x因为Q 为PB中点，所以(Q ，由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为(AQ =uuu r----------------7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()3,0,1n =， ····························································· 9分由1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r ruuu r r uuu r r . ························································· 11分 所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 【法二】：取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ·················································· 5分 所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分 所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,A D C-((),2,0,0P B -，所以()(2,2,0,0,,AD DP =-=-()2,0,0CD =，由(1)知，可以AQ uuu r为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以(Q -，由(1)知，平面PBC的一个法向量为(AQ =-uuu r， ·················································· 7分设平面PCD 的法向量为(),,n x yz =，x由0,0n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， ····························································································· 9分所以1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r r uuu r r uuu r r ······················································ 11分 所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 【法三】：过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH .由题意知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.由条件知OD CD ⊥， 又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥， 又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC △≌△， 所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠. ·········································· 7分 在Rt PDC △中，4,2PB BC ==，PC = 由PB BC BH PC ⋅=⋅，所以PB BC BH PC ⋅===.-------------8分同理可得DH =，-----------------------------------------------------9分又BD =在BHD △中，222cos 2BH DH BD BHD BH DH +-=∠(22214+-==-⎝⎭⎝⎭---------------------------------10分所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 20．解：（1）设椭圆C 的方程为)00(12222>>=+b a by a x ，，则由题意知2b =b =第19题HO12e ==，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(1,0)B F ， 所以直线BF的斜率BF k =l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥． 设l 的斜率为k ，则1BF k k ∙=-，所以3k =，………………………………………………6分 设l的方程为3y x m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得221312(3)0x m ++-=，……………………………………7分由22)41312(3)0m ∆=-⨯⨯->，得33m -<<．…………………………8分2121212(3)13m x x x x -+==．…………………………………………………………9分因为MF BN ⊥，所以0MF BN ⋅=，因为1122(1,),(,MF x y BN x y =--=，所以1212(1)(0x x y y --=，……………………………………………………10分即12121(1)0x x x m x m x m ⎫⎫--+++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得2121241()03x x x x m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22412(3)10313313m m m ⎛⎫⎛⎫----⋅-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221480m --=，解得m =21m =-．当m =MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =m <<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为321y x =-．…………12分 21. 解：（1）当2,3a b ==-时，ln ()3xf x x x=-+ （0x >） 221ln ()x x f x x --'=则1)(-='e f ，切点为)31,(+-e ee , 故函数()f x 在x e =处的切线方程为031=--+ey x . ………………………………4分 （2）证明：12,()x x f x 是的两个零点，不妨设12x x <12()()0f x f x ∴==,即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --= 21111ln 02x ax bx ∴--=，22221ln 02x ax bx --=相减得：221212121ln ln ()()02x x a x x b x x -----= ⇒121212ln1()02x x a x x b x x -+-=-…………6分 ⇒11222121212()ln1()()02x x x x a x x b x x x x +-+-+=-，11222121212()ln()()02()22x x x x x x x x a b x x +++--=-则 ∴11212212()ln()2()2x x x x x x g x x ++=- ⇒11112122221122()ln (1)ln ()22()2(1)x x xx x x x x x x g x x x x +++==--……8分 令12x t x =，即证01t <<，(1)ln 12(1)t t t +>-…………………9分(1)ln 2(1)2(1)1ln ln 02(1)11t t t t t t t t t +-->⇔<⇔-<-++由令2(1)()ln ,(0,1)1t m t t t t -=-∈+，22214(1)()0(1)(1)t m t t t t t -'=-=>++…………………11分2(1)()ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数 又(1)0m =(0,1),()0t m t ∴∈<，命题得证 …………………12分22.解（Ⅰ）由l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即打开得sin cos 2ρθθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得l的直角坐标方程为2y =+， ...... ...........2分由圆C的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，得圆心为)，半径为r则由直线l 与曲线C 相切∴圆心C 到直线l的距离2d r === .... ...... ...... ..........5分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 不妨设()1,M ρθ，()212,0,0,[0,2]6N πρθρρθπ⎛⎫+>>∈ ⎪⎝⎭，则12111||||sin sin 4sin 4sin 2264336OMN S OM ON MON ππππρρθθ∆⎛⎫⎛⎫=∠==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 22sin 23πθθθθθθ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，..... ..... ......8分当2+=32ππθ，即12πθ=时，S 2OMN ∆取最大值 ...... ......9分所以MON ∆面积的最大值为2 ．...... ...... ...... ......10分23.解 （1）()()2,2224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪+-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩由()6f x ≥，则(][),33,x ∈-∞-+∞ ............5分（2）()()5,3412321,225,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩由()()41f x f x kx m --+>+的解集为实数集R ，可得0k =，5m <- 即5k m +<- ............5分。

黑龙江省2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·蚌埠月考) 设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（）A . 为锐角}B . 为小于的角}C . 为第一象限角}D .2. （2分）复数=（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高三上·平阳月考) 已知，，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·湖南月考) 已知平面向量满足，且，，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A . －2B . 2C . －4D . 46. （2分） (2018高二上·六安月考) 设点(a,b)为区域内任意一点，则使函数f(x)=在区间[ ，+ ）上是增函数的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·安徽模拟) 已知是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2019高三上·石城月考) 函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分）(2018·大新模拟) 秦久韶算法是中国古代数学史上的—个“神机妙算”，它将一元次多项式转化为个一次式的算法，大大简化了计算过程，即使在现代用计算机解决多项式求值问题时，秦久韶算法依然是最优的算法.如图所示的程序框图展示了求值的秦久韶算法，那么判断框可以填入的条件的输出的结果表示的值分别是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·临淄期末) 高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A . 240B . 188C . 432D . 28811. （2分）(2019·九江模拟) 如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·雨花期中) 已知，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·杭州期末) 若双曲线的渐近线与圆相切，则 ________.14. （1分）(2020·抚州模拟) 若，则的展开式中的系数为________.15. （1分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________.16. （1分）(2016·天津模拟) 在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|BC|=________．三、解答题： (共7题；共75分)17. （15分） (2019高一下·安徽期中) 已知正项数列的前项和为，且和满足：．（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）在(2)的条件下，对任意 , 都成立，求整数的最大值．18. （10分） (2018高二上·沈阳期末) 某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成三组，并作出如下频率分布直方图：附：临界值表参考公式：．0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失则取，且的概率等于经济损失落入的频率）。

2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B的值为( )A.{-1，0，1，2}B.{-2，-1，0，1，2}C.{0，1，2}D.{1，2}解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∩B.∵集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={-1，0，1，2}.答案：A2.若复数21-=+izi，则z在复平面内所对应的点位于的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z所对应点的坐标得答案.∵()()()()1322121311122----====-++-i ii iz ii i i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(12，32-)，位于第四象限.答案：D3.若x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x，则2x+y的最大值为( )A.2B.5C.6D.7解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.作出x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.由11=⎧⎨=-⎩yy x，解得A(2，1)，代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5.即目标函数z=2x+y的最大值为5.答案：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.2B.4C.8D.12解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PC ⊥平面ABCD ，PC=3，由此能求出几何体的体积. 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， PC ⊥平面ABCD ，PC=3， ∴几何体的体积：22341133=⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形ABCD V S PC .答案：B5.执行如图所示的程序语句，则输出的S 的值为( )A.22B.1C.2+1解析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是2350sinsinsin sin 4444ππππ=+++⋯+S 的值，2350sinsinsin sin44442384950sin sin sin sin sin sin 4444444950sin sin44sin sin4122ππππππππππππππ=+++⋯+⎛⎫=+++⋯++⋯++ ⎪⎝⎭=+=+=+S答案：C6.已知命题p ：直线l 1：ax+y+1=0与l 2：x+ay+1=0平行；命题q ：直线l ：x+y+a=0与圆x 2+y 2=1，则命题p 是q( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件 解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a ≠0时，若两直线平行，则满足1111=≠a a ，由11=a a 得a 2=1，得a=±1，由111≠a ，得a ≠1，即a=-1， 即p ：a=-1，圆心到直线的距离=d ，半径r=1，∵直线l ：x+y+a=0与圆x2+y2=1，∴r 2=d 2+(2)2，即21122=+a ，得a 2=1，得a=±1， 则命题p 是q 充分不必要条件. 答案：A7.数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2+a 4=10，a 32=16，则1012++⋯+a a a 等于( )A.-45B.45C.-90D.90解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出q.再结合对数运算公式，求出结果即可. ∵{a n}为正项递增等比数列，∴a n ＞a n-1＞0，公比q ＞1.a 2+a 4=10①，且a 32=16=a 3·a 3=a 2·a 4②，由①②解得a 2=2，a 4=8.又因为a 4=a 2·q 2，得q=2或q=-2(舍).则得a 5=16，a 6=32，5121012160++⋯+=⋯=a a a a a a a a953229224590⨯⨯⨯=====.答案：D 8.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量12=+a e e ，122=-+b e e 的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析：根据题意，设a 、b 的夹角为θ， 又由1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且12=+a e e ，122=-+b e e ，则()()22121212122232=+-+=-++=a b e e e e e e e e ，又由12=+a e e，则11=++=a ， 由122=-+b e e ，则14=+-=b则有1os 2c θ==a b a b，则θ=60°. 答案：B9.已知双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(1)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.221412-=x y B.221124-=x y C.221420-=x y D.221204-=x y解析：双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±ba x ， 由一条渐近线过点(1，可得=ba双曲线的一个焦点(-c ，0)在抛物线y 2=16x 的准线x=-4上，可得c=4，即有a 2+b 2=16， 解得a=2，则双曲线的方程为221412-=x y .答案：A10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0.若12ln ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭a f ，211ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭=⎝b f e e ，c=f(e 0.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.b ＜a ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可. ∵当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0，∴当x ∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递减，∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，()()1222ln ln ln ⎛⎫⎪⎝=-=-⎭-=a f f f ， 2111ln ln 1⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-＞e e e ，又211ln 0⎛⎫- ⎪⎝⎭＜e e ，则2111ln 0-⎛⎫⎝⎭-⎪＜＜e e ，e 0.1＞1，0＜ln2＜1， 则0.12111ln ln 2⎛⎫⎪⎝⎭--＜＜＜e e e ，则()()0.12112ln ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭＞＞f f f e e e ，即c ＜a ＜b. 答案：C11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象过点(9π，2)，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是( )A.f(x)的最小正周期为23πB.f(x)的一条对称轴为x=49πC.f(x)的图象向左平移9π个单位所得图象关于y 轴对称D.f(x)在[9π-，9π]上是减函数解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23π=T ，∴223ππω==T ，解得ω=3； 又f(x)的图象过点(9π，2)， ∴2sin(9πω+φ)=2，∴292ππωϕπ+=+k ，k ∈Z ；解得φ=6π+2k π，k ∈Z ； 令k=0，得φ=6π，∴f(x)=2sin(3x+6π)；∴f(x)的最小正周期为T=23π，A 正确； 442sin 32996πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 为最小值，∴f(x)的一条对称轴为x=49π，B 正确；f(x)的图象向左平移9π个单位，得函数2sin 32sin 32cos3962πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x，其图象关于y 轴对称，C 正确；x ∈[9π-，9π]时，3x ∈[3π-，3π]，∴3x+6π∈[6π-，2π]时，∴f(x)=2sin(3x+6π)在[9π-，9π]上是增函数，D 错误.答案：D12.已知函数()21211415⎧+-≤≤⎪=⎨+-≤⎪⎩，，＜x x f x x x x ，若关于x 的方程f(x)-ax=0有两个解，则实数a 的取值范围是( )A.(0，625]∪[52-，-2) B.(0，625)∪[52-，-2]C.(-∞，52-)∪[625，+∞)∪{0，-2}D.(-∞，52-)∪[625，+∞)解析：分别作出函数y=f(x)和y=ax 的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.设函数y=f(x)和y=ax ， 作出函数f(x)的图象如图：要使方程f(x)-ax=0有2两个解，即函数y=f(x)和y=ax 有2个不同的交点，∵f(-2)=5，f(5)=|5+15-4|=65， 当y=ax经过点(5，65)时，此时a=625， 当过点(-2，5)时，此时a=52-，当直线y=ax 与y=x 2+1相切时，∵y ′=2x ，设切点为(x 0，y 0)，-2≤x 0≤0，∴200012+=x x x ，解得x 0=-1，当x 0=-1，此时a=-2，结合图象，综上所述a 的取值范围为[52-，-2)∪(0，625].答案：A二、填空题(本题有4标题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.()3021-=⎰x dx .解析：根据定积分的运算，即可求得答案.()()3230036219=-=-=-⎰x x x x d .答案：614.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V 2，则12V V 的值为 .解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1=43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积：V 2=πr 2×2r -43πr 3=23πr 3，∴313243322ππ==r V V r .答案：215.若f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数，则12+a b 的最小值为 . 解析：由奇函数的性质可得f(0)=0，即有对数的运算性质可得ab=1，再由基本不等式，即可得到所求最小值.f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数， 可得f(0)=0，即有e 0lna+e 0lnb=0， 即有ln(ab)=0，可得ab=1，(a ＞0，b ＞0)，则12≥=+a b ，当且仅当时，等号成立，则12+a b 的最小值为. 答案：16.已知抛物线C ：y 2=4x ，过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l ，l 与抛物线交于M ，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l 的斜率为 .解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x ，|MF|=|CM|=3x ，根据相似三角形的性质，即可求得直线MN 的倾斜角为60°，即可求得直线l 的斜率. 抛物线C ：y2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1， 分别过M 和N 作准线的垂线，垂足分别为C 和D ，过NH ⊥CM ，垂足为H ， 设|NF|=x ，则|MF|=3x ，由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x ，|MF|=|CM|=3x ， ∴|HM|=2x ，由|MN|=4x ，∴∠HMF=60°，则直线MN 的倾斜角为60°， 则直线l 的斜率k=tan60°3.方法二：设直线MN 的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值.抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)， 准线为x=-1，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程y=k(x-1)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，()241⎧=⎪⎨=-⎪⎩y x y k x ， 整理得：k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0，则()212222++=k x x k ，x 1x 2=1，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，x 1+3x 2=4，整理得：3x 2-4x 2+1=0，解得：x 2=13，或x 2=1(舍去)，则x 1=3，解得：k=3， 由k ＞0，则3.方法三：设直线MN 的方程x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m 的值，则直线l 的斜率为1m .抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，设直线MN 的方程x=mx+1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，214=+⎧⎨=⎩x my y x ，整理得：y 2-4my-4=0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，-y 1=3y 2，即y 1=-3y 2，解得：y 2=，y 1∴4m=，则m=，∴直线l.三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单调区间.答案：(1)y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到y=2sin(2x+6π)+1的图象， 即f(x)=2sin(2x+6π)+1.函数最小正周期T=π.令222262πππππ-+≤+≤+k x k (k ∈Z)，则222233ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，解得36ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，所以y=f(x)的单调增区间是[3ππ-+k ，6ππ+k ](k ∈Z).(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(A)=2，b=1，S △ABCa 的值. 解析：(2)利用已知条件求出A ，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解a 即可.答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+6π)+1=2，则有sin(2A+6π)=12.因为0＜A ＜π，所以5266ππ+=A ，A=3π.由1sin 2==ABCbc A Sb=1得，c=4.根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA=1+16-2×1×4×12=13，所以18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线25122=+y x x 上，数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，b 4=11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式.解析：(1)利用已知条件求出{a n }的通项公式，判断数列是等差数列求解{b n }的通项公式.答案：(1)由已知得：21252=+n S n n ，当n=1时，1115232==+=a S ，当n ≥2时，()()22151125112222-=-=+----=+n n n a S S n n n n n ，当n=1时，符合上式.所以a n =n+2.因为数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，所以{b n }为等差数列.设其公差为d.则()413131155245=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩b b db b d，解得152=⎧⎨=⎩bd，所以b n=2n+3.(2)设()()12328=--nn nca b，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n＞54k恒成立的最大正整数k的值.解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(2)由(1)得，()()()()()()11111 2328214222141212121 ====---+-+--⎛⎫⎝⎭+⎪nn nca b n n n n n n，111111521212111143341⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝=-++⋯+-=-⎝+⎭-+⎭nTn n n，因为()()111121232212431+⎛⎫-=-=++⎪⎭++⎝＞n nT Tn n n n，所以{T n}是递增数列.所以T n≥T1=16，故T n＞54k恒成立只要11654=＞Tk恒成立.所以k＜9，最大正整数k的值为8.19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD且PA=AB=2.E为PA的中点.(1)求证：PC∥面BDE.解析：(1)连接CA交BD于O，连接OE，证明OE∥PC，即可推出PC∥面BDE.答案：(1)连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊂面BDE，故PC∥面BDE.(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.解析：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面PBC的法向量n=(x，y，z)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，利用向量的数量积求解即可.答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)，所以DE=(0，-2，1)，BP=(-2，0，2)，BC=(0，2，0)，设平面PBC的法向量n=(x，y，z)，则⎧=⎪⎨=⎪⎩n BPn BC，即-=⎧⎨=⎩x zy，令z=1，则法向量n=(1，0，1)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则10 sin cos10θ===，n DEn DEn DE，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值310.20.已知椭圆C：22221+=x ya b(a＞b＞0)，其焦距为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程.解析：(1)由2c=2，可得c=1，由2=c a，可得，从而b 2=a 2-c 2=1，即可求出椭圆方程.答案：(1)因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，2=c a，所以， 从而b 2=a 2-c 2=1，所以，椭圆的方程为2212+=x y .(2)设椭圆的右焦点为F ，K 为x 轴上一点，满足2=O OF K ，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求△FPQ 面积S 的最大值.解析：(2)设直线MN 的方程为y=k(x-2)(k ≠0).代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由判别式△＞0解得k 范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.答案：(2)椭圆右焦点F(1，0)，由2=O OF K 可知K(2，0)， 直线l 过点K(2，0)，设直线l 的方程为y=k(x-2)，k ≠0， 将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则2122812+=+k x x k ，21228212-=+k x x k ， 由判别式△=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-2)＞0解得k 2＜12.点F(1，0)到直线l 的距离为h，则==h()42212222226482111242211121-==-=+-⨯++++kk k k S PQ h x x k k k k k ))22221221122-==+k k k k令t=1+2k 2，则1＜t ＜2，则2232+==-t t S t当134=t时，S取得最大值.此时k2=16，k=±，S取得最大值4.21.已知函数f(x)=1-ax+lnx(1)若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围.解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0恒成立.变形得：ln1+≥xax.设()ln1+=xh xx，则a≥h(x)max.由()2ln'=-xh xx可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，h(x)在x=1处取得最大值，且h(x)max=h(1)=1. 所以a≥h(x)max=1，实数a的取值范围是[1，+∞).(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，求实数k的取值范围.解析：(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(2)由(1)可知，a≥1，当a=1时，f(x)=1-x+lnx，g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2，g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根.整理方程得，2ln 22-+=+x x x k x ，令()2ln 22-+=+x x x s x x ，x ∈[12，8]，()()2232ln 42+--'=+x x x s x x .令φ(x)=x 2+3x-2lnx-4，x ∈[12，8]，则()()()212ϕ-+'=x x x x，x ∈[12，8]，于是φ′(x)≥0，φ(x)在[12，8]上单调递增.因为φ(1)=0，当x ∈[12，1)时，φ(x)＜0，从而s ′(x)＜0，s(x)单调递减，当x ∈(1，8]时，φ(x)＞0，从而s ′(x)＞0，s(x)单调递增，()()9ln 23312ln 2118105251⎛⎫ ⎪=⎭-+==⎝，，s s s ， 因为()5726ln 2801102--=⎛⎫ ⎪⎝⎭＞s s ，所以实数k 的取值范围是(1，9ln 2105+].(3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞221-+n n n (n ∈N*且n ≥2).解析：(3)由(1)可得x-1≥lnx ，当且仅当x=1时取等号，令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明.答案：(3)证明：由(1)可知，当a=1时，有x-1≥lnx ， 当且仅当x=1时取等号.令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2.整理得：()2111112ln 111111≥-=--=-+--＞k k k k k k k k ，当k=2，3，…，n 时，12ln 212112-+-＞，12ln 313113-+-＞，…，112ln 11-+-＞n n n ，上面n-1个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+1n .n ∈N*且n ≥2，即2ln(2×3×…×n)＞221-+n n n .命题得证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，直线l ：ρ(cos θ-sin θ)=4.(1)将曲线C 1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，请写出直线l ，和曲线C 2的直角坐标方程.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)因为l ：ρ(cos θ-sin θ)=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4； 设曲线C 2上任一点坐标为(x ′，y ′)，则2'=⎧⎪⎨'=⎪⎩x x y ， 所以2'⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x y ， 代入C 1方程得：22123''+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝=⎪⎝⎭⎭x y ， 所以C 2的方程为22143''+=x y .(2)若直线l 1经过点P(1，2)且l 1∥l ，l 1与曲线C 2交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值. 解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.答案：(2)直线l ：x-y=4倾斜角为4π，由题意可知，直线l 1的参数方程为2122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y (t 为参数)， 联立直线l 1和曲线C 2的方程得，27702++=t . 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1t 2=2.由直线参数t 的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t 1t 2|=2.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 是任意非零实数.(1)求3232++-a b a b a 的最小值.解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论.答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|，当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0时取等号，3232++-a b a ba 的最小值为6.(2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x 取值范围. 解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论x 的符号解出x 的范围.答案：(2)由题意得：323222++-++-≤a b a b x x a 恒成立， 结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6.当x ≤-2时，-x-2+2-x ≤6，解得-3≤x ≤-2；当-2＜x ≤2时，x+2+2-x ≤6成立，所以-2＜x ≤2；当x ＞2时，x+2+x-2≤6，解得2＜x ≤3.综上，实数x 的取值范围是[-3，3].。

黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题8分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则AB =（ ）A. (]0,1B. []0,1C. (],1-∞D.()(],00,1-∞【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A 后可求AB .【详解】[]0,1A =，故(]0,1A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A. 4 B. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.5.设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 3x =- D. 4x =-【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线焦点F 在2380x y +-=上，求得8p =，进而得到抛物线的准线方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线22y px =的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由焦点F 在2380x y +-=上， 解得8p =，所以抛物线的准线方程为42px =-=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A.12B. 1C. 2D.32【答案】B 【解析】 分析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．7.某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A.15B.16C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.【详解】设事件C 为“A 城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为22326C A =，事件C 中含有的基本事件的总数为1，所以()16P C =. 故选B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.8.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -2B. 2C.【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A ，可得函数的解析式，从而求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】∵()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，故()()f x f x -=，所以()()sin sin A x A x ωϕωϕ+=-+，整理得到sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ+=-+， 所以sin cos 0x ωϕ=对任意的x ∈R 恒成立，所以cos 0ϕ=，即,2k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，故2ϕπ=.所以()cos f x A x ω=， 将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()cos2A g x xω=.因为()g x 最小正周期为2π，则有22πω＝2π，∴ω＝2，g （x ）＝A cos x ，f （x ）＝A cos2x ．且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭4cos A π=，解得2A =，所以()2cos2f x x =，所以332cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C.【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于基础题．9.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.510B.53C.64D.15 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取11A B 的中点，连接,MN AN ，可以证明AMN ∠是异面直线AM 与BC 所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】如图，取11A B 的中点N ，连接,MN AN ， 在111A B C ∆中，因为,M N 为中点，所以11MNB C ，由直三棱柱111ABC A B C -可得11BC B C ，故MNBC ，所以AMN ∠或其补角是异面直线AM 与BC 所成角.因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C ， 因为11A C ⊂平面111A B C ，故111AA AC ⊥，故1AA M ∆为直角三角形， 同理1AA N ∆为直角三角形. 设2AB a =，则1A N a =，在1Rt AA N ∆中，有AN =，同理AM =，又MN a =,故222cosAMN ∠==. 故选A.【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值. 11.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ） A.263B.43C.132D.53【答案】D 【解析】 【分析】利用2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H 可求出H 的坐标，再利用224PF F H =求出P 的坐标（用,,a b c 表示），将P 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，取一条渐近线为by x a =， 则直线()2:a a acF H y x c x b b b=--=-+，由a ac y x b b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2,a ab H c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为224PF F H =，故224PF F H =-，从而()2,4,p p a ab c x y c c c ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 所以2434p p a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将P 的坐标代入双曲线的方程可以得到：222224431a ab c c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简可得29250e -=，所以53e =， 故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意首先画出不等式组表示平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值， 联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为：5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.【答案】12【解析】 【分析】先求出()1f ，再根据()10f >、()10f ≤分类讨论并求出相应的()()1ff ，根据()()12f f =可求实数m 的值.【详解】()11f m =+， 若1m >-，则()()121ff m =+，令212m +=，故12m =；若1m ≤-，则()()()()2211211f f m m m m =+-++=，故()()12f f =无解，综上，12m =. 故答案为：12m =. 【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.15.sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59- 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值.sin 3αα+=可以得到12sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭所以sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为：59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数a 的取值范围.【详解】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1110x f x x x -'=-=>，故()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,a a e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 又当()1,0x ∈-时，()()220xg x x x e '=+<，当()0,2x ∈时，()()220xg x x x e '=+>，所以()g x 在[]1,0-上减函数，在[]0,2上为增函数.令()t f x =，因为对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e-++=成立，故对直线s t =与函数()s g y =的图象有且只要一个公共点， 而()()()211,00,24g g g e e-===，且()g x 在[]1,0-上为减函数，在[]0,2上为增函数， 故214t e e <≤，所以2114a e e a e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩，即224a e e <≤. 故答案为：22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）224n n T +=-.【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-把递推关系转化为11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式可求{}n a 的通项；（2）利用等比数列的求和公式可求{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∴11n n a a --=，∴{}n a 是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列， ∴1n a n =+.（2）由（1）的1n a n =+，则12n n b +=，∴()222122412n n nT +-==--.【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析，65；（2）没有. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布可求X 的分布列和数学期望.（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到2K 的观察值，最后根据临界值表可得没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【详解】（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205=，X 可能取值分别为0，1，2，3， ∴()30033227055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为则()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， （也可写成235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,），∴()26355E X =⨯=.（2）完成2×2列联表运动达人 运动懒人 总计 男 4 16 20 女 7 13 20 总计 112940∴2K 的观测值()240413716 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给定的列联表计算2K 的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90BCD ∠=，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154.【解析】 【分析】（1）可证BC ⊥平面PAB ，从而得到要证的线面垂直；（2）过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ，可证二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，090BCD ∠=， 所以AB BC ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又∵AQ ⊂平面PAB ，∴ 所以BC AQ ⊥，∵Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，∴PB AQ ⊥，又∵PB BC B ⋂=， ∴AQ ⊥平面PBC .（2）【法一】过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ， 取AB 中点为O ，连接PO .因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥，由条件知OD CD ⊥，又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥， 又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC ∆≅∆， 所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，在Rt PDC ∆中，4,2,PB BC PC ===由PB BC BH PC =，所以525PB BC BH PC ===，同理可得455DH =， 又22BD =BHD ∆中，(2222224545221cos 2445452BH DH BD BHD BH DH +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，二面角B PC D --15. 【法二】取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，090ABC ∠=， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB ，以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A D C -，(()0,0,23,2,0,0P B -， 所以()()()2,2,0,0,2,23,2,0,0AD DP CD =-=-=， 由（1）知，可以AQ 为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点， 所以(3Q -，由（1）知，平面PBC 的一个法向量为(3AQ =-， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由·0·0n CD n DP ⎧=⎨=⎩得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， 所以231cos ,43331AQ n AQ n AQ n===+⨯+， 所以二面角B PC D --15. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为23，离心率为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3163y x =-【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率可求,,a b c ，从而得到椭圆的标准方程；（2）假设存在直线l ，则其斜率为3k =l 的方程为3y x m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由F 为垂心可得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可得关于m 的方程，解该方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，则由题意知223b =3b =22112b e a =-=，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(()3,1,0B F ，所以直线BF 的斜率3BF k =-，假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥. 设l 的斜率为k ，则1BF k k =-，所以3k =. 设l 的方程为3y x m =+,()()1122,,,M x y N x y . 由2233143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x mx m ++-=， 由()()22834131230mm ∆=-⨯⨯->，得393933m -<<， ()2121212383,1313m m x x x x -+=-=. 因为MF BN ⊥，所以0MF BN =，因为()()11221,,,3MF x y BN x y =--=-， 所以()()1212130x x y y ---=，即()12121333130333x x x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()221233834130313313m m m m m -⎛⎫⎛⎫----+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22153480m m --=，解得3m =或163m =，当m 时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =时，满足m <<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为y x =-【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值. 21.已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）130x y e+--=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数在x e =处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.（2）利用()()120f x f x ==可得()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此只需证明()()112212ln 12x x x x x x +>-即1122121ln 121x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭即可，令12x t x =，构建新函数()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+可证该不等式成立.【详解】（1）当2,3a b ==-时，()()ln 30xf x x x x=-+>，()221ln x x f x x--'=， 则()1f e '=-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在x e =处的切线方程为130x y e+--=. （2）证明：∵12,x x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <，∴()()120f x f x ==，即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=， ∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=， 相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----= 故()121212ln102x x a x x b x x -+-=-，整理得到()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +-+-+=-， 则()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()11221212ln 22x x x x x x g x x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭即()()111122212212121ln ln 2221x x x x x x x x x x g x x x x ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-也就是()21ln 01t t t --<+， 令()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+，()()()()222114011t m t t t t t -'=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数， 又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

黑龙江省大庆实验中学2020届高考数学综合训练试卷1（五）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则A∩B=()A. {x|x>−1}B. {x|x<2}C. {x|−1<x<2}D. ⌀2.已aR，若复数z=a2i1+i为虚数，则|+i|=()A. 10B. √10C. 5D. √53.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004.已知|a⃗|=2，b⃗ 为单位向量，a→·b→=1，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. −12B. 1 C. 12D. −15.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 7106.若tanα=13,tan(α+β)=12，则tanβ=()A. 17B. 16C. 57D. 567.已知函数f(x)=1ln(x+1)+x2，则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.8.已知α终边上一点P(1,2)，则cos2α=()A. −35B. −45C. 35D. 459.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=23(x+2)与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 5B. 6C. 7D.810.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11.若函数f(x)=(x2−ax+2)e x在R上单调递增，则a的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]12. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若S △ABC =3S △BCF 2，则椭圆的离心率为( )A. √55B. √33C. √105D. 3√310二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 12x,x >0,3x,x ≤0,，则f(f(2))的值为___________14. 已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f (x )的图象经过点(π3,1)，则函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间为______．15. 若三棱锥S −ABC 的底面是以AC 为斜边的等腰直角三角形，AC =2√3，SA =SB =SC =√7，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16. 如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n 个图形的边数为__________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．18.已知四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=EC=2，AE=BE=√2，O为AB的中点，N为BC的中点，M在BE上且BE=4BM．(1)求证：DE//平面OMN；(2)求证：EO⊥平面ABCD;(3)求点D到平面AEC的距离．19.已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=203，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C的直径．(1)求直线AB的方程；(2)求椭圆E的标准方程．20. 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．21. 已知函数f(x)=x 3−6x 2+9x −3．(1)求函数f(x)的极值；(2)定义：若函数ℎ(x)在区间[s,t](s <t)上的取值范围为[s,t]，则称区间[s,t]为函数ℎ(x)的“美丽区间”.试问函数f(x)在(3,+∞)上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l与C交于A、B两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查集合交集运算，属于基础题． 解：因为集合A ={x|x >−1}，B ={x|x <2}， 所以A ∩B ={x |−1<x <2}． 故选C ．2.答案：D解析：解：∵z =a2i1+i =a−2i)1−i)(1+i)−i)=(a−)−(+2)i2为虚数，∴{a −20a+≠0，解得a =2， 故选：利复数形式的乘除运算化简z 由题意求出a ，则案可求．题考查复数代数形式乘除运算考查了纯虚数的概念，练了复数模求法，是．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入． 解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元， 则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元． 故选D ．4.答案：B解析：解：由已知得到向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影是：a →⋅b →|b →|=1；故选B ．根据平面向量的数量积公式解答即可．本题考查了平面向量的投影；利用了数量积的几何意义．5.答案：D解析：本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率．解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．6.答案：A解析：tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1−tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17．7.答案：B解析：本题考查了函数图象变换，学会利用排除法解答，属于基础题． 分−1<x <0和x >0判断函数值的符号即可选出答案． 解：当−1<x <0时，可得ln(x +1)+x 2<0， ∴f(x)=1ln(x+1)+x 2<0，排除C ，D ．当x >0时，可得ln(x +1)+x 2>0， ∴f(x)=1ln(x+1)+x 2>0，排除A ． 故选：B ．8.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角公式即可得到答案． 解：因为P(1,2)，所以r =|OP|=√5， 所以，。

黑龙江省大庆市2020届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B =（ ）A. {}0B. {}1,0-C. {1,-0，1}D. (),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}， A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选：C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x = （ ） A. 12 B. 13 C. 14D. 15【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 【详解】(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.4.在平面直角坐标系中，现有()1,1，()1,2，()2,0，()2,2，()3,1共五个点，从中任取两个点，则这两个点恰有一个在圆225x y +=内部的概率是( ) A.35B.15C.45D.25【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定所给的点与圆的位置关系，然后结合古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】由题意可知点()()1,1,2,0在圆内，其余所给的点不在圆内，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：11232535C C p C ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ）A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.6.已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】 1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题. 7.曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-C. 21y x =-+D.21y x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-， 所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.8.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 9.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A.3 B.5 C.12D.23【答案】D 【解析】 【分析】利用//AB CD ，得出异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，然后在Rt ABE ∆中利用锐角三角函数求出cos BAE ∠.【详解】如下图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 四边形ABCD 为正方形，所以，//AB CD ， 所以，异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，AB BE ∴⊥，2AB =，225BE BC CE =+=223AE AC CE ∴=+=，在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=，2cos 3AB BAE AE ∠==， 因此，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合A ={x ∈N|0<x <log 216}，集合B ={x|2x −2>0}，则集合A ∩B 真子集个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 82. i 为虚数单位，则2i 31−i的虚部为( )A. −iB. iC. −1D. 13. 在(√x 3−1x 2)6的展开式中，中间一项的二项式系数为( )A. 20B. −20C. 15D. −154. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x +2y −3=0，则该双曲线的离心率为( )A. 5或54B. √5或√52 C. √3或√32D. 5或535. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m//n 的充分条件是( )A. m ，n 与平面α所成角相等B. m//α，n//αC. m//α，m ⊂β，α∩β=nD. m//α，α∩β=n7. 已知点(3,1)和(−4,6)在直线3x −2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是( )A. −7<a <24B. −24<a <7C. a <−1或a >24D. a <−24或a >78. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( )A. 10B. 11C. 12D. 139. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )A. 45B. 25C. 23D. 1310. 已知a =5ln4π，b =4ln5π，c =5lnπ4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过右焦点F ，若∠FAB =α∈[π12,π3]，则此椭圆离心率的取值范围是( )A. [√22,√3−1]B. [√22,√63]C. (0,√22]D. [√63,1)12. 已知函数f(x)=exx2(其中无理数e =2.718…)，关于x 的方程√f(x)√f(x)=λ有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是( )A. (0,e2)B. (2,+∞)C. (e 2+2e ,+∞)D. (e 24+4e 2,+∞)13. 函数f(x)=a x+1+1，(a >0,a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点坐标为______． 14. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x ，求得x =1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√3+√……______．15. 在四面体S −ABC 中，SA =SB =2，且SA ⊥SB ，BC =√5，AC =√3，则该四面体体积的最大值为 (1) ，该四面体外接球的表面积为 (2) ．16. 在△ABC 中，A =π3,AC ：BC =2：3，点D 为线段AB 上一动点，若DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值为−34，则△ABC 的面积为______．17. 已知数列{a n }满足，a 1=1，a 2=4且a n+2−4a n+1+3a n =0(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：数列{a n+1−a n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且垂直于底面ABCD ，AB =BC =1，∠BAD =∠ABC =90°，∠ADC =45°，分别是AD ，PD 的中点．(Ⅰ)证明：平面CMN//平面PAB ；(Ⅱ)已知点E 在棱PC 上且CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值．19. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上的两个动点A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)，焦点为F.线段AB 的中点为M (3,y 0)，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8． (1)求抛物线的标准方程；(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次(次)；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进这时认为每个人的血化验1k行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．(1)设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；(2)设p=0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)21.已知函数f(x)=(x−a)lnx+12x(a∈R)．(1)若f′(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)=f′(x)−x−alnx的单调性；(2)若a∈(12e,2√e)(e是自然对数的底数)，求证：f(x)>0．22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)．(Ⅰ)求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；(Ⅱ)若过点A(2√2,π4)(极坐标)且倾斜角为π3的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+|x+1|，(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若不等式f(x)<2x+a的解集为A，B={x|x2−3x<0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x ∈N|0<x <4}={1,2,3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={2,3}，∴集合A ∩B 真子集的个数是22−1=3个． 故选：B ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可得出A ∩B ，从而得出A ∩B 的真子集的个数．本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的单调性，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵2i 31−i =−2i1−i =−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i ， ∴2i 31−i的虚部为−1．故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由(√x 3−1x 2)6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为C 63=20，故选：A ．由二项式定理及二项式系数得：(√x 3−1x 2)6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为C 63=20，得解．本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．【解析】解：对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1(a,b>0)．可得渐近线方程为y=±ba x或y=±abx．∵有一条渐近线平行于直线x+2y−3=0，∴一条渐近线方程为x+2y=0．∴−12=−ba或−ab．∴该双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√5或√52．故选：B．对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1(a,b>0).由于有一条渐近线平行于直线x+2y−3=0，可得−12=−ba或−ab.即可得出该双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．【解析】解：A.m，n平行、相交或为异面直线，因此不正确；B.m与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确；C.是m//n的充分条件；D.m与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确．故选：C．利用空间线面位置关系的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，若点(3,1)和(−4,6)在直线3x−2y+a=0的两侧，则有[(3×3−2×1+a)][3×(−4)−2×6+a]<0，即(a+7)(a−24)<0，解可得−7<a<24；故选：A．根据题意，由二元一次不等式与平面区域的关系可得[(3×3−2×1+a)][3×(−4)−2×6+a]<0，化简解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查二元一次不等式的几何意义，关键是由点与直线的位置关系分析得到不等式．8.【答案】C【解析】解：因为采用系统抽样方法从960人中抽取32人，所以抽到的号码构成以30为公差的等差数列{a n}因为某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，因此a n=11+30(n−1)=30n−19，由401≤30n−19≤731，解得14≤n≤25，n∈N∗所以编号落入区间[401,731]的人数为25−14+1=12．故选：C．根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出．本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：甲在每局比赛中获胜的概率均为：34，失败的概率为：14； 各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为：34×34+34×14×34+14×34×34=5464，比赛进行了三局的概率为：34×14×34+14×34×34=1864，故则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为：1864÷5464=13， 故选：D ．分别求出甲比赛获得冠军和比赛三次获胜的概率，在利用条件概率公式计算，即可得出结论．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：令f(x)=lnx x(x ≥e)，f′(x)=1−lnx x 2，x >e 时，f′(x)<0，可得函数f(x)在(e,+∞)上单调递减． ∴πln44>πln55，∴5ln4π>4ln5π，∴a >b ．lnππ>ln44，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c >a ．∴b <a <c ． 故选：C ．本题考查了利用导数研究函数的单调性，对数运算，属于中档题． 令f(x)=lnx x(x ≥e)，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．11.【答案】B【解析】解：设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，AF ，BF′，则四边形AFBF′是矩形，∴AB =FF′=2c ，FA =2c ⋅cosα，FB =2c ⋅sinα，由椭圆的定义可知，FA +FB =2a ，即2c ⋅cosα+2c ⋅sinα=2a ， ∴离心率e =c a =1sinα+cosα=1√2sin(α+π4)，∵α∈[π12,π3]，∴π4+α∈[π3,7π12]，√2sin(α+π4)∈[√62,√2]，∴e ∈[√22,√63]． 故选：B ．设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，AF ，BF′，可得到四边形AFBF′是矩形，然后利用锐角三角函数表示出FA 和FB ，再结合椭圆的定义可知2c ⋅cosα+2c ⋅sinα=2a ，于是e =c a=1sinα+cosα=1√2sin(α+π4)，最后结合α∈[π12,π3]，和正弦函数求出y =√2sin(α+π4)的值域即可得解．本题主要考查椭圆的定义、焦点、离心率等几何性质，还涉及三角函数与三角恒等变换，考查学生转化与化归的能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意，函数f(x)=e x x 2的导数为f′(x)=e x (x−2)x 3，∴0<x <2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， x <0或x >2时，f′(x)>0，函数单调递增， ∴x =2时，函数取得极小值e 24，关于x 的方程x 的方程√f(x)+1√f(x)=λ有四个相异实根， 设t =√f(x)，则t +1t =λ的一根在(0,e2)，另一根在(e2,+∞)之间， ∴y =t +1t 在t =e2处取得最小值e2+2e ， ∴λ>e2+2e ， 故选：C ．求导数，确定函数的单调性，可得x =2时，函数取得极小值，关于x 的方程√f(x)+1√f(x)=λ有四个相异实根，则t +1t =λ的一根在(0,e2)，另一根在(e2,+∞)之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查方程根问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】(−1,2)【解析】解：由于函数y=a x经过定点(0,1)，令x+1=0，可得x=−1，求得f(−1)=2，故函数f(x)=a x+1+1(a>0,a≠1)，则它的图象恒过定点的坐标为(−1,2)，故答案为(−1,2)解析式中的指数x+1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象过定点(0,1)的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．14.【答案】1+√132【解析】解：设x=√3+√3+√3+√……由题意可得：x=√3+x，即x2−x−3=0，(x>0)，解得：x=1+√132．故答案为：1+√132，即可得解．由阅读能力及类比能力结合解方程x2−x−3=0，(x>0)解得：x=1+√132本题考查了阅读能力及类比能力，属中档题．15.【答案】√3068π【解析】解：四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=√5，AC=√3，所以∠ACB=90°，取AB 的中点H ，连接CH ，SH ，SH ⊥AB ，面SAB ∩面ABC =AB ，SH 在面SAB 内，而SH =12√2SA =√2 所以SH ⊥面ABC ，所以V S−ABC =13⋅S △ABC ⋅SH =13⋅12⋅√5⋅√3⋅√2=√306；则外接球的球心在SH 上，设球心为O ，连接OC ，CH =12AB =12⋅√2SA =√2，因为SH =12√2SA =√2，所以O 与H 重合，所以R =CH =SH =√2，所以四面体的外接球的表面积S =4πR 2=8π， 故答案分别为：√306，8π．由题意可得当四面体的体积最大时即面SAB ⊥面ABC ，求出四面体的高，进而求出体积，可得AB 的中点H 则由数值可得H 为外接球的球心，球的半径为SH =CH ，进而求出外接球的表面积．考查四面体的体积最大时的情况，及外接球的表面积公式，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由正弦定理得：BCsinA =ACsinB ， 又A =π3,AC ：BC =2：3， 所以sinB =√33，又AC <BC ， 所以B <A =π3，所以cosB =√1−sin 2B =√63， 所以sinC =sin(B +π3)=3√2+√36，不妨设AC =2t ，则BC =3t ，AB =(√6+1)t ， 设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3+2√2)λ2−(√2+1)λ]t 2， 所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为√6+1)24(√6+1)2=−34， 解得t =√3，即S △ABC =12|AB||AC|sinA =12(√6+1)×2×√32×3=9√2+3√32，故答案为：9√2+3√32．由三角形中的正弦定理得及两角和差的正弦得：sinB =√33，又AC <BC ，所以B <A =π3，所以cosB =√1−sin 2B =√63，所以sinC =sin(B +π3)=3√2+√36， 由平面向量的数量积运算得：DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3+2√2)λ2−(√2+1)λ]t 2，所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为√6+1)24(√6+1)2=−34，得t =√3，即S △ABC =12|AB||AC|sinA =12(√6+1)×2×√32×3=9√2+3√32，得解．本题考查了解三角形中的正弦定理、两角和差的正弦及平面向量的数量积运算，属难度较大的题型．17.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，由a n+2−4a n+1+3a n =0，可得a n+2=4a n+1−3a n ，则a n+2−a n+1=3a n+1−3a n =3(a n+1−a n ). ∵a 2−a 1=4−1=3，∴数列{a n+1−a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴a n+1−a n =3⋅3n−1=3n ，n ∈N ∗． 由上式可得，a 2−a 1=31， a 3−a 2=32，⋅ ⋅ ⋅a n −a n−1=3n−1， 各项相加，可得：a n −a 1=31+32+⋯+3n−1=31−3n 1−3=12⋅3n −32，∴a n =12⋅3n −32+a 1=12⋅3n −32+1=12⋅(3n −1)，n ∈N ∗．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =2n ⋅a n =2n ⋅12⋅(3n −1)=n ⋅3n −n ． 构造数列{c n }：令c n =n ⋅3n ． 设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n ⋅3n ， 3T n =1⋅32+2⋅33+⋯+(n −1)⋅3n +n ⋅3n ，两式相减，可得：−2T n=31+32+33+⋯+3n−n⋅3n=3−3n+11−3−n⋅3n=−2n−32⋅3n−32，∴T n=2n−34⋅3n+34．故S n=b1+b2+⋯+b n=(c1−1)+(c2−2)+⋯+(c n−n)=(c1+c2+⋯+c n)−(1+2+⋯+n)=T n−n(n+1)2=2n−34⋅3n+34−12n2−12n.【解析】本题第(Ⅰ)题将递推式进行转化可得到a n+2−a n+1=3(a n+1−a n)，则数列{a n+1−a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列{a n+1−a n}的通项公式，再应用累加法可计算出数列{a n}的通项公式；第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果可计算出数列{b n}的通项公式b n=n⋅3n−n.构造数列{c n}：令c n=n⋅3n.设数列{c n}的前n 项和为T n，可运用错位相减法计算出数列{c n}的前n项和为T n，最后运用分组求和法计算出数列{b n}的前n项和S n．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：∵∠BAD=∠ABC=90°，∴AD//BC，又∠ADC=45°，AB=BC=1，∴AD=2，而M、N分别是AD、PD的中点，∴MN//PA，故MN//面PAB．又AM//BC且AM=BC，故四边形ABCM是平行四边形，∴CM//AB，CM//面PAB．又MN，CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMN//面PAB；(Ⅱ)解：由题意可知，MC，MD，MP两两垂直，分别以MC，MD，MP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,√3)，N(0,12,√32)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)， ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴E(13,0,2√33)，得NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,−12,√33)， 设平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,−√3,1)． ∴|cos <NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|√32+√33|2×√19+14+13=√32．∴直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值为√1−(√32)2=12．【解析】(Ⅰ)由已知可得AD//BC ，证明MN//面PAB.再证明四边形ABCM 是平行四边形，得CM//面PAB.由面面平行的判定可得面CMN//面PAB ；(Ⅱ)由题意可知，MC ，MD ，MP 两两垂直，分别以MC ，MD ，MP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量与NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出直线NE 与平面PAB 所成角的正弦值，再由勾股定理求直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知x 1+x 2=6，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =6+p =8，∴p =2， ∴抛物线的标准方程为：y 2=4x ；(2)设直线AB 的方程为：x =my +n (m ≠0)， 联立方程{x =my +ny 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −4n =0，∴y 1+y 2=4m ，∴x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2n =4m 2+2n =6，即n =3−2m 2， 即{△=16(m 2+n)=16(3−m 2)>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−4n =8m 2−12，∴|AB|=√m 2+1⋅|y 1−y 2|=4√m 2+1⋅√3−m 2，设AB 的中垂线方程方程为：y −2m =−m(x −3)，即y =−m(x −5)，可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线AB 的方程为：x =my +3−2m 2，即x −my +2m 2−3=0，∴点C 到直线AB 的距离d =2√m 2+1=2√m 2+1，∴S =12|AB|⋅d =4(m 2+1)⋅√3−m 2，令t =√3−m 2，则m 2=3−t 2 (0<t <√3)， ∴S =4t(4−t 2)， 令f(t)=4t(4−t 2)，∴f′(t)=4(4−3t 2)，令f′(t)=0得，t =2√33， ∴在(0,2√33)上，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；在(2√33,√3)上，f′(t)<0，函数f (t)单调递减， ∴当t =2√33，即m =±√153时，S max =64√39．【解析】(1)利用抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =6+p =8，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；(2)设直线AB 的方程为：x =my +n ，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得|AB|=4√m 2+1⋅√3−m 2，利用AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以S =12|AB|⋅d =4(m 2+1)⋅√3−m 2，令t =√3−m 2，则S =4t(4−t 2)，利用导数得到当t =2√33，即m =±√153时，S max =64√39． 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.【答案】解：(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则q =1−p ；所以k 个人的混合后呈阴性的概率为q k ，呈阳性反应的概率为1−q k ； 依题意知X 的可能取值为1k ，1+1k ； 所以X 的分布列为；(2)方案②中，结合(1)知每个人的平均化验次数为： E(X)=1k ⋅q k +(1+1k )⋅(1−q k )=1k −q k +1； 所以当k =2时，E(X)=12−0.92+1=0.69， 此时1000人需要化验的总次数为690次； 当k =3时，E(X)=13−0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k=4时，E(X)=14−0.94+1=0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k=2时化验次数最多，k=3时化验次数居中，k=4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k=4时化验次数最多可以平均减少1000−594=406(次)．【解析】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；(2)方案②中计算每个人的平均化验次数E(X)，分别求出k=2、3、4时E(X)的值，比较即可．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)因为f′(x)=lnx−ax +32，所以g(x)=(1−a)lnx−ax−x+32，g′(x)=1−ax +ax2−1=−(x−1)(x+a)x(x>0)，(ⅰ)当−a≤0即a≥0时，所以x+a>0，且方程g′(x)=0在(0,+∞)上有一根，故g(x)在(0,1)上为增函数，(1,+∞)上为减函数，(ⅱ)当−a>0即a<0时，所以方程g′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同根或两相等根，(ⅰ)当a=−1时f′(x)=(x−1)2x≤0，f(x)在(0,+∞)上是减函数；(ⅱ)当a<−1时，由f′(x)>0得1<x<−a，所以f(x)在(1,−a)上是增函数；在(0,1)，(−a,+∞)上是减函数；(ⅲ)当−1<a<0时，由f′(x)>0得−a<x<1，所以f(x)在(−a,1)是增函数；在(0,−a)，(1,+∞)上是减函数；(2)证明：因为f′(x)=lnx−ax +32，令ℎ(x)=lnx−ax+32，则ℎ′(x)=1x+ax2，因为a∈(12e ,2√e)，所以ℎ′(x)=1x+ax2>0，即ℎ(x)在(0,+∞)是增函数，下面证明ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，因为ℎ(a2)=ln a2−12，ℎ(2a)=ln2a+1，又因为a∈(12e ,2√e)，所以ℎ(a2)<ln2√e2−12=0，ℎ(2a)>ln(2⋅12e)+1=0，由零点存在定理可知，ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，在区间(0,x0)上，ℎ(x)=f′(x)<0，f′(x)是减函数，在区间(x0,+∞)上，ℎ(x)=f′(x)>0，f′(x)是增函数，故当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=(x0−a)lnx0+12x0，因为ℎ(x0)=lnx0−a x0+32=0，所以lnx0=ax0−32，所以f(x0)=(x0−a)(a x0−32)+12x0=1x0(x0−a2)(2a−x0)，因为x0∈(a2,2a)，所以f(x)>0，所以a∈(12e,2√e)，f(x)>0．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，令ℎ(x)=lnx−ax +32，问题转化为证明ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，老师的零点定理，是一道综合题．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意C的方程为：可得C的普通方程为：x29+y24=1，将代入曲线方程可得：ρ2cos2α9+ρ2sin2α4=1．因为曲线D的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)，所以ρ2=4ρsin(θ−π6)=4ρ(√32sinθ−12cosθ)．又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以x2+y2=2√3y−2x．所以曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2α9+ρ2sin2α4=1，曲线D的直角坐标方程为：x2+y2=2√3y−2x．(Ⅱ)因为点A(2√2,π4)，化为直角坐标为{x =2√2cos π4=2y =2√2sin π2=2，所以A(2,2)． 因为直线l 过点A(2,2)且倾斜角为π3， 所以直线l 的参数方程为{x =2+12ty =2+√32t， 代入x 29+y 24=1中，得：314t 2+(8+18√3)t +16=0，所以由韦达定理：t 1+t 2=−b a=−32+72√331，t 1t 2=c a =6431，所以|AP||AM|⋅|AN|=|t 1+t 22||t 1t 2|=4+9√316．【解析】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查一条线段长与两条线段乘积的比值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)曲线C 的参数方程消去参数t ，能求出C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；曲线D 的极坐标方程转化为ρ2=4ρsin(θ−π6)=4ρ(√32sinθ−12cosθ).由此能求出曲线D的直角坐标方程．(Ⅱ)点A(2√2,π4)，化为直角坐标为A(2,2).求出直线l 的参数方程代入x 29+y 24=1中，得：314t 2+(8+18√3)t +16=0，由此利用韦达定理能求出|AP||AM|⋅|AN|的值．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x −4|+|x +1|≤9，故{x >23x −3≤9，或{−1≤x ≤25−x ≤9，或{x <−1−3x +3≤9， 解得：2<x ≤4，或−1≤x ≤2，或−2≤x <−1， 所以不等式的解集为[−2,4]； (Ⅱ)易知B =(0,3)，因为B ⊆A ，所以|2x −4|+|x +1|<2x +a 在x ∈(0,3)恒成立， ⇒|2x −4|<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立， ⇒|2x −4|+1−x <a 在x ∈(0,3)恒成立， 令g(x)=|2x −4|+1−x ={5−3x, 0<x <2x −3, 2⩽x <3, 所以函数g(x)在(0,2)上单调递减，在[2,3)上单调递增， 又x →0,g(x)→5 ;x →3,g(x)→0 ;则g(x)<5，则只要a⩾5即可，故实数a的取值范围为[5,+∞)．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．第21页，共21页。